全ぜん単たん射しゃ

数学すうがくにおいて、全ぜん単たん射しゃ（ぜんたんしゃ）あるいは双そう射い（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像しゃぞうであって、その写像しゃぞうの終おわり域いきとなる集合しゅうごうの任意にんいの元もとに対たいし、その元もとを写像しゃぞうの像ぞうとする元もとが、写像しゃぞうの定義ていぎ域いきとなる集合しゅうごうに常つねにただ一ひとつだけ存在そんざいするようなもの、すなわち単たん射いかつ全ぜん射いであるような写像しゃぞうのことを言いう。例れいとしては、群論ぐんろんで扱あつかわれる置換ちかんが挙あげられる。

全ぜん単たん射しゃであることを1対たい1上じょうへの写像しゃぞう[上うえへの1対たい1写像しゃぞう] (one-to-one onto mapping)あるいは1対たい1対応たいおう (one-to-one correspondence) ともいうが、紛まぎらわしいのでここでは使用しようしない。

写像しゃぞう f が全ぜん単たん射しゃのとき、f は可逆かぎゃくであるともいう。

定義ていぎ

写像しゃぞう f: A → B に対たいし、2つの条件じょうけん

1. 全ぜん射い性せい: f(A) = B
2. 単たん射い性せい: 任意にんいの A の元もと a₁, a₂ について、f(a₁) = f(a₂) ならば a₁ = a₂

がともに成なり立たつとき、写像しゃぞう f は全ぜん単たん射しゃ (bijective) であるという。この用語ようごはブルバキによる。

f: A → B が全ぜん単たん射しゃであることは、

$\forall \ b\in B,\,\exists \ !\ a\in A{\text{ s.t. }}b=f(a)$

が成なり立たつことと等価とうかである。実際じっさい、全ぜん射うと単たん射しゃの定義ていぎを合あわせれば、全ぜん射しゃの定義ていぎにおける存在そんざい記号きごう $\exists$ を唯一ゆいいつ存在そんざい記号きごう $\exists \ !$ に置おき換かえればよいことがすぐに分わかる。

全ぜん射しゃでも単たん射しゃでもない	単たん射しゃであり全ぜん射しゃでない
全ぜん射しゃであり単たん射しゃでない	全ぜん単たん射しゃ

例れい

• f: R → (0, ∞); f(x) := e^x は全ぜん単たん射しゃである。

• f: (0, ∞) → R; f(x) := log x は全ぜん単たん射しゃである。

• f: (−πぱい/2, πぱい/2) → R; f(x) := tan x は全ぜん単たん射しゃである。

存在そんざいの例れい

• 冪べき集合しゅうごう ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ から R への全ぜん単たん射しゃが存在そんざいする．
• N, Z, Q, P の間あいだの全ぜん単たん射しゃが存在そんざいする．ここで P は素数そすうの全体ぜんたいである．
• R, C の間あいだの全ぜん単たん射しゃが存在そんざいする．また，a < b に対たいする閉区間あいだ [a, b], 半開はんかい区間くかん (a, b], [a, b), 開ひらき区間くかん (a, b) や無限むげん区間くかんと R の間あいだの全ぜん単たん射しゃが存在そんざいする．

性質せいしつ

• 全ぜん単たん射しゃは逆ぎゃく写像しゃぞうを持もつ。実際じっさい、f: A → B が全ぜん単たん射しゃであれば、B の任意にんいの元もと b に対たいし、f の全ぜん射い性せいから f(a) = b となる a が存在そんざいするが、f の単たん射い性せいからこのような a は b に対たいしてただ一ひとつしかないので、写像しゃぞう g: B → A; f(a) ↦ a が作つくれる。逆ぎゃくに、逆ぎゃく写像しゃぞうを持もつ写像しゃぞうは全ぜん単たん射しゃに限かぎるので、写像しゃぞうが全ぜん単たん射しゃであることと逆ぎゃく写像しゃぞうを持もつことは同値どうちである。い換いかえると、f: A → B が全ぜん単たん射しゃであることと、g: B → A が存在そんざいして $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ かつ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$ となることは同値どうちである。
• 2つの写像しゃぞう f: A → B, g: B → C の合成ごうせい写像しゃぞう $g\circ f\colon A\to C$ が全ぜん単たん射しゃならば f は単たん射いで、g は全ぜん射いである。
• 2つの全ぜん単たん射しゃが合成ごうせいできるならば、その合成ごうせい写像しゃぞうも全ぜん単たん射しゃである。
  • 集合しゅうごう X 上うえの全ぜん単たん射しゃ全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを S_X とすると、S_X は写像しゃぞうの合成ごうせいに関かんして群ぐんを成なす。これを X 上うえの置換ちかん群ぐんあるいは対称たいしょう群ぐんと呼よぶ。
• 集合しゅうごう全体ぜんたいのつくるクラス（類るい）において、「2つの集合しゅうごうの間あいだに全ぜん単たん射しゃが存在そんざいする」 という関係かんけいは同値どうち関係かんけいを定さだめる。この同値どうち関係かんけいにより集合しゅうごう全体ぜんたいの成なすクラスを類別るいべつして濃度のうどの概念がいねんが定義ていぎされる。すなわち、集合しゅうごう間あいだで全ぜん単たん射しゃが定義ていぎ可能かのうな場合ばあい、それらの集合しゅうごうは基数きすうが等ひとしい。
• X, Y が同数どうすうの元もとを持もつ有限ゆうげん集合しゅうごうの場合ばあい、写像しゃぞう f: X → Y について、以下いかは同値どうちである:

1. f は全ぜん単たん射しゃである。
2. f は全ぜん射いである。
3. f は単たん射いである。

関連かんれん項目こうもく

• 全ぜん射い
• 単たん射い
• 関数かんすう (数学すうがく)
• MECE