恒等こうとう写像しゃぞう

数学すうがくにおける恒等こうとう写像しゃぞう（こうとうしゃぞう、英えい: identity mapping, identity function）、恒等こうとう作用素さようそ（こうとうさようそ、英えい: identity operator）、恒等こうとう変換へんかん（こうとうへんかん、英えい: identity transformation）は、その引数ひきすうとして用もちいたのと同おなじ値ちを常つねにそのまま返かえすような写像しゃぞうである。集合しゅうごう論ろんの言葉ことばで言いえば、恒等こうとう写像しゃぞうは恒等こうとう関係かんけい（こうとうかんけい、英えい: identity relation）である。

定義ていぎ

厳密げんみつに述のべれば、 $M$ を集合しゅうごうとして、 $M$ 上うえの恒等こうとう写像しゃぞう $f$ とは、定義ていぎ域いきおよび終おわり域いきがともに $M$ であるような写像しゃぞうであって、 $M$ の任意にんいの元もと $x$ に対たいして

f (x) = x

を満みたすものを言いう^[1]。言葉ことばで書かけば、 $M$ 上うえの恒等こうとう写像しゃぞうは、 $M$ の各かく元もと $x$ に $x$ 自身じしんを対応たいおうさせて得えられる $M$ から $M$ への一ひとつの写像しゃぞうである^[2]。

$M$ 上うえの恒等こうとう写像しゃぞうはしばしば $id M$ や $1 M$ などで表あらわされる。

写像しゃぞうを二に項こう関係かんけいと見みるならば、恒等こうとう写像しゃぞうは恒等こうとう関係かんけいと呼よばれる函数かんすう関係かんけい（英語えいご版ばん）、即すなわち $M$ の対たい角かく集合しゅうごう (diagonal set) $Δ でるた = {(x, x) | x \in M$ } で与あたえられる^[3]。

性質せいしつ

$f : M \to N$ を任意にんいの写像しゃぞうとすると、

f\circ {\text{id}}_{M}=f={\text{id}}_{N}\circ f

が成なり立たつ（"∘" は写像しゃぞうの合成ごうせい）。特とくに、 $id M$ は $M$ から $M$ への写像しゃぞう（ $M$ 上うえの変換へんかん）全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうが合成ごうせいに関かんして成なす半はん群ぐん（ $M$ 上うえの全ぜん変換へんかん半はん群ぐん（英語えいご版ばん）） $T M$ における単位たんい元もと（中立ちゅうりつ元もと）であり、従したがって $T M$ はモノイドを成なす。

モノイドの単位たんい元もとはただ一ひとつであるから、 $M$ 上うえの恒等こうとう写像しゃぞうの別べつな定義ていぎとして、全ぜん変換へんかんモノイドの単位たんい元もととして定さだめることも可能かのうである。このような定義ていぎは、圏けん論ろんにおける恒等こうとう射しゃの概念がいねんに一般いっぱん化かすることができる。この文脈ぶんみゃくでは $M$ 上うえの自己じこ型がた射しゃが写像しゃぞうである必要ひつようはない。

集合しゅうごう上じょうの構造こうぞうとの関係かんけい

正せい整数せいすう全体ぜんたいの成なす乗法じょうほうモノイドの上うえで恒等こうとう写像しゃぞうを考かんがえると、それは本質ほんしつ的てきに $1$ -倍ばい写像しゃぞうであり、また数かず論ろん的てき函数かんすうの意味いみで完全かんぜん乗法じょうほう的てき（英語えいご版ばん）である^[4]
ベクトル空間くうかん上うえの恒等こうとう写像しゃぞうは線型せんけい写像しゃぞうである^[5]。 $n$ -次元じげん線型せんけい空間くうかん上じょうの恒等こうとう写像しゃぞうは $n \times n$ 単位たんい行列ぎょうれつ $I n$ を表現ひょうげん行列ぎょうれつに持もつが、これは基底きていの取とり方かたに依よらない^[6]。
距離きょり空間くうかんにおける恒等こうとう写像しゃぞうは自明じめいな意味いみで等ひとし長ちょう写像しゃぞうである。いかなる対称たいしょう性せいも持もたない任意にんいの対象たいしょうが、恒等こうとう写像しゃぞうのみからなる自明じめい群ぐんを対称たいしょう変換へんかん群ぐん（英語えいご版ばん）として持もつ（対称たいしょう型がたが C₁ である）^[7]。
- 単たんに台たい集合しゅうごう $X$ 上うえの恒等こうとう写像しゃぞう $id X$ を考かんがえた場合ばあい、 $X$ 上うえの異ことなる距離きょり $d 1, d 2$ に関かんして、恒等こうとう写像しゃぞう $id X$ は二ふたつの距離きょり空間くうかん $(X, d 1), (X, d 2)$ の間あいだの等とう距変換へんかんとはならない。
位相いそう空間くうかん $(X, τ たう 1), (X, τ たう 2)$ と台たい集合しゅうごう $X$ 上うえの恒等こうとう写像しゃぞう $I X$ を考かんがえたとき、 $I X$ が連続れんぞく写像しゃぞうとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、 $τ たう 1$ が $τ たう 2$ よりも細こまかいことである。

注記ちゅうき

参考さんこう文献ぶんけん

ニコラ・ブルバキ『集合しゅうごう論ろん要約ようやく』東京とうきょう図書としょ〈数学すうがく原論げんろん (4)〉、1984年ねん。ISBN 978-4489001048。
松坂まつさか和夫かずお『集合しゅうごう・位相いそう入門にゅうもん』岩波書店いわなみしょてん、1968年ねん。ISBN 978-4000054249。
Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
Marshall, D.; Odell, E.; Starbird, M. (2007). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519
Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
Shores, T. S. (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 038-733-195-6
James W. Anderson (2005), Hyperbolic Geometry, Springer, ISBN 1-85233-934-9

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "Identity Function". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
identity map - PlanetMath.org（英語えいご）

[1] (Knapp 2006)

[2] (松坂まつさか 1968, p. 28)

[3] (ブルバキ 1984, p. 10)

[4] (Marshal, Odell & Starbird 2007)

[5] (Anton 2005)

[6] (Shores 2007)

[7] (Anderson 2005)

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