円えん板ばん

円えん板ばんは、円えんで区切くぎられた領域りょういきである。開ひらき円えん板ばんは境界きょうかい上じょうの点てんを全すべて除のぞいた内部ないぶであり、閉円板ばんはその境界きょうかい上じょうの点てんを全すべて含ふくむ閉包へいほうである。

各種かくしゅ幾何きか学がくにおける円えん板ばん（えんばん、英えい: disk; disc と綴つづることもある）は、平面へいめん上じょうで円えんで囲かこまれた有界ゆうかい領域りょういきである。

円えん板ばんはその境界きょうかいとなる円周えんしゅうを「すべて含ふくむ」または「全まったく含ふくまない」ことを以ってそれぞれ「閉円板ばん」または「開ひらき円えん板ばん」という。

初等しょとう幾何きか学がく

直交ちょっこう座標ざひょう系けいでは、点てん (a, b) ∈ R² を中心ちゅうしんとする半径はんけい R > 0 の開ひらき円えん板ばんは

$D=D((a,b);R)=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}$

で、同おなじ中心ちゅうしんと半径はんけいを持もつ閉円板ばんは

${\overline {D}}={\overline {D}}((a,b);R)=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}$

で表あらわされる。

ユークリッド幾何きか学がくにおける円えん板ばんは、回転かいてん対称たいしょうである。

半径はんけい R の（開ひらくまたは閉）円えん板ばんの面積めんせきは、πぱいR² である。

円えんの面積めんせきも参照さんしょう

定義ていぎ

前節ぜんせつで述のべたものは、ユークリッド平面へいめん (R², d) の通常つうじょうの（ユークリッド）距離きょり d に関かんする開ひらく円えん板ばん

$D(P;r)=\{Q\in \mathbb {R} ^{2}:d_{2}(P,Q)<r\}$

と閉円板ばん

${\overline {D}}(P;r)=\{Q\in \mathbb {R} ^{2}:d_{2}(P,Q)\leq r\}$

であり、これは R² を任意にんいの距離きょり空間くうかん (X, d) で置おき換かえてもそのまま通用つうようする。

一般いっぱんの距離きょり空間くうかんにおける距離きょりに関かんして円えん板ばんを考かんがえたものは、一般いっぱんに球体きゅうたい (ball) と呼よばれるものを定さだめる（たとえば、三さん次元じげんユークリッド空間くうかん (R³, d) における円えん板ばんは通常つうじょうの意味いみにおける（狭義きょうぎの）球体きゅうたいである）。即すなわち、この文脈ぶんみゃくにおいて「円えん板ばん」と言いう代かわりに「球体きゅうたい」を用もちいても同おなじ意味いみになる。

位相いそう的てき円えん板ばん

位相いそう空間くうかんとしての開ひらき円えん板ばんと閉円板ばんは同相どうしょうでない（後者こうしゃはコンパクトだが、前者ぜんしゃはそうでない）。

しかし、代数だいすう的てき位相いそう幾何きか学がく的てきな観点かんてんからは、これらは多おおくの性質せいしつが共通きょうつうしている。例たとえば両者りょうしゃとも可か縮ちぢみであり、ゆえ一いち点てんにホモトピー同値どうちである。

従したがって、さらに、これらの基本きほん群ぐんは自明じめいであり、Z と同型どうけいな零れい次じを除のぞいて、全すべてのホモロジー群ぐんが自明じめいである。一点いってんのオイラー標しるべ数すうは 1 であるから、開ひらけおよび閉円板ばんのそれもやはりともに 1 であることがわかる。

閉円板ばんからそれ自身じしんへの任意にんいの連続れんぞく写像しゃぞう（全ぜん単たん射しゃでなくてもよく、また全ぜん射いであることすら仮定かていしない）は少すくなくとも一ひとつの不動点ふどうてんを持もつ。

この主張しゅちょうにおいて閉円板ばんであるというところを「開ひらき円えん板ばん」に置おき換かえることはできない。

例たとえば

$f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)$

は、開ひらき単位たんい円えん板ばん上じょうの任意にんいの点てんをその点てんの少すこし右みぎへ写うつすから、固定こていされる点てんは存在そんざいしない。

関連かんれん項目こうもく

• 単位たんい円えん板ばん
• 穴あなあき円えん板ばん / 環たまき帯たい
• 球体きゅうたい - 3次元じげんの円えん板ばん
• レントイド - 両りょう凸とつレンズ形がた