値域ちいき

定義ていぎ域いき X から終おわり域いき Y への写像しゃぞう f: Y の内側うちがわの小ちいさいマルで f の値域ちいきを表あらわしている。

数学すうがく、特とくに素朴そぼく集合しゅうごう論ろんにおける写像しゃぞうの値域ちいき（ちいき、英えい: range）は、その写像しゃぞうの終おわり域いきまたは像ぞうの何いずれかの意味いみで用もちいられる。現代げんだい的てきな用法ようほうではほとんど全すべての場合ばあいにおいて「像ぞう」の意味いみである。

• 写像しゃぞうの終おわり域いきは任意にんいの集合しゅうごうを取とることができる。実じつ解析かいせきならば通常つうじょうは実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを終おわり域いきとする函数かんすうを考かんがえる。同様どうように、複素ふくそ解析かいせきならば複素数ふくそすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうである。
• 写像しゃぞうの像ぞうとはその写像しゃぞうの出力しゅつりょくとなる元もと全すべてからなる集合しゅうごうである。像ぞうは常つねに終おわり域いきの部分ぶぶん集合しゅうごうになる。

注意ちゅうい

「値域ちいき」("range") は異ことなる意味いみで用もちいられうるから、教科書きょうかしょや論文ろんぶんを読よむ際さいにいずれの意味いみであるかを確たしかめるのは初手しょての演習えんしゅうとして手頃てごろであろう。

古ふるい本ほんでは「値域ちいき」を今日きょうでいうところの終おわり域いきの意味いみで用もちいている傾向けいこうがある。より現代げんだい的てきな本ほんでは大半たいはんが今日きょうでいう像ぞうの意味いみで用もちいる。紛まぎれを無なくす目的もくてきで「値域ちいき」という語かたりは用もちいないという本ほんもある。

これら二ふたつの用例ようれいの違ちがいを知しるために、例れいとして実じつ函数かんすう（実じつ変数へんすう実じつ数値すうち函数かんすう）としての f(x) = x² を考かんがえる（つまり、実数じっすうを入力にゅうりょくとして、その自乗じじょうを出力しゅつりょくする函数かんすうである）。この場合ばあい、終おわり域いきは実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう R と考かんがえるが、（x が実数じっすうであるとき x² は負まけにはならないから）像ぞうは非負ひふ実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう R⁺ になる。この函数かんすうに対たいして、「値域ちいき」を終おわり域いきの意味いみで用もちいているのならばそれは R のことであり、他方たほう「値域ちいき」を像ぞうの意味いみで用もちいているのであればそれは R⁺ を指さしていることになる。

像ぞうと終おわり域いきが一致いっちするような例れいとして、入力にゅうりょくした実数じっすうを二に倍ばいする函数かんすう f(x) = 2x を考かんがえよう。この函数かんすうは終おわり域いきと像ぞうがともに実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう R となり一致いっちする（全ぜん射いである）から、この場合ばあい「値域ちいき」をいずれの意味いみで用もちいたとしても誤解ごかいは無ない。

定義ていぎ

「値域ちいき」を終おわり域いきの意味いみで用もちいるならば、写像しゃぞう f の値域ちいきは f の定義ていぎにおいて指定していしなければならない。初等しょとう実じつ解析かいせきでは、それはしばしば実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう R であることが仮定かていされる。また、集合しゅうごう {y | y = f(x) となる f の定義ていぎ域いきの元もと x が存在そんざいする} は f の像ぞうと呼よぶ。

「値域ちいき」を像ぞうの意味いみで用もちいるならば、写像しゃぞう f の値域ちいきは集合しゅうごう {y | y = f(x) となる f の定義ていぎ域いきの元もと x が存在そんざいする} である。この場合ばあい、f の終おわり域いきは f の定義ていぎにおいて指定していしなければならない。が、初等しょとう実じつ解析かいせきでは、それはしばしば実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう R であることが仮定かていされる。

何いずれの意味いみで用もちいても image f ⊆ range f ⊆ codomain f が成なり立たち、それぞれの使つかい方かたによってどちらか一方いっぽうの包含ほうがん関係かんけいが等号とうごうになる。

関連かんれん項目こうもく

• 単たん射い、全ぜん射い、双そう射しゃ
• 終おわり域いき
• 像ぞう (数学すうがく)
• 素朴そぼく集合しゅうごう論ろん

参考さんこう文献ぶんけん

• Childs (2009). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229 
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 73. Springer. ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8