位相いそう空間くうかん

数学すうがく > 空間くうかん・収束しゅうそく > 位相いそう空間くうかん

数学すうがくにおける位相いそう空間くうかん（いそうくうかん、英語えいご: topological space）とは、集合しゅうごうXに位相いそう（topology）と呼よばれる構造こうぞうを付つけ加くわえたもので、この構造こうぞうはX上うえに収束しゅうそく性せいの概念がいねんを定義ていぎするのに必要ひつよう十じゅう分ふんなものである。

位相いそう空間くうかんの諸しょ性質せいしつを研究けんきゅうする数学すうがくの分野ぶんやを位相いそう空間くうかん論ろんと呼よぶ。

概要がいよう

位相いそう空間くうかんは、前述ぜんじゅつのように集合しゅうごうに「位相いそう」という構造こうぞうを付つけ加くわえたもので、この構造こうぞうにより、例たとえば以下いかの概念がいねんが定義ていぎ可能かのうとなる

• 部分ぶぶん集合しゅうごうの内部ないぶ、外部がいぶ、境界きょうかい
• 点てんの近傍きんぼう
• 収束しゅうそく性せい
• 開ひらけ集合しゅうごう、閉集合しゅうごう、閉包へいほう

実じつはこれらの概念がいねんはいわば「同値どうち」で、これらの概念がいねんのうちいずれか一ひとつを定式ていしき化かすれば、残のこりの概念がいねんはそこから定義ていぎできる事ことが知しられている。したがって集合しゅうごう上じょうの位相いそう構造こうぞうは、これらのうちいずれか１ひとつを定式ていしき化かする事ことにより定義ていぎできる。そこで学部がくぶレベルの多おおくの教科書きょうかしょでは、数学すうがく的てきに扱あつかいやすい開ひらき集合しゅうごうの概念がいねんをもとに位相いそう構造こうぞうを定義ていぎするものが多おおい。

その他たにも

• 位相いそう空間くうかんから位相いそう空間くうかんへの写像しゃぞうの連続れんぞく性せい
• 連結れんけつ性せい

といった概念がいねんも位相いそう構造こうぞうを用もちいて定義ていぎできる。

上述じょうじゅつした概念がいねんはいずれも元々もともと距離きょり空間くうかんのような幾何きか学がく的てきな対象たいしょうに対たいして定義ていぎされたものだが、距離きょりが定義ていぎされていなくても位相いそう構造こうぞうさえ定義ていぎできれば定式ていしき化かできる。これにより、位相いそう空間くうかんの概念がいねんは、幾何きか学がくはもちろん解析かいせき学がくや代数だいすう学がくでも応用おうようされており、位相いそう空間くうかん論ろんはこうした数学すうがくの諸しょ分野ぶんやの研究けんきゅうの基礎きそを与あたえる。位相いそう空間くうかんの概念がいねんの利点りてんの一ひとつは、解析かいせき学がくや代数だいすう学がくなどの研究けんきゅう対象たいしょうに幾何きか学がく的てきな直観ちょっかんを与あたえることにある。

このような観点かんてんからみたとき、位相いそう空間くうかん論ろんの目標もくひょうの一ひとつは、ユークリッド空間くうかんなど幾何きか学がくの対象たいしょうに対たいして成なり立たつ諸しょ性質せいしつを解析かいせき学がくなどにも一般いっぱん化かすることにある。従したがって学部がくぶレベルで学まなぶ位相いそう空間くうかん論ろんの性質せいしつの多おおくは、ユークリッド空間くうかんなどの幾何きか学がく的てきな対象たいしょうでは自明じめいに成なり立たつ(例たとえば各種かくしゅ分離ぶんり公理こうりや可算かさん公理こうり)。

位相いそう空間くうかん論ろんではこうした幾何きか学がく的てきな性質せいしつをいかに一般いっぱんの空間くうかんへと拡張かくちょうするかが問とわれるので、位相いそう空間くうかんの概念がいねん自身じしんは非常ひじょうに弱よわく、かつ抽象ちゅうしょう的てきに定義ていぎされる。しかしその分ぶん個別こべつの用途ようとでは必要ひつような性質せいしつが満みたされないこともあり、例たとえば位相いそう空間くうかん上じょうでは収束しゅうそくの一意いちい性せいは保証ほしょうされない。そこで必要ひつように応おうじて、位相いそう空間くうかんにプラスアルファの性質せいしつを付つけ加くわえたものが研究けんきゅう対象たいしょうになることも多おおい。前述ぜんじゅつした収束しゅうそくの一意いちい性せいは、位相いそう空間くうかんに「ハウスドルフ性せい」という性質せいしつを加くわえると成立せいりつする。学部がくぶレベルの位相いそう空間くうかん論ろんの目標もくひょうの一ひとつは、こうしたプラスアルファの性質せいしつの代表だいひょう的てきなものを学まなぶ事ことにある。

距離きょり空間くうかん$(\mathbb {R} ^{2},d_{p})$の原点げんてんの1-近傍きんぼうをp=2（上うえの図ず）、p=1（中央ちゅうおうの図ず）、p=∞（下したの図ず）に対たいして図示ずししたもの。これらはそれぞれユークリッド距離きょり、マンハッタン距離きょり、チェビシェフ距離きょりと呼よばれる。

位相いそう空間くうかんと距離きょり空間くうかん

位相いそう空間くうかんとなる代表だいひょう的てきな空間くうかんとしては、ユークリッド空間くうかんをはじめとした距離きょり空間くうかんがある。距離きょり空間くうかんは必かならず位相いそう空間くうかんになるが、逆ぎゃくは必かならずしも正ただしくない。すなわち、距離きょり構造こうぞうは位相いそう的てき構造こうぞうよりも遥はるかに多おおくの情報じょうほうを持もった強つよい概念がいねんであり、距離きょり空間くうかんとしては異ことなっても位相いそう空間くうかんとしては同一どういつの空間くうかんになることもある。

例たとえばp≧1を固定こていして実数じっすう空間くうかん$\mathbb {R} ^{n}$上うえにℓ^p距離きょり

$d_{p}(x,y)={\sqrt[{p}]{(x_{1}-y_{1})^{p}+\cdots (x_{n}-y_{n})^{p}}}$

を入いれた距離きょり空間くうかん$(\mathbb {R} ^{n},d_{p})$を考かんがえてみると、εいぷしろん-N論法ろんぽうやεいぷしろん-δでるた論法ろんぽうによる極限きょくげんの議論ぎろんで用もちいるεいぷしろん-近傍きんぼうはpに依存いぞんして異ことなるにもかかわらず、収束しゅうそくの有無うむや収束しゅうそく先さきの点てんはpによらず一致いっちする。

より一般いっぱんに、ユークリッド空間くうかんをゴム膜まくのように連続れんぞく変形へんけいしたものは、元もとのユークリッド空間くうかんとは距離きょり空間くうかんとしては異ことなるが、位相いそう空間くうかんとしては同一どういつであり、収束しゅうそくするか否ひかという性質せいしつも互たがいに保たもたれて不変ふへんである。

以上いじょうのように、連続れんぞく性せいや収束しゅうそく性せいといった概念がいねんを考かんがえたり、連続れんぞく変形へんけいを対象たいしょうとした研究けんきゅうを行おこなったりするときには、距離きょり空間くうかんの概念がいねんは柔軟じゅうなん性せいに欠かけるところがあり、位相いそう空間くうかんというより弱よわい概念がいねんを考かんがえる積極せっきょく的てき動機どうきの一ひとつとなる。

他ほかにも例たとえば多様たよう体たいを定義ていぎする際さいには複数ふくすうの距離きょり空間くうかん(ユークリッド空間くうかんの開ひらき集合しゅうごう)を連続れんぞく写像しゃぞうで「張はり合あわせる」(商しょう空間くうかん)が、張はり合あわせに際さいして元もとの空間くうかんの距離きょり構造こうぞうを壊こわしてしまうので、元もとの空間くうかんを距離きょり空間くうかんとみなすより、位相いそう空間くうかんとみなす方ほうが自然しぜんである。

応用おうよう分野ぶんや

コーヒーカップからドーナツ（トーラス）への連続れんぞく変形へんけい（同相どうしょう写像しゃぞうの一種いっしゅ）とその逆ぎゃく

位相いそう空間くうかんの概念がいねんの代表だいひょう的てきな応用おうよう分野ぶんやに位相いそう幾何きか学がくがある。これは曲面きょくめんをはじめとした幾何きか学がく的てきな空間くうかん（主おもに有限ゆうげん次元じげんの多様たよう体たいや単体たんたい的てき複ふく体たい）の位相いそう空間くうかんとしての性質せいしつを探さぐる分野ぶんやである。前述ぜんじゅつのようにゴム膜まくのように連続れんぞく変形へんけいしても位相いそう空間くうかんとしての構造こうぞうは変かわらないので、球面きゅうめんと楕円だえん体たいは同おなじ空間くうかんであるが、トーラスは球面きゅうめんとは異ことなる位相いそう空間くうかんである事ことが知しられている。位相いそう幾何きか学がくでは、位相いそう空間くうかんとしての構造こうぞうに着目ちゃくもくして空間くうかんを分類ぶんるいしたり、分類ぶんるいに必要ひつような不ふ変量へんりょう(位相いそう不ふ変量へんりょう)を定義ていぎしたりする。

位相いそう空間くうかんの概念がいねんは代数だいすう学がくや解析かいせき学がくでも有益ゆうえきである。例たとえば無限むげん次元じげんベクトル空間くうかんを扱あつかう関数かんすう解析かいせき学がくの理論りろんを見通みとおしよく展開てんかいするにはベクトル空間くうかんに位相いそうを入いれて位相いそう空間くうかんの一般いっぱん論ろんを用もちいることが必須ひっすであるし（位相いそう線型せんけい空間くうかん）、代数だいすう幾何きか学がくで用もちいられるザリスキ位相いそうは、通常つうじょう、距離きょりから定さだめることのできないような位相いそうである。

また、位相いそう空間くうかんとしての構造こうぞうはその上うえで定義ていぎされた様々さまざまな概念がいねんの制約せいやく条件じょうけんとして登場とうじょうすることがある。例たとえばリーマン面めん上じょうの有理ゆうり型がた関数かんすうのなす空間くうかんの次元じげんは、リーマン面めんの位相いそう構造こうぞうによって制限せいげんを受うける(リーマン・ロッホの定理ていり)。また三さん次元じげん以上いじょうの二ふたつの閉とじた双そう曲きょく多様たよう体たいが距離きょり空間くうかんとして同型どうけいである必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、位相いそう空間くうかんとして同型どうけいな事ことである(モストウの剛性ごうせい定理ていり)。

定義ていぎ

位相いそう空間くうかんにはいくつかの同値どうちな定義ていぎがあるが、本ほん項こうではまず、開ひらき集合しゅうごうを使つかった定義ていぎを述のべる。

開ひらけ集合しゅうごうを使つかった特徴とくちょうづけ

位相いそう空間くうかんを定式ていしき化かする為ために必要ひつようとなる「開ひらき集合しゅうごう」という概念がいねんは、直観ちょっかん的てきには位相いそう空間くうかんの「縁えんを含ふくまない」、「開ひらいた」部分ぶぶん集合しゅうごうである。

ただし上うえではわかりやすさを優先ゆうせんして「縁えんを含ふくまない」、「開ひらいた」という言葉ことばを使つかったが、これらの言葉ことばを厳密げんみつに定義ていぎしようとすると位相いそう空間くうかんの概念がいねんが必要ひつようになるので、これらを使つかって開ひらき集合しゅうごうを定義ていぎするのは循環じゅんかん論法ろんぽうになってしまう。また、ここでいう「縁えん」(=境界きょうかい)は通常つうじょうの直観ちょっかんと乖離かいりしている場合ばあいもあり、例たとえば実数じっすう直線ちょくせん上じょうの有理数ゆうりすうの集合しゅうごうの境界きょうかいは実数じっすう全体ぜんたいである。

そこで位相いそう空間くうかんの定義ていぎでは、「縁えんを含ふくまない」とか「開ひらいた」といった概念がいねんに頼たよることなく、非常ひじょうに抽象ちゅうしょう的てきな方法ほうほうで開ひらけ集合しゅうごうの概念がいねんを定式ていしき化かする。

位相いそう空間くうかんを定式ていしき化かするのに必要ひつようなのは、どれが開ひらけ集合しゅうごうであるのかを弁別べんべつするために開ひらけ集合しゅうごう全体ぜんたいの集合しゅうごう${\mathcal {O}}$を指定していする事ことと、${\mathcal {O}}$が定さだめられた性質せいしつを満みたすことだけである。

位相いそう空間くうかんの厳密げんみつな定義ていぎは下記かきのとおりである。

集合しゅうごう{1,2,3}における、開ひらき集合しゅうごうの公理こうりを満みたす部分ぶぶん集合しゅうごうの族ぞくや満みたさない族ぞくの例れい。上うえ二に段だんの例れいはそれぞれ開ひらけ集合しゅうごうの公理こうりを満みたしているが、最さい下段げだんの例れいは、左側ひだりがわは{2}と{3}の和わ集合しゅうごうである{2,3}が入はいっていないため、右側みぎがわは{1,2}と{2,3}の共通きょうつう部分ぶぶんである{2}が入はいっていないため、どちらも開ひらけ集合しゅうごうの公理こうりを満みたしていない。

定義ていぎ (開ひらき集合しゅうごう系けいによる位相いそう空間くうかんの定義ていぎ) ―  Xを集合しゅうごうとし、${\mathcal {O}}$をXのべき集合しゅうごう${\mathfrak {P}}(X)$の部分ぶぶん集合しゅうごうとする。

${\mathcal {O}}$が以下いかの性質せいしつを満みたすとき、組くみ $(X,{\mathcal {O}})$ を X を台たい集合しゅうごうとし${\mathcal {O}}$を開ひらけ集合しゅうごう系けいとする位相いそう空間くうかんと呼よび、${\mathcal {O}}$の元もとを X の開ひらけ集合しゅうごうと呼よぶ。

1. $\emptyset ,\,X\in {\mathcal {O}}$
2. $\forall O_{1},\forall O_{2}\in {\mathcal {O}}~:~O_{1}\cap O_{2}\in {\mathcal {O}}$
3. $\forall \{O_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset {\mathcal {O}}~:~\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}$

上述じょうじゅつの定義ていぎに登場とうじょうする3つの条件じょうけんの意味いみするところは下記かきのとおりである：

1. 空そら集合しゅうごうと全体ぜんたい集合しゅうごうは開ひらけ集合しゅうごうである。
2. 2つの開ひらき集合しゅうごうの共通きょうつう部分ぶぶんは開ひらけ集合しゅうごうである。(よって有限ゆうげん個この開ひらき集合しゅうごうの共通きょうつう部分ぶぶんは開ひらけ集合しゅうごうとなるが、無限むげん個この共通きょうつう部分ぶぶんは開ひらけ集合しゅうごうとは限かぎらない)
3. 任意にんいの個数こすう(有限ゆうげんでも無限むげんでもよい)の開ひらき集合しゅうごうの和わ集合しゅうごうは開ひらけ集合しゅうごうである。

本節ほんぶしでは、これらの性質せいしつを天下あまくだり的てきに与あたえるにとどめ、後ごの章しょうで距離きょり空間くうかんで具体ぐたい的てきな位相いそうに関かんし、この定義ていぎについて論ろんずる。

開ひらけ集合しゅうごう系けい${\mathcal {O}}$を一ひとつ定さだめる事ことで、集合しゅうごう X が位相いそう空間くうかんになるので、${\mathcal {O}}$をX 上うえの位相いそう(構造こうぞう)と呼よぶ。

紛まぎれがなければ開ひらき集合しゅうごう系けい${\mathcal {O}}$を省略しょうりゃくし、X の事ことを位相いそう空間くうかん と呼よぶ。

また位相いそう空間くうかんX の元もとを点てんと呼よぶ。

なお、集合しゅうごう算さんに関かんする空そら積せきおよび空そら和わはそれぞれ全体ぜんたい集合しゅうごうと空そら集合しゅうごうになるので、${\mathcal {O}}\neq \emptyset$を仮定かていしておけば、上述じょうじゅつの定義ていぎにおける条件じょうけん1を課かさなくてもよい。

閉集合しゅうごうを使つかった特徴とくちょうづけ

開ひらけ集合しゅうごうのX における補ほ集合しゅうごうの事ことを閉集合しゅうごうと呼よび、閉集合しゅうごう全体ぜんたいの集合しゅうごう

${\mathcal {F}}=\{F\subset X\mid F^{c}\in {\mathcal {O}}\}$

の事ことを位相いそう空間くうかんX の閉集合しゅうごう系けいと呼よぶ。

開ひらけ集合しゅうごうが直観ちょっかん的てきには「縁えんを含ふくまない」、「開ひらいた」集合しゅうごうだったのに対たいし、その補ほ集合しゅうごうである閉集合しゅうごうは直観ちょっかん的てきには「縁えんを含ふくんだ」、「閉とじた」集合しゅうごうである。 本ほん項こうではこれまで、開ひらき集合しゅうごう系けいを使つかって位相いそう空間くうかんを定義ていぎし、開ひらき集合しゅうごうの補ほ集合しゅうごうとして閉集合しゅうごうを定義ていぎしたが、閉集合しゅうごう系けい${\mathcal {F}}$を使つかって下記かきのように位相いそう空間くうかんを定義ていぎする事こともできる。この場合ばあい、開ひらき集合しゅうごうは閉集合しゅうごうの補ほ集合しゅうごうとして定義ていぎする。

定義ていぎ (閉集合しゅうごう系けいによる位相いそう空間くうかんの定義ていぎ) ―  Xを集合しゅうごうとし、${\mathcal {F}}$をXのべき集合しゅうごう${\mathfrak {P}}(X)$の部分ぶぶん集合しゅうごうとする。

${\mathcal {F}}$が以下いかの性質せいしつを満みたすとき、組くみ $(X,{\mathcal {F}})$ を X を台たい集合しゅうごうとし${\mathcal {F}}$を閉集合しゅうごう系けいとする位相いそう空間くうかんと呼よび、${\mathcal {F}}$の元もとを X の閉集合しゅうごうと呼よぶ。

1. $\emptyset ,X\in {\mathcal {F}}$
2. $\forall F_{1},\forall F_{2}\in {\mathcal {F}}~~:~~F_{1}\cup F_{2}\in {\mathcal {F}}$
3. $\forall \{F_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset {\mathcal {F}}~~:~~\bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }\in {\mathcal {F}}$

閉集合しゅうごう系けいによる位相いそう空間くうかんの定義ていぎにおける3つの条件じょうけんは、開ひらき集合しゅうごう系けいによる位相いそう空間くうかんの定義ていぎにおける3つの条件じょうけんにド・モルガンの法則ほうそくを適用てきようすることにより得えられる。

なお、X の開ひらき集合しゅうごうでも閉集合しゅうごうでもあるような部分ぶぶん集合しゅうごうは X の開ひらかつ閉集合しゅうごうと呼よばれる（定義ていぎから明あきらかに $\emptyset$ および X は必かならず開ひらかつ閉である）。X には、開ひらきでも閉でもないような部分ぶぶん集合しゅうごうが存在そんざいしうる。

その他たの特徴とくちょうづけ

「位相いそうの特徴付とくちょうづけ」も参照さんしょう

位相いそう同型どうけい

$(X,{\mathcal {O}}_{X})$、$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$を２ふたつの位相いそう空間くうかんとする。

定義ていぎ (位相いそう同型どうけい) ―  ある全ぜん単たん射しゃ

$f~:~X\to Y$

が存在そんざいして、

$O\in {\mathcal {O}}_{X}\iff f(O)\in {\mathcal {O}}_{Y}$

を満みたすとき、$(X,{\mathcal {O}}_{X})$と$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$は位相いそう同型どうけいであるという。

位相いそう空間くうかん論ろんとは、位相いそう同型どうけいで不変ふへんな性質せいしつ（すなわち、$(X,{\mathcal {O}}_{X})$がある性質せいしつを満みたせば、それと位相いそう同型どうけいな$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$もその性質せいしつを満みたすような性質せいしつ）を議論ぎろんする分野ぶんやである。

距離きょり空間くうかんの位相いそう構造こうぞう

すでに述のべたように位相いそう空間くうかんの概念がいねんを定義ていぎする主おもな動機どうきの一ひとつは、距離きょり空間くうかん上じょうで定義ていぎされる諸しょ概念がいねんをより一般いっぱんの空間くうかんでも定義ていぎする事ことである。この意味いみにおいて距離きょり空間くうかんは最もっとも基本きほん的てきな位相いそう空間くうかんの例れいであるので、本節ほんぶしでは距離きょり構造こうぞうが位相いそう構造こうぞうを定さだめる事ことを見みる：

定理ていり・定義ていぎ (距離きょりから定さだまる位相いそう) ―  (X ,d )を距離きょり空間くうかんとし、実数じっすう εいぷしろん > 0 と x ∈ X に対たいし、xのεいぷしろん-近傍きんぼう（εいぷしろん-neighborhood）$B_{\varepsilon }(x)$を

$B_{\varepsilon }(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}$

と定義ていぎするとき、

${\mathcal {O}}_{d}=\{O\subset X\mid \forall x\in O\exists \varepsilon >0~~:~~B_{\varepsilon }(x)\subset O\}$

は開ひらけ集合しゅうごう系けいの公理こうりを満みたす。 ${\mathcal {O}}_{d}$を距離きょり d により定さだまる X の開ひらけ集合しゅうごう系けい、もしくはd により定さだまる X の位相いそう構造こうぞうといい、 $(X,{\mathcal {O}}_{d})$を(X ,d )により定さだまる位相いそう空間くうかんという。

xのεいぷしろん-近傍きんぼうの事ことを、εいぷしろん-球たま（εいぷしろん-ball）、εいぷしろん-開ひらき球だま（εいぷしろん-open ball）、あるいは単たんに開ひらき球だま（open ball）ともいう。

上記じょうきのように定義ていぎした${\mathcal {O}}_{d}$が位相いそうの定義ていぎを満みたす事ことを示しめすために、まず開ひらけ集合しゅうごうを別べつの形かたちで書かき換かえる：

命題めいだい (距離きょりから定さだまる開ひらき集合しゅうごうの特徴とくちょうづけ) ― 距離きょり空間くうかん(X ,d )が定さだめる位相いそうを${\mathcal {O}}_{d}$とし、OをXの部分ぶぶん集合しゅうごうとする。このとき、以下いかの３条件じょうけんは同値どうちである：

1. Oは${\mathcal {O}}_{d}$の開ひらき集合しゅうごうである
2. 任意にんいのx ∈ Oに対たいし、ある$\varepsilon _{x}>0$が存在そんざいし、$O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)$が成立せいりつする。
3. Oは（有限ゆうげんまたは無限むげん個この）開ひらき球だまの和わ集合しゅうごうとして書かける。すなわち族ぞく$\{B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }\subset X$が存在そんざいし、$O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })$が成立せいりつする。

証明しょうめい（距離きょりから定さだまる開ひらき集合しゅうごうの特徴とくちょうづけ）

(1⇒2)：任意にんいの開ひらき集合しゅうごうOに対たいし、開ひらき集合しゅうごうの定義ていぎより開ひらけ集合しゅうごうOの各かく点てんxに対たいし、$B_{\varepsilon _{x}}(x)\subset O$を満みたす$\varepsilon _{x}>0$が存在そんざいするので、

$O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)$

と書かける。

（2⇒3）：自明じめい

（3⇒2）：$O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })$と書かければ、任意にんいのx ∈ Oに対たいし、$x\in O\iff \exists x_{\lambda }\in \Lambda ~:~x\in B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })$なので、$\delta _{x}:=\varepsilon _{\lambda }-d(x,x_{\lambda })$とすれば、$\delta _{x}>0$であり、$B_{\delta _{x}}(x)\subset B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\subset \bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })=O$である。x ∈ OIの任意にんい性せいから、Oは${\mathcal {O}}_{d}$の開ひらき集合しゅうごうである。

上述じょうじゅつの命題めいだいの条件じょうけん3から特とくに次つぎの系けいが従したがう：

系けい ― 開ひらき球だまは${\mathcal {O}}_{d}$の開ひらき集合しゅうごうである。

上述じょうじゅつの命題めいだいより、${\mathcal {O}}_{d}$が位相いそうの定義ていぎを満みたす事ことが従したがう：

証明しょうめい（${\mathcal {O}}_{d}$が位相いそうの定義ていぎを満みたす事こと）

1. $\emptyset ,X\in {\mathcal {O}}_{d}$は自明じめいに従したがう。
2. 上述じょうじゅつの命題めいだいより開ひらけ集合しゅうごうである必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは（有限ゆうげんまたは無限むげん個この）εいぷしろん-球たまの和わ集合しゅうごうとして書かけることだったので、開ひらき集合しゅうごうの（有限ゆうげんまたは無限むげん個この）和かず集合しゅうごうも当然とうぜん（有限ゆうげんまたは無限むげん個この）εいぷしろん-球たまの和わ集合しゅうごうでかけるため、開ひらき集合しゅうごうである。
3. $O_{1}=\bigcup _{x\in O_{1}}B_{\varepsilon _{x}}(x)$、$O_{2}=\bigcup _{x\in O_{2}}B_{\delta _{x}}(x)$を開ひらけ集合しゅうごうとするとき、$O_{1}\cap O_{2}=\bigcup _{x\in O_{1}\cap O_{2}}B_{\min\{\varepsilon _{x},\delta _{x}\}}(x)$も開ひらけ球だまの和わ集合しゅうごうでかけるので開ひらけ集合しゅうごうである。

なお、位相いそう空間くうかんの定義ていぎより開ひらけ集合しゅうごうの（有限ゆうげんまたは無限むげん個この）和かず集合しゅうごうは開ひらけ集合しゅうごうであり、開ひらき集合しゅうごうの有限ゆうげん個この共通きょうつう部分ぶぶんも開ひらけ集合しゅうごうであるが、開ひらけ集合しゅうごうの無限むげん個この共通きょうつう部分ぶぶんは開ひらけ集合しゅうごうになるとは限かぎらない。実際じっさい、任意にんいの自然しぜん数すうn > 0に対たいし、1/n-球たま$B_{1/n}(x)$は定義ていぎより開ひらけ集合しゅうごうであるが、

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }B_{1/n}(x)=\{x\}$

は開ひらけ集合しゅうごうではない。

上述じょうじゅつのように集合しゅうごうX 上うえの距離きょり構造こうぞうに１ひとつの位相いそう構造こうぞうが対応たいおうするが、この対応たいおう関係かんけいは一般いっぱんには「単たん射しゃ」ではなく、異ことなる距離きょり構造こうぞうが同一どういつの位相いそう構造こうぞうを定さだめる事ことも多おおい。実際じっさい、次つぎの命題めいだいが成立せいりつする：

命題めいだい ―  (X ,d )を距離きょり空間くうかんとし、f : X → Xを連続れんぞくな全ぜん単たん射しゃで逆ぎゃく写像しゃぞうも連続れんぞくなものとする。このとき、

$d'(x,y)=d(f(x),f(y))$

と定義ていぎすると、dとd'はX上うえに同一どういつの位相いそう構造こうぞうを定さだめる。

なお、上記じょうきの命題めいだいにおける「連続れんぞく」の概念がいねんは距離きょり空間くうかんにおける連続れんぞくの事ことであるが、本稿ほんこうでは後あとで位相いそう空間くうかん上じょうの連続れんぞく性せいを定義ていぎし、位相いそう空間くうかんとしての連続れんぞく性せいの概念がいねんと距離きょり空間くうかんとしての連続れんぞく性せいの概念がいねんが一致いっちする事ことを見みる。

上述じょうじゅつの命題めいだいは、距離きょり空間くうかんを連続れんぞく変形へんけいしても位相いそう構造こうぞうが変かわらない事ことを意味いみする。したがって連続れんぞく変形へんけいに対たいして不変ふへんな性質せいしつを研究けんきゅうする位相いそう幾何きか学がくにとって基礎きそ的てきである。

ベクトル空間くうかんの場合ばあい

本節ほんぶしでは（実じつまたは複素ふくそ）ベクトル空間くうかんにおける距離きょりと位相いそうの関係かんけいを述のべる。本節ほんぶしの内容ないようはベクトル空間くうかんが有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいは幾何きか学がく、無限むげん次元じげんの場合ばあいは解析かいせき学がくに応用おうようがある。

ベクトル空間くうかんでは、ノルムの概念がいねんを定義ていぎする事ことができ、ベクトル空間くうかん上じょうの距離きょりとしてはノルムから定さだまるものを考かんがえる事ことが多おおい。本節ほんぶしではまずノルムの定義ていぎを振ふり返かえり、ノルムから定さだまる距離きょりを定義ていぎし、その距離きょりから定さだまる位相いそうの性質せいしつを見みる。

ノルムの定義ていぎ

まずノルムとは何なにかを簡単かんたんに説明せつめいする：

定義ていぎ (ノルム) ―  Kを$\mathbb {R}$もしくは$\mathbb {C}$とするとき、K上うえベクトル空間くうかんVのノルムとは写像しゃぞう

$\|\cdot \|~:~V\to K$

で以下いかの3性質せいしつを満みたすものの事ことである。ここでx、yはVの元もとでαあるふぁはKの元もとである：

1. ‖ x ‖ = 0 ⇔ x = 0
2. ‖ ax ‖ = |a|‖ x ‖
3. ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖

$\mathbb {R} ^{n}$上うえの代表だいひょう的てきなノルムとして、p≧1に対たいするℓ^pノルム

$\|v\|_{p}=(|v_{1}|^{p}+\cdots +|v_{n}|^{p})^{1/p}$

が知しられている。ここでv=(v₁,...,v_n)である。

ノルムから定さだまる距離きょりと位相いそう

V上うえにノルム‖ ・ ‖が1つ与あたえられると、

$d(x,y)=\|x-y\|$

により、V上うえの距離きょりが定さだまる。

このようにノルムから距離きょりが定さだまり、距離きょりから位相いそうが定さだまるが、ノルムが「同値どうち」であるとそこから定さだまる位相いそうが同一どういつになる事ことが知しられている：

定義ていぎ・定理ていり (ノルムの同値どうち性せいと位相いそう) ―  Vを（実じつもしくは複素ふくそ）ベクトル空間くうかんとし、$\|\cdot \|$と$\|\cdot \|'$をV上うえ定義ていぎされた2つのノルムとする。$\|\cdot \|$、$\|\cdot \|'$が

$\exists C_{1},C_{2}>0\forall x\in V~:~C_{1}\|x\|'\leq \|x\|\leq C_{2}\|x\|'$

を満みたすとき、$\|\cdot \|$、$\|\cdot \|'$は同値どうちなノルムであるという。

$\|\cdot \|$、$\|\cdot \|'$が同値どうちであれば、これらのノルムが定さだめる距離きょり

$d(x,y)=\|x-y\|$、$d'(x,y)=\|x-y\|'$

は V上うえに同一どういつの位相いそうを定さだめる。

有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんの場合ばあい

Vが有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいは次つぎの事実じじつが知しられている：

命題めいだい ―  有限ゆうげん次元じげんの（実じつもしくは複素ふくそ）ベクトル空間くうかん上じょう定義ていぎされるノルムは全すべて同値どうちである。

この事実じじつから、有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんの場合ばあいは、ノルムのとり方かたによらず同一どういつの位相いそう構造こうぞうが定さだまる事ことがわかる。この位相いそうを有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん上じょうの自然しぜんな位相いそう、通常つうじょうの位相いそう等ひとしと呼よぶ。

無限むげん次元じげんベクトル空間くうかんの場合ばあい

一方いっぽう解析かいせき学がくで頻繁ひんぱんに使つかわれる、無限むげん次元じげんのベクトル空間くうかんの場合ばあいは、同一どういつのベクトル空間くうかん上じょうに複数ふくすうの同値どうちでないノルムが存在そんざいし、それらのノルムがそれぞれ異ことなる位相いそう構造こうぞうを定さだめる事ことになる。例たとえば[0,1]区間くかんから$\mathbf {R}$への連続れんぞく写像しゃぞう全体ぜんたいの集合しゅうごう

$C([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R}$, 連続れんぞく$\}$

を写像しゃぞうの和わと定数ていすう倍ばいに関かんしてベクトル空間くうかんとみなすと、各かく$p\geq 1$対たいし、L^pノルム

$\|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{[0,1]}|f(x)|^{p}\mathrm {d} x}}$

が定義ていぎできるが、これらはpが異ことなれば異ことなる位相いそうを定さだめ、実際じっさいL^pノルムでは収束しゅうそくするのに別べつのL^qノルムでは収束しゅうそくしない例れいを作つくる事ことができる。

また無限むげん回かい微分びぶん可能かのうな写像しゃぞうの空間くうかん

$C^{\infty }([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R}$, 無限むげん回かい微分びぶん可能かのう$\}$

にはL^pノルムの一般いっぱん化かであるソボレフノルム

$\|f\|_{k,p}={\sqrt[{p}]{\sum _{\ell =0}^{k}\int _{[0,1]}|f^{(\ell )}(x)|^{p}\mathrm {d} x}}$

も定義ていぎ可能かのうであるが、これらもk、pが異ことなれば異ことなる位相いそうを定さだめる。なお、$\|\cdot \|_{k,\infty }$の定さだめる位相いそうをC^k-位相いそうと呼よび、この位相いそうは位相いそう幾何きか学がくで図形ずけいの連続れんぞく変形へんけいを扱あつかう際さい重要じゅうような役割やくわりを果はたす。

その他たの具体ぐたい例れい

密着みっちゃく位相いそう、離散りさん位相いそう、補ほ有限ゆうげん位相いそう、補ほ可算かさん位相いそう

定義ていぎ・定理ていり ― Xを集合しゅうごうとする。このとき以下いかは位相いそうの公理こうりを満みたす。

• 空そら集合しゅうごう$\emptyset$と全体ぜんたい集合しゅうごうXのみを開ひらけ集合しゅうごうとする位相いそうを密着みっちゃく位相いそうという。
• Xの任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうを開ひらけ集合しゅうごうとする位相いそうをXの離散りさん位相いそうという。
• Xの任意にんいの有限ゆうげん部分ぶぶん集合しゅうごうと全体ぜんたい集合しゅうごうを閉集合しゅうごうとする位相いそうをXの補ほ有限ゆうげん位相いそうという。
• Xの任意にんいの可算かさん部分ぶぶん集合しゅうごうと全体ぜんたい集合しゅうごうを閉集合しゅうごうとする位相いそうをXの補ほ可算かさん位相いそうという。

密着みっちゃく位相いそうと離散りさん位相いそうはいわば「両極端りょうきょくたん」の人工じんこう的てきな位相いそう構造こうぞうに過すぎないが、これらの位相いそう構造こうぞうは、位相いそうに関かんする命題めいだいの反例はんれいとして用もちいられる事ことがある。またこれらの位相いそう構造こうぞうは、任意にんいの集合しゅうごう上じょうに位相いそう構造こうぞうを定義ていぎできる事ことを意味いみしている。

離散りさん位相いそうはX上うえに離散りさん距離きょり

$d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

をいれたときに距離きょりから定さだまる位相いそうと一致いっちする。

Xが1元もと集合しゅうごう、有限ゆうげん集合しゅうごう、可算かさん集合しゅうごうの場合ばあいは明あきらかに密着みっちゃく位相いそう、補ほ有限ゆうげん位相いそう、補ほ可算かさん位相いそうはいずれも離散りさん位相いそうに一致いっちする。 それ以外いがいの場合ばあい、すなわちXが2元げん以上いじょうある集合しゅうごう、無限むげん集合しゅうごう、非ひ可算かさん集合しゅうごうの場合ばあいは、密着みっちゃく位相いそう、補ほ有限ゆうげん位相いそう、補ほ可算かさん位相いそうはX上うえのいかなる距離きょりから定さだまる位相いそうとも一致いっちしない。

ザリスキー位相いそう

$P=\{2,3,5,7,\ldots \}$を素数そすうの集合しゅうごうとする。各かく整数せいすう$n\in \mathbb {Z}$に対たいし、

$V(n)=\{p\in P\mid n$はpの倍数ばいすう$\}$

と定義ていぎし、V(n)全体ぜんたいの集合しゅうごうを閉集合しゅうごう系けいとするP上うえの位相いそうをP上うえのザリスキー位相いそうという。 ザリスキー位相いそうはP上うえのいかなる距離きょりから定さだまる位相いそうとも一致いっちしないことが知しられており、距離きょりから定さだまらない位相いそうでなおかつ数学すうがくの重要じゅうような研究けんきゅう対象たいしょうとなっているものの代表だいひょう例れいである。 ザリスキー位相いそうの概念がいねんは一般いっぱんの可か換かわ環たまきRの素すイデアル全体ぜんたいの集合しゅうごうに対たいしても定義ていぎする事ことができる事ことが知しられている。

一方いっぽう、これとは全まったく異ことなる角度かくどからザリスキー位相いそうを定義ていぎする事ことができる。Kを複素数ふくそすう体たい（もしくはより一般いっぱんに代数だいすう的てき閉体）とし、Kⁿを考かんがえる。そしてK上うえの多項式たこうしきの任意にんいの集合しゅうごうSに対たいし、

$V(S)=\{x\in K^{n}\mid \forall f\in S~:~f(x)=0\}$

と定義ていぎし、V(S)全体ぜんたいの集合しゅうごうを閉集合しゅうごう系けいとする位相いそうをKⁿ上うえのザリスキー位相いそうという。

以上いじょうで述のべた２種類しゅるいのザリスキー位相いそうは一見いっけん全まったく異ことなるように見みえるが、実じつは同種どうしゅの概念がいねんを別べつの角度かくどから見みたものである事ことが知しられている。これら２ふたつが同種どうしゅである事ことは代数だいすう幾何きか学がくの最もっとも基本きほん的てきな定理ていりの一ひとつとなっている。

加工かこうにより得えられた位相いそう空間くうかん

詳細しょうさいは「位相いそう空間くうかん#位相いそう空間くうかんの導出どうしゅつ」を参照さんしょう

数学すうがくで使つかわれる多おおくの位相いそう空間くうかんは、距離きょり空間くうかん（から定さだまる位相いそう空間くうかん）のような既知きちの位相いそう空間くうかんを加工かこうして作つくられている。 例たとえば既知きちの２ふたつの位相いそう空間くうかんの和わ集合しゅうごうや積せき集合しゅうごうに対たいして、位相いそうを定さだめてこれらを位相いそう空間くうかんとみなしたり、位相いそう空間くうかん上じょうで同値どうち関係かんけいを考かんがえてその同値どうち関係かんけいによる商しょう集合しゅうごうに対たいして位相いそうを定さだめて位相いそう空間くうかんとみなしたりする。

こうした加工かこうの結果けっかとして得えられる位相いそう空間くうかんの例れいとして、非常ひじょうに重要じゅうようなものの一ひとつが多様たよう体たいである。多様たよう体たいとは、直観ちょっかん的てきにはn次元じげん曲面きょくめんのことであるが、これは$\mathbb {R} ^{n}$の部分ぶぶん集合しゅうごうを何なん枚まいも張はり合あわせる事ことで実現じつげんされている。

既知きちの位相いそう空間くうかんの和わ集合しゅうごう、積せき集合しゅうごう、商しょう集合しゅうごうといったものにどのような位相いそうを定さだめるべきかに関かんしては一般いっぱん的てきな導出どうしゅつ方法ほうほうが知しられており、これについては「#位相いそう空間くうかんの導出どうしゅつ」の節ふしで説明せつめいする。

位相いそう空間くうかんに関かんする諸しょ概念がいねん

詳細しょうさいは「内部ないぶ (位相いそう空間くうかん論ろん)」、「外部がいぶ (位相いそう空間くうかん論ろん)」、「境界きょうかい (位相いそう空間くうかん論ろん)」、および「閉包へいほう (位相いそう空間くうかん論ろん)」を参照さんしょう

定義ていぎ

内部ないぶ、外部がいぶ、境界きょうかい

位相いそう空間くうかんXの部分ぶぶん集合しゅうごうAに対たいし、Aの「内部ないぶ」、「外部がいぶ」、「境界きょうかい」の概念がいねんを定義ていぎできる：

x は、それを含ふくむある開ひらき集合しゅうごうもまた S に含ふくまれるためS の内うち点てんである。一方いっぽうy は S の境界きょうかい上じょうにある。

定義ていぎ (内うち点てん、外そと点てん、境界きょうかい点てん) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとし、AをX の部分ぶぶん集合しゅうごうとする。このとき、

• x ∈ X がAの内うち点てんであるとは、ある開ひらけ集合しゅうごうO ⊂ Xが存在そんざいし、x ∈ O ⊂ Aが成立せいりつする事ことをいう。
• A^cの内うち点てんをAの外そと点てんと呼よぶ。
• Aの内うち点てんでも外そと点てんでもない 点てんx ∈ XをAの境界きょうかい点てんという。

定義ていぎ (内部ないぶ、外部がいぶ、境界きょうかい) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとし、AをX の部分ぶぶん集合しゅうごうとする。このとき、

• Aの内うち点てん全体ぜんたいの集合しゅうごうをAの内部ないぶ（ないぶ, 英えい: interior）または開ひらき核かくといい、$A^{\circ },\operatorname {Int} A$などと表あらわす。
• Aの外そと点てん全体ぜんたいの集合しゅうごうをの外部がいぶ（がいぶ, 英えい: exterior）といい、$A^{e},\ \ \operatorname {Ext} A$などと表あらわす。
• 境界きょうかい点てん全体ぜんたいの集合しゅうごうをAの境界きょうかい（きょうかい, 英えい: frontier）とい、$\operatorname {Fr} A,\ \operatorname {Bd} A,\ \partial A$ などと表あらわす。

なお、境界きょうかいを表あらわす記号きごう「$\partial A$」は多様たよう体たいの縁えん（ふち, 英えい: boundary）を表あらわす記号きごうとしても使つかわれるが、両者りょうしゃは似にて非ひなる概念がいねんなので注意ちゅういが必要ひつようである。

閉包へいほう

さらに閉包へいほうを次つぎのように定義ていぎする：

定理ていり・定義ていぎ (閉包へいほう、触さわ点てん) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとし、A をX の部分ぶぶん集合しゅうごうとする。このとき、

• $A^{\circ }\cup \operatorname {Fr} (A)$をA の閉包へいほう（へいほう, 英えい: closure）と呼よび、${\bar {A}},~\operatorname {Cl} (A),~A^{-}$などと表あらわす。
• Aの閉包へいほうの元もとをAの触さわ点てんという。

定義ていぎから明あきらかに次つぎが成立せいりつする：

命題めいだい (内部ないぶと閉包へいほうの関係かんけい) ― 　

• ${\overline {A^{c}}}=(A^{\circ })^{c}$

よって内部ないぶと閉包へいほうは双対そうつい的てきな関係かんけいにあり、内部ないぶに関かんする性質せいしつにド・モルガンの法則ほうそくを適用てきようする事ことで閉包へいほうの性質せいしつを導みちびく事ことができる。

基本きほん的てきな性質せいしつ

定義ていぎより明あきらかに次つぎが成立せいりつする。

命題めいだい ― 　

• x ∈ XがAの外そと点てん ⇔ x ∈ Oを満みたすある開ひらけ集合しゅうごうO ⊂ Xが存在そんざいし、O ⊂ A^c
• x ∈ XがAの境界きょうかい点てん ⇔ x ∈ Oを満みたす任意にんいの開ひらき集合しゅうごうO ⊂ Xに対たいし、$A\cup O\neq \emptyset$ かつ $A^{c}\cup O\neq \emptyset$
• x ∈ XがAの触さわ点てん ⇔ x ∈ Oを満みたす任意にんいの開ひらき集合しゅうごうO ⊂ Xに対たいし、$A\cap O\neq \emptyset$

Xが距離きょり空間くうかんであれば、上うえでは「x ∈ Oを満みたすある開ひらけ集合しゅうごうO ⊂ X」、「x ∈ Oを満みたす任意にんいの開ひらき集合しゅうごうO ⊂ X」となっているところを、「xのあるεいぷしろん-近傍きんぼう$B_{\varepsilon }(x)$」「xの任意にんいのεいぷしろん-近傍きんぼう$B_{\varepsilon }(x)$」に変かえてもよい。これについては基本きほん近傍きんぼう系けいについて記述きじゅつする際さい、より詳くわしく述のべる。

さらに次つぎが成立せいりつする。

命題めいだい ― 　 位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうAに対たいし次つぎが成立せいりつする：

• 内部ないぶ、境界きょうかい、外部がいぶは、全ぜん空間くうかんX を排他はいた的てきに分割ぶんかつする。すなわち、$A^{\circ }\sqcup \operatorname {Fr} (A)\sqcup A^{e}=X$
• $A^{\circ }\subset A\subset {\bar {A}}$
• Aの内部ないぶ、外部がいぶは開ひらけ集合しゅうごうで、境界きょうかい、閉包へいほうは閉集合しゅうごうである。

内部ないぶ、閉包へいほうの性質せいしつ

内部ないぶおよび閉包へいほうは以下いかのようにも特徴とくちょうづけられる事ことが知しられている：

命題めいだい (内部ないぶおよび閉包へいほうの特徴とくちょうづけ) ― 　 位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうAに対たいし次つぎが成立せいりつする：

• $A^{\circ }$はAに含ふくまれる最大さいだいの開ひらき集合しゅうごう$\bigcup _{O\in {\mathcal {O}},O\subset A}O$に一致いっちする。
• ${\bar {A}}$はAを含ふくむ最小さいしょうの閉集合しゅうごう$\bigcap _{F\in {\mathcal {F}},A\subset F}F$に一致いっちする。

内部ないぶの概念がいねんは以下いかを満みたす：

定理ていり (内部ないぶの性質せいしつ) ―  位相いそう空間くうかんXの任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうA、Bに対たいし、以下いかが成立せいりつする：

1. $A^{\circ }\subset A$
2. $(A^{\circ })^{\circ }=A^{\circ }$
3. $(A\cap B)^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }$
4. $X^{\circ }=X$

${\bar {A}}=((A^{c})^{\circ })^{c}$である事ことを用もちいて、以上いじょうで述のべた内部ないぶに関かんする結果けっかをド・モルガンの法則ほうそくにより閉包へいほうの結果けっかに翻訳ほんやくできる：

定理ていり (クラトウスキイの公理系こうりけい) ―  位相いそう空間くうかんXの任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうA、Bに対たいし、以下いかが成立せいりつする：

1. $A\subset {\overline {A}}$
2. ${\overline {\overline {A}}}={\overline {A}}$
3. ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$
4. ${\overline {\emptyset }}=\emptyset$

内うち核かく作用素さようそ・閉包へいほう作用素さようそによる位相いそうの特徴とくちょうづけ

$(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとするとき、

• 写像しゃぞう$A\subset X\mapsto A^{\circ }$を内うち核かく作用素さようそという。
• 写像しゃぞう$A\subset X\mapsto {\bar {A}}$を閉包へいほう作用素さようそという。

本ほん項こうではこれまで、開ひらき集合しゅうごう系けいを使つかって位相いそう空間くうかんを定義ていぎし、これをベースに内うち核かく作用素さようそを定義ていぎしたが、逆ぎゃくに上述じょうじゅつの性質せいしつを満みたす内うち核かく作用素さようその概念がいねんを使つかって位相いそう空間くうかんを定義ていぎし、これを使つかって開ひらき集合しゅうごうと定義ていぎする事ことも可能かのうである。すなわち以下いかが成立せいりつする：

定理ていり (内うち核かく作用素さようそによる位相いそうの特徴とくちょうづけ) ―  Xを集合しゅうごうとし、Xの冪べき集合しゅうごうからそれ自身じしんへの写像しゃぞう

$\mathrm {Int} ~:~{\mathfrak {P}}(X)\to {\mathfrak {P}}(X)$

で、$A^{\circ }:=\mathrm {Int} (A)$が「定理ていり（内うち核かく作用素さようその性質せいしつ）」で述のべた4性質せいしつを満みたすものとする。

このときX上うえの位相いそう構造こうぞう${\mathcal {O}}$で位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の内うち核かく作用素さようそが$\mathrm {Int}$に一致いっちするものがただ一ひとつ存在そんざいする ${\mathcal {O}}$の開ひらき集合しゅうごう系けい${\mathcal {O}}$は具体ぐたい的てきには以下いかのように書かける：

${\mathcal {O}}=\{O\subset X\mid O=\mathrm {Int} (O)\}$

${\bar {A}}=((A^{c})^{\circ })^{c}$である事ことを用もちいて、以上いじょうの結果けっかを閉包へいほう作用素さようその結果けっかに翻訳ほんやくできる：

定理ていり (閉包へいほう作用素さようそによる位相いそうの特徴とくちょうづけ) ―  Xを集合しゅうごうとし、Xの冪べき集合しゅうごうからそれ自身じしんへの写像しゃぞう

$\mathrm {Cl} ~:~{\mathfrak {P}}(X)\to {\mathfrak {P}}(X)$

で、${\bar {A}}:=\mathrm {Cl} (A)$がクラトウスキイの公理系こうりけいを満みたすものとする。

このときX上うえの位相いそう構造こうぞう${\mathcal {O}}$で位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の閉包へいほう作用素さようそが${\bar {A}}=\mathrm {Cl} (A)$に一致いっちするものがただ一ひとつ存在そんざいする。 ${\mathcal {O}}$の閉集合しゅうごう系けい${\mathcal {F}}$は具体ぐたい的てきには以下いかのように書かける：

${\mathcal {F}}=\{F\subset X\mid F={\bar {F}}\}$

その他たの関連かんれん概念がいねん

集積しゅうせき点てん、導しるべ集合しゅうごう

定義ていぎ (集積しゅうせき点てん、導しるべ集合しゅうごう、孤立こりつ点てん) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとし、AをXの部分ぶぶん集合しゅうごうとする。このとき、

• x∈Xが$A\setminus \{x\}$の触さわ点てんであるとき、xをAの集積しゅうせき点てんという。
• Aの集積しゅうせき点てん全体ぜんたいの集合しゅうごうを導しるべ集合しゅうごうといい、A^dと表あらわす。
• $A\setminus A^{d}$の元もとをAの孤立こりつ点てんという。

定義ていぎより明あきらかに次つぎが成立せいりつする。

命題めいだい ― 　

• x ∈ XがAの集積しゅうせき点てん ⇔ x ∈ Oを満みたす任意にんいの開ひらき集合しゅうごうO ⊂ Xに対たいし、Oはx以外いがいにAの元もとを含ふくむ。
• x ∈ XがAの孤立こりつ点てん ⇔ x ∈ Aであり、しかもx ∈ Oを満みたすある開ひらけ集合しゅうごうO ⊂ Xがあって、Oはx以外いがいにAの元もとを含ふくまない。

稠密ちゅうみつ

定義ていぎ (稠密ちゅうみつ) ―  Aが位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の稠密ちゅうみつな部分ぶぶん集合しゅうごうであるとは、A の閉包へいほうが X に一致いっちすることである。

これはい換いかえるとX の任意にんいの点てんの任意にんいの近傍きんぼうが、A と交まじわることを意味いみする。

可算かさんな稠密ちゅうみつ部分ぶぶん集合しゅうごうをもつ位相いそう空間くうかんは可分かぶんであるといい、例たとえば$\mathbb {R}$においては$\mathbb {Q}$が可算かさんな稠密ちゅうみつ部分ぶぶん集合しゅうごうなので、$\mathbb {R}$は可分かぶんである。

近傍きんぼう

本節ほんぶしでは近傍きんぼうの定義ていぎを述のべ、その基本きほん的てきな性質せいしつを述のべる。後述こうじゅつするように近傍きんぼうは位相いそう空間くうかんにおける収束しゅうそくの概念がいねんを定義ていぎするのに用もちいられるが、それ以外いがいにもある点てんxの周まわりの局所きょくしょ的てきな性質せいしつを記述きじゅつする際さいに広ひろく使つかわれている。

定義ていぎ

近傍きんぼうの定義ていぎは以下いかのとおりである：

定義ていぎ (近傍きんぼう系けい、開ひらき近傍きんぼう系けい) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとし、xをXの点てんとする。このとき、

x ∈ O

を満みたす開ひらき集合しゅうごうをxの開ひらき近傍きんぼう（かいきんぼう, 英えい: open neighborhood）という。 またX の部分ぶぶん集合しゅうごうNが以下いかを満みたすとき、Nはxの 近傍きんぼう（きんぼう, 英えい: neighborhood）であるという

ある開ひらけ集合しゅうごうO ⊂ Xが存在そんざいし、x ∈ O ⊂ N

点てんxの近傍きんぼう全体ぜんたいの集合しゅうごうをxの近傍きんぼう系けいといい、xの開ひらき近傍きんぼう全体ぜんたいの集合しゅうごうをxの開ひらき近傍きんぼう系けいという。

近傍きんぼう系けいのことを近傍きんぼうフィルター（英えい: neighborhood filter）ともいう。

基本きほん近傍きんぼう系けい

点てんxの近傍きんぼうNはx ∈ O ⊂ Nを満みたし、距離きょり空間くうかんにおける開ひらき集合しゅうごうOは$B_{\varepsilon }(x)\subset O$を満みたす。したがって以下いかのように基本きほん近傍きんぼう系けいの概念がいねんを定義ていぎすると、距離きょり空間くうかんにおいては$\{B_{\varepsilon }(x)\mid \varepsilon >0\}$が基本きほん近傍きんぼう系けいになっている事ことがわかる。また一般いっぱんの位相いそう空間くうかんでも開ひらけ近傍きんぼう全体ぜんたいの集合しゅうごうが基本きほん近傍きんぼう系けいになる事ことがわかる。

定義ていぎ (基本きほん近傍きんぼう系けい) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとし、xをXの点てんとし、${\mathcal {N}}_{x}$をxの近傍きんぼう系けいとする。${\mathcal {N}}_{x}$の部分ぶぶん集合しゅうごう${\mathcal {B}}_{x}$が以下いかを満みたすとき、${\mathcal {B}}_{x}$をxにおける基本きほん近傍きんぼう系けいという：

任意にんいの近傍きんぼう$N\in {\mathcal {N}}_{x}$に対たいし、ある$B\in {\mathcal {B}}_{x}$が存在そんざいし、x ∈ B ⊂ N

近傍きんぼう概念がいねんは収束しゅうそくなどxの局所きょくしょ的てきな振ふる舞まいを記述きじゅつする際さいに用もちいられるので、多おおくの場合ばあい全すべての近傍きんぼうを考かんがえる代かわりに、基本きほん近傍きんぼう系けいのみを考かんがえれば十分じゅうぶんである。例たとえば次つぎが成立せいりつする：

命題めいだい ― 　 ${\mathcal {B}}_{x}$を位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の点てんxにおける基本きほん近傍きんぼう系けいとする。このとき、

• x ∈ XがAの内うち点てん ⇔ $\exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A$
• x ∈ XがAの外そと点てん ⇔ $\exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A^{c}$
• x ∈ XがAの境界きょうかい点てん ⇔ $\forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cup N\neq \emptyset$ かつ $A^{c}\cup N\neq \emptyset$
• x ∈ XがAの触さわ点てん ⇔ $\forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cap N\neq \emptyset$
• x ∈ XがAの集積しゅうせき点てん ⇔ $\forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~$Nはx以外いがいにAの元もとを含ふくむ。

距離きょり空間くうかんにおいては点てんxのεいぷしろん-近傍きんぼう全体ぜんたいが基本きほん近傍きんぼう系けいをなすので、上記じょうきの定理ていりより、距離きょり空間くうかんにおいては内うち点てん、外そと点てんといった概念がいねんはεいぷしろん-近傍きんぼうを用もちいて定義ていぎ可能かのうである。教科書きょうかしょによっては、このεいぷしろん-近傍きんぼうを用もちいた定義ていぎを距離きょり空間くうかんにおける内うち点てん、外そと点てん等とうの定義ていぎとして採用さいようしているものもある。

近傍きんぼう系けいの性質せいしつ

近傍きんぼう系けいは以下いかの性質せいしつを満みたす：

定義ていぎ (ハウスドルフの公理系こうりけい) ―  点てんxの近傍きんぼう系けいを${\mathcal {N}}_{x}$で表あらわすとき、Xの任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうN、N'、Mに対たいして以下いかが成立せいりつする。

• $N,N'\in {\mathcal {N}}_{x}\Rightarrow N\cap N'\in {\mathcal {N}}_{x}$
• $N\in {\mathcal {N}}_{x},~M\supset N\Rightarrow M\in {\mathcal {N}}_{x}$
• $N\in {\mathcal {N}}_{x}$であれば、ある$L\in {\mathcal {N}}_{x}$が存在そんざいし全すべての$y\in L$に対たいして$N\in {\mathcal {N}}_{y}$

ハウスドルフの公理系こうりけいを満みたす近傍きんぼう系けいは位相いそうを特徴とくちょうづける：

定理ていり (近傍きんぼう系けいによる位相いそうの特徴とくちょうづけ) ―  Xを集合しゅうごうとし、Xの元もとにXの冪べき集合しゅうごうの冪べき集合しゅうごうの元もとを対応たいおうさせる写像しゃぞう

${\mathcal {N}}\colon X\to {\mathfrak {P}}({\mathfrak {P}}(X)),~x\mapsto {\mathcal {N}}_{x}$

がハウスドルフの公理系こうりけいを満みたしたとする。このときX上うえの位相いそう構造こうぞう${\mathcal {O}}$で位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の各かく点てんxの近傍きんぼうが${\mathcal {N}}_{x}$に一致いっちするものがただ一ひとつ存在そんざいする。 ${\mathcal {O}}$は具体ぐたい的てきには以下いかのように書かける：

${\mathcal {O}}=\{O\subset X\mid \forall x\in O~:~O\in {\mathcal {N}}_{x}\}$

収束しゅうそく

本節ほんぶしの目標もくひょうは、位相いそう空間くうかん上じょうでの収束しゅうそく概念がいねんを定義ていぎし、収束しゅうそく概念がいねんによってこれまで述のべてきた様々さまざまな概念がいねんを捉とらえ直なおす事ことにある。 位相いそう空間くうかんにおける収束しゅうそく概念がいねんは、距離きょり空間くうかんにおける点てん列れつの収束しゅうそく概念がいねんを適切てきせつに修正しゅうせいする事ことにより得えられる：

定義ていぎ (距離きょり空間くうかんにおける点てん列れつの収束しゅうそく) ―  $(X,d)$を距離きょり空間くうかんとする。Xの点てん列れつ$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$がXの点てんxに収束しゅうそくするとは以下いかが成立せいりつする事ことを言いう：

$\forall \varepsilon >0\exists n_{0}\in \mathbb {N} \forall n>n_{0}~:~x_{n}\in B_{\varepsilon }(x)$

ここで、$B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X|d(y,x)<\varepsilon \}$である。

位相いそう空間くうかんにおける収束しゅうそくを定義ていぎするにあたり、上述じょうじゅつの距離きょり空間くうかんにおける収束しゅうそくの定義ていぎに２ふたつの変更へんこうを行おこなう：

1. εいぷしろん-近傍きんぼう$B_{\varepsilon }(x)$の代かわりに一般いっぱんの近傍きんぼうを用もちいる。
2. 点てん列れつの概念がいねんを一般いっぱん化かした有向ゆうこう点てん族ぞくの概念がいねんを導入どうにゅうし、有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそくを定義ていぎする。

1番目ばんめの変更へんこうを行おこなうのは、位相いそう空間くうかんには距離きょりの概念がいねんがないので、そもそもεいぷしろん-近傍きんぼうを定義ていぎできないからである。一方いっぽう2番目ばんめの変更へんこうを行おこなうのは、点てん列れつの収束しゅうそく概念がいねんだけでは位相いそう空間くうかんの諸しょ概念がいねんを定式ていしき化かするのに不十分ふじゅうぶんだからである。たとえば距離きょり空間くうかんの場合ばあいには連続れんぞく性せいの概念がいねんは

$\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(\lim _{n\to \infty }x_{n})$

が収束しゅうそくする任意にんいの点てん列れつに対たいして成なり立たつ事ことにより定式ていしき化かできるが、一般いっぱんの位相いそう空間くうかんの場合ばあいは「任意にんいの点てん列れつ」ではなく「任意にんいの有向ゆうこう点てん族ぞく」に対たいしてこれと類似るいじの性質せいしつが成なり立たつ事ことにより連続れんぞく性せいを定義ていぎする必要ひつようがある。

なぜなら点てん列れつの場合ばあいは添字そえじ集合しゅうごうが可算かさんなので、点てん列れつの概念がいねんで連続れんぞく性せいを捉とらえ切きるには位相いそう空間くうかんの方ほうにも何なんらかの可算かさん性せいを要求ようきゅうする必要ひつようがあり（列れつ型がた空間くうかんを参照さんしょう）、一般いっぱんの位相いそう空間くうかんの連続れんぞく性せいの概念がいねんを適切てきせつに定義ていぎするには点てん列れつの概念がいねんでは不足ふそくだからである。

なお、位相いそう空間くうかん上じょうではフィルターの収束しゅうそくという、もう一ひとつの収束しゅうそく概念がいねんを定式ていしき化かできる事ことが知しられているものの、収束しゅうそくする有向ゆうこう点てん族ぞくと収束しゅうそくするフィルターとにはある種しゅの対応たいおう関係かんけいがある事ことが知しられている。詳細しょうさいは有向ゆうこう点てん族ぞく#フィルターとの関係かんけいを参照さんしょう。

有向ゆうこう点てん族ぞく

詳細しょうさいは「有向ゆうこう点てん族ぞく」を参照さんしょう

すでに述のべたように位相いそう空間くうかんでは点てん列れつの概念がいねんを一般いっぱん化かした有向ゆうこう点てん族ぞくの概念がいねんを定義ていぎした上うえでその収束しゅうそくを定義ていぎする。本節ほんぶしでは有向ゆうこう点てん族ぞくの定義ていぎを与あたえる。その為ためにまず有向ゆうこう集合しゅうごうの概念がいねんを定義ていぎする

定義ていぎ (有向ゆうこう集合しゅうごう) ―  空そらでない集合しゅうごうΛらむだとΛらむだ上うえの二に項こう関係かんけい「≤ 」の組くみ (Λらむだ, ≤)が有向ゆうこう集合しゅうごう（ゆうこうしゅうごう、英えい: directed set）であるとは、「≤ 」が以下いかの性質せいしつを全すべて満みたす事ことを言いう:

• （反射はんしゃ律りつ）∀λらむだ∈Λらむだ : λらむだ ≤λらむだ
• （推移すいい律りつ）∀λらむだ,μみゅー,νにゅー∈Λらむだ : λらむだ ≤ μみゅー, μみゅー ≤νにゅー ⇒ λらむだ ≤ νにゅー
• Λらむだの任意にんいの二元にげんが上うえ界かいを持もつ。すなわち∀λらむだ,μみゅー∈Λらむだ∃νにゅー∈Λらむだ : λらむだ ≤ νにゅー, μみゅー ≤νにゅー

なお、有向ゆうこう集合しゅうごうの二に項こう関係かんけい「≤ 」は、反射はんしゃ律りつと推移すいい律りつを満みたすのものの反対称律はんたいしょうりつは満みたす必要ひつようがないので、前ぜん順序じゅんじょではあるものの順序じゅんじょの定義ていぎは満みたしていない。

定義ていぎ (有向ゆうこう点てん族ぞく) ― 集合しゅうごうX上うえの有向ゆうこう点てん族ぞくとは、X上うえの族ぞく(x_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}で添字そえじ集合しゅうごうΛらむだが有向ゆうこう集合しゅうごうであるものを指さす。有向ゆうこう点てん族ぞくはネット (英えい: net)、 Moore-Smith 列れつ(英えい: Moore-Smith sequence)、generalized sequenceなどとも呼よばれる。

具体ぐたい的てきにはXに値ねを取とる点てん列れつ$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$や、実数じっすうを定義ていぎ域いきに持もつX値ね関数かんすうfから定義ていぎされる族ぞく$(f(x))_{x\in \mathbb {R} }$が$\mathbb {N}$や$\mathbb {R}$上うえに自然しぜんな順序じゅんじょを入いれた場合ばあいに有向ゆうこう点てん族ぞくになるので、これらの収束しゅうそく概念がいねんは有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそく概念がいねんにより定式ていしき化かできる。

しかしより重要じゅうようなのは、以下いかに述のべる開ひらき近傍きんぼう系けいを添字そえじ集合しゅうごうに取とる有向ゆうこう点てん族ぞくである

命題めいだい (開ひらき近傍きんぼう系けいを添字そえじ集合しゅうごうに取とる有向ゆうこう点てん族ぞく) ―  aを位相いそう空間くうかんXの点てんとし、${\mathcal {V}}_{a}$をaの開ひらき近傍きんぼう系けいとする。このとき${\mathcal {V}}_{a}$上うえの二に項こう関係かんけい

$U\leq V~:\!\iff V\supset U~~~~{\text{for }}U,V\in {\mathcal {V}}_{a}$

を入いれると、$({\mathcal {V}}_{a},\leq )$は有向ゆうこう集合しゅうごうである。よって${\mathcal {V}}_{a}$を添そえ字じに取とるX上うえの任意にんいの族ぞく$(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}$はこの二に項こう関係かんけいに関かんして有向ゆうこう点てん族ぞくである。

上うえの例れいで特とくに

$x_{U}\in U$

を満みたす有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}$を考かんがえれば、Uが小ちいさくなればなるほど$x_{U}\in U$がaに「近ちかづく」ので、この有向ゆうこう点てん族ぞくが収束しゅうそく概念がいねんを考かんがえる際さいに重要じゅうような役割やくわりを果はたす事ことが了解りょうかいされるであろう。

また開ひらけ近傍きんぼう系けいは開ひらけ集合しゅうごうの集あつまりなので、この有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}$は、これまで開ひらけ集合しゅうごうの概念がいねんを通とおして定義ていぎしてきた位相いそう空間くうかんの概念がいねんと有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそく性せいの概念がいねんとの、いわば架かけ橋はしとして機能きのうし、開ひらき集合しゅうごうの概念がいねんから収束しゅうそくを定式ていしき化かしたり、逆ぎゃくに収束しゅうそくの概念がいねんから開ひらけ集合しゅうごうを逆ぎゃくに定式ていしき化かしたりする際さいに役やくに立たつ。

なお上うえでは開ひらけ近傍きんぼう系けいを添字そえじ集合しゅうごうとする有向ゆうこう点てん族ぞくについて記しるしたが、（開ひらくとは限かぎらない）近傍きんぼう系けいを添字そえじ集合しゅうごうとする有向ゆうこう点てん族ぞくも同様どうように定義ていぎできる。

部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞく

先さきに進すすむ前まえに部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくの概念がいねんを定義ていぎする。この概念がいねんは収束しゅうそく概念がいねんを定義ていぎする上じょうでは使つかわないが、収束しゅうそく概念がいねんを使つかって位相いそう空間くうかん上じょうの他ほかの概念がいねんを定式ていしき化かする際さいに用もちいる。

定義ていぎ (部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞく) ―  Xを集合しゅうごうとし、X上うえの有向ゆうこう点てん族ぞく$(y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$、$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$に対たいし、以下いかの性質せいしつを満みたすh : Γがんま→Λらむだが存在そんざいするとき、$(y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$は$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$の部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくという：

1. $\forall \gamma \in \Gamma ~:~y_{\gamma }=x_{h(\gamma )}$
2. $\forall \lambda \in \Lambda \exists \gamma _{0}\in \Gamma \forall \gamma \in \Gamma ~:~\gamma \geq \gamma _{0}\Rightarrow h(\gamma )\geq \lambda$

（2を強つよ共きょう終おわり性せい(英えい: strong cofinality)という）

上うえの定義ていぎでhが単たん射いである事ことを要求ようきゅうしてない事ことに注意ちゅういされたい。これはもしh に単たん射い性せいを要求ようきゅうすると病的びょうてきな例れい（Tychonoff plank）のせいでいくつかの当然とうぜんと思おもわれる定理ていりが成なりたなくなってしまうからである。

これが原因げんいんで、点てん列れつ$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$を有向ゆうこう点てん族ぞくとみなした場合ばあいの部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくは点てん列れつになっていない場合ばあいもあり得える。実際じっさい、$(x_{h(\gamma )})_{\gamma \in \Gamma }$を$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$の部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくとすると、h が単たん射しゃでない事ことから同おなじx _nが部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくに複ふく数すう回かい（場合ばあいによっては非ひ可算かさん無限むげん回かい）登場とうじょうするかもしれないし、Γがんまも全ぜん順序じゅんじょではないかもしれない。

なお本ほん項こうに載のせた部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくの定義ていぎは(Kelly 1975)による。書籍しょせきによってはこれとは異ことなる定義ていぎを採用さいようしている場合ばあいもあるが、こうした別べつ定義ていぎとも何なんらかの意味いみで同値どうちである事ことが示しめされている。

収束しゅうそくの定義ていぎ

詳細しょうさいは「極限きょくげん#位相いそう空間くうかん」を参照さんしょう

以上いじょうの準備じゅんびのもと、有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそくの概念がいねんを定義ていぎする。

定義ていぎ (有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそく) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとする。X上うえの有向ゆうこう点てん族ぞく$x=(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$がa∈Xに収束しゅうそくするとは、

∀U (a の近傍きんぼう) $\exists \lambda _{0}\in \Lambda \forall \lambda >\lambda _{0}~~:~~x_{\lambda }\in U$

が成立せいりつする事ことをいう。$x=(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$の収束しゅうそく先さきaが一意いちいであれば、

$\lim _{\lambda \to \infty }x_{\lambda }=a$、$\lim _{\Lambda }x=a$

等ひとしと表あらわす。

${\mathcal {B}}_{x}$をxの基本きほん近傍きんぼう系けいとするとき、以上いじょうの定義ていぎにおける「xの任意にんいの近傍きんぼうU」を「${\mathcal {B}}_{x}$の任意にんいの元もとU」に変かえたとしても定義ていぎとしては同値どうちになる。

よって特とくに、距離きょり空間くうかんから定義ていぎされる位相いそう空間くうかんの場合ばあいは、「xの任意にんいのεいぷしろんｰ近傍きんぼう」としてもよい。従したがって点てん列れつの収束しゅうそくに関かんしては位相いそう空間くうかんにおけら収束しゅうそくと本章ほんしょうの冒頭ぼうとうにあげた距離きょり空間くうかんにおける収束しゅうそくの定義ていぎは一致いっちする。

収束しゅうそくの一意いちい性せい

一般いっぱんの位相いそう空間くうかんにおいて有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそくの一意いちい性せいは必かならずしも成立せいりつしないものの、収束しゅうそくの一意いちい性せいが保証ほしょうされる必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは下記かきのように記述きじゅつできる事ことが知しられている：

相そう異ことなる2点てんを分離ぶんりするそれぞれの開ひらき近傍きんぼう

定理ていり・定義ていぎ (ハウスドルフ性せい) ―  位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$において、下記かきの２ふたつの性質せいしつは同値どうちである。これらの性質せいしつの１ひとつ（したがって両方りょうほうを満みたす事こと）をハウスドルフ性せいもしくはハウスドルフの分離ぶんり公理こうりといい、ハウスドルフ性せいが成なり立たつ位相いそう空間くうかんをハウスドルフ空間くうかんもしくはT₂-空間くうかんという。

• X上うえの任意にんいの有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$に対たいし、 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$が収束しゅうそくすればその収束しゅうそく先さきは一意いちいである。
• X上うえの任意にんいの2点てんx、yに対たいし、xの開ひらき近傍きんぼうUと、yの開ひらき近傍きんぼうVが存在そんざいしU∩V'=∅

なお、ハウスドルフ性せいは数かずある「分離ぶんり公理こうり」の一ひとつであり、「T₂-空間くうかん」という名称めいしょうも「T₁-空間くうかん」や「T₃-空間くうかん」といった他ほかの分離ぶんり公理こうりと区別くべつするための名称めいしょうである。詳細しょうさいは本ほん項こうの分離ぶんり公理こうりの説明せつめいや分離ぶんり公理こうりの項目こうもくを参照さんしょうされたい。

収束しゅうそくによる諸しょ概念がいねんの再さい定式ていしき化か

有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそく概念がいねんを用もちいると、閉包へいほうの概念がいねんを収束しゅうそくによって捉とらえ直なおす事ことができるようになる：

定理ていり (有向ゆうこう点てん族ぞくによる特徴とくちょうづけ) ―  Aを位相いそう空間くうかんXの任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごうとき、以下いかが成立せいりつする：

• Aは閉集合しゅうごうである⇔A上うえの有向ゆうこう点てん族ぞく(x_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}でa∈Xに収束しゅうそくするものがあれば、a∈Aである。
• 点てんaがAの閉包へいほうに含ふくまれる⇔A上うえのある有向ゆうこう点てん族ぞく(x_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}が存在そんざいし、(x_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}はaに収束しゅうそくする。
• 点てんaがAの集積しゅうせき点てんである⇔$A\setminus \{a\}$上うえのある有向ゆうこう点てん族ぞく(x_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}が存在そんざいし、(x_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}はaに収束しゅうそくする。

上うえの定理ていりの閉集合しゅうごうに関かんする部分ぶぶんは以下いかのように非常ひじょうに簡単かんたんに示しめせる。他たのものの証明しょうめいも同様どうようである：

証明しょうめい

（⇒）$a\in {\bar {A}}$である事ことは以下いかと同値どうちである：

a の任意にんいの近傍きんぼうU に対たいし、$U\cap A\neq \emptyset$ ...(1)

これはU ∩ A に少すくなくとも一ひとつ元もとが存在そんざいする事ことを意味いみするので、そのような元もとをx _U とすると $x_{U}\in U\cap A\subset A$である事ことから$(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}$ はA 上うえにある。しかも前節ぜんせつで述のべたように $(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}$は有向ゆうこう点てん族ぞくでありしかもa に収束しゅうそくする。

（$\Leftarrow$）逆ぎゃくにa に収束しゅうそくするA 上うえの有向ゆうこう点てん族ぞく(x_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}があったとすれば、収束しゅうそく性せいの定義ていぎからa の任意にんいの近傍きんぼうU 内うちに有向ゆうこう点てん族ぞくの点てんx_λらむだが存在そんざいする。しかも仮定かていからx_λらむだ ∈ A でもあったので、これは(1)が成立せいりつする事ことを意味いみし、したがって$a\in {\bar {A}}$である。

距離きょり空間くうかんでは、点てん列れつの収束しゅうそく概念がいねんを用もちいて閉包へいほうや閉集合しゅうごうを同様どうようにして特徴とくちょうづけができる事ことが知しられており、上記じょうきの２ふたつの定理ていりはこの特徴とくちょうづけを一般いっぱんの位相いそう空間くうかんに拡張かくちょうしたものである。しかし一般いっぱんの位相いそう空間くうかんの場合ばあい、上記じょうき2定理ていりで述のべられているように、距離きょり空間くうかんと違ちがい「点てん列れつ」ではなく「有向ゆうこう点てん族ぞく」で特徴とくちょうづける必要ひつようがある。

なぜなら点てん列れつの添字そえじが全ぜん順序じゅんじょな可算かさん集合しゅうごうであるという制約せいやくが原因げんいんで、一般いっぱんの位相いそう空間くうかんの性質せいしつを記述きじゅつするには不足ふそくであり、点てん列れつの概念がいねんで閉集合しゅうごうや開ひらき集合しゅうごうを特徴とくちょうづけるには位相いそう空間くうかんの方ほうにも可算かさん性せいに関かんする条件じょうけんを満みたす必要ひつようがあるからである。詳細しょうさいは列れつ型がた空間くうかんを参照さんしょうされたい。

二に重じゅう極限きょくげんの定理ていり

次つぎに有向ゆうこう点てん族ぞくの二に重じゅう極限きょくげんに関かんする定理ていりを紹介しょうかいする。後述こうじゅつするように、この定理ていりは有向ゆうこう点てん族ぞくの極限きょくげんで位相いそうを特徴とくちょうづける際さいに役立やくだつ。定理ていりを記述きじゅつするため、まず有向ゆうこう集合しゅうごうの直積ちょくせきに有向ゆうこう集合しゅうごう構造こうぞうが入はいる事ことを見みる：

命題めいだい・定義ていぎ (有向ゆうこう集合しゅうごうの直積ちょくせき) ―  (Γがんま_λらむだ)_{λらむだ∈Γがんま}を有向ゆうこう集合しゅうごうの族ぞくとするとき、(Γがんま_λらむだ)_{λらむだ∈Γがんま}の集合しゅうごうとしての直積ちょくせき ${\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$に

$(\gamma _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\geq (\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }~:\iff \forall \lambda \in \Lambda ~:~\gamma _{\lambda }\geq \xi _{\lambda }$

という順序じゅんじょを入いれると、${\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$は有向ゆうこう集合しゅうごうになる。この順序じゅんじょをいれた${\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$を (Γがんま_λらむだ)_{λらむだ∈Γがんま}の有向ゆうこう集合しゅうごうとしての直積ちょくせきという。

定理ていり (二に重じゅう極限きょくげんの定理ていり（英えい: Theorem on Iterated limit）) ―  Λらむだを有向ゆうこう集合しゅうごうとし、各かくλらむだ∈Λらむだに対たいし、Γがんま_λらむだを有向ゆうこう集合しゅうごうとし、$(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとする。 各かくλらむだ∈Λらむだに対たいし、有向ゆうこう集合しゅうごうΓがんま_λらむだを添そえ字じとするX上うえの有向ゆうこう点てん族ぞく$x_{\lambda }=(x_{\lambda ,\gamma })_{\gamma \in \Gamma _{\lambda }}$が、y_λらむだに収束しゅうそくするとし、さらに有向ゆうこう点てん族ぞく$(y_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$がzに収束しゅうそくするものとする。

(Γがんま_λらむだ)_{λらむだ∈Λらむだ}の直積ちょくせきを$\Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$とし、有向ゆうこう点てん族ぞく$(w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }=(x_{\lambda ,\xi _{\lambda }})_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }$を考かんがえる（ただし$\xi =(\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\in \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$と定さだめる）。

このとき$(w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }$はzに収束しゅうそくする。

極限きょくげんによる位相いそうの特徴とくちょうづけ

最後さいごに有向ゆうこう点てん族ぞくによる極限きょくげん概念がいねんによって位相いそうが特徴とくちょうづけられる事ことを見みる：

定理ていり (極限きょくげんによる位相いそうの特徴とくちょうづけ) ―  Xを集合しゅうごうとし、${\mathcal {C}}$をX上うえの有向ゆうこう点てん族ぞくとXの点てんの組くみからなるクラスとする。

$((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda },y)\in {\mathcal {C}}$であるとき$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$がyに${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくするという事ことにするとき、以下いかが成立せいりつするとする：

• x_λらむだが恒等こうとう的てきにyに等ひとしければ、$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$はyに${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくする
• $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$がyに${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくするとき、$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$の任意にんいの部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくもyに${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくする
• $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$がyに${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくしないとき、$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$の部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }$で$(x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }$のいかなる部分ぶぶん有向ゆうこう点てん族ぞくもyに${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくしないものが存在そんざいする。
• 二に重じゅう極限きょくげんの定理ていりで「収束しゅうそく」を「${\mathcal {C}}$-収束しゅうそく」に置おき換かえたものを満みたす。

このときX上うえの位相いそう構造こうぞう${\mathcal {O}}$で$(X,{\mathcal {O}})$における有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそくが${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくに一致いっちするものが唯一ゆいいつ存在そんざいする。${\mathcal {O}}$における閉包へいほう作用素さようそは具体ぐたい的てきには以下いかのように書かける：

${\bar {A}}={\Bigg \{}y\in X~{\Bigg |}~\exists (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset A~:~(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$はyに${\mathcal {C}}$-収束しゅうそくする${\Bigg \}}$

連続れんぞく性せいと位相いそう同型どうけい

本節ほんぶしでは位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}}_{X})$から別べつの位相いそう空間くうかん$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$に向むかって定義ていぎされた関数かんすうf: X → Yの連続れんぞく性せいの概念がいねんを定義ていぎする。後述こうじゅつするように位相いそう空間くうかんにおける連続れんぞく性せいの概念がいねんは、距離きょり空間くうかんにおける連続れんぞく性せいの定義ていぎで「点てん列れつ」を「有向ゆうこう点てん族ぞく」に置おき換かえる事ことで定義ていぎ可能かのうであるが、近傍きんぼうや開ひらき集合しゅうごうといった、位相いそう空間くうかんの概念がいねんを使つかった別べつ定義ていぎも可能かのうであり、両者りょうしゃの定義ていぎは同値どうちとなる。

なお、紛まぎれがなければ、fが2つの位相いそう空間くうかんの間あいだの写像しゃぞうである事ことを強調きょうちょうして、「f: X → Y」ではなく

$f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

という表記ひょうきを用もちいる事こともある。

一いち点てんでの連続れんぞく性せい

位相いそう空間くうかんX上うえで定義ていぎされた関数かんすうfの点てんx∈Xにおける連続れんぞく性せいを以下いかのように定義ていぎする。

定義ていぎ・定理ていり (一いち点てんにおける連続れんぞく性せい) ―  $(X,{\mathcal {O}}_{X})$、$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$を位相いそう空間くうかんとし、f: X → Yを写像しゃぞうとし、xをXの点てんとする。このとき以下いかの２条件じょうけんは同値どうちであり、この２条件じょうけんの一方いっぽう（したがって両方りょうほう）を満みたすとき、fはx∈Xで連続れんぞく(英えい: continuous)であるという。以下いかで${\mathcal {N}}_{x}$はxの(開ひらくとは限かぎらない)近傍きんぼう全体ぜんたいを表あらわす：

• xに収束しゅうそくする任意にんいの有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$に対たいし、$(f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$は$f(x)$に収束しゅうそくする。
• f(x)の近傍きんぼうのfによる逆ぎゃく像ぞうはxの近傍きんぼうである。すなわち、
  　　$\forall N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}~:~f^{-1}(N)\in {\mathcal {N}}_{x}$

我々われわれはXにハウスドルフ性せいを仮定かていしていないので、以上いじょうの定理ていりで有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそくの一意いちい性せいが保証ほしょうされていない事ことに注意ちゅういされたい。

証明しょうめい

(⇒)背理法はいりほうで示しめす。$N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}$で$f^{-1}(N)\notin {\mathcal {N}}_{x}$となるものがあったとすると、近傍きんぼうの定義ていぎよりxを含ふくむ任意にんいの開ひらき集合しゅうごうUに対たいし、$U\setminus f^{-1}(N)$の点てんx_Uが存在そんざいする。xの開ひらき近傍きんぼう系けいを${\mathcal {V}}_{x}$とすると、収束しゅうそくの定義ていぎより有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}$はxに収束しゅうそくする。よって仮定かていより$(f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}$はf(x)に収束しゅうそくする。

Nはf(x)の近傍きんぼうであったので、あるf(x)の開ひらき近傍きんぼうVが存在そんざいし、V⊂Nである。$(f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}$はf(x)に収束しゅうそくするので、x_U⊂Vを満みたすx_Uが存在そんざいする。

しかしx_Uの取とり方かたより$x_{U}\notin f^{-1}(N)$であったので、$f(x_{U})\notin N$であり、よって特とくに$f(x_{U})\notin V$であるのでこれは矛盾むじゅんである。

($\Leftarrow$)有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$がxに収束しゅうそくするとする。 $N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}$を任意にんいに取とると、仮定かていよりf^-1(N)はxの近傍きんぼうであるので、有向ゆうこう点てん族ぞく$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$がxに収束しゅうそくするから、あるλらむだ₀∈Λらむだが存在そんざいし、$\lambda \geq \lambda _{0}$を満みたす任意にんいのλらむだ∈Λらむだに対たいし、x_λらむだ∈f^-1(N)であり、よってf(x_λらむだ)∈Nである。これは有向ゆうこう点てん族ぞく$(f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$がf(x)に収束しゅうそくする事ことを意味いみする。

全ぜん点てんでの連続れんぞく性せい

詳細しょうさいは「連続れんぞく写像しゃぞう」を参照さんしょう

関数かんすう$f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$が定義ていぎ域いき上じょうの任意にんいの点てんx∈Xで連続れんぞくであるとき、fは定義ていぎ域いきの全ぜん点てんで連続れんぞく、あるいは単たんに連続れんぞくであるという。fの連続れんぞく性せいは以下いかのようにも特徴とくちょうづける事ことができる。

定理ていり (連続れんぞく性せいの特徴とくちょうづけ) ―  $f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$を位相いそう空間くうかんから位相いそう空間くうかんへの関数かんすうとするとき、以下いかは同値どうちである。

• fは連続れんぞくである。
• 開ひらけ集合しゅうごうの逆ぎゃく像ぞうは開ひらけ集合しゅうごうである。すなわち$\forall O\in {\mathcal {O}}_{Y}~:~f^{-1}(O)\in {\mathcal {O}}_{X}$である。
• 閉集合しゅうごうの逆ぎゃく像ぞうは閉集合しゅうごうである。すなわち$\forall F\in {\mathcal {F}}_{Y}~:~f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}$である。
• 任意にんいのA⊂Xに対たいし$f({\bar {A}})\subset {\overline {f(A)}}$。

一様いちよう連続れんぞくと一様いちよう収束しゅうそく

これまで説明せつめいしてきたように、連続れんぞく性せいと収束しゅうそく性せいは、位相いそう空間くうかんで定義ていぎ可能かのうな代表だいひょう的てきな性質せいしつである。しかしこれらを強つよめた概念がいねんである一様いちよう連続れんぞく性せいと一様いちよう収束しゅうそく性せいは、位相いそうのみをベースにして定義ていぎする事ことはできない。

これらの概念がいねんは、距離きょり空間くうかんと位相いそう空間くうかんの中間ちゅうかんの強つよさを持もつ概念がいねんである一様いちよう空間くうかんで定義ていぎ可能かのうである。

位相いそう同型どうけい

詳細しょうさいは「同相どうしょう」を参照さんしょう

定義ていぎ (位相いそう同型どうけい) ―  $(X,{\mathcal {O}}_{X})$、$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$を位相いそう空間くうかんとし、f : X → Y を写像しゃぞうとするとき、f が同相どうしょう写像しゃぞうであるとは、f が全ぜん単たん射しゃで、しかもf と f⁻¹ が両方りょうほうとも連続れんぞくであることをいう。

また、X、Y 間あいだに同相どうしょう写像しゃぞうが存在そんざいするとき、$(X,{\mathcal {O}}_{X})$、$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$は位相いそう同型どうけいもしくは同相どうしょうであるという。

位相いそう同型どうけい性せいは、位相いそう空間くうかんのクラスにおける同値どうち関係かんけいであることを簡単かんたんに確認かくにんできる。

位相いそう空間くうかん論ろんや、その応用おうよう分野ぶんやである位相いそう幾何きか学がくでは、「位相いそう同型どうけいで不変ふへん」(位相いそう不変ふへん性せい)な性質せいしつ(位相いそう的てき性質せいしつ)を探さぐったり、そうした性質せいしつにより、空間くうかんを分類ぶんるいする。

位相いそう不ふ変量へんりょう

位相いそう不変ふへんな性質せいしつの中なかには位相いそう不ふ変量へんりょうと呼よばれる、位相いそう空間くうかんの性質せいしつによって決きまる「量りょう」がある。 χかいが「位相いそう不ふ変量へんりょう」であるとは、以下いかの性質せいしつを満みたすことを言いう

X と Y が位相いそう同型どうけい⇒χかい(X )=χかい(Y )

これの対偶たいぐうをとると、

χかい(X )≠χかい(Y )⇒ X と Y が位相いそう同型どうけいでない

したがって位相いそう不ふ変量へんりょうに着目ちゃくもくすることで、二ふたつの空間くうかんを位相いそう的てきに分類ぶんるいすることができる。

簡単かんたんな位相いそう不変ふへん量りょうとして、位相いそう空間くうかんの「連結れんけつ成分せいぶん数すう」がある。本ほん項こうでは、連結れんけつ成分せいぶん数すうの厳密げんみつな定義ていぎは割愛かつあいするが、直観ちょっかん的てきにはその名なの通とおり、「繋つながっている部分ぶぶんの数かず」である。以下いかのX では連結れんけつ成分せいぶん数すうが1なのに対たいし、Y では連結れんけつ成分せいぶん数すうが2である。従したがってX と Y は位相いそう同型どうけいではない。

X = [0,1]

Y = [0,1]∪[2,3]

（ただし、ここで[$a$,$b$]とは実数じっすうのユークリッド距離きょりによる位相いそうの、部分ぶぶん位相いそうをもつ閉区間あいだである）

位相いそう不ふ変量へんりょうは、位相いそう空間くうかん論ろんの応用おうよう分野ぶんやである位相いそう幾何きか学がくで主要しゅような役割やくわりを果はたし、特とくにホモロジー群ぐんやホモトピー群ぐんのような代数だいすう的てきな不ふ変量へんりょうは代数だいすう的てき位相いそう幾何きか学がくの研究けんきゅう対象たいしょうである。

位相いそうの比較ひかく、生成せいせい

位相いそう同士どうしの比較ひかく

定義ていぎ (位相いそうの比較ひかく) ―  集合しゅうごうX 上うえで定義ていぎされた2つの位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}}_{1})$、$(X,{\mathcal {O}}_{2})$を考かんがえる。

${\mathcal {O}}_{1}\subset {\mathcal {O}}_{2}$

が満みたされるとき、${\mathcal {O}}_{1}$は${\mathcal {O}}_{2}$よりも弱よわい（英えい: weak）といい、 ${\mathcal {O}}_{2}$は${\mathcal {O}}_{1}$より強つよい（英えい: strong）という。

これはすなわち、$(X,{\mathcal {O}}_{1})$の開ひらき集合しゅうごうは必かならず$(X,{\mathcal {O}}_{2})$の開ひらき集合しゅうごうである事ことを意味いみする。 弱よわい/強つよいのかわりに粗あらい/細こまかい(英えい: coarse/fine)、小ちいさい/大おおきい(英えい: small/large)という言葉ことばを使つかうこともある。

${\mathcal {O}}_{1}$が${\mathcal {O}}_{2}$よりも粗あらい必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、恒等こうとう写像しゃぞう

$\operatorname {id} ~:~(X,{\mathcal {O}}_{2})\to (X,{\mathcal {O}}_{1}),\ \ x\mapsto x$

が連続れんぞくな事ことである。したがって${\mathcal {O}}_{1}$で収束しゅうそくする有向ゆうこう点てん族ぞくは${\mathcal {O}}_{2}$でも収束しゅうそくするが、逆ぎゃくは必かならずしも成立せいりつしない。

位相いそうの生成せいせい

「開基かいき (位相いそう空間くうかん論ろん)」も参照さんしょう

本節ほんぶしではXのべき集合しゅうごう${\mathfrak {P}}(X)$の任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごう${\mathcal {S}}$から作つくる方法ほうほうを述のべる。

定義ていぎ・定理ていり (位相いそうの生成せいせい、準じゅん開基かいき) ―  Xを集合しゅうごうとし、${\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)$を任意にんいの集合しゅうごう族ぞくとする。このとき、X上うえの位相いそう${\mathcal {O}}$

${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {O}}$

を満みたすものの中なかで最もっとも弱よわいもの${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$が存在そんざいする。この${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$を、${\mathcal {S}}$を含ふくむ最さい弱じゃくの位相いそう（英えい: weakest topology）といい、${\mathcal {S}}$は${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$を生成せいせいする（英えい: generate）という。

また位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$において、${\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)$が${\mathcal {O}}$を生成せいせいするとき、${\mathcal {S}}$を${\mathcal {O}}$の準じゅん開基かいき（じゅんかいき, 英えい: open subbase）という。

以上いじょうで我々われわれは、準じゅん開基かいきの抽象ちゅうしょう的てきな定義ていぎを与あたえたが、準じゅん開基かいきの概念がいねんをより具体ぐたい的てきな形かたちで与あたえることもできる。そのための準備じゅんびとして、まず準じゅん開基かいきの関連かんれん概念がいねんである開基かいきについて述のべる。

定義ていぎ (開基かいき) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相いそう空間くうかんとし、${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {O}}$とする。

以下いかが満みたされるとき、${\mathcal {B}}$は${\mathcal {O}}$の開基かいき（かいき, 英えい: open base、open basis）であるという。

任意にんいの開ひらき集合しゅうごう(≠$\emptyset$)は${\mathcal {B}}$の元もとの(有限ゆうげん個こまたは無限むげん個この)和かず集合しゅうごうとして書かき表あらわせる。すなわち
$\forall O\in {\mathcal {O}}\exists {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {B}}~:O=~\cup _{B\in {\mathcal {T}}}B$

開基かいきの概念がいねんを用もちいると準じゅん開基かいきを具体ぐたい的てきに書かき表あらわす事ことができ、${\mathcal {S}}$ が $(X,{\mathcal {O}})$の準じゅん開基かいきである必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、${\mathcal {S}}$ の元もとの有限ゆうげん個この共通きょうつう部分ぶぶんの全体ぜんたいの集合しゅうごう

${\mathcal {B}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\,{\bigg |}\,n\in \mathbb {N} ,\,S_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}$

が、${\mathcal {O}}$の開基かいきをなすことである。 ${\mathcal {O}}$の開ひらき集合しゅうごうは開基かいきの和わ集合しゅうごうで書かき表あらわせるので、以上いじょうの事ことから${\mathcal {O}}$の開ひらき集合しゅうごうは準じゅん開基かいきの有限ゆうげん積せき集合しゅうごうの（有限ゆうげんまたは無限むげん）和かず集合しゅうごうとして書かき表あらわせる。

開基かいきの概念がいねんは、基本きほん近傍きんぼう系けいの概念がいねんと以下いかのような関係かんけいがある：

命題めいだい (開基かいきと基本きほん近傍きんぼう系けいの関係かんけい) ―  位相いそう空間くうかん$(X,{\mathcal {O}})$の各かく点てんxに対たいし、開ひらき集合しゅうごうからなる基本きほん近傍きんぼう系けい${\mathcal {N}}_{x}$が定義ていぎされているとき、

$\bigcup _{x\in X}{\mathcal {N}}_{x}$

は${\mathcal {O}}$の開基かいきである。また${\mathcal {B}}$を${\mathcal {O}}$の開基かいきとすると、

${\mathcal {N}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}\mid x\in B\}$

はxの基本きほん近傍きんぼう系けいである。

Xが距離きょり空間くうかんの場合ばあいはxのεいぷしろん-近傍きんぼう$B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}$がxの基本きほん近傍きんぼう系けいをなしていたので、$\{B_{\varepsilon }(x)\mid x\in X,\varepsilon >0\}$は開基かいきをなす。

最後さいごに、開基かいきの概念がいねんで位相いそう空間くうかんを特徴とくちょうづける方法ほうほうを述のべる：

定理ていり (開基かいきによる位相いそうの特徴とくちょうづけ) ―  Xを集合しゅうごうとする。このとき、${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)$が何なんらかの位相いそうの開ひらき集合しゅうごう系けいの開基かいきである必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、以下いかの条件じょうけんを満みたすことである：

$\forall B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}},\forall x\in B_{1}\cap B_{2}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\subset B_{1}\cap B_{2}$

位相いそう全体ぜんたいのなす順序じゅんじょ

弱よわい/強つよいを位相いそうの間あいだの順序じゅんじょ関係かんけいとみなすと、X上うえの位相いそうの集合しゅうごう

$\{{\mathcal {O}}\mid (X,{\mathcal {O}})$は位相いそう空間くうかん$\}$

は順序じゅんじょ集合しゅうごうになる。 この順序じゅんじょ集合しゅうごうは完備かんび束たばであり、

$\sup _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })=(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }$が生成せいせいする位相いそう)

$\inf _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }$

である。最もっとも弱よわい位相いそうは密着みっちゃく位相いそう、最もっとも強つよい位相いそうは離散りさん位相いそうである。

位相いそう空間くうかんの導出どうしゅつ

詳細しょうさいは「直和なおかず (位相いそう空間くうかん論ろん)」、「直積ちょくせき空間くうかん」、「部分ぶぶん位相いそう空間くうかん」、および「商しょう位相いそう空間くうかん」を参照さんしょう

すでにある位相いそう空間くうかんを加工かこうして、別べつの位相いそう空間くうかんを作つくる方法ほうほうを述のべる。

位相いそう空間くうかんを加工かこうする上じょうで基本きほんとなるのは、「逆ぎゃく像ぞう位相いそう」と「像ぞう位相いそう」の概念がいねん、おそびそれらの拡張かくちょう概念がいねんである「始はじめ位相いそう」と「終おわり位相いそう」である。

逆ぎゃく像ぞう位相いそうと像ぞう位相いそう、始はじめ位相いそうと終おわり位相いそうは互たがいに双対そうついの関係かんけいにあり、写像しゃぞうの向むきを逆ぎゃくにすることでもう片方かたがたの概念がいねんを定式ていしき化かできる。なお始はじめ位相いそうと終おわり位相いそうはそれぞれ圏けん論ろんにおける始はじめリフト、終おわりリフトの例れいのになっている。

始はじめ位相いそう、逆ぎゃく像ぞう位相いそう、部分ぶぶん位相いそう、直積ちょくせき位相いそう

まず始はじめ位相いそうの概念がいねんを以下いかのように定義ていぎする：

定義ていぎ (始はじめ位相いそう) ―  Xを集合しゅうごうとし、$\{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$を位相いそう空間くうかんの族ぞくとし、写像しゃぞう

$f_{\lambda }~:~X\to Y_{\lambda }$

の族ぞく$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を考かんがえる。

このとき、全すべての$f_{\lambda }$を連続れんぞくにする最さい弱じゃくの位相いそうをXの$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$始はじめ位相いそうという。

始はじめ位相いそうの特殊とくしゅな場合ばあいとして、以下いかのものが重要じゅうようである。以下いかでXは集合しゅうごうである。

名称めいしょう	定義ていぎ
逆ぎゃく像ぞう位相いそう	位相いそう空間くうかん$(Y,{\mathcal {O}})$と写像しゃぞう$f~:~X\to Y$がXに定さだめる始はじめ位相いそうの事こと
部分ぶぶん位相いそう	位相いそう空間くうかん$(Y,{\mathcal {O}})$の部分ぶぶん集合しゅうごうXに対たいし、包含ほうがん写像しゃぞう$\iota ~:~X\hookrightarrow Y,\ x\mapsto x$による逆ぎゃく像ぞう位相いそうの事こと。X に部分ぶぶん位相いそうを入いれたものを$(Y,{\mathcal {O}})$の部分ぶぶん空間くうかんという。
直積ちょくせき位相いそう（チコノフ位相いそうとも）	$\{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$を位相いそう空間くうかんの族ぞくとするとき、射影しゃえい$\pi _{\lambda }~:~Y=\prod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }\to X_{\lambda }$の族ぞく$\{\pi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$によってYに定義ていぎされる始はじめ位相いそうの事こと。直積ちょくせきYに直積ちょくせき位相いそうを入いれた位相いそう空間くうかんを直積ちょくせき空間くうかんという。

これらはより具体ぐたい的てきに書かき表あらわす事ことが可能かのうである：

定理ていり ― 上うえの定義ていぎと同様どうように記号きごうを定義ていぎするとき、

• 逆ぎゃく像ぞう位相いそうの開ひらき集合しゅうごう系けいは$f^{*}({\mathcal {O}}):=\{f^{-1}(O)\mid O\in {\mathcal {O}}\}$に一致いっちする。
• 部分ぶぶん位相いそうの開ひらき集合しゅうごう系けいは、$\{O\cap X\mid O\in {\mathcal {O}}\}$に一致いっちする。
• 直積ちょくせき位相いそうは${\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }$, 有限ゆうげん個このλらむだを除のぞいて$O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}$を開基かいきとする。

上述じょうじゅつの定理ていりの直積ちょくせき位相いそうの箇所かしょに関かんして、Λらむだが有限ゆうげん集合しゅうごうのときは、「有限ゆうげん個このλらむだを除のぞいて…」という条件じょうけんがいらなくなるので簡単かんたんであるが、Λらむだが無限むげん集合しゅうごうのときは注意ちゅういが必要ひつようである。例たとえば$\mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots$を$\mathbb {R}$の(可算かさん)無限むげん個このコピーとし、$U_{1},U_{2},\ldots$を$U=(0,1)$の無限むげん個このコピーとするとき、直積ちょくせき

$\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$

は直積ちょくせき位相いそうに関かんして

$\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}$

の開ひらき集合しゅうごうではない。実際じっさい、前述ぜんじゅつの「有限ゆうげん個こを除のぞいて…」という条件じょうけんを満みたしておらず、条件じょうけんをみたすものの和わ集合しゅうごうとしても書かけないからである。これに対たいし直積ちょくせき空間くうかんには$\prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}$をも開ひらけ集合しゅうごうとする位相いそうも定義ていぎ可能かのうである：

定義ていぎ ― 位相いそう空間くうかんの族ぞく$(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$に対たいし、

$\{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}$

を開基かいきとする$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$の位相いそうを箱はこ型がた積せき位相いそうという。

箱はこ型がた積せき位相いそうは直積ちょくせき位相いそうより強つよい（弱よわくない）位相いそうである。

終おわり位相いそう、像ぞう位相いそう、商しょう位相いそう、直和なおかず位相いそう

まず始はじめ位相いそうと双対そうつい的てきに終おわり位相いそうを定義ていぎする：

定義ていぎ (終おわり位相いそう) ―  Xを集合しゅうごうとし、$\{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$を位相いそう空間くうかんの族ぞくとし、写像しゃぞう

$f_{\lambda }~:~Y_{\lambda }\to X$

の族ぞく$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を考かんがえる。

このとき、全すべての$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$を連続れんぞくにする最強さいきょうの位相いそうをXの$(f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$終おわり位相いそうという。

終おわり位相いそうの特殊とくしゅな場合ばあいとして下記かきのものを定義ていぎできる。これらは逆ぎゃく像ぞう位相いそう、部分ぶぶん位相いそう、始はじめ位相いそう、直積ちょくせき位相いそうと双対そうつい的てきに定義ていぎしたものである。以下いかでXは集合しゅうごうである：

名称めいしょう	定義ていぎ
像ぞう位相いそう	位相いそう空間くうかん$(Y,{\mathcal {O}})$と写像しゃぞう$f~:~Y\to X$がXに定さだめる終おわり位相いそうの事こと。
商しょう位相いそう	$(Y,{\mathcal {O}})$ を位相いそう空間くうかんとし、「$\sim$」をY上うえの同値どうち関係かんけいとし、[x]でこの同値どうち関係かんけいにおけるx ∈ Yの同値どうち類るいを表あらわすとき、商しょう写像しゃぞう$\pi \colon Y\to Y/{\sim },\;x\mapsto [x]$が商しょう集合しゅうごう $X=Y/{\sim }$ に定義ていぎする像ぞう位相いそうの事こと。
直和なおかず位相いそう	$\{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }$ を位相いそう空間くうかんの族ぞくとするとき、$X_{\lambda }$ から集合しゅうごう族ぞく $\{X_{\tau }\}_{\tau \in \Lambda }$ の直和なおかずへの包含ほうがん写像しゃぞう$\iota _{\lambda }\colon X_{\lambda }\hookrightarrow \coprod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }$の族ぞく $\{\iota _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ によって直和なおかず $\coprod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$ に定義ていぎされる終おわり位相いそうの事こと。

これらはより具体ぐたい的てきに書かき表あらわす事ことが可能かのうである：

定理ていり ― 上うえの定義ていぎと同様どうように記号きごうを定義ていぎするとき、

• 像ぞう位相いそうの開ひらき集合しゅうごう系けいは$f_{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}$に一致いっちする。
• 商しょう位相いそうの開ひらき集合しゅうごう系けいは、$\pi _{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid \pi ^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}$に一致いっちする。
• 直和なおかず位相いそうの開ひらき集合しゅうごう系けいは、${\Bigg \{}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }{\Bigg |}\forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }{\Bigg \}}$に一致いっちする。

位相いそう的てき性質せいしつ

詳細しょうさいは「位相いそう的てき性質せいしつ」を参照さんしょう

位相いそう空間くうかんの定義ていぎそれ自身じしんは可能かのうな限かぎり一般いっぱん的てきに定義ていぎされているため、個々ここの応用おうようでは位相いそう空間くうかんにプラスアルファの性質せいしつを付つけ加くわえたものを考かんがえることが多おおい。

本節ほんぶしでは、そうしたプラスアルファの性質せいしつのうち代表だいひょう的てきなものを紹介しょうかいする。

分離ぶんり公理こうり

詳細しょうさいは「分離ぶんり公理こうり」を参照さんしょう

分離ぶんり公理こうりとは、位相いそう空間くうかん X 上うえの2つの対象たいしょう(点てんや閉集合しゅうごう)を開ひらけ集合しゅうごうにより「分離ぶんり」(separate)する事ことを示しめす一連いちれんの公理こうり、もしくはそこから派生はせいした公理こうりである。

代表だいひょう的てきな分離ぶんり公理こうりとしてハウスドルフの分離ぶんり公理こうりがあり、これは以下いかのような公理こうりであり、前述ぜんじゅつのようにこれは有向ゆうこう点てん族ぞくの収束しゅうそくの一意いちい性せいと同値どうちである。

X 上うえの相そう異ことなる2点てん x、y に対たいし、x、y の開ひらき近傍きんぼう U、V があり、$U\cap V=\emptyset$である。

相そう異ことなる2点てんを分離ぶんりするそれぞれの開ひらき近傍きんぼう

ハウスドルフの分離ぶんり公理こうりは、直観ちょっかん的てきには点てん x と y が開ひらけ近傍きんぼうという位相いそう的てきな性質せいしつを利用りようして「区別くべつ」(separate) できる事ことを意味いみしている。すなわちX の位相いそうは点てんの区別くべつが可能かのうなほど細こまかい事ことをこの公理こうりは要請ようせいしている。

他ほかにも下記かきのような分離ぶんり公理こうりがある：

位相いそう空間くうかん	名前なまえ
T0	コルモゴロフ空間くうかん
T1	フレシェ空間くうかん（到達とうたつ可能かのう空間くうかん）
T2	ハウスドルフ空間くうかん
$T_{2{\frac {1}{2}}}$	完備かんびハウスドルフ空間くうかん、ウリゾーン空間くうかん
T3	正則せいそく空間くうかん、正則せいそくハウスドルフ空間くうかん
$T_{3{\frac {1}{2}}}$	チコノフ空間くうかん、完全かんぜん正則せいそく空間くうかん
T4	正規せいきハウスドルフ空間くうかん
T5	全ぜん部分ぶぶん正規せいきハウスドルフ空間くうかん
T6	完全かんぜん正規せいきハウスドルフ空間くうかん

連結れんけつ性せい

詳細しょうさいは「連結れんけつ空間くうかん」を参照さんしょう

連結れんけつ性せいとは、直観ちょっかん的てきには位相いそう空間くうかんが「ひとつながりである」 という性質せいしつである。閉区間あいだ [0,1] は連結れんけつ性せいをもつ（連結れんけつである）が、二ふたつの交まじわらない閉区間あいだを合併がっぺいした $[0,1]\cup [2,3]$ という位相いそう空間くうかんは連結れんけつではない。

コンパクト性せい

詳細しょうさいは「コンパクト空間くうかん」を参照さんしょう

$\mathbb {R} ^{n}$の有界ゆうかい閉集合しゅうごうは位相いそう空間くうかん論ろん的てきに「性質せいしつの良よい」空間くうかんでXを$\mathbb {R} ^{n}$の有界ゆうかい閉集合しゅうごうとすると、例たとえば以下いかが成立せいりつする事ことが知しられている：

• Xから$\mathbb {R}$への連続れんぞく写像しゃぞうは必かならず最大さいだい値ち・最小さいしょう値ちを持もつ
• Xから$\mathbb {R}$への連続れんぞく写像しゃぞうは必かならず一様いちよう連続れんぞくである
• Xから$\mathbb {R} ^{n}$への単たん射いfが連続れんぞくなら、逆ぎゃく写像しゃぞう$f^{-1}~:~f(X)\to X$も連続れんぞくである。

このような「性質せいしつの良よい」空間くうかんを一般いっぱんの位相いそう空間くうかんに拡張かくちょうして定義ていぎしたものがコンパクトの概念がいねんである。

ただし、「$\mathbb {R} ^{n}$の有界ゆうかい閉集合しゅうごう」という概念がいねん自身じしんは、「有界ゆうかい」という距離きょりに依存いぞんした概念がいねんに基もとづいているため、一般いっぱんの位相いそう空間くうかんでは定義ていぎできず、別べつの角度かくどからコンパクトの概念がいねんを定義ていぎする必要ひつようがある。

そのために用もちいるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理ていりとハイネ・ボレルの被覆ひふく定理ていりである。これらの定理ていりはいずれも「$\mathbb {R} ^{n}$の有界ゆうかい閉集合しゅうごうであれば◯◯」という形かたちの定理ていりであるが、実じつは逆ぎゃくも成立せいりつする事ことが知しられており、$\mathbb {R} ^{n}$においては

1. 有界ゆうかい閉集合しゅうごうである事こと
2. ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理ていりの結論けつろん部分ぶぶん
3. ハイネ・ボレルの定理ていりの結論けつろん部分ぶぶん

の３みっつは同値どうちとなる。しかも上記じょうきの２，３はいずれも位相いそう構造こうぞうのみを使つかって記述きじゅつ可能かのうである。

したがって２もしくは３の一方いっぽうを満みたす（同値どうちなので実じつは２，３の両方りょうほうを満みたす）事ことをもってコンパクト性せいを定義ていぎする。ただしテクニカルな理由りゆうにより、上記じょうきの２に関かんしては若干じゃっかんの補正ほせいが必要ひつようになり、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理ていりの結論けつろん部分ぶぶんにおける「点てん列れつ」を「有向ゆうこう点てん族ぞく」に置おき換かえる必要ひつようがある。詳細しょうさいはコンパクト空間くうかんを参照さんしょう。

可算かさん公理こうりと可分かぶん

位相いそう空間くうかんX において可算かさん公理こうりは、X の位相いそう的てきな対象たいしょう(近傍きんぼう系けい、開ひらき集合しゅうごう)が可算かさんなものから生成せいせいされることを意味いみし、可算かさん公理こうりが成立せいりつする空間くうかんでは、非ひ可算かさん特有とくゆうの難むずかしさを回避かいひできる場合ばあいがある。 可分かぶんもこれと類似るいじしたモチベーションのもと定義ていぎされる。

厳密げんみつな定義ていぎは以下いかの通とおりである

第だい一いち可算かさん公理こうり	X の任意にんいの点てん x に対たいし、x の近傍きんぼう系けいは可算かさんな基本きほん近傍きんぼう系けいを持もつ
第だい二に可算かさん公理こうり	X の開ひらき集合しゅうごう系けいは可算かさんな開基かいきを持もつ
可分かぶん	X は稠密ちゅうみつな可算かさん部分ぶぶん集合しゅうごうを持もつ

性質せいしつと例れい

以下いかが成立せいりつする：

• 第だい二に可算かさん公理こうりを満みたす⇒ 第だい一いち可算かさん公理こうりを満みたし、かつ可分かぶん
• 距離きょり空間くうかん⇒ 第だい一いち可算かさん公理こうりを満みたす

しかし距離きょり空間くうかんは第だい二に可算かさん公理こうりを満みたすとは限かぎらない。 距離きょり空間くうかんにおいては第だい二に可算かさん公理こうりを満みたす事ことと可分かぶんな事ことは同値どうちである。

有限ゆうげん次元じげんのユークリッド空間くうかん(あるいはより一般いっぱんに多様たよう体たい)は第だい二に可算かさん公理こうりを満みたす。(距離きょり化か可能かのうなので可分かぶんでもある)。

一方いっぽう、ユークリッド空間くうかんの「無限むげん次元じげん版ばん」であるヒルベルト空間くうかんは距離きょり空間くうかんであるが第だい二に可算かさん公理こうりを満みたすとは限かぎらない。

しかし通常つうじょうは第だい二に可算かさん公理こうりを満みたすヒルベルト空間くうかんのみを考かんがえることが多おおく、そのようなヒルベルト空間くうかんは全すべて同型どうけいで、しかもそのようなヒルベルト空間くうかんにはベクトル空間くうかんとしての可算かさん基底きていが存在そんざいする事ことが知しられている。

距離きょり化か可能かのう性せい

距離きょり空間くうかんは自然しぜんに位相いそう空間くうかんになるが、では逆ぎゃくに位相いそう空間くうかんがどのような条件じょうけんを満みたせば距離きょり空間くうかんになるであろうか。

すなわち、位相いそう空間くうかん $(X,{\mathcal {O}})$が距離きょり化か可能かのうであるとは、X 上うえの距離きょり d が(少すくなくとも一ひとつ)存在そんざいし、d がX 上うえに定さだめる位相いそうが${\mathcal {O}}$と一致いっちする事ことを言いう。

学部がくぶレベルの教科書きょうかしょには距離きょり化か可能かのう性せいの十分じゅうぶん条件じょうけんであるウリゾーンの距離きょり化か可能かのう定理ていりが載のっていることが多おおいが、現在げんざいは距離きょり化か可能かのう性せいの必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんである長田ながた＝スミルノフの距離きょり化か定理ていりやビングの距離きょり化か定理ていりが知しられている。

発展はってん的てきなトピック

コンパクト開ひらき位相いそう

詳細しょうさいは「コンパクト開ひらき位相いそう」を参照さんしょう

$(X,{\mathcal {O}}_{X})$、$(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ を位相いそう空間くうかん、 $C(X,Y)$ を $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ から $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ への連続れんぞく写像しゃぞう全体ぜんたいとする。このとき $K\subset X,O\subset Y$に対たいし、$W(K,O)$ を

$W(K,O)=\{f\in C(X,Y)\mid f(K)\subset O\}$

とより定義ていぎする。

このとき {W(K, O) : K は X のコンパクト部分ぶぶん集合しゅうごう、$O\in {\mathcal {O}}_{Y}$} を準じゅん開基かいきとする位相いそうを $C(X,Y)$ のコンパクト開ひらき位相いそう（英えい: compact-open topology）という。

連続れんぞく体たい論ろん

連続れんぞく体たい（れんぞくたい、英えい: continuum）とは、空そらでないコンパクト連結れんけつ距離きょり空間くうかん、あるいはより一般いっぱんにコンパクト連結れんけつハウスドルフ空間くうかんのことを言いう。

ユークリッド空間くうかん上じょうの閉曲面めんは連続れんぞく体たいとなるが、連続れんぞく体たい論ろんではこのような「常識じょうしき的てきな」空間くうかんに留とまらず幅広はばひろく連続れんぞく体たい一般いっぱんを研究けんきゅうする。

具体ぐたい的てきにはヒルベルト空間くうかんの無限むげん次元じげん部分ぶぶん集合しゅうごうであるにもかかわらずコンパクトな ヒルベルト立方体りっぽうたい

$\prod _{n\in \mathbb {N} }[0,1/n]$、

フラクタル図形ずけいのシェルピンスキーのカーペット、ホモトピー群ぐんは自明じめいとなるが可か縮ちぢみ空間くうかんではないワルシャワの円えんなどが研究けんきゅう対象たいしょうとなる。

ワルシャワの円えん

完全かんぜん不ふ連結れんけつ性せいとカントール空間くうかん

学部がくぶレベルの位相いそう空間くうかん論ろんで登場とうじょうする概念がいねんの多おおくは、曲面きょくめんのような「常識じょうしき的てきな」空間くうかんにおける性質せいしつを抽象ちゅうしょうしたものである。

しかし完全かんぜん不ふ連結れんけつ性せいはこうした範疇はんちゅうから外はずれた性質せいしつで、位相いそう空間くうかん X 上うえの連結れんけつ部分ぶぶん集合しゅうごうは空そら集合しゅうごう、全体ぜんたい集合しゅうごう、および一いち点てん集合しゅうごうに限かぎられる事ことを意味いみする。

完全かんぜん不ふ連結れんけつな空間くうかんの例れいとしては有理数ゆうりすうの集合しゅうごう$\mathbb {Q}$がある。

しかし完全かんぜん不ふ連結れんけつな空間くうかんは$\mathbb {Q}$のように距離きょり空間くうかんとして完備かんびではないものに限かぎらない。

カントール集合しゅうごう(に実数じっすう体たいから誘導ゆうどうされる距離きょりをいれたもの)は、完備かんび距離きょり空間くうかんでありながら完全かんぜん不ふ連結れんけつな空間くうかんの例れいとなっている。

実じつはカントール集合しゅうごうはこのような空間くうかんの典型てんけい例れいの一ひとつであり、以下いかの性質せいしつを満みたす空間くうかん(カントール空間くうかん)は必かならずカントール集合しゅうごうと位相いそう同型どうけいになることが知しられている(ブラウワーの定理ていり)：

孤立こりつ点てんを持もたない非ひ空そらの完全かんぜん不ふ連結れんけつコンパクト距離きょり化か可能かのう空間くうかん

ベール空間くうかん

位相いそう空間くうかんX がベール空間くうかんであるとは、X 上うえの稠密ちゅうみつ開ひらけ集合しゅうごうの可算かさん個この共通きょうつう部分ぶぶんが必かならず稠密ちゅうみつになることを言いう。

完備かんび疑うたぐ距離きょり空間くうかんの開ひらき集合しゅうごうはベール空間くうかんになる(ベールの第だい一いち範疇はんちゅう定理ていり)。 また局所きょくしょコンパクトハウスドルフ空間くうかんもベール空間くうかんになる(ベールの第だい二に範疇はんちゅう定理ていり)。

ベールの範疇はんちゅう定理ていりは関数かんすう解析かいせき学がくにおいて、開ひらけ写像しゃぞう定理ていりや閉グラフ定理ていりを証明しょうめいするのに用もちいられる。

ヴィートリス位相いそう

$(X,{\mathcal {O}})$ を位相いそう空間くうかんとする。このとき有限ゆうげん個この開ひらき集合しゅうごう $U_{1}\cdots U_{n}$ に対たいし、集合しゅうごう族ぞく $\langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle$ を

$\langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle :=\{A\in {\mathfrak {F}}:A\cap U_{i}\neq \varnothing (i=1\cdots n),A\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\}$

と定義ていぎする（ただし ${\mathfrak {F}}$ は $X$ の閉集合しゅうごう全体ぜんたい）。このとき $\{\langle U_{1}\cdots U_{n}\rangle \ :U_{i}\in {\mathcal {O}}(i=0\cdots n)\}$ を開基かいきとする ${\mathfrak {F}}$ 上うえの位相いそうをヴィートリス位相いそう（英えい: Vietoris topology）と呼よび、ヴィートリス位相いそうの入はいった ${\mathfrak {F}}$ 及およびその部分ぶぶん空間くうかんを冪べき空間くうかん（英えい: powerspace）または超ちょう空間くうかん（英えい: hyperspace）という。

集合しゅうごう論ろん的てき位相いそう空間くうかん論ろん

集合しゅうごう論ろん的てき位相いそう空間くうかん論ろんとは、位相いそう空間くうかん上じょうの性質せいしつがZFCと独立どくりつかどうかを主題しゅだいする分野ぶんやである。

位相いそうゲーム

位相いそうゲームとは、2人ふたりのプレイヤーにより位相いそう空間くうかん上じょうで行おこなわれるゲームで、プレイヤー達たちが自分じぶんの手て番ばんのとき、何なんらかの位相いそう的てきな対象たいしょう(開ひらき集合しゅうごうや閉集合しゅうごうなど)を指定していする事ことでゲームが進すすんでいく。

位相いそう空間くうかん上じょうの様々さまざまな性質せいしつ、例たとえばベールの性質せいしつが位相いそうゲームのゲーム理論りろん的てきな性質せいしつと関連かんれんする(バナッハ・マズール・ゲーム)。他ほかにも完備かんび性せい、収束しゅうそく性せい、分離ぶんり公理こうりといったものもゲーム理論りろん的てきな性質せいしつと関連かんれんする。

位相いそう代数だいすう的てき構造こうぞう

代数だいすう的てきな演算えんざんが定義ていぎされた位相いそう空間くうかんX は、その演算えんざんの作用さようがX 上うえ連続れんぞくになるとき、演算えんざんと位相いそうは両立りょうりつするという。

そのような例れいとして代表だいひょう的てきなものには位相いそう群ぐん、位相いそう環たまきおよび位相いそう体たい、位相いそう線型せんけい空間くうかんなどがある。

位相いそう順序じゅんじょ構造こうぞう

• スペクトル空間くうかん: 位相いそう空間くうかんがスペクトル的てきとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それが何なんらかの環たまきの素すスペクトルとなっていることである。
• 標準ひょうじゅん順序じゅんじょ: 位相いそう空間くうかんの特殊とくしゅ化か前ぜん順序じゅんじょまたは標準ひょうじゅん前ぜん順序じゅんじょは、$x\leq y\Leftrightarrow \operatorname {Cl} (\{x\})\subseteq \operatorname {Cl} (\{y\})$ で定義ていぎされる。

歴史れきし

集合しゅうごう論ろんの創始そうし者しゃゲオルク・カントールはユークリッド空間くうかんの開ひらき集合しゅうごうや閉集合しゅうごうなどについても研究けんきゅうしたが、これが位相いそう空間くうかんの研究けんきゅうのはじまりである。カントールの行おこなったような位相いそう空間くうかんの古典こてん的てきな研究けんきゅうは、点てん集合しゅうごう論ろんと呼よばれる。その後ご、モーリス・フレシェはユークリッド空間くうかんから離はなれて距離きょり空間くうかんにおいて極限きょくげんの概念がいねんを考察こうさつし、さらにその後ごフェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第しだいに現代げんだいのような一般いっぱんの位相いそう空間くうかんの形かたちに整ととのえられていった。

参考さんこう文献ぶんけん

• John L. Kelly (1975/6/27). General Topology. Graduate Texts in Mathematics (27). Springer-Verlag. ISBN 978-0387901251 
  • Kindle版ばん：ASIN : B06XGRCCJ3
  • 翻訳ほんやく版ばん：ジョン・L.ケリー 著ちょ、児玉こだま之宏ゆきひろ 訳やく『位相いそう空間くうかん論ろん』吉岡よしおか書店しょてん〈数学すうがく叢書そうしょ〉、1979年ねん7月がつ1日にち。ISBN 978-4842701318。 
• 内田うちだ伏ふく一いち『集合しゅうごうと位相いそう』裳も華はな房ぼう〈数学すうがくシリーズ〉、1986年ねん11月5日にち。ISBN 978-4785314019。 
• Eric Schechter (1997/1/15). Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press. ISBN 978-0126227604 

さらなる学習がくしゅうのために

• Armstrong, M. A.; Basic Topology, Springer; 1st edition (May 1, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).OCLC 221789308
• Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969). OCLC 10256
• Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6 
• 松坂まつさか, 和夫かずお『集合しゅうごう・位相いそう入門にゅうもん』岩波書店いわなみしょてん、1968年ねん。ISBN 4-00-005424-4。 

関連かんれん項目こうもく

• ポイントレス位相いそう空間くうかん論ろん
• 位相いそう幾何きか学がく
• 関数かんすう解析かいせき学がく
• 距離きょり空間くうかん
• 位相いそう空間くうかんの圏けん
• ホモロジー (数学すうがく)

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "topological space". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• topological space - PlanetMath.（英語えいご）
• 酒井さかい克郎かつろう. “位相いそう空間くうかんの基礎きそ概念がいねん” (PDF). 2011年ねん11月閲覧えつらん。（2008年度ねんど 筑波大学つくばだいがく トポロジーI 講義こうぎ用ようレジュメ）
• 位相いそう空間くうかん - J-GLOBAL
• 日本にっぽん大だい百科全書ひゃっかぜんしょ(ニッポニカ)『位相いそう空間くうかん』 - コトバンク