存在そんざい記号きごう

∃

存在そんざい記号きごう（そんざいきごう、existential quantifier）とは、数理すうり論ろん理学りがく（特とくに述語じゅつご論理ろんり）において、少すくなくとも1つのメンバーが述語じゅつごの特性とくせいや関係かんけいを満みたすことを表あらわす記号きごうである。通常つうじょう「∃」と表記ひょうきされ、存在そんざい量りょう化か子こ（そんざいりょうかし）、存在そんざい限量子げんりょうし（そんざいげんりょうし）、存在そんざい限定げんてい子こ（そんざいげんていし）などとも呼よばれる。この記号きごう（∃）は1897年ねんにジュゼッペ・ペアノによって導入どうにゅうされた。

これとは対照たいしょう的てきに全ぜん称しょう記号きごうは、全すべてのメンバーについての量りょう化かである。

概要がいよう

例れいとして、「ある自然しぜん数すうの平方へいほうが25である」を表あらわす式しきを考かんがえる。最もっとも素朴そぼくな方法ほうほうとして、次つぎのように式しきを書かいていく:

0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど

これは 「または」を繰くり返かえしているので、一種いっしゅの論理ろんり和わとなっている。しかし、「などなど」があるため形式けいしき論理ろんりの論理ろんり和やわであるとは言いえない。その代かわりに以下いかのような文ぶんを書かく:

ある自然しぜん数すう $n$ について、$n\cdot n=25$ である。

これは存在そんざい量りょう化か（existential quantification）を用もちいた、形式けいしき論理ろんりとして妥当だとうな単一たんいつの文ぶんである。

この文ぶんは前者ぜんしゃの書かき方かたよりも正確せいかくである点てんに注意ちゅういされたい。前者ぜんしゃは「などなど」が全すべての自然しぜん数すうを指さし、それ以外いがいを含ふくまないことを汲くみ取とれはするが、明確めいかくには述のべられていない。そのため、形式けいしき的てき表現ひょうげんに変換へんかんできない。一方いっぽう、後者こうしゃの量りょう化かされた文ぶんでは、自然しぜん数すうについて明確めいかくに言及げんきゅうしているため、解釈かいしゃくの誤あやまりは通常つうじょうの場合ばあい生しょうじない。

5 は自然しぜん数すうのもとで、5 を $n$ に代入だいにゅうすると "5·5 = 25" となり、式しきは真しんとなる。"$n\cdot n=25$" が5以外いがいの自然しぜん数すう $n$ で偽にせとなることは関係かんけいがない。少すくなくとも1つの解かいが存在そんざいすれば、存在そんざい量りょう化かで真しんとなるに十分じゅうぶんである。

一方いっぽう、「ある偶数ぐうすう $n$ について、$n\cdot n=25$ である」という文ぶんは、偶数ぐうすうの解かいが存在そんざいしないため偽にせとなる。また、「ある奇数きすう $n$ について、$n\cdot n=25$ である」という文ぶんは、5 が奇数きすうであるため真しんとなる。この事実じじつは変数へんすう $n$ が取とりうる値ねの範囲はんいを示しめす「議論ぎろん領域りょういき（domain of discourse）」が重要じゅうようであることを示しめしている。 何なんらかの述語じゅつごを満みたす値ねだけを議論ぎろん領域りょういきとしたい場合ばあい、存在そんざい量りょう化かでは論理ろんり積せきを使用しようすればよい。 例れいとして、「ある奇数きすう $n$ について、$n\cdot n=25$ である」という文ぶんは「ある自然しぜん数すう $n$ について、$n$ は奇数きすうであり、かつ $n\cdot n=25$ である」という文ぶんと論理ろんり的てきに同値どうちである。この場合ばあい、「かつ」は論理ろんり積せきを表あらわしている。

数理すうり論ろん理学りがくで存在そんざい量りょう化かを表あらわす存在そんざい記号きごうは "$\exists$"（サンセリフ体からだの "E" を裏返うらがえした字じ）で表あらわされる。なお、これは英語えいごで存在そんざいを意味いみするexistに由来ゆらいする。 故ゆえに、$P(a,b,c)$ が "$a\cdot b=c$" を表あらわす述語じゅつごで、$\mathbf {N}$ が自然しぜん数すうの集合しゅうごうであるとすると、

$\exists {n}\in \mathbf {N} \,P(n,n,25)$

という論理ろんり式しきが以下いかの文ぶんを表あらわすことになる。

ある自然しぜん数すう $n$ について、$n\cdot n=25$ である。

同様どうように、$Q(n)$ が 「$n$ は偶数ぐうすうである」を表あらわす述語じゅつごとすると

$\exists {n}\in \mathbf {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}$

という論理ろんり式しきが以下いかの文ぶんを表あらわすことになる。

ある偶数ぐうすう $n$ について、$n\cdot n=25$ である。

存在そんざい記号きごうの各種かくしゅ記号きごう法ほうは全ぜん称しょう記号きごうの項目こうもくに参照さんしょうされたし。

符号ふごう位置いち

記号きごう	Unicode	JIS X 0213	文字もじ参照さんしょう	名称めいしょう
∃	U+2203	1-2-48	∃ ∃ ∃	存在そんざい限定げんてい子こ

関連かんれん項目こうもく

• 一意いちい性せい ∃!
• 一いち階かい述語じゅつご論理ろんり
• 存在そんざい汎ひろし化か
• 存在そんざい例れい化か
• 量りょう化か
• 全ぜん称しょう記号きごう

参考さんこう文献ぶんけん

• Hinman, P. (2005年ねん). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0