論理ろんり学がく

論理ろんり学がくでは、モーダスポネンスのような形式けいしき的てきに妥当だとうな推論すいろんを研究けんきゅうする。

論理ろんり学がく (ろんりがく、英語えいご: logic) は、正ただしい推論すいろんの研究けんきゅうである。形式けいしき論ろん理学りがくおよび非ひ形式けいしき論ろん理学りがくが含ふくまれる。形式けいしき論理ろんり学がくは、演繹えんえき的てきに妥当だとうな推論すいろんあるいは論理ろんり的てき真理しんりの研究けんきゅうである。論証ろんしょうの議題ぎだいや内容ないようとは無関係むかんけいに、論証ろんしょうの構造こうぞうのみにより、前提ぜんていからどのように結論けつろんが導みちびかれるかを研究けんきゅうする。非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅう、批判ひはん的てき思考しこう、議論ぎろん学がくと関かかわりがある。非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされる論証ろんしょうを研究けんきゅうする一方いっぽう、形式けいしき論理ろんり学がくは形式けいしき言語げんごを用もちいる。各かく形式けいしき論理ろんり体系たいけいは、証明しょうめい系けいを表現ひょうげんする。論理ろんり学がくは、哲学てつがく、数学すうがく、計算けいさん機き科学かがく、言語げんご学がくを含ふくむ多おおくの分野ぶんやで中核ちゅうかくをなす。

論理ろんり学がくは、前提ぜんていの集合しゅうごうおよび結論けつろんからなる論証ろんしょうを研究けんきゅうする。論証ろんしょうの例れいには、前提ぜんてい「今日きょうは日曜日にちようびである」および「今日きょうが日曜日にちようびであれば、私わたしは働はたらかなくて良よい」から結論けつろん「私わたしは働はたらかなくて良よい」を導みちびくものがある。前提ぜんていおよび結論けつろんは、命題めいだいあるいは真理しんり適合てきごう的てきな言明げんめいを表現ひょうげんする。命題めいだいの重要じゅうような側面そくめんは、その内部ないぶ構造こうぞうにある。例たとえば、複ふく合あい命題めいだいは、$\land$ (かつ) や $\to$ (...ならば...) のような論理ろんり語彙ごいで接続せつぞくされた単純たんじゅん命題めいだいから構成こうせいされる。単純たんじゅん命題めいだいも、「日曜日にちようび」や「働はたらく」のような各かく部分ぶぶんに分解ぶんかいできる。命題めいだいの真偽しんぎは、通常つうじょう、その各かく部分ぶぶんすべての意味いみに依存いぞんする。ただし、論理ろんり的てきに真しんの命題めいだいは、その各かく部分ぶぶんの具体ぐたい的てきな意味いみとは無関係むかんけいに、その論理ろんり的てき構造こうぞうのみによって真しんであるため、これに当あてはまらない。

論証ろんしょうには、正ただしいものと正ただしくないものがある。論証ろんしょうは、前提ぜんていが結論けつろんを支持しじする場合ばあいに正ただしい。演繹えんえき的てき論証ろんしょうは、前提ぜんていが真しんである場合ばあい、結論けつろんも必然ひつぜん的てきに真しんであるため、結論けつろんの支持しじが最もっとも強つよい。一方いっぽう、前提ぜんていに含ふくまれない新あたらしい情報じょうほうを含ふくむ結論けつろんが帰結きけつする拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうでは、同様どうようの強つよい結論けつろんの支持しじが存在そんざいしない。日常にちじょう対話たいわおよび自然しぜん科学かがくで見みられる多おおくの論証ろんしょうは、拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうである。拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうは、帰納的きのうてき論証ろんしょうおよび遡及そきゅう論証ろんしょうに分類ぶんるいされる。帰納的きのうてき論証ろんしょうは、多おおくのカラスの個体こたいを観察かんさつしてすべてのカラスが黒くろいと結論けつろんするような、統計とうけい的てき一般いっぱん化かである。遡及そきゅう論証ろんしょうは、医者いしゃが患者かんじゃの症状しょうじょうをうまく説明せつめいする診断しんだんを下くだすような、最良さいりょうの説明せつめいへの推論すいろんである。正ただしい推論すいろんの水準すいじゅんに満みたない論証ろんしょうには、多おおくの場合ばあい、誤謬ごびゅうが含ふくまれる。論理ろんり体系たいけいは、論証ろんしょうの正ただしさを評価ひょうかする理論りろん的てき枠組わくぐみである。

論理ろんり学がくは、古代こだいから研究けんきゅうされてきた。論理ろんり学がくの初期しょきの成果せいかには、アリストテレス論ろん理学りがく、ストア派は論理ろんり学がく、ニヤーヤ学派がくは、墨ぼく家かがある。アリストテレス論理ろんり学がくは、三段論法さんだんろんぽうの形式けいしきを取とる推論すいろんを研究けんきゅうする。アリストテレス論理ろんり学がくは、ゴットロープ・フレーゲら19世紀せいき後半こうはんの数学すうがく者しゃの業績ぎょうせきを起源きげんとする現代げんだいの形式けいしき論理ろんり学がくに取とって代かえられるまで、西洋せいようで主要しゅような論理ろんり体系たいけいとみなされてきた。今日きょう、最もっとも用もちいられる論理ろんり体系たいけいは古典こてん論理ろんりである。古典こてん論理ろんりは、命題めいだい論理ろんりおよび一いち階かい述語じゅつご論理ろんりからなる。命題めいだい論理ろんりは完全かんぜんな命題めいだいの論理ろんり的てき関係かんけいのみを対象たいしょうとする一方いっぽう、一いち階かい述語じゅつご論理ろんりは述じゅつ部ぶや数量すうりょう詞しのような命題めいだいの各かく部分ぶぶんも研究けんきゅうする。拡張かくちょう論理ろんりは、古典こてん論理ろんりの基礎きそとなる基本きほん的てきな直感ちょっかんを受うけ入いれ、これを形而上学けいじじょうがく、倫理りんり学がく、認識にんしき論ろんなどの別べつの分野ぶんやに拡張かくちょうする。一方いっぽう、逸脱いつだつ論理ろんりは、古典こてん論理ろんりで用もちいられる直感ちょっかんの一部いちぶを却下きゃっかし、論理ろんり学がくの基本きほん法則ほうそくへの別べつの説明せつめいを提示ていじする。

定義ていぎ

「logic」は、「理性りせい」、「言説げんせつ」、「言語げんご」などの訳語やくごが充あてられるギリシア語ごの「ロゴス」を語源ごげんとする。論理ろんり学がくは、歴史れきし的てきには思考しこう法則ほうそくあるいは正ただしい推論すいろんの研究けんきゅうと定義ていぎされ、推論すいろんあるいは論証ろんしょうの観点かんてんから理解りかいされてきた。論証ろんしょうは、推論すいろんを表現ひょうげんする。論証ろんしょうは、前提ぜんていの集合しゅうごうおよび結論けつろんからなる。論理ろんり学がくは、論証ろんしょうが正ただしいかどうか、つまり、論証ろんしょうの前提ぜんていが結論けつろんを支持しじするかどうかを研究けんきゅうする。形式けいしき論ろん理学りがくおよび非ひ形式けいしき論ろん理学りがくはどちらも論証ろんしょうの正ただしさの評価ひょうかを対象たいしょうとすることから、この大おおまかな論理ろんり学がくの定義ていぎは、形式けいしき論ろん理学りがくおよび非ひ形式けいしき論ろん理学りがくを含ふくむ広義こうぎの論理ろんり学がくに当あてはまる。形式けいしき論理ろんり学がくは歴史れきし的てきに深ふかく研究けんきゅうされてきた論理ろんり学がくの分野ぶんやであり、一部いちぶの論理ろんり学者がくしゃは、形式けいしき論ろん理学りがくのみを論理ろんり学がくの範囲はんいと捉とらえている。

形式けいしき論ろん理学りがく

詳細しょうさいは「形式けいしき体系たいけい」を参照さんしょう

形式けいしき論理ろんり学がくは、記号きごう論ろん理学りがくとも呼よばれ、数理すうり論ろん理学りがくで広ひろく用もちいられる。形式けいしき論理ろんり学がくでは、推論すいろんの研究けんきゅうに形式けいしき的てきなアプローチを取とり、具体ぐたい的てきな表現ひょうげんを抽象ちゅうしょう的てきな記号きごうに置おき換かえ、論証ろんしょうの論理ろんり形式けいしきをその具体ぐたい的てきな内容ないようから独立どくりつして研究けんきゅうする。形式けいしき論理ろんり学がくは、論証ろんしょうの抽象ちゅうしょう的てきな構造こうぞうのみに注目ちゅうもくし、その具体ぐたい的てきな内容ないようには注目ちゅうもくしない。この点てんで、形式けいしき論理ろんり学がくは論証ろんしょうの抽象ちゅうしょう的てきな構造こうぞうのみに注目ちゅうもくし、その具体ぐたい的てきな内容ないようを考慮こうりょしないことから、内容ないよう独立どくりつ的てきであるといえる。

形式けいしき論理ろんり学がくは、演繹えんえき的てきに妥当だとうな論証ろんしょうを研究けんきゅうする。演繹えんえき的てきに妥当だとうな論証ろんしょうでは、前提ぜんていが真しんであることが結論けつろんが真しんであることを保証ほしょうする。これは、前提ぜんていが真しんであり、かつ、結論けつろんが偽にせであることが不可能ふかのうであるということを指さす。妥当だとうな論証ろんしょうでは、前提ぜんていおよび結論けつろんの論理ろんり的てき構造こうぞうは、推論すいろん規則きそくと呼よばれる規則きそくに従したがう。例たとえば、モーダスポネンスは、「(1) $p$; (2) $p$ であれば $q$; (3) したがって、$q$」の形式けいしきを取とるあらゆる論証ろんしょうが、名めい辞じ $p$ および $q$ の指示しじ対象たいしょうにかかわらず妥当だとうであるという推論すいろん規則きそくである。この点てんで、形式けいしき論理ろんり学がくは妥当だとうな推論すいろんの研究けんきゅうと定義ていぎできる。別べつの定義ていぎでは、論理ろんり学がくは論理ろんり的てき真理しんりの研究けんきゅうであるとされる。命題めいだいの真偽しんぎがその命題めいだいの持もつ論理ろんり語彙ごいのみに依存いぞんする場合ばあい、その命題めいだいは論理ろんり的てきに真しんである。論理ろんり的てきに真しんの命題めいだいは、言明げんめい「今こん雨あめが降ふっている; または、今こん雨あめが降ふっていない」のように、あらゆる可能かのう世界せかい、および、命題めいだいの論理ろんり項こう以外いがいの要素ようそのあらゆる解釈かいしゃくのもとで真しんである。これらの2つの形式けいしき論理ろんり学がくの定義ていぎは同一どういつではないが、深ふかい関連かんれんがある。例たとえば、$p$ から $q$ への推論すいろんが演繹えんえき的てきに妥当だとうであれば、言明げんめい「$p$ であれば $q$」は論理ろんり的てき真理しんりである。

形式けいしき論理ろんり学がくでは、自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされた論証ろんしょうの妥当だとう性せいを評価ひょうかするには、まず論証ろんしょうを一いち階かい述語じゅつご論理ろんりなどの形式けいしき言語げんごに翻訳ほんやくする必要ひつようがある。この例れいでは、文字もじ $c$ は「Carmen (カルメン) 」、文字もじ $M$ および $T$ はそれぞれ「Mexican (メキシコ人じん) 」および「teacher (教師きょうし) 」を指さす。記号きごう $\land$ は「and (かつ) 」を意味いみする。

形式けいしき論理ろんり学がくでは、形式けいしき言語げんごを用もちいて論証ろんしょうを記述きじゅつ・検討けんとうする。形式けいしき言語げんごは、通常つうじょう、非常ひじょうに少すくない語彙ごいおよび厳密げんみつな統語とうご規則きそくを持もつ。統語とうご規則きそくは、記号きごうを組くみ合あわせて文ぶん (well-formed formulaと呼よばれる) を定立ていりつする方法ほうほうを定義ていぎする。この形式けいしき論理ろんりの単純たんじゅんさと厳密げんみつさにより、推論すいろん規則きそくの正確せいかくな定義ていぎが可能かのうとなる。推論すいろん規則きそくは、論証ろんしょうの妥当だとう性せいを決定けっていする。形式けいしき論理ろんり学がくは形式けいしき言語げんごに依存いぞんするため、自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされた論証ろんしょうを直接ちょくせつ研究けんきゅうすることはできない。自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされた論証ろんしょうの妥当だとう性せいを評価ひょうかするには、まずそれを形式けいしき言語げんごに翻訳ほんやくする必要ひつようがある。

各かく論理ろんり体系たいけいは、妥当だとうとみなす推論すいろん規則きそくや用もちいる形式けいしき言語げんごの点てんでそれぞれ異ことなる。19世紀せいき後半こうはんより、多おおくの新あらたな形式けいしき体系たいけいが提案ていあんされてきた。形式けいしき体系たいけいを論理ろんり体系たいけいとみなす基準きじゅんには合意ごういがない。例たとえば、一いち階かい述語じゅつご論理ろんりのような論理ろんり的てきに完全かんぜんな体系たいけいのみが論理ろんり体系たいけいであるという見解けんかいもある。このため、一部いちぶの論理ろんり学者がくしゃは、高階たかしな述語じゅつご論理ろんりを厳密げんみつに論理ろんり体系たいけいとみなさない。

非ひ形式けいしき論ろん理学りがく

詳細しょうさいは「非ひ形式けいしき論ろん理学りがく」を参照さんしょう

広義こうぎでは、論理ろんり学がくには形式けいしき論ろん理学りがくおよび非ひ形式けいしき論理ろんり学がくの両方りょうほうが含ふくまれる。非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、非ひ形式けいしき的てきな基準きじゅんを用もちいて論証ろんしょうの正ただしさを検討けんとう・評価ひょうかする。非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、主おもに日常にちじょう対話たいわに注目ちゅうもくする。非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、形式けいしき論理ろんり学がくの知見ちけんを自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされた論証ろんしょうに応用おうようすることが困難こんなんであることが判明はんめいするにつれて、研究けんきゅうが進すすめられた。この点てんで、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、形式けいしき論理ろんり学がくだけでは解決かいけつできない問題もんだいを研究けんきゅうする分野ぶんやであるといえる。形式けいしき論ろん理学りがくおよび非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、どちらも論証ろんしょうの正ただしさを評価ひょうかし、誤謬ごびゅうを判別はんべつするための基準きじゅんを提示ていじする。

非ひ形式けいしき論理ろんり学がくの定義ていぎとしては多おおくのものが提案ていあんされてきたが、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくの厳密げんみつな定義ていぎには合意ごういがない。最もっとも字面じめん的てきな定義ていぎでは、「形式けいしき」および「非ひ形式けいしき」という語かたりを、論証ろんしょうを記述きじゅつする言語げんごを指さすものとみなす。この定義ていぎでは、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、非ひ形式けいしき言語げんごあるいは自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされる論証ろんしょうを研究けんきゅうする分野ぶんやとされる。形式けいしき論理ろんり学がくでは、自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされた論証ろんしょうは、形式けいしき言語げんごに翻訳ほんやくすることで間接かんせつ的てきにのみ検討けんとうできる一方いっぽう、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくでは、そのような論証ろんしょうを元々もともとの形式けいしきで直接ちょくせつ検討けんとうできる。また、この定義ていぎでは、論証ろんしょう「鳥とりは飛とぶ; トゥイーティーは鳥とりである; したがって、トゥイーティーは飛とぶ」は自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされており、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくで検討けんとうされる一方いっぽう、形式けいしき言語げんごへの翻訳ほんやく「(1) $\forall x(Bird(x)\to Flys(x))$; (2) $Bird(Tweety)$; (3) $Flys(Tweety)$」は形式けいしき論理ろんり学がくで検討けんとうされる。自然しぜん言語げんごの表現ひょうげんは曖昧あいまいであったり、文脈ぶんみゃくに依存いぞんしていたりする場合ばあいがあり、自然しぜん言語げんごで記述きじゅつされる論証ろんしょうの研究けんきゅうには困難こんなんが伴ともなう。別べつの定義ていぎでは、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは、広義こうぎで議論ぎろんの基準きじゅんや手順てじゅんの規範きはん的てきな研究けんきゅうとされる。この定義ていぎでは、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくには、議論ぎろんにおける理性りせいの役割やくわり、批判ひはん的てき思考しこう、議論ぎろんの心理しんり学がくに関かんする問題もんだいも含ふくまれる。

また、非ひ形式けいしき論ろん理学りがくを非ひ演繹えんえき的てき論証ろんしょうの研究けんきゅうと定義ていぎするものもある。この定義ていぎは、非ひ形式けいしき論ろん理学りがくを演繹えんえき的てき推論すいろんを研究けんきゅうする形式けいしき論理ろんり学がくと対照たいしょうする。非ひ演繹えんえき的てき論証ろんしょうは、結論けつろんがおそらく真しんであることを示しめすが、結論けつろんが真しんであることを保証ほしょうしない。非ひ演繹えんえき的てき論証ろんしょうには、「私わたしがこれまで見みたカラスはすべて黒くろかった」から「すべてのカラスは黒くろい」を結論けつろんするような、経験けいけん的てき観察かんさつに基もとづく帰納的きのうてき論証ろんしょうがある。

また、非ひ形式けいしき論ろん理学りがくを非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅうの研究けんきゅうと定義ていぎするものもある。非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅうは、論証ろんしょうの内容ないようやコンテキストに誤あやまりが含ふくまれる正ただしくない論証ろんしょうである。例たとえば、誤あやまった二分にぶん法ほうは、考慮こうりょされうる選択肢せんたくしを除外じょがいすることで、内容ないようの誤あやまりを犯おかす誤謬ごびゅうである。誤謬ごびゅう「あなたは我々われわれの味方みかたであるか、我々われわれの敵てきである; あなたは我々われわれの味方みかたではない; したがって、我々われわれの敵てきである」は、誤あやまった二分にぶん法ほうである。一部いちぶの論理ろんり学者がくしゃは、形式けいしき論ろん理学りがくを論証ろんしょうの大おおまかな形式けいしきのみの研究けんきゅう、非ひ形式けいしき論ろん理学りがくを実際じっさいの論証ろんしょうの例れいの研究けんきゅうと定義ていぎする。別べつの定義ていぎでは、形式けいしき論理ろんり学がくは正ただしい推論すいろんにおける論理ろんり定数ていすうの役割やくわりのみの研究けんきゅう、非ひ形式けいしき論理ろんり学がくは具体ぐたい的てきな概念がいねんの意味いみの検討けんとうも含ふくむ研究けんきゅうとされる。

概念がいねん

前提ぜんてい・結論けつろん・真偽しんぎ

前提ぜんていと結論けつろん

詳細しょうさいは「前提ぜんてい」および「論理ろんり的てき帰結きけつ」を参照さんしょう

前提ぜんていおよび結論けつろんは、推論すいろんおよび論証ろんしょうの基本きほん的てきな部分ぶぶんであり、論理ろんり学がくにおいて中核ちゅうかくをなす。妥当だとうな推論すいろんあるいは正ただしい論証ろんしょうでは、前提ぜんていから結論けつろんが導みちびかれる。つまり、前提ぜんていが結論けつろんを支持しじする。例たとえば、前提ぜんてい「火星かせいは赤あかい」および「火星かせいは惑星わくせいである」は、結論けつろん「火星かせいは赤あかい惑星わくせいである」を支持しじする。多おおくの論理ろんり体系たいけいでは、前提ぜんていおよび結論けつろんが真理しんりの担にない手てでなければならないとされる。これは、前提ぜんていおよび結論けつろんが真理しんり値ちを持もたなければならない (真しんまたは偽にせでなければならない) ということを指さす。現代げんだい哲学てつがくでは、前提ぜんていおよび結論けつろんは、命題めいだいあるいは文ぶんとみなされる。命題めいだいは、文ぶんの外延がいえんであり、一般いっぱんに抽象ちゅうしょう的てき対象たいしょうとされる。例たとえば、英語えいごの文ぶん「the tree is green」は、ドイツ語ごの文ぶん「der Baum ist grün」とは異ことなるが、どちらも同おなじ命題めいだいを表現ひょうげんする。

前提ぜんていおよび結論けつろんの命題めいだい説せつは、抽象ちゅうしょう的てき対象たいしょうへの依存いぞんにより批判ひはんされてきた。例たとえば、自然しぜん主義しゅぎでは、通常つうじょう、抽象ちゅうしょう的てき対象たいしょうの存在そんざいは否定ひていされる。また、命題めいだいの同一どういつ性せいの基準きじゅんの定義ていぎの困難こんなん性せいを問題もんだいとする見解けんかいもある。このような異論いろんは、前提ぜんていおよび結論けつろんを、命題めいだいではなく文ぶん (本ほんのページに印刷いんさつされた記号きごうのような具体ぐたい的てきな言語げんご的てき対象たいしょう) と見みることで回避かいひできる。ただ、この場合ばあい、文ぶんが多おおくのケースで文脈ぶんみゃくに依存いぞんしていて曖昧あいまいであり、論証ろんしょうの妥当だとう性せいがその各かく部分ぶぶんだけでなく文脈ぶんみゃくや解釈かいしゃくにも依存いぞんするという新あらたな問題もんだいが生しょうじる。また、前提ぜんていおよび結論けつろんを、思考しこうや判断はんだんのような心理しんり的てきな観点かんてんで理解りかいする方法ほうほうもある。この立場たちばは心理しんり主義しゅぎと呼よばれる。心理しんり主義しゅぎは、20世紀せいき初頭しょとうには盛さかんに議論ぎろんされたが、現在げんざいは広ひろく受うけ入いれられていない。

内部ないぶ構造こうぞう

前提ぜんていおよび結論けつろんは内部ないぶ構造こうぞうを持もつ。命題めいだいおよび文ぶんと同様どうように、前提ぜんていおよび結論けつろんには単純たんじゅんなものと複ふく合あい的てきなものがある。複ふく合あい命題めいだいは、その構成こうせい要素ようそとして、「かつ」や「...であれば...」のような論理ろんり結合けつごう子こで接続せつぞくされた別べつの命題めいだいを持もつ。一方いっぽう、単純たんじゅん命題めいだいは命題めいだい部ぶを持もたない。ただし、単純たんじゅん命題めいだいも、単たん称名しょうみょう辞じや述じゅつ部ぶなどの副ふく命題めいだい的てき部分ぶぶんを持もつため、内部ないぶ構造こうぞうを持もつと見みることができる。例たとえば、単純たんじゅん命題めいだい「火星かせいは赤あかい」は、述語じゅつご「赤あかい」を単たん称名しょうみょう辞じ「火星かせい」に適用てきようすることで定立ていりつされる。一方いっぽう、複ふく合あい命題めいだい「火星かせいは赤あかい; かつ、金星かなぼしは白しろい」は、論理ろんり結合けつごう子こ「かつ」で接続せつぞくされた2つの単純たんじゅん命題めいだいで定立ていりつされる。

命題めいだいの真偽しんぎは、少すくなくとも部分ぶぶん的てきにはその構成こうせい要素ようそに依存いぞんする。真理しんり関数かんすう的てきな命題めいだい結合けつごう子こで定立ていりつされた複ふく合あい命題めいだいでは、命題めいだいの真偽しんぎはその各かく部分ぶぶんの真理しんり値ちのみに依存いぞんする。ただし、この関係かんけいは、単純たんじゅん命題めいだいおよびその副ふく命題めいだい的てき部分ぶぶんを検討けんとうする場合ばあいにはより複雑ふくざつとなる。単純たんじゅん命題めいだいの副ふく命題めいだい的てき部分ぶぶんは、対象たいしょう (または対象たいしょうの集合しゅうごう) の指示しじなど、それ自体じたいで意味いみを持もつ。各かく副ふく命題めいだい的てき部分ぶぶんが構成こうせいする単純たんじゅん命題めいだいの真偽しんぎは、それら各かく部分ぶぶんの現実げんじつとの関係かんけい (各かく部分ぶぶんが指示しじする対象たいしょうのありよう) に依存いぞんする。この議題ぎだいは、指示しじの理論りろんで研究けんきゅうされる。

論理ろんり的てき真理しんり

詳細しょうさいは「論理ろんり的てき真理しんり」を参照さんしょう

複ふく合あい命題めいだいには、その各かく部分ぶぶんの具体ぐたい的てきな意味いみとは無関係むかんけいに真しんであるものがある。例たとえば、古典こてん論理ろんりでは、複ふく合あい命題めいだい「火星かせいは赤あかい; または、火星かせいは赤あかくない」は、単純たんじゅん命題めいだい「火星かせいは赤あかい」などの命題めいだいの各かく部分ぶぶんの真偽しんぎによらず真しんである。この場合ばあい、この真理しんりは論理ろんり的てき真理しんりと呼よばれる。命題めいだいの真偽しんぎがその命題めいだいに含ふくまれる論理ろんり語彙ごいのみに基もとづく場合ばあい、その命題めいだいは論理ろんり的てきに真しんであるという。これは、その命題めいだいが、その論理ろんり項こう以外いがいの部分ぶぶんにいかなる解釈かいしゃくを適用てきようしても真しんであるということを指さす。一部いちぶの様相ようそう論理ろんり体系たいけいでは、このことを命題めいだいがあらゆる可能かのう世界せかいで真しんであるという。一部いちぶの論理ろんり学者がくしゃは、論理ろんり学がくを論理ろんり的てき真理しんりの研究けんきゅうと定義ていぎする。

真理しんり値ち表ひょう

論理ろんり結合けつごう子この振ふる舞まいや、複ふく合あい命題めいだいの各かく部分ぶぶんとその真理しんり値ちの依存いぞん関係かんけいを示しめすのに、真理しんり値ち表ひょうが用もちいられる。真理しんり値ち表ひょうは、各かく列れつに入力にゅうりょく変数へんすうを持もち、各行かくこうにこれらの変数へんすうが取とりうる真理しんり値ちの可能かのうな組くみ合あわせを持もつ。真理しんり値ち「真しん」・「偽にせ」の省略しょうりゃくとしては、一般いっぱんに記号きごう「T」・「F」あるいは「1」・「0」が用もちいられる。最初さいしょの列れつで、入力にゅうりょく変数へんすうのあらゆる可能かのうな真理しんり値ちの組くみ合あわせが提示ていじされ、残のこりの列れつで、入力にゅうりょく値ちに対応たいおうする各かく表現ひょうげんの真理しんり値ちが提示ていじされる。例たとえば、表現ひょうげん $p\land q$ では、論理ろんり結合けつごう子こ $\land$ (かつ) が用もちいられる。この論理ろんり結合けつごう子こは、「昨日きのうは日曜日にちようびであった; かつ、昨日きのうは晴天せいてんであった」のような文ぶんを表現ひょうげんするのに用もちいることができる。この文ぶんは、入力にゅうりょく変数へんすう $p$ (「昨日きのうは日曜日にちようびであった」) および $q$ (「昨日きのうは晴天せいてんであった」) の両方りょうほうが真しんである場合ばあいにのみ真しんであり、それ以外いがいの場合ばあい、文ぶん全体ぜんたいが偽にせとなる。その他たの重要じゅうような論理ろんり結合けつごう子こには、$\lnot$ (...でない) 、$\lor$ (または) 、$\to$ (...であれば...) 、$\uparrow$ (否定ひてい論理ろんり積せき) がある。ある条件じょうけん命題めいだい $p\to q$ からは、その逆ぎゃく ($q\to p$) 、裏うら ($\lnot p\to \lnot q$) 、対偶たいぐう ($\lnot q\to \lnot p$) の真理しんり値ち表ひょうが得えられる。真理しんり値ち表ひょうは、複数ふくすうの命題めいだい結合けつごう子こを用もちいた複ふく合あい表現ひょうげんに対たいしても定義ていぎできる。

各かく表現ひょうげんの真理しんり値ち表ひょう

$p$	$q$	$p\land q$	$p\lor q$	$p\to q$	$\lnot p\to \lnot q$	$p\uparrow q$
T	T	T	T	T	T	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	F	T	T	T

論証ろんしょうと推論すいろん

詳細しょうさいは「論証ろんしょう」および「推論すいろん」を参照さんしょう

論理ろんり学がくは一般いっぱんに、論証ろんしょうあるいは推論すいろんの正ただしさの研究けんきゅうと定義ていぎされる。論証ろんしょうは、前提ぜんていの集合しゅうごうおよび結論けつろんからなる。推論すいろんは、前提ぜんていから結論けつろんを導みちびく過程かていである。ただ、論理ろんり学がくでは、「論証ろんしょう」および「推論すいろん」を同義どうぎとみなす場合ばあいもある。論証ろんしょうは、前提ぜんていが結論けつろんを支持しじするかによって、正ただしいものと正ただしくないものに分類ぶんるいされる。一方いっぽう、前提ぜんていおよび結論けつろんは、それが現実げんじつに沿そうかによって真偽しんぎが決きまる。形式けいしき論理ろんり学がくでは、論証ろんしょうが正ただしく、かつ、真しんの前提ぜんていのみを持もつものを健全けんぜんな論証ろんしょうという。論証ろんしょうは、単純たんじゅん論証ろんしょうおよび結合けつごう論証ろんしょうに分類ぶんるいされる場合ばあいがある。結合けつごう論証ろんしょうは、単純たんじゅん論証ろんしょうを連つらねて定立ていりつされた論証ろんしょうである。つまり、ある論証ろんしょうの結論けつろんが、続つづきの論証ろんしょうの前提ぜんていとなる。結合けつごう論証ろんしょうが正ただしいためには、これらの連つらなった論証ろんしょうのすべてが正ただしい必要ひつようがある。

論理ろんり学がくで用もちいられる論証ろんしょう関連かんれんの用語ようご

論証ろんしょうおよび推論すいろんには、正ただしいものと正ただしくないものがある。論証ろんしょうおよび推論すいろんは、前提ぜんていが結論けつろんを支持しじする場合ばあいに正ただしい。正ただしくない場合ばあい、この支持しじが欠かけている。結論けつろんの支持しじは、推論すいろんの種類しゅるいによって異ことなる形態けいたいを取とる。演繹えんえき的てき推論すいろんは、最もっとも強つよい支持しじを持もつ。ただし、前提ぜんていに演繹えんえき以外いがいの結論けつろんの支持しじがあり、演繹えんえきに妥当だとうでない論証ろんしょうも正ただしい論証ろんしょうである場合ばあいがある。この場合ばあい、帰納的きのうてき推論すいろんまたは拡充かくじゅう的てき推論すいろんの用語ようごが用もちいられる。演繹えんえき的てき論証ろんしょうは形式けいしき論理ろんり学がくと関連かんれんし、拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうは非ひ形式けいしき論理ろんり学がくと関連かんれんする。

演繹えんえき的てき論証ろんしょう

演繹えんえき的てきに妥当だとうな論証ろんしょうでは、前提ぜんていが結論けつろんの真理しんりを保証ほしょうする。論証ろんしょう「(1) すべてのカエルは両生類りょうせいるいである; (2) 両生類りょうせいるいの猫ねこは存在そんざいしない; (3) したがって、猫ねこであるカエルは存在そんざいしない」は、演繹えんえき的てきに妥当だとうな論証ろんしょうの例れいである。演繹えんえき的てき妥当だとう性せいの評価ひょうかでは、前提ぜんていや結論けつろんが実際じっさいに真しんであるかは考慮こうりょしない。したがって、論証ろんしょう「(1) すべてのカエルは哺乳類ほにゅうるいである; (2) 哺乳類ほにゅうるいの猫ねこは存在そんざいしない; (3) したがって、猫ねこであるカエルは存在そんざいしない」も、前提ぜんていから結論けつろんが必然ひつぜん的てきに導みちびかれるため、妥当だとうである。

アルフレト・タルスキによると、演繹えんえき的てき論証ろんしょうは次つぎの3つの不可欠ふかけつな要素ようそを持もつ。(1) 形式けいしき的てきである。つまり、前提ぜんていおよび結論けつろんの形式けいしきのみに依存いぞんする。(2) アプリオリである。つまり、評価ひょうかに経験けいけんを必要ひつようとしない。(3) 様相ようそう的てきである。つまり、その他たの条件じょうけんとは無関係むかんけいに、命題めいだいの論理ろんり的てき必然ひつぜん性せいのみにより成立せいりつする。

1つ目めの要素ようそ (論証ろんしょうの形式けいしき性せい) により、演繹えんえき的てき推論すいろんは、推論すいろん規則きそくと同一どういつ視しされる。各かく推論すいろん規則きそくは、前提ぜんていおよび結論けつろんの形式けいしき (推論すいろんが妥当だとうであるための構造こうぞう) を定義ていぎする。どの推論すいろん規則きそくにも適合てきごうしない論証ろんしょうは、演繹えんえき的てきに妥当だとうでない。モーダスポネンスは、基本きほん的てきな推論すいろん規則きそくであり、「(1) $p$ である; (2) $p$ であれば、$q$ である; (3) したがって、$q$ である」の形式けいしきを取とる。例たとえば、雨あめが降ふっていた ($p$) 、および、雨あめが降ふると道みちが濡ぬれる ($p\to q$) という知識ちしきから、モーダスポネンスを用もちいて、今道いまみちが濡ぬれている ($q$) という結論けつろんを演繹えんえきできる。

3つ目めの要素ようそ (論証ろんしょうの様相ようそう性せい) は、演繹えんえき的てきに妥当だとうな推論すいろんは真理しんり保存ほぞん的てき (truth-preserving) であり、前提ぜんていが真しんで結論けつろんが偽にせであることが不可能ふかのうであるとい換いかえることができる。この要素ようそにより、演繹えんえき的てき推論すいろんは、前提ぜんていに存在そんざいしない新あたらしい情報じょうほうを導みちびくことがないため、情報じょうほうのない (uninformative) 推論すいろんと形容けいようされることがある。ただし、この見解けんかいでは、ほとんどの数学すうがくも同様どうように情報じょうほうがないということになってしまうため、常つねにこの見解けんかいが受うけ入いれられるわけではない。また、surface informationとdepth informationの区別くべつを導入どうにゅうする見解けんかいもある。文ぶんのsurface informationは、文ぶんが明示めいじ的てきに提示ていじする情報じょうほうである。depth informationは、明示めいじ的てき・暗示あんじ的てきにかかわらず、文ぶんに含ふくまれる情報じょうほう全体ぜんたいである。この見解けんかいでは、演繹えんえき的てき推論すいろんはdepthのレベルでは情報じょうほうのない推論すいろんであるが、surfaceのレベルでは、暗示あんじ的てきな情報じょうほうが明あきらかにされるため、情報じょうほう的てき (informative) であるとされる。情報じょうほう的てきな推論すいろんには、数学すうがくの証明しょうめいなどがある。

拡充かくじゅう的てき論証ろんしょう

拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうは、前提ぜんていに含ふくまれない新あたらしい情報じょうほうが結論けつろんする論証ろんしょうである。拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうでは、前提ぜんていが結論けつろんをより確たしからしくする一方いっぽう、結論けつろんの真理しんりは保証ほしょうされない。つまり、前提ぜんていがすべて真しんであっても結論けつろんが偽にせである場合ばあいがある。この特徴とくちょうは、非単調ひたんちょう性せいおよび棄却ききゃく可能かのう性せいと強つよく関連かんれんする。つまり、新あらたな推論すいろんから得えられた情報じょうほうをもとに、前まえの結論けつろんが棄却ききゃくされる場合ばあいがある。拡充かくじゅう的てき推論すいろんは、多おおくの日常にちじょう対話たいわおよび自然しぜん科学かがくにおける論証ろんしょうの中核ちゅうかくをなす。拡充かくじゅう的てき推論すいろんは、異ことなる推論すいろんの正ただしさの基準きじゅんを持もち、無条件むじょうけんで正ただしくないものは存在そんざいしない。拡充かくじゅう的てき推論すいろんにおける結論けつろんの支持しじは、通常つうじょう、段階だんかいで得えられる。強つよい拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうでは、結論けつろんが非常ひじょうに確たしからしいということができ、弱よわい拡充かくじゅう的てき推論すいろんでは、この確かくからしさの度合どあいが弱よわまる。したがって、前提ぜんていによる支持しじが弱よわいがこれを無視むしできない場合ばあいなど、正ただしい拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうと正ただしくない拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうの区別くべつは曖昧あいまいである場合ばあいもある。この特徴とくちょうは、論証ろんしょうが妥当だとうなものとそうでないものに厳密げんみつに区別くべつされ、その境界きょうかい線せん上じょうにあるものが存在そんざいしない演繹えんえき的てき論証ろんしょうとは対照たいしょう的てきである。

拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうの分類ぶんるいに用もちいられる用語ようごには一貫いっかん性せいがない。James Hawthorneら一部いちぶの哲学てつがく者しゃは、演繹えんえき的てき論証ろんしょう以外いがいのあらゆる論証ろんしょうを「帰納きのう」に分類ぶんるいする。一方いっぽう、狭義きょうぎでは、帰納的きのうてき論証ろんしょうは遡及そきゅう論証ろんしょうとともに、拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうの一種いっしゅに数かぞえられる。また、Leo Groarkeら一部いちぶの哲学てつがく者しゃは、拡充かくじゅう的てき論証ろんしょうの種類しゅるいとして、さらにconductive argumentを挙あげる。この狭義きょうぎの意味いみでは、帰納きのうは主おもに統計とうけい的てき一般いっぱん化かを伴ともなう論証ろんしょうと定義ていぎされる。この場合ばあい、特定とくていの規則きそくを示しめす多数たすうの事例じれいの観察かんさつを前提ぜんていとし、この規則きそくが常つねに成立せいりつするという一般いっぱん法則ほうそくを結論けつろんするものが帰納的きのうてき推論すいろんに分類ぶんるいされる。例たとえば、過去かこに観察かんさつしたゾウの色いろの知識ちしきをもとに、「すべてのゾウは灰色はいいろである」と結論けつろんする推論すいろんがこれに当あたる。また、一般いっぱん法則ほうそくではなく、「私わたしがまだ見みていないあるゾウも同様どうように灰色はいいろである」のように、さらなる事例じれいについての結論けつろんを推論すいろんするものも帰納的きのうてき推論すいろんに含ふくまれる。Igor Douvenら一部いちぶの哲学てつがく者しゃは、帰納的きのうてき推論すいろんを統計とうけい的てき一般いっぱん化かのみに基もとづく推論すいろんと定義ていぎする。この定義ていぎでは、帰納的きのうてき推論すいろんは遡及そきゅう推論すいろんと区別くべつされる。

逆行ぎゃっこう推論すいろんには、統計とうけい的てき一般いっぱん化かを伴ともなわないものもある。いずれの場合ばあいにも、逆行ぎゃっこう推論すいろんでは、前提ぜんていが真しんであることを結論けつろんがもっともうまく説明せつめいできるということを根拠こんきょに、前提ぜんていから結論けつろんが支持しじされる。この点てんで、逆行ぎゃっこう推論すいろんは、最良さいりょうの説明せつめいへの推論すいろんと形容けいようされる。早朝そうちょうにキッチンにパンくずの乗のった皿さらがあるという前提ぜんていから、その家いえの住人じゅうにんが夜食やしょくをとったが、疲つかれて食卓しょくたくを片付かたづけなかったと結論けつろんする場合ばあいを例れいとする。この例れいでは、この推論すいろんは、結論けつろんが現在げんざいのキッチンの状態じょうたいを最もっともうまく説明せつめいできるため、正当せいとう化かされる。逆行ぎゃっこう推論すいろんでは、単たんに結論けつろんが前提ぜんていを説明せつめいするというだけでは不十分ふじゅうぶんである。例たとえば、「空あき巣すが昨晩さくばん家かに入はいり、途中とちゅうで空腹くうふくを感かんじたため夜食やしょくをとった」という結論けつろんも現在げんざいのキッチンの状態じょうたいを説明せつめいできるが、この結論けつろんは最もっとも可能かのう性せいが高たかい説明せつめいとはいえないため、正当せいとう化かされない。

誤謬ごびゅう

すべての論証ろんしょうが正ただしい推論すいろんの水準すいじゅんを満みたすわけではない。論証ろんしょうが正ただしい推論すいろんの水準すいじゅんに満みたない場合ばあい、そのような論証ろんしょうは誤謬ごびゅうと呼よばれる。誤謬ごびゅうの重要じゅうような側面そくめんは、論証ろんしょうの結論けつろんが偽にせであるという点てんではなく、結論けつろんに至いたる推論すいろんに瑕疵かしがあるという点てんにある。したがって、論証ろんしょう「今日きょうは晴はれている; したがって、クモには足あしが8本ほんある」は、結論けつろんが真しんであっても誤謬ごびゅうである。ジョン・スチュアート・ミルら一部いちぶの哲学てつがく者しゃは、誤謬ごびゅうの要件ようけんとして、「論証ろんしょうが一見いっけん正ただしいように見みえること」を付つけ加くわえた。これにより、実際じっさいの誤謬ごびゅうを、単たんなる不注意ふちゅういによる推論すいろんの誤あやまりと区別くべつできる。

Young America's dilemma: 賢かしこく偉大いだいであるべきか、裕福ゆうふくで強つよくあるべきか? (1901年ねんのポスター) 。これは、起おこりうる事象じしょうを除外じょがいする選言せんげん的てき前提ぜんていで、非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅうの一種いっしゅである誤あやまった二分にぶん法ほうの例れいである。

誤謬ごびゅうは、形式けいしき的てき誤謬ごびゅうおよび非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅうに分類ぶんるいされる。形式けいしき的てき誤謬ごびゅうでは、論証ろんしょうの形式けいしきに問題もんだいが存在そんざいする。前件ぜんけん否定ひていは、形式けいしき的てき誤謬ごびゅうの一種いっしゅである。ただし、多おおくの種類しゅるいが学術がくじゅつ的てきに議論ぎろんされているほとんどの誤謬ごびゅうは非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅうである。非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅうでは、論証ろんしょうの内容ないようあるいはコンテキストに問題もんだいが存在そんざいする。非ひ形式けいしき的てき誤謬ごびゅうは、さらに曖昧あいまいさの誤謬ごびゅう、仮定かていの誤謬ごびゅう、関連かんれん性せいの誤謬ごびゅうに分類ぶんるいされる場合ばあいがある。曖昧あいまいさの誤謬ごびゅうでは、「羽毛うもうは明あかるい; 明あかるいものが暗くらいことはあり得えない; したがって、羽毛うもうが暗くらくなることはない」のように、自然しぜん言語げんごの曖昧あいまいさが誤あやまりの原因げんいんとなる。仮定かていの誤謬ごびゅうでは、間違まちがっているか、正当せいとう化かされない仮定かていが含ふくまれる。関連かんれん性せいの誤謬ごびゅうでは、前提ぜんていが結論けつろんと無関係むかんけいであるため、結論けつろんが前提ぜんていにより支持しじされない。

定義ていぎ的てき・戦略せんりゃく的てき規則きそく

論理ろんり学がくでは、論証ろんしょうが正ただしい、あるいは正ただしくないための条件じょうけんに注目ちゅうもくする。これらの条件じょうけんに違反いはんする場合ばあい、誤謬ごびゅうが存在そんざいする。形式けいしき論理ろんり学がくでは、これらの条件じょうけんを推論すいろん規則きそくと呼よぶ。推論すいろん規則きそくは、推論すいろんの正ただしさや許容きょようされる推論すいろんを決定けっていする定義ていぎ的てき規則きそくである。定義ていぎ的てき規則きそくは、戦略せんりゃく的てき規則きそくと対比たいひされる。戦略せんりゃく的てき規則きそくは、ある前提ぜんていの集合しゅうごうから結論けつろんを導みちびくために必要ひつような推論すいろんの手順てじゅんを決定けっていする。この区別くべつは、論理ろんり学がくだけでなく、ゲームにも存在そんざいする。例たとえばチェスでは、定義ていぎ的てき規則きそくが、ビショップが斜ななめにのみ移動いどうできるということを規定きていする。一方いっぽう、戦略せんりゃく的てき規則きそくは、中央ちゅうおうを制圧せいあつし、キングを守まもるなど、ゲームに勝かつために合法ごうほう手しゅをどのように用もちいることができるかを規定きていする。戦略せんりゃく的てき規則きそくは、効率こうりつ的てきな推論すいろんに重要じゅうようであり、論理ろんり学者がくしゃは戦略せんりゃく的てき規則きそくにより重おもきを置おくべきであると主張しゅちょうされる。

形式けいしき体系たいけい

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形式けいしき論理ろんり体系たいけいは、形式けいしき言語げんごおよび公理こうりの集合しゅうごうと、これらの公理こうりから推論すいろんを行おこなうための証明しょうめい系けいからなる。論理ろんり学がくでは、証明しょうめいなしに受うけ入いれられる文ぶんを公理こうりという。公理こうりは、他たの文ぶんの正当せいとう化かに用もちいられる。一部いちぶの論理ろんり学者がくしゃは、形式けいしき言語げんごの表現ひょうげんと現実げんじつの対象たいしょうの関係かんけいを規定きていする形式けいしき意味いみ論ろんを形式けいしき論理ろんり体系たいけいに含ふくめる。19世紀せいき後半こうはんより、多おおくの新あらたな形式けいしき体系たいけいが提案ていあんされてきた。

形式けいしき言語げんごは、アルファベットおよび構文こうぶん規則きそくからなる。アルファベットは、論理ろんり式しきで用もちいられる基本きほん的てきな記号きごうの集合しゅうごうであり、構文こうぶん規則きそくは、これらの記号きごうを用もちいてwell-formed formulaを立だて式しきする方法ほうほうを規定きていする。例たとえば、命題めいだい論理ろんりの構文こうぶん規則きそくは、$P\land Q$ がwell-formed formulaであるが、$\land Q$ は、論理ろんり積せき $\land$ が両りょう端はしに項こうを必要ひつようとするためwell-formed formulaではないということを規定きていする。

証明しょうめい系けいは、形式けいしき証明しょうめいを立だて式しきするための各かく規則きそくで、各かく公理こうりから結論けつろんを導みちびく道具どうぐである。証明しょうめい系けいの規則きそくは、論理ろんり式しきの具体ぐたい的てきな内容ないようから独立どくりつした、論理ろんり式しきの構文こうぶん的てき構造こうぞうの点てんで定義ていぎされる。例たとえば、古典こてん論理ろんりの規則きそくである論理ろんり積せきの導入どうにゅうは、$P\land Q$ が 前提ぜんてい $P$ および $Q$ から帰結きけつするということを規定きていする。これらの規則きそくは順番じゅんばんに適用てきようでき、前提ぜんていから結論けつろんを得えるための数学すうがく的てき手順てじゅんを提示ていじする。自然しぜん演繹えんえきやシークエント計算けいさんなど、証明しょうめい系けいにはさまざまな種類しゅるいがある。

意味いみ論ろんは、形式けいしき言語げんごの論理ろんり式しきをその外延がいえんに写像しゃぞうするための体系たいけいである。多おおくの論理ろんり体系たいけいでは、外延がいえんは真理しんり値ちである。例たとえば、命題めいだい論理ろんりの意味いみ論ろんは、$P$ および $Q$ が真しんであるときに、式しき $P\land Q$ に外延がいえん「真しん」を与あたえる。意味いみ論ろん的てきな観点かんてんでは、前提ぜんていが真しんである場合ばあいに常つねに結論けつろんも真しんであるとき、前提ぜんていは結論けつろんを含意がんいする。

論理ろんり体系たいけいは、証明しょうめい系けいが、前提ぜんていの集合しゅうごうが結論けつろんを意味いみ論ろん的てきに含意がんいする場合ばあい以外いがいに結論けつろんを導みちびけない場合ばあいに健全けんぜんであるという。これは、論理ろんり体系たいけいが意味いみ論ろんの定義ていぎに基もとづく偽にせの結論けつろんを導みちびけないということを指さす。また、論理ろんり体系たいけいは、その証明しょうめい系けいが前提ぜんていが含意がんいするすべての結論けつろんを導みちびくことができる場合ばあいに完全かんぜんであるという。これは、論理ろんり体系たいけいが意味いみ論ろんの定義ていぎに基もとづくあらゆる真しんの結論けつろんを導みちびけるということを指さす。健全けんぜんかつ完全かんぜんな論理ろんり体系たいけいでは、妥当だとう性せいおよび含意がんいの関係かんけいが完全かんぜんに一致いっちする。

論理ろんり体系たいけい

論理ろんり体系たいけいは、推論すいろんおよび論証ろんしょうの正ただしさを評価ひょうかするための論理ろんり的てき枠組わくぐみである。過去かこ2000年ねん以上いじょうの間あいだ、西洋せいようでは、アリストテレス論ろん理学りがくが最もっとも重要じゅうような論理ろんり体系たいけいとみなされてきたが、この分野ぶんやでの近年きんねんの発展はってんにより、多おおくの新あらたな論理ろんり体系たいけいが考案こうあんされてきた。形式けいしき論理ろんり体系たいけいは、古典こてん論理ろんり、拡張かくちょう論理ろんり、逸脱いつだつ論理ろんりに分類ぶんるいされる。

アリストテレス論ろん理学りがく

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古典こてん論理ろんり

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古典こてん論理ろんりは、伝統でんとう的てき論理ろんり学がくやアリストテレス論理ろんり学がくとは区別くべつされる。古典こてん論理ろんりには、命題めいだい論理ろんりおよび一いち階かい述語じゅつご論理ろんりが含ふくまれる。古典こてん論理ろんりは、多おおくの論理ろんり学者がくしゃが支持しじする基本きほん的てきな論理ろんり的てき直感ちょっかんに基もとづいているため、「古典こてん」と呼よばれる。古典こてん論理ろんりの根拠こんきょとなる直感ちょっかんには、排中律はいちゅうりつ、二に重じゅう否定ひていの除去じょきょ、爆発ばくはつ律りつ、二に値ち性せいの原理げんりが含ふくまれる。古典こてん論理ろんりは、当初とうしょは数学すうがくの論証ろんしょうを評価ひょうかする目的もくてきで考案こうあんされ、その後ご、他たの分野ぶんやへの応用おうようが進すすんだ。古典こてん論理ろんりは数学すうがくに特とく化かしており、哲学てつがく的てきに重要じゅうような多おおくの分野ぶんやに関連かんれんする論理ろんり語彙ごいを含ふくまない。例たとえば、必然ひつぜん性せい・可能かのう性せいや、倫理りんり的てき義務ぎむ・許可きょかの概念がいねんは、古典こてん論理ろんりでは扱あつかえない。同様どうように、過去かこ・現在げんざい・未来みらいの関係かんけいも、古典こてん論理ろんりでは記述きじゅつできない。この問題もんだいに対たいして、拡張かくちょう論理ろんりが考案こうあんされた。拡張かくちょう論理ろんりは、古典こてん論理ろんりの基本きほん的てきな直感ちょっかんを採用さいようし、新あらたな論理ろんり語彙ごいを導入どうにゅうすることで、古典こてん論理ろんりを拡張かくちょうする。これにより、数学すうがくの範囲はんいを超こえる倫理りんり学がくや認識にんしき論ろんの分野ぶんやで、厳密げんみつな論理ろんり的てきアプローチが応用おうようできる。

命題めいだい論理ろんり

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命題めいだい論理ろんりは、要素ようそ命題めいだいを論理ろんり結合けつごう子こでつないだ式しきで定立ていりつされる形式けいしき体系たいけいである。例たとえば、命題めいだい論理ろんりは、2つの要素ようそ命題めいだい $P$ および $Q$ の論理ろんり積せきを複ふく合ごう式しき $P\land Q$ と表現ひょうげんする。項こうおよび述語じゅつごが最小さいしょうの構成こうせい要素ようそである述語じゅつご論理ろんりとは異ことなり、命題めいだい論理ろんりは、真理しんり値ちを持もつ完全かんぜんな命題めいだいをその最もっとも基本きほん的てきな構成こうせい要素ようそとみなす。したがって、命題めいだい論理ろんりでは、複ふく合あい命題めいだいがより単純たんじゅんな命題めいだいから構成こうせいされる論理ろんり的てき関係かんけいは記述きじゅつできるが、命題めいだいの内部ないぶ構造こうぞうから得えられる推論すいろんを記述きじゅつすることはできない。

一いち階かい述語じゅつご論理ろんり

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ゴットロープ・フレーゲは『概念がいねん記法きほう』で、量りょう化か記号きごうの概念がいねんを図示ずしして導入どうにゅうした。この図ずは、$\forall x.F(x)$ という判断はんだんが真しんであることを示しめす。

一いち階かい述語じゅつご論理ろんりは命題めいだい論理ろんりと同おなじ命題めいだい結合けつごう子こを含ふくむが、命題めいだいの内部ないぶ構造こうぞうを記述きじゅつできる点てんで、古典こてん論理ろんりとは異ことなる。一いち階かい述語じゅつご論理ろんりでは、特定とくていの物体ぶったいを指示しじする単たん称しょう項こう、属性ぞくせいや関係かんけいを記述きじゅつする述語じゅつご、「いくつかの」・「すべての」のような概念がいねんを扱あつかう量りょう化か子こが用もちいられる。例たとえば、命題めいだい「このカラスは黒くろい」を表現ひょうげんするには、属性ぞくせい「黒くろい」を表あらわすのに述語じゅつご $B$、カラスを表あらわすのに単たん称しょう項こう $r$ を用もちいて、表現ひょうげん $B(r)$ を得える。黒くろい物体ぶったいが存在そんざいするということを表現ひょうげんするには、存在そんざい記号きごう $\exists$ と変数へんすう $x$ を組くみ合あわせて、命題めいだい $\exists xB(x)$ を得える。一いち階かい述語じゅつご論理ろんりは、このような表現ひょうげんがどのように妥当だとうな論証ろんしょう ($\exists xB(x)$ から $B(r)$ を導みちびく場合ばあいなど) を構成こうせいできるかを決定けっていする推論すいろん規則きそくを含ふくむ。

拡充かくじゅう論理ろんり

拡充かくじゅう論理ろんりは、古典こてん論理ろんりの基本きほん原理げんりを受うけ入いれ、形而上学けいじじょうがく、倫理りんり学がく、認識にんしき論ろんでの応用おうようのため、新あらたな記号きごうや原理げんりを導入どうにゅうする論理ろんり体系たいけいである。

様相ようそう論理ろんり

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様相ようそう論理ろんりは、古典こてん論理ろんりの拡張かくちょう版ばんである。真理しんり論ろん的てき様相ようそう論理ろんり (alethic modal logic) と呼よばれる様相ようそう論理ろんりの基本きほん形態けいたいでは、対象たいしょうが可能かのうであることを示しめす $\Diamond$ 、および、対象たいしょうが必然ひつぜんであることを示しめす $\Box$ の2つの記号きごうが導入どうにゅうされる。例たとえば、論理ろんり式しき $B(s)$ が文ぶん「ソクラテスは銀行ぎんこう員いんである」を表あらわす場合ばあい、$\Diamond B(s)$ は、文ぶん「ソクラテスが銀行ぎんこう員いんであることは可能かのうである」を表あらわす。これらの記号きごうを論理ろんり形式けいしき主義しゅぎに含ふくめるため、様相ようそう論理ろんりは、推論すいろんにおけるこれらの記号きごうの振ふる舞まいを規定きていする新あらたな推論すいろん規則きそくを導入どうにゅうする。様相ようそう論理ろんりの推論すいろん規則きそくの一ひとつは、「対象たいしょうが必然ひつぜんであるとき、それは可能かのうである」というものである。つまり、$\Diamond A$ は $\Box A$ から導みちびかれるということである。要素ようそ論理ろんりの他ほかの推論すいろん規則きそくには、「ある命題めいだいが必然ひつぜんであるとき、その否定ひていは不可能ふかのうであり、同様どうように、ある命題めいだいの否定ひていが不可能ふかのうであるとき、その命題めいだいは必然ひつぜんである」というものがある。つまり、$\Box A$ が $\lnot \Diamond \lnot A$ と同値どうちであるということである。

その他たの様相ようそう倫理りんりでも同おなじ記号きごうが導入どうにゅうされるが、様相ようそう論理ろんりを他たの分野ぶんやに応用おうようするため、記号きごうに別べつの意味いみを与あたえる。例たとえば、義務ぎむ論理ろんりは、倫理りんり学がくと関連かんれんがあり、義務ぎむおよび許可きょか (ある行為こうい者しゃがある行為こういをしなければならないか、また、ある行為こうい者しゃがある行為こういをすることを許可きょかされるか) の概念がいねんを表あらわす記号きごうを導入どうにゅうする。時どき相しょう論理ろんりにおける様相ようそう演算えんざんは、時制じせいの関係かんけいを記述きじゅつする。時どき相しょう論理ろんりでは、「あるとき何なにかが起おこった」や「常つねに何なにかが起おこっている」などを表現ひょうげんできる。認識にんしき論ろんでは、「何なにかを知しる」や「何なにかを信しんじる」の概念がいねんを記述きじゅつするのに認識にんしき論理ろんりが用もちいられる。

高階たかしな述語じゅつご論理ろんり

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高階たかしな述語じゅつご論理ろんりは、様相ようそう演算えんざん子こではなく、新あたらしい形式けいしきの量りょう化か子こを導入どうにゅうする。量りょう化か子こは、「すべての」・「いくつかの」などの用語ようごに対応たいおうする演算えんざん子こである。古典こてん一いち階かい述語じゅつご論理ろんりでは、量りょう化か子こは個体こたいにのみ適用てきようできる。論理ろんり式しき $\exists x(Apple(x)\land Sweet(x))$ (いくつかのりんごは甘あまい) は、存在そんざい記号きごう $\exists$ を個体こたい変数へんすう $x$ に適用てきようする例れいである。高階たかしな述語じゅつご論理ろんりでは、述語じゅつごも量りょう化かできる。例たとえば、メアリーとジョンがある共通きょうつうの属性ぞくせいを持もつということを表現ひょうげんするには、論理ろんり式しき $\exists Q(Q(mary)\land Q(john))$ を用もちいることができる。この例れいでは、存在そんざい記号きごうが述語じゅつごの変数へんすう $Q$ に適用てきようされている。この表現ひょうげん力りょくにより、数学すうがくの理論りろんの立だて式しきがより簡潔かんけつになるため、高階たかしな述語じゅつご論理ろんりは特とくに数学すうがくで有用ゆうようである。ただし、そのメタ論ろん理学りがく的てき属性ぞくせいや存在そんざい論ろん的てき影響えいきょうにより、現在げんざいも一いち階かい述語じゅつご論理ろんりがより広ひろく用もちいられる。

逸脱いつだつ論理ろんり

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逸脱いつだつ論理ろんりは、古典こてん論理ろんりの基本きほん的てきな直感ちょっかんの一部いちぶを却下きゃっかする論理ろんり体系たいけいである。このため、逸脱いつだつ論理ろんりは古典こてん論理ろんりを補おぎなうものではなく、それを取とって代かえるものと考かんがえられている。逸脱いつだつ論理ろんりの各かく論理ろんり体系たいけいは、却下きゃっかする古典こてん論理ろんりの直感ちょっかんや、同おなじ問題もんだいに対たいして提示ていじする別べつ解かいの点てんでそれぞれ異ことなる。

直観ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりは、古典こてん論理ろんりを簡素かんそ化かした論理ろんり体系たいけいである。古典こてん論理ろんりと同おなじ記号きごうを用もちいるが、一部いちぶの推論すいろん規則きそくを除外じょがいする。例たとえば、二に重じゅう否定ひていの除去じょきょの法則ほうそくでは、「文ぶんが偽にせである」が偽にせの場合ばあい、その文ぶんは真しんであるとされる。つまり、$\lnot \lnot A$ から $A$ が帰結きけつする。この推論すいろんは、古典こてん論理ろんりでは妥当だとうであるが、直感ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりでは妥当だとうでない。また、あらゆる文ぶんについて、その文ぶんが真しんであるか、その文ぶんの否定ひていが真しんである ($A\lor \lnot A$ の形式けいしきを取とるすべての命題めいだいが真しんである) と主張しゅちょうする排中律はいちゅうりつも、直感ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりに存在そんざいしない古典こてん主義しゅぎの直感ちょっかんの一ひとつである。この古典こてん論理ろんりからの逸脱いつだつは、真理しんりが証明しょうめいを用もちいた検証けんしょうにより得えられるという見解けんかいに基もとづく。逸脱いつだつ論理ろんりは、「ある対象たいしょうの存在そんざいを証明しょうめいするには、それを実際じっさいに見みつけたり構成こうせいしたりしなければならない」とする構成こうせい主義しゅぎ数学すうがくの分野ぶんやで特とくに重要じゅうようである。

多値たち論理ろんりは、すべての命題めいだいが真しんか偽にせのいずれかであるととする二に値ち性せいの原理げんりを却下きゃっかする点てんで、古典こてん論理ろんりと異ことなる。ヤン・ウカシェヴィチとスティーヴン・コール・クリーネは、文ぶんの真理しんり値ちが不定ふていであることを示しめす第だい3の真理しんり値ちを導入どうにゅうした3値ち論理ろんりを提唱ていしょうした。3値ち論理ろんりは、言語げんご学がくの分野ぶんやで応用おうようされる。ファジィ論理ろんりは、0から1までの実数じっすうで示しめされる無限むげんの「真理しんりの程度ていど」を持もつ多値たち論理ろんりである。

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは、矛盾むじゅんを扱あつかう論理ろんり体系たいけいである。矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは、爆発ばくはつ律りつを避さけるよう定義ていぎされる。したがって、矛盾むじゅんからあらゆるものが帰結きけつしない。矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは、真しんなる矛盾むじゅんが存在そんざいするとする真ま矛盾むじゅん主義しゅぎと関かかわりがある。グレアム・プリーストは、真ま矛盾むじゅん主義しゅぎの現代げんだいの重要じゅうような擁護ようご者しゃであり、同様どうようの見解けんかいはゲオルク・ヴィルヘルム・フリードリヒ・ヘーゲルにも見みることができる。

研究けんきゅう領域りょういき

論理ろんり学がくはさまざまな分野ぶんやで研究けんきゅうされている。多おおくの場合ばあい、論理ろんり学がくの研究けんきゅうでは、論理ろんり学がくの形式けいしき的てきな方法ほうほう論ろんの論理ろんり学がく以外いがいの分野ぶんや (倫理りんり学がく、計算けいさん機き科学かがくなど) への応用おうようを研究けんきゅうする。また、論理ろんり学がく自体じたいが別べつの分野ぶんやでの研究けんきゅうの対象たいしょうとなる場合ばあいもある。例たとえば、論理ろんり学者がくしゃが用もちいる基本きほん的てきな概念がいねんに関かんする哲学てつがく的てきな仮定かていの検討けんとうや、数学すうがく的てき構造こうぞうを用もちいた論理ろんり学がくの解釈かいしゃく・分析ぶんせき、形式けいしき論理ろんり体系たいけいの抽象ちゅうしょう的てきな特徴とくちょうの比較ひかくなどがある。

論理ろんり学がくの哲学てつがくと哲学てつがく的てき論理ろんり学がく

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論理ろんり学がくの哲学てつがくは、論理ろんり学がくの範囲はんい・性質せいしつを研究けんきゅうする哲学てつがくの分野ぶんやである。論理ろんり学がくの基本きほん的てきな概念がいねんの定義ていぎや、これらの概念がいねんに関かんする形而上学けいじじょうがく的てきな仮定かていなど、論理ろんり学がくで暗あんに受うけ入いれられる多おおくの仮定かていを研究けんきゅうする。また、論理ろんり体系たいけいの分類ぶんるいや、その存在そんざい論ろん的てきな問題もんだいも研究けんきゅうする。哲学てつがく的てき論理ろんり学がくは、論理ろんり学がくの哲学てつがくの一いち分野ぶんやである。論理ろんり学がくの方法ほうほう論ろんの形而上学けいじじょうがく、倫理りんり学がく、認識にんしき論ろんなどの分野ぶんやの問題もんだいへの応用おうようを研究けんきゅうする。この応用おうようでは、主おもに拡充かくじゅう論理ろんりや逸脱いつだつ論理ろんりの論理ろんり体系たいけいが用もちいられる。

メタ論ろん理学りがく

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メタ論理ろんり学がくは、形式けいしき論理ろんり体系たいけいの特性とくせいを研究けんきゅうする分野ぶんやである。例たとえば、新あたらしい形式けいしき体系たいけいが考案こうあんされた際さいに、その論理ろんり体系たいけいが証明しょうめい可能かのうな論理ろんり式しきを研究けんきゅうする。また、各かく論理ろんり式しきの証明しょうめいを発見はっけんするためのアルゴリズムを考案こうあんできるかや、その論理ろんり体系たいけいで証明しょうめい可能かのうなあらゆる論理ろんり式しきが恒つね真しん式しきであるかも研究けんきゅうする。また、論理ろんり体系たいけいを他たの論理ろんり体系たいけいと比較ひかくし、その論理ろんり体系たいけいに固有こゆうの特性とくせいも研究けんきゅうする。メタ論理ろんり学がくにおける重要じゅうような問題もんだいは、構文こうぶん論ろんと意味いみ論ろんの関係かんけいである。形式けいしき論理ろんり体系たいけいの構文こうぶん規則きそくは、証明しょうめいを立たて、前提ぜんていから結論けつろんを演繹えんえきする方法ほうほうを定義ていぎする。形式けいしき論理ろんり体系たいけいの意味いみ論ろんは、真しんである文ぶんと偽にせである文ぶんを定義ていぎする。論証ろんしょうの前提ぜんていが真しんで結論けつろんが偽にせであることは不可能ふかのうであるため、形式けいしき論理ろんり体系たいけいの意味いみ論ろんは、論証ろんしょうの妥当だとう性せいも決定けっていする。構文こうぶん論ろんと意味いみ論ろんの関係かんけいは、あらゆる妥当だとうな論証ろんしょうが証明しょうめい可能かのうであるかや、あらゆる証明しょうめい可能かのうな論証ろんしょうが妥当だとうであるかなどの問題もんだいと関連かんれんする。また、メタ論理ろんり学がくでは、論理ろんり体系たいけいの完全かんぜん性せい、健全けんぜん性せい、一貫いっかん性せいを検討けんとうし、論理ろんり体系たいけいの決定けってい可能かのう性せいや表現ひょうげん力りょくを研究けんきゅうする。メタ論理ろんり学者がくしゃは、通常つうじょう、メタ論理ろんり学がくの証明しょうめいを立たてる際さいに抽象ちゅうしょう的てきな数学すうがく的てき推論すいろんを用もちいる。これにより、正確せいかくで一般いっぱん性せいがある結論けつろんに到達とうたつすることが可能かのうとなる。

数理すうり論ろん理学りがく

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バートランド・ラッセルは、論理ろんり学がくの分野ぶんやで大おおきな貢献こうけんを残のこした。

数理すうり論理ろんり学がくは、形式けいしき論ろん理学りがくと同義どうぎとして用もちいられる場合ばあいがある。一方いっぽう、狭義きょうぎでは、数理すうり論理ろんり学がくは数学すうがくにおける論理ろんり学がくの研究けんきゅうを指さす。数理すうり論理ろんり学がくの主おもな分野ぶんやには、モデル理論りろん、証明しょうめい論ろん、集合しゅうごう論ろん、計算けいさん可能かのう性せい理論りろんがある。数理すうり論理ろんり学がくの研究けんきゅうでは、論理ろんり学がくの形式けいしき体系たいけいの数学すうがく的てき特性とくせいを研究けんきゅうする。また、数学すうがくの推論すいろんの分析ぶんせきへの論理ろんり学がくの応用おうようや、論理ろんり学がくに基もとづく数学すうがく基礎きそ論ろんの確立かくりつの検討けんとうが含ふくまれる場合ばあいもある。20世紀せいきの数理すうり論理ろんり学がくでは、後者こうしゃが論理ろんり哲学てつがく者しゃゴットロープ・フレーゲ、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、バートランド・ラッセルの論理ろんり主義しゅぎが取とり組くんだ主おもな問題もんだいであった。数学すうがくの理論りろんは恒つね真しん式しきでなければならず、フレーゲらの目的もくてきは、数学すうがくを論理ろんり学がくに還元かんげんすることでこれを示しめすことであった。この取とり組くみは、フレーゲの『算術さんじゅつの基本きほん法則ほうそく』に対たいするラッセルのパラドックス、ヒルベルト・プログラムに対たいするゲーデルの不完全性ふかんぜんせい定理ていりにより、失敗しっぱいした。

集合しゅうごう論ろんは、ゲオルク・カントールの無限むげんの研究けんきゅうで確立かくりつされ、数理すうり論理ろんり学がくにおける多おおくの重要じゅうようで困難こんなんな問題もんだいを生うみ出だしてきた。例たとえば、カントールの定理ていり、選択せんたく公理こうりの位置付いちづけ、連続れんぞく体たい仮説かせつにおける独立どくりつ性せいの問題もんだい、巨大きょだい基数きすうに関かんする議論ぎろんなどがある。

計算けいさん可能かのう性せい理論りろんは、計算けいさん問題もんだいを効率こうりつ的てきに解とく方法ほうほうを研究けんきゅうする数理すうり論理ろんり学がくの分野ぶんやである。例たとえば、P対たいNP問題もんだいがある。計算けいさん可能かのう性せい理論りろんの目的もくてきは、アルゴリズムを用もちいてある問題もんだいを解とくことができるかを理解りかいすることである。計算けいさん可能かのう性せい理論りろんは、チューリングマシンのようなモデルを用もちいてこの問題もんだいを探究たんきゅうする。

計算けいさん論ろん理学りがく

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論理ろんり積せき (AND) は、ブール論理ろんりにおける基本きほん的てきな操作そうさの一ひとつである。論理ろんり積せきは、2個このトランジスタを用もちいるなど、複数ふくすうの方法ほうほうで電子でんし的てきに実装じっそうできる。

計算けいさん論ろん理学りがくは、コンピュータを用もちいた数学すうがくの推論すいろんおよび論理ろんり的てき形式けいしき性せいの実装じっそうを研究けんきゅうする論理ろんり学がくおよび計算けいさん機き科学かがくの分野ぶんやである。この分野ぶんやには、例たとえば、推論すいろん規則きそくを用もちいて人間にんげんの仲介ちゅうかいなしに前提ぜんていから結論けつろんへの証明しょうめいを構築こうちくする自動じどう定理ていり証明しょうめい器うつわなどが含ふくまれる。論理ろんりプログラミング言語げんごは、論理ろんり式しきを用もちいて事実じじつを表現ひょうげんし、これらの事実じじつから推論すいろんを行おこなうよう設計せっけいされたものである。例たとえば、Prologは、述語じゅつご論理ろんりに基もとづく論理ろんりプログラミング言語げんごである。また、計算けいさん機き科学かがくでは、論理ろんり学がくの概念がいねんをコンピューティングにおける問題もんだいに応用おうようする。クロード・シャノンの業績ぎょうせきは、この分野ぶんやで影響えいきょうが大おおきい。シャノンは、ブール論理ろんりを用もちいてコンピュータ回路かいろを分析ぶんせき・実装じっそうする方法ほうほうを考案こうあんした。これは、論理ろんりゲート (1個いっこ以上いじょうの入力にゅうりょくと1個いっこの出力しゅつりょくを持もつ電子でんし回路かいろ) で実現じつげんされる。命題めいだいの真理しんり値ちは、電圧でんあつの大おおきさで表あらわされる。これにより、論理ろんり関数かんすうは、対応たいおうする電圧でんあつを回路かいろの入力にゅうりょくにかけ、出力しゅつりょくの電圧でんあつを測定そくていして関数かんすうの値ねを得えることでシミュレートすることができる。

形式けいしき意味いみ論ろん

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形式けいしき意味いみ論ろんは、論理ろんり学がく、言語げんご学がく、言語げんご哲学てつがくの分野ぶんやである。意味いみ論ろんは、言語げんごの意味いみの研究けんきゅうである。形式けいしき意味いみ論ろんは、記号きごう論ろん理学りがくおよび数学すうがくの形式けいしき的てきな方法ほうほうを用もちいて、自然しぜん言語げんご表現ひょうげんの意味いみの正確せいかくな理論りろんを確立かくりつする。形式けいしき意味いみ論ろんでは、通常つうじょう、意味いみを真理しんり条件じょうけんに関連かんれんして理解りかいしようとする。つまり、文ぶんが真しんまたは偽にせである状況じょうきょうを研究けんきゅうする。形式けいしき意味いみ論ろんの中核ちゅうかくをなす仮定かていは、複ふく合あい表現ひょうげんの意味いみがその各かく部分ぶぶんの意味いみおよび組くみ合あわせによって決定けっていされるとする合成ごうせい性せいの原理げんりである。この原理げんりでは、例たとえば動詞どうし表現ひょうげん「歩あるきながら歌うたう」の意味いみは、その各かく部分ぶぶん「歩あるきながら」および「歌うたう」によって決定けっていされる。形式けいしき意味いみ論ろんの理論りろんの多おおくは、モデル理論りろんを用もちいる。つまり、集合しゅうごう論ろんを用もちいてモデルを構築こうちくし、そのモデルの要素ようそに関連かんれんして表現ひょうげんの意味いみを解釈かいしゃくする。例たとえば、名めい辞じ「歩あるく」は、歩行ほこうという属性ぞくせいを持もつモデル内ないのすべての要素ようその集合しゅうごうとして解釈かいしゃくされる。リチャード・モンタギュー、バーバラ・パルティーは、英語えいごにおける研究けんきゅうにより、この分野ぶんやで初期しょきの影響えいきょう力りょくがある論理ろんり学者がくしゃである。

論理ろんり学がくの認識にんしき論ろん

論理ろんり学がくの認識にんしき論ろんは、論証ろんしょうが妥当だとうであることの知識ちしきや、命題めいだいが論理ろんり的てきに真しんであることの知識ちしきがどのように得えられるかを研究けんきゅうする。これには、モーダスポネンスが妥当だとうな推論すいろん規則きそくであることの正当せいとう化かや、矛盾むじゅんが偽にせであることの正当せいとう化かに関かんする問題もんだいが含ふくまれる。歴史れきし的てきに優勢ゆうせいであった見解けんかいは、この論理ろんり的てき知識ちしきの形態けいたいは、アプリオリな知識ちしきに分類ぶんるいされるというものである。つまり、知性ちせいには純粋じゅんすいな概念がいねんの関係かんけいを検討けんとうする特別とくべつな能力のうりょくが備そなわっており、この能力のうりょくが論理ろんり的てき真理しんりの理解りかいにもつながっているという見解けんかいである。同様どうようの見解けんかいに、論理ろんり学がくの規則きそくを言語げんご慣用かんようの観点かんてんから理解りかいしようとするものがある。この見解けんかいでは、論理ろんり学がくの法則ほうそくは定義ていぎ上じょう真しんであり、 自明じめいである (単たんに論理ろんり語彙ごいの意味いみを表現ひょうげんしているだけである) とされる。

ヒラリー・パトナム、ペネロプ・マディーを含ふくむ哲学てつがく者しゃは、論理ろんり学がくがアプリオリな知識ちしきであることを否定ひていし、論理ろんり的てき真理しんりが経験けいけん的てきな世界せかいに依存いぞんすると主張しゅちょうする。合あわせて、論理ろんり学がくの法則ほうそくは、世界せかいの構造こうぞう的てき特徴とくちょうから見出みいだされる普遍ふへん的てきな規則きそく性せいを記述きじゅつしたものであるとも主張しゅちょうされることがある。この見解けんかいでは、論理ろんり学がくの法則ほうそくは、基礎きそ科学かがくにおける一般いっぱん性せいのある法則ほうそくを研究けんきゅうすることで得えられるとされる。例たとえば、量子力学りょうしりきがくで得えられた知見ちけんは、論理ろんり式しき $A\land (B\lor C)$ と $(A\land B)\lor (A\land C)$ が同値どうちであるという古典こてん論理ろんりの分配ぶんぱい律りつを否定ひていしていると主張しゅちょうされる。この主張しゅちょうは、量子りょうし論理ろんりが正ただしい論理ろんり体系たいけいであり、古典こてん論理ろんりの代かわりとするべきであるというテーゼに用もちいることができる。

歴史れきし

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（上うえの行ゆき）西洋せいよう哲学てつがくの礎いしずえを築きずいたアリストテレス、アリストテレス論理ろんり学がくの代かわりとなるイスラーム哲学てつがくにおける論理ろんり学がくを構築こうちくしたイブン・スィーナー。（下したの行くだり）中世ちゅうせいの学術がくじゅつ思想しそうにおける重要じゅうよう人物じんぶつであるオッカムのウィリアム、現代げんだいの記号きごう論理ろんり学がくの創始そうし者しゃであるゴットロープ・フレーゲ。

論理ろんり学がくは、古代こだいにそれぞれの文化ぶんかで独立どくりつして確立かくりつされた。論理ろんり学がくの初期しょきにおける重要じゅうような貢献こうけんは、『オルガノン』および『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』で名めい辞じ論理ろんりを構築こうちくしたアリストテレスによるものである。アリストテレスは、仮かり言げん三段論法さんだんろんぽうおよび時どき相しょう論理ろんりを導入どうにゅうした。また、帰納きのう論ろん理学りがくや、名めい辞じ、predicable、三段論法さんだんろんぽう、命題めいだいなどの新あらたな論理ろんり学がくの概念がいねんも導入どうにゅうした。アリストテレス論理ろんり学がくは、古代こだいギリシャ・ローマ時代じだいおよび中世ちゅうせいにおいて、ヨーロッパ・中東ちゅうとうで高たかく評価ひょうかされ、19世紀せいき前半ぜんはんまで西洋せいようで広ひろく用もちいられた。アリストテレス論理ろんり学がくは、その後ごの論理ろんり学がくの発展はってんに取とって代かえられたが、その知見ちけんは現代げんだいの論理ろんり体系たいけいにも含ふくまれている。

関連かんれん項目こうもく

• 論理ろんり記号きごうの一覧いちらん – 論理ろんり的てき関係かんけいを表現ひょうげんする記号きごうの一覧いちらん
• 批判ひはん的てき思考しこう – 事実じじつを分析ぶんせきして判断はんだんすること
• 論理ろんり学者がくしゃ
• ロジックパズル
• 論理ろんり的てき推論すいろん – 正ただしい推論すいろんを導みちびく過程かてい
• ロゴス – 哲学てつがく、宗教しゅうきょう学がく、修辞しゅうじ学がく、心理しんり学がくの概念がいねん

参考さんこう文献ぶんけん

文献ぶんけん目録もくろく

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