基本きほん群ぐん

トーラス上うえの点てん p を始点してんと終点しゅうてんにもつループ

数学すうがく、特とくに代数だいすうトポロジーにおいて、基本きほん群ぐん（きほんぐん、英えい: fundamental group）とは、ある固定こていされた点てんを始点してんと終点しゅうてんにもつふたつのループが互たがいに連続れんぞく変形へんけい可能かのうかを測はかる点てん付つき位相いそう空間くうかんに付帯ふたいする群ぐんである。直観ちょっかん的てきには、それは位相いそう空間くうかんにある穴あなについての情報じょうほうを記述きじゅつしている。基本きほん群ぐんはホモトピー群ぐんの最初さいしょで最もっとも単純たんじゅんな例れいである。基本きほん群ぐんは位相いそう不ふ変量へんりょうである。つまり同相どうしょうな位相いそう空間くうかんは同おなじ基本きほん群ぐんを持もっている。

基本きほん群ぐんは被覆ひふく空間くうかんの理論りろんを用もちいて研究けんきゅうすることができる。なぜなら、基本きほん群ぐんは元もとの空間くうかんに付帯ふたいする普遍ふへん被覆ひふく空間くうかんの被覆ひふく変換へんかん群ぐんに一致いっちするからである。基本きほん群ぐんのアーベル化かは、その空間くうかんの第だい一いちホモロジー群ぐんと同一どういつ視しすることできる。位相いそう空間くうかんが単体たんたい複ふく体たいに同相どうしょうのとき、基本きほん群ぐんは群ぐんの生成せいせい子こと関係かんけい式しきのことばで明示めいじ的てきに記述きじゅつすることができる。

基本きほん群ぐんはアンリ・ポアンカレによって1895年ねんに論文ろんぶん"Analysis situs"で定義ていぎされた。ベルンハルト・リーマンとポアンカレとフェリックス・クラインの仕事しごとでリーマン面めんの理論りろんにおいて基本きほん群ぐんの概念がいねんが現あらわれた。基本きほん群ぐんは閉曲面めんの位相いそう的てきな完全かんぜんな分類ぶんるいを提供ていきょうするだけでなく、複素ふくそ関数かんすうのモノドロミー的てき性質せいしつの記述きじゅつもする。

直感ちょっかん的てき説明せつめい

空間くうかん（例たとえば、曲面きょくめん）とその中なかの点てんがあり、この点てんを始点してんと終点しゅうてんとするすべてのループ — この点てんを始点してんとし周囲しゅういを巡めぐり最終さいしゅう的てきに始点してんに戻もどってくる道みち — を考かんがえる。2つのループは明あきらかな方法ほうほうでつなげることができる、すなわち第だい一いちのループに沿そって移動いどうしてから、第だい二にのループに沿そって移動いどうする。2つのループは、ループを壊こわすことなく一方いっぽうから他方たほうへ変形へんけいできるときに同値どうちであると考かんがえる。すべてのそのようなループの集合しゅうごうにこの方法ほうほうで合成ごうせいと同値どうち関係かんけいを入いれたものがその空間くうかんの基本きほん群ぐんである。

定義ていぎ

X を位相いそう空間くうかん、x₀ を X の点てんとする。x₀ を基点きてんとするループと呼よばれる連続れんぞく写像しゃぞう

$f\colon [0,1]\to X,\quad f(0)=x_{0}=f(1)$

の集合しゅうごうに注目ちゅうもくする。基点きてん x₀ を持もつ X の基本きほん群ぐんは、この集合しゅうごうをホモトピー h で割わった集合しゅうごう

$\{f\colon [0,1]\to X:f(0)=x_{0}=f(1)\}/h$

に、群ぐんの乗法じょうほうを次つぎのように与あたえたものである。

$(f\ast g)(t)={\begin{cases}f(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\g(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}.$

したがってループ f ∗ g はまずループ f を「2倍ばいの速度そくど」で回まわり、次つぎにループ g を 2倍ばいの速度そくどで回まわる。2つのループのホモトピー類るい [f] と [g] の積せきは、[f ∗ g] と定義ていぎされ、この積せきは代表だいひょう元もとの取とり方かたに依よらないことを示しめすことができる。

x₀ を基点きてんとするループのすべてのホモトピー類るいの集合しゅうごうに上記じょうきの積せきを考かんがえたものが、点てん x₀ における X の基本きほん群ぐんをなし、この基本きほん群ぐんを

$\pi _{1}(X,x_{0}),$

あるいは、単たんに πぱい(X, x₀) と書かく。単位たんい元もとは基点きてんに留とまる定数ていすう写像しゃぞうで、ループ f の逆ぎゃく元もとは g(t) = f(1 − t) で定義ていぎされるループ g である。すなわち、g は f の逆ぎゃく向むきのループである。

基本きほん群ぐんは一般いっぱん的てきには基点きてんの選択せんたくに依存いぞんしているが、空間くうかん X が弧状こじょう連結れんけつである限かぎり、同型どうけいを除のぞいて（実じつは内部ないぶ自己じこ同型どうけいの違ちがいを除のぞいて）、この選択せんたくは何なんの差異さいももたらさない。したがって弧状こじょう連結れんけつ空間くうかんに対たいし、群ぐんの同型どうけい類るいだけに興味きょうみがある場合ばあいにはいつでも、曖昧あいまいさなしで πぱい₁(X, x₀) の代かわりに πぱい₁(X) と書かくことができる。

例れい

自明じめいな基本きほん群ぐん

n次元じげんユークリッド空間くうかん Rⁿや Rⁿ 内うちの任意にんいの凸とつ集合しゅうごうに対たいして、ループのホモトピー類るいが唯ただ一ひとつあり、したがって基本きほん群ぐんはひとつの元もとからなる自明じめいな群ぐんである。自明じめいな基本きほん群ぐんを持もつ弧状こじょう連結れんけつな空間くうかんを単たん連結れんけつ空間くうかんと呼よぶ。

無限むげん巡回じゅんかい群ぐんになる基本きほん群ぐん

例れいは円えんであり、各々おのおののホモトピー類るいはある与あたえられた回数かいすう（周しゅうる方向ほうこうによって正せいにも負まけにもなりうる）円えんの周まわりを周しゅうったすべてのループからなる。m 回かい巻まき付ついているループと n 回かい巻まき付ついているループの積せきは、m + n 回かい巻まき付ついているループとなる。従したがって、円えんの基本きほん群ぐんは整数せいすうの加法かほう群ぐん (Z, +) に同型どうけいである。この事実じじつは、 2次元じげんのブラウアーの不動点ふどうてん定理ていりやボルスーク・ウラムの定理ていりの証明しょうめいに使つかうことができる。

基本きほん群ぐんはホモトピー不ふ変量へんりょうであるので、複素ふくそ平面へいめんから一いち点てんを除のぞいた空間くうかんの回転かいてん数すうの理論りろんは、円えん（の基本きほん群ぐん）と同おなじとなる。

高次こうじランクの自由じゆう群ぐん

位相いそう空間くうかんに付帯ふたいするホモロジー群ぐんや高次こうじホモトピー群ぐんとは異ことなり、基本きほん群ぐんは可か換かわである必要ひつようはない。例たとえば、8の字じの基本きほん群ぐんは、2つの生成せいせい元もとから生成せいせいされる自由じゆう群ぐんである。より一般いっぱん的てきに、任意にんいのグラフの基本きほん群ぐんは、自由じゆう群ぐんである。グラフ G が連結れんけつであれば、自由じゆう群ぐんのランクは全域ぜんいき木きに入はいっていない辺あたりの数かずに等ひとしい。

n 個この穴あなのあいた平面へいめんの基本きほん群ぐんも、n 個この生成せいせい子こを持もつ自由じゆう群ぐんで、i 番ばん目めの生成せいせい子こは i 番ばん目めの穴あなの周まわりを回まわり他ほかのどの穴あなの周まわりも回まわらないループの類るいである。

結むすび目め理論りろん

詳細しょうさいは「結むすび目め群ぐん」を参照さんしょう

非ひ可か換かわ基本きほん群ぐんを持もつもう少すこし複雑ふくざつな空間くうかんの例れいは、R³ の中なかの三さん葉よう結むすび目めの補ほ空間くうかんであり、この場合ばあいはブレイド群ぐん $B_{3}$ であることが知しられている。

関せき手性てしょう

f : X → Y を連続れんぞく写像しゃぞうとし、x₀ ∈ X と y₀ ∈ Y は f(x₀) = y₀ とすると、基点きてん を x₀ とする X の任意にんいのループは、f と 組くみ合あわせて y₀ を基点きてんとする Y のループを構成こうせいすることができる。この操作そうさは、ホモトピー同値どうち関係かんけいおよびループの合成ごうせいと整合せいごう性せいを持もっている。得えられる群ぐん準じゅん同型どうけいは、誘導ゆうどうされた準じゅん同型どうけい写像しゃぞうと呼よばれ、πぱい(f) と書かく。あるいはより一般いっぱん的てきには、

$f_{*}:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).$

とも書かかれる。この連続れんぞく写像しゃぞうから群ぐん準じゅん同型どうけいへの写像しゃぞうは、恒等こうとう写像しゃぞうおよび写像しゃぞうの結合けつごうと整合せいごう性せいを持もっている。い換いかえると、（この準じゅん同型どうけいは、）点てん付つき空間くうかんの圏けんから群ぐんの圏けんへの関せき手しゅである。

この関せき手しゅは、基点きてんと相対そうたい的てきにホモトピックである写像しゃぞうを区別くべつすることはできないことが分わかる。f, g : X → Y が連続れんぞく写像しゃぞうで、f(x₀) = g(x₀) = y₀ であり、f と g は {x₀} と相対そうたい的てきにホモトピックであれば、f_∗ = g_∗ となる。結局けっきょく、2つのホモトピー同値どうちな弧状こじょう連結れんけつ空間くうかんは同型どうけいな基本きほん群ぐんを持もつ。

$X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).$

重要じゅうようで特別とくべつな場合ばあいとして、X が弧状こじょう連結れんけつであれば、いかなる 2つの異ことなる基点きてんも同型どうけいな基本きほん群ぐんを与あたえ、同型どうけいは与あたえられた 2つの基点きてんの間あいだの経路けいろを選択せんたくすることで与あたえられる。

基本きほん群ぐんの関せき手しゅは、積せきを群ぐんの直積ちょくせきへ、余よ積せきを余よ積せきへ写像しゃぞうする。すなわち、X と Y が弧状こじょう連結れんけつであれば、

$\pi _{1}(X\times Y)\cong \pi _{1}(X)\times \pi _{1}(Y)$

と

$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)$

が成なり立たつ。（後者こうしゃの公式こうしきでは、$\vee$ は位相いそう空間くうかんのウェッジ和わを表あらわし、* は群ぐんの自由じゆう積せきを表あらわす。）双方そうほうの公式こうしきは任意にんいの積せきに対たいして一般いっぱん化かすることができる。さらに後者こうしゃの式しきは、ザイフェルト–ファン・カンペンの定理ていりの特別とくべつな場合ばあいになっている。ここでザイフェルト–ファン・カンペンの定理ていりは、基本きほん群ぐんの関せき手しゅが包含ほうがん写像しゃぞうに沿そった押おし出だし(pushout)を押おし出だしに写うつすという定理ていりである。

ファイブレーション

詳細しょうさいは「ファイブレーション 」を参照さんしょう

空間くうかんの積せきの一般いっぱん化かは、ファイブレーションにより与あたえられる。

$F\to E\to B.$

ここに全ぜん空間くうかん E は、底そこ空間くうかん B とファイバー(fiber) F の｢ツイストした積せき」の一種いっしゅである。一般いっぱんに、B, E, F の基本きほん群ぐんは、高次こうじホモトピー群ぐんを含ふくむファイブレーションの長なが完全かんぜん系列けいれつの項こうである。空間くうかんがすべて連結れんけつのとき、この系列けいれつは次つぎの基本きほん群ぐんについての結果けっかをもたらす。

• F が単たん連結れんけつであれば、πぱい₁(B) と πぱい₁(E) は同型どうけいである。
• E が可か縮ちぢみであれば、πぱい_n+1(B) と πぱい_n(F) は同型どうけいである。

後者こうしゃの式しきは、しばしば次つぎのような状況じょうきょうへ応用おうようされる。E を B の道みち (位相いそう空間くうかん論ろん)の空間くうかん、F を B のループ空間くうかんとするか、もしくは、B を 位相いそう群ぐん G の分類ぶんるい空間くうかん BG とし、E を普遍ふへん G-バンドル EG とする。

1次じのホモロジー群ぐんとの関係かんけい

位相いそう空間くうかん X の基本きほん群ぐんは、ループは特異とくい 1-サイクルでもあるので、1次じの特異とくいホモロジー群ぐんと関連かんれんしている。基点きてんを x₀ とする各々おのおののループのホモトピー類るいをループのホモロジー類るいへ写像しゃぞうすることは、基本きほん群ぐん πぱい₁(X, x₀) からホモロジー群ぐん H₁(X) への準じゅん同型どうけいを与あたえる。X が弧状こじょう連結れんけつであれば、この準じゅん同型どうけいは全ぜん射いで、その核かくは、πぱい₁(X, x₀) の交換こうかん子こ部分ぶぶん群ぐんであり、従したがって H₁(X) は πぱい₁(X, x₀) のアーベル化かに同型どうけいである。これは代数だいすうトポロジーのフレヴィッツの定理ていりの特別とくべつな場合ばあいである。

普遍ふへん被覆ひふく空間くうかん

詳細しょうさいは「被覆ひふく空間くうかん」を参照さんしょう

X が弧状こじょう連結れんけつな位相いそう空間くうかんであり、局所きょくしょ弧状こじょう連結れんけつで局所きょくしょ単たん連結れんけつであれば、X は単たん連結れんけつな普遍ふへん被覆ひふく空間くうかんを持もち、その上うえで基本きほん群ぐん πぱい(X,x₀) は商しょう空間くうかん X に、被覆ひふく変換へんかんにより自由じゆうに作用さようする。この空間くうかんは、ペア (x, γがんま) をとることで、基本きほん群ぐんと同様どうように構成こうせいすることができる。ここに x は X の点てんであり、γがんま は x₀ から x への道みちのホモトピー類るいで、πぱい(X, x₀) の作用さようは経路けいろを足たすことによる。この空間くうかんは一意いちいな被覆ひふく空間くうかんとして決きまる。

例れい

円えん

円えん S¹ の普遍ふへん被覆ひふくは、直線ちょくせん R で、S¹ = R/Z を得える。よって、任意にんいの基点きてん x について、πぱい₁(S¹,x) = Z となる。

トーラス

前まえの例れいである 2つの円えんのカルテシアン積せきをとることにより、トーラス T = S¹ × S¹ の普遍ふへん被覆ひふくは平面へいめん R² である。T = R²/Z² を得える。このようにして、πぱい₁(T,x) = Z² が基点きてん x について成なり立たつ。

同様どうようにして、n-次元じげんのトーラスの基本きほん群ぐんは、 Zⁿ となる。

実じつ射影しゃえい空間くうかん

n ≥ 1 に対たいし、n-次元じげん実じつ射影しゃえい空間くうかん Pⁿ(R) は、n-次元じげん球面きゅうめん Sⁿ を中心ちゅうしん対称たいしょう性せいで割わって Pⁿ(R) = Sⁿ/Z₂ 求もとめられる。n-球面きゅうめん Sⁿ は n ≥ 2 では単たん連結れんけつなので、実じつ射影しゃえい空間くうかんの普遍ふへん被覆ひふくであることが結論けつろんづけられる。このようにして、Pⁿ(R) の基本きほん群ぐんは、 n ≥ 2 に対たいして Z₂ である。

リー群ぐん

G が連結れんけつかつ単たん連結れんけつなコンパクトリー群ぐんとする。例たとえば、G を特殊とくしゅユニタリ群ぐん SU(n) とし、Γがんま を G の有限ゆうげん部分ぶぶん群ぐんとしよう。すると、等質とうしつ空間くうかん X = G/Γがんま は基本きほん群ぐん Γがんま を持もつ。Γがんま は右みぎから乗法じょうほう的てきに普遍ふへん被覆ひふく空間くうかん G の上うえに作用さようする。この構成こうせいには多おおくの種類しゅるいがあるが、最もっとも重要じゅうような構成こうせいは局所きょくしょ対称たいしょう空間くうかん $X=\Gamma \backslash G/K$ である。ここでは、

• G は非ひコンパクト単たん連結れんけつ、連結れんけつなリー群ぐん（しばしば、半はん単純たんじゅん）
• K は G の極大きょくだいコンパクト部分ぶぶん群ぐん
• Γがんま は G の離散りさんかつ可算かさんなねじれのない部分ぶぶん群ぐん

が成なり立たつ。

この場合ばあいには、基本きほん群ぐんは Γがんま であり、普遍ふへん被覆ひふく空間くうかん G/K は可か縮ちぢみである（リー群ぐんのカルタン分解ぶんかいによる）。

例れいでは、G = SL(2, R), K = SO(2) で、Γがんま はモジュラー群ぐん SL(2, Z) の任意にんいのねじれのない合同ごうどう部分ぶぶん群ぐんである。

明あきらかにわかるように、弧状こじょう連結れんけつな位相いそう空間くうかんである普遍ふへん被覆ひふく空間くうかん H が、再ふたたび、弧状こじょう連結れんけつな位相いそう群ぐん G である。さらに、被覆ひふく写像しゃぞうは G から H の上うえへの連続れんぞくで開ひらけ準じゅん同型どうけいであり、核かくは Γがんま で、G の閉とじた離散りさん正規せいき部分ぶぶん群ぐんである。

$1\to \Gamma \to G\to H\to 1.$

G は連結れんけつ群ぐんで離散りさん群ぐん Γがんま 上うえの共役きょうやくにより連続れんぞく作用さようを持もっているので、自明じめいに作用さようするはずで、従したがって、Γがんま は G の中心ちゅうしんの部分ぶぶん群ぐんとなっているはずである。特とくに、πぱい₁(H) = Γがんま は可か換かわ群ぐんで、このことも被覆ひふく空間くうかんを使つかうことなしに容易よういに直接ちょくせつわかる。群ぐん G は H の普遍ふへん被覆ひふく群ぐんと呼よばれる。

普遍ふへん被覆ひふく群ぐんが示唆しさしているように、位相いそう群ぐんの基本きほん群ぐんと群ぐんの中心ちゅうしんとは類似るいじ関係かんけいにあり、このことは被覆ひふく群ぐんの束たばに詳くわしく記載きさいされている。

単体たんたい複ふく体たいの辺あたりループ群ぐん

連結れんけつな単体たんたい複ふく体たい X の辺あたり道どうは、X の辺あたりで繋つながれた頂点ちょうてんの鎖くさりとして定義ていぎされる。ふたつの辺あたり道どうが辺あたり同値どうちとは、一方いっぽうの辺あたり道どうが他方たほうの辺あたり道どうから、その適当てきとうな辺あたりを X 内うちの三角形さんかっけいの二ふたつの対辺たいへんで置おき換かえる操作そうさを連続れんぞく的てきに行いって得えられるときに言いう。X の固定こていした頂点ちょうてん v における辺あたりループとは、v を始点してんかつ終点しゅうてんとする辺あたり道どうを言いう。辺あたりループ群ぐん E(X, v) は、v における辺あたりループの辺あたり同値どうち類るい全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうとして定義ていぎされ、積せきや逆ぎゃく元もとは辺あたりループの連接れんせつと逆転ぎゃくてんにより定義ていぎされる。

辺あたりループ群ぐんは X の幾何きか学がく的てき実現じつげん |X| の基本きほん群ぐん πぱい₁(|X|, v) に自然しぜん同型どうけいとなる。辺あたりループの各かく同値どうち類るいは、X の2-スケルトン X²（つまり、X の頂点ちょうてん、辺あたり、三角形さんかっけい）にしか依よらないから、二ふたつの群ぐん πぱい₁(|X|, v) と πぱい₁(|X²|, v) は同型どうけいである。

辺あたりループ群ぐんは生成せいせい元もとと基本きほん関係かんけいを用もちいて陽ひに書かき表あらわせる。T が X の1-スケルトンにおける極大きょくだい全域ぜんいき木きならば、T に現あらわれない X の有向ゆうこう辺べ道どうを生成せいせい元もととし、X 内うちの三角形さんかっけいに対応たいおうする辺あたり同値どうちを基本きほん関係かんけいとする群ぐんに E(X, v) は自然しぜん同型どうけいになる。同様どうような結果けっかは、T を X の任意にんいの単たん連結れんけつ—特とくに可か縮ちぢみな—部分ぶぶん複ふく体たいに取とり換かえても成立せいりつする。これはしばしば、基本きほん群ぐんを計算けいさんする実用じつよう的てきな方法ほうほうを与あたえ、また、任意にんいの有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんが有限ゆうげん単体たんたい複ふく体たいの基本きほん群ぐんとして生しょうじることを示しめすための利用りようできる。これは（その基本きほん群ぐんによって分類ぶんるいされる）位相いそう的てき曲面きょくめんに対たいして用もちいられる古典こてん的てき方法ほうほうのひとつでもある。

有限ゆうげん連結れんけつ単体たんたい複ふく体たい X の普遍ふへん被覆ひふく空間くうかんは、辺あたり道どうを用もちいて単体たんたい複ふく体たいとして直接ちょくせつに記述きじゅつできる。その頂点ちょうてんは X の頂点ちょうてん w と v から w への辺あたり道みちの辺べ同値どうち類るい γがんま との順序じゅんじょ対たい (w, γがんま) である。(w, γがんま) を含ふくむ k-単体たんたいは自然しぜんに w を含ふくむ k-単体たんたいに対応たいおうする。k-単体たんたいの別べつの頂点ちょうてん u は辺あたり wu を、従したがって連接れんせつにより v から u への新あたらしい道みち γがんま_u を与あたえる。点てん (w, γがんま) および (u, γがんま_u) は、普遍ふへん被覆ひふく空間くうかんへ「送おくられた」単体たんたいの頂点ちょうてんである。辺あたりループ群ぐんは連接れんせつにより普遍ふへん被覆ひふく空間くうかんに自然しぜんに作用さようして、その作用さようは普遍ふへん被覆ひふく空間くうかんの単体たんたい構造こうぞうを保たもち、かつその作用さようによる普遍ふへん被覆ひふく空間くうかんの商しょうは X にちょうど一致いっちする。

よく知しられているように、この方法ほうほうは任意にんいの位相いそう空間くうかんの基本きほん群ぐんを計算けいさんすることにも使つかわれる。このことは疑うたがいなく、エデュアール・チェックとジャン・ルレイにより知しられていて、明あきらかには論文ろんぶん Weil (1960) の中なかに注意ちゅういとして記載きさいされていて、L. Calabi, W-T. Wu や N. Berikashvili といった多おおくの著者ちょしゃにより証明しょうめいが与あたえられている。被覆ひふくの中なかの有限ゆうげん個この開ひらき集合しゅうごうの空そらでない共通きょうつう部分ぶぶんがいつでも可か縮ちぢみとなるような有限ゆうげんな開ひらき被覆ひふくを持もつコンパクト空間くうかん X の最もっとも単純たんじゅんなケースでは、基本きほん群ぐんは開ひらけ被覆ひふくの脈みゃく体たい(nerve of the covering)に対応たいおうする単体たんたい複ふく体たいの辺あたりループ群ぐんと同一どういつ視しすることができる。

実現じつげん性せい

• すべての群ぐんは、2 次元じげん（もしくはより高こう次元じげん）の連結れんけつなCW複ふく体たいとして実現じつげんすることができる。上記じょうきで注意ちゅういしたように、自由じゆう群ぐんでさえ、1-次元じげんのCW複ふく体たいの基本きほん群ぐんとして現あらわれる（つまりグラフである）。

• すべての有限ゆうげん表示ひょうじされた群ぐんは、4 次元じげん（もしくは、それ以上いじょうの高こう次元じげんの）コンパクトな連結れんけつ微分びぶん可能かのう多様たよう体たいの基本きほん群ぐんとして実現じつげんできる。（一方いっぽうでコンパクトな位相いそう多様たよう体たいの基本きほん群ぐんは有限ゆうげん表示ひょうじされることが証明しょうめいできる。）しかし、低てい次元じげんの多様たよう体たいの基本きほん群ぐんとして実現じつげんされるには、厳きびしい制限せいげんがある。例たとえば、ランク 4 もしくはそれ以上いじょうの自由じゆうアーベル群ぐんは、次元じげんが 3 以下いかの多様たよう体たいの基本きほん群ぐんとしては実現じつげんできない。

関連かんれんする概念がいねん

基本きほん群ぐんは、空間くうかんの 1-次元じげんの穴あなの構造こうぞうを測はかる。「高こう次元じげんの穴あな」の研究けんきゅうのためには、ホモトピー群ぐんが使つかわれる。X の n-ホモトピー群ぐんの元もとは、Sⁿ から X への（基点きてんを保たもつ）写像しゃぞうのホモトピー類るいである。

特別とくべつな基点きてんを持もつループの集合しゅうごうは、ホモトピックなループを同値どうちと考かんがえずに研究けんきゅうされる。この大おおきな対象たいしょうは、ループ空間くうかんである。

位相いそう群ぐんでは、つなぎ合あわせではなく各かく点てんにおける積せきによって、ループの集合しゅうごうに別べつの群ぐんの積せきを割わり当あてることもできる。この群ぐんがループ群ぐんである。

基本きほん亜あ群ぐん

さらに、ひとつの基点きてんを選えらんでホモトピー同値どうちなループを考かんがえるのではなく、空間くうかんの中なかの「すべて」の道みちのホモトピー類るいを考かんがえることもできる（始点してんと終点しゅうてんは固定こていする）。これは群ぐんではなく、亜あ群ぐんであり、空間くうかんの基本きほん亜あ群ぐんとなる。

さらに一般いっぱん的てきに、幾何きか学がく的てきな状況じょうきょうに沿そった選択せんたくをした基点きてんの集合しゅうごう A の上うえの基本きほん亜あ群ぐんを考かんがえることができて、例たとえば円周えんしゅうの場合ばあいは、共通きょうつう部分ぶぶんが2つの連結れんけつ成分せいぶんを持もつような、2つの連結れんけつ開ひらけ集合しゅうごうの合併がっぺいとして表現ひょうげんできるので、各かく成分せいぶんの中なかから1つずつ基点きてんを選択せんたくすることができる。この理論りろんが現あらわれたのは、Topology and groupoidsとして現在げんざいは出版しゅっぱんされている1968年ねんと1988年ねんの版はんで与あたえられ、被覆ひふく空間くうかんや軌道きどう空間くうかんと関連かんれんする考かんがえ方かたも記載きさいされている。

参考さんこう文献ぶんけん

• Ronald Brown, Topology and groupoids, Booksurge (2006). ISBN 1-4196-2722-8
• Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3
• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0
• Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
• Richard Maunder, Algebraic Topology, Dover (1996) ISBN 0-486-69131-4
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)
• James Munkres, Topology, Prentice Hall (2000) ISBN 0-13-181629-2
• Herbert Seifert and William Threlfall, A Textbook of Topology (translated from German by Wofgang Heil), Academic Press (1980), ISBN 0-12-634850-2
• Edwin Spanier, Algebraic Topology, Springer-Verlag (1966) ISBN 0-387-94426-5
• André Weil, On discrete subgroups of Lie groups, Ann. Math. 72 (1960), 369-384.

関連かんれん項目こうもく

• ホモトピー群ぐん、基本きほん群ぐんの一般いっぱん化か。アーベル多様たよう体たいの基本きほん群ぐんにも同様どうような考かんがえ方かたがある。（エタール基本きほん群ぐんや、軌道きどう体たい(orbifold)に対たいしては、軌道きどう体たいの基本きほん群ぐん(en:orbifold#Orbifold fundamental group)がある。）

外部がいぶリンク

• Fundamental group - PlanetMath.org（英語えいご）
• Fundamental groupoid - PlanetMath.org（英語えいご）
• Weisstein, Eric W. "Fundamental group". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem: A discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set
• Animations to introduce to the fundamental group by Nicolas Delanoue