単たん連結れんけつ空間くうかん

上うえ図ずの穴あなあき平面へいめんは連結れんけつであるが、穴あなのまわりを1周しゅうするループを考かんがえればわかるように単たん連結れんけつではない。穴あなを全すべてふさげば単たん連結れんけつとなる。

位相いそう幾何きか学がくにおける単たん連結れんけつ空間くうかん（たんれんけつくうかん、英えい: simply connected space）とは、任意にんいのループを連続れんぞく的てきに1点てんに収縮しゅうしゅくできるような弧状こじょう連結れんけつ空間くうかんのことである。

定義ていぎ

ある弧状こじょう連結れんけつ空間くうかんの基本きほん群ぐんが、単位たんい元もとのみを要素ようそとして持もつ自明じめいな群ぐんであるとき、その空間くうかんを単たん連結れんけつであるという。基本きほん群ぐんの場合ばあいは基点きてんに留とまり続つづける定値ていち道どうを代表だいひょう元もととするループのホモトピー型かたが単位たんい元もとになる。つまり、その空間くうかん上じょうにおいて（あたえられた基点きてんに対たいする）任意にんいのループが常つねにホモトピックな連続れんぞく変形へんけいによって1点てん（基点きてん）に収縮しゅうしゅくできれば単たん連結れんけつということになる。弧状こじょう連結れんけつという仮定かていから、任意にんいのループが1点てんに収縮しゅうしゅくできるかどうかは基点きてんの取とり方かたに依存いぞんしないで定さだまる。

例れい

赤色あかいろの線せんがメリディアン、桃色ももいろの線せんがロンジチュード

線分せんぶん・円えん板ばん・球体きゅうたいやn次元じげんユークリッド空間くうかん、2次元じげん以上いじょうの球面きゅうめんなどは単たん連結れんけつである。他方たほう、トーラスやアニュラス、メビウスの帯おび、円周えんしゅう、結むすび目めの補ほ空間くうかんなどは単たん連結れんけつではない。

例たとえばトーラスの場合ばあい、1点てんに収縮しゅうしゅくできるようなループも存在そんざいするが、右みぎ図ずのようにメリディアンやロンジチュードといった閉曲線へいきょくせん上じょうを1周しゅうするループをとるとこれは1点てんに収縮しゅうしゅくできなくなる。実際じっさい、トーラスの基本きほん群ぐんは

$\pi _{1}(T)=\langle \,a,b\mid aba^{-1}b^{-1}=1\,\rangle \cong \pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})$

であり、自明じめいな群ぐんではない。

性質せいしつ

• 単たん連結れんけつな開ひらけ集合しゅうごう A , B が全ぜん空間くうかん X を被覆ひふくし、共通きょうつう部分ぶぶん A ∩ B が空そらでなく弧状こじょう連結れんけつであるとき、Xも単たん連結れんけつである。
• 単たん連結れんけつ空間くうかんの直積ちょくせきもやはり単たん連結れんけつである。
• 可か縮ちぢみな空間くうかんは単たん連結れんけつである。

関連かんれん項目こうもく

• n連結れんけつ
• 半はん局所きょくしょ単たん連結れんけつ
• ケルビン・ストークスの定理ていり

参考さんこう文献ぶんけん

• 瀬山せやま士郎しろう 『トポロジー―ループと折おれ線せんの幾何きか学がく』 朝倉書店あさくらしょてん、1989年ねん、91-94頁ぺーじ。ISBN 978-4254114652。
• 小林こばやし一いち章しょう 『曲面きょくめんと結むすび目めのトポロジー―基本きほん群ぐんとホモロジー群ぐん』 朝倉書店あさくらしょてん、1992年ねん、22-23頁ぺーじ。ISBN 978-4254114713。
• クゼ・コスニオフスキ著しる、加藤かとう十吉じゅうきち訳わけ編へん 『トポロジー入門にゅうもん』 東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい、1983年ねん、140-142頁ぺーじ。