矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんり

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんり（むじゅんきょようろんり、Paraconsistent Logic）とは、矛盾むじゅんを特別とくべつな方法ほうほうで扱あつかう論理ろんり体系たいけい。また、矛盾むじゅんに対たいして耐たい性せいのある論理ろんりを研究けんきゅう・構築こうちくする論理ろんり学がくの一いち分野ぶんやを指さす。矛盾むじゅん許容きょよう型がた論理ろんりとも。

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは1910年ねんごろにはすでに存在そんざいしていた（原始げんし的てきな形かたちではアリストテレスまで遡さかのぼる）。しかし、矛盾むじゅん許容きょよう（Paraconsistent）という用語ようごが使つかわれるようになったのは 1976年ねんであり、ペルー人じん哲学てつがく者しゃ Francisco Miró Quesada が最初さいしょである。

定義ていぎ

古典こてん論理ろんりや直観ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりでは、矛盾むじゅんからはあらゆることが導みちびかれる。この特徴とくちょうを爆発ばくはつ律りつなどと呼よび、形式けいしき的てきには次つぎのように表あらわされる:

$A,\neg A\vdash B$

ここで $\vdash$ は論理ろんり的てき帰結きけつ関係かんけいを意味いみする。言葉ことばで表あらわすならば、「AかつAでないならば、Bである」という意味いみである。このBは任意にんいである、つまり全すべてが自明じめいとなる。

上記じょうきの通とおり、体系たいけいに1つの矛盾むじゅんが存在そんざいした場合ばあい、その体系たいけいも自明じめいである。つまり、あらゆる文ぶんが定理ていりとなる。ここで、爆発ばくはつ律りつを採用さいようしないように、古典こてん論理ろんりにおける定理ていりを一部いちぶ採用さいようしない体系たいけいを、総そうじて矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりという。結果けっかとして、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは、矛盾むじゅんを含ふくみながらも自明じめいでない体系たいけいとなる。

古典こてん論理ろんりとの比較ひかく

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは古典こてん論理ろんりよりも弱よわく、妥当だとうとみなす推論すいろんの数かずが少すくない。矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは、古典こてん論理ろんりで妥当だとうとみなされる推論すいろんのすべてを妥当だとうとみなすわけではないため、古典こてん論理ろんりの拡張かくちょうとはなり得えない。この点てんで、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは古典こてん論理ろんりよりも「保守ほしゅ的てき」あるいは「慎重しんちょう」と言いえる。

目的もくてき

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりが生うみ出だされた動機どうきとして、矛盾むじゅんを含ふくむ情報じょうほうからの推論すいろんを制御せいぎょされた手法しゅほうで可能かのうにすべきだという考かんがえ方かたがあった。爆発ばくはつ律りつはこれを妨さまたげるものであったため、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりでは排除はいじょされた。他たの論理ろんりでは矛盾むじゅんを含ふくむ体系たいけいは常つねに1つしかなく、その体系たいけいにはあらゆる文ぶんが定理ていりとして含ふくまれる。矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりでは矛盾むじゅんを含ふくむ体系たいけいを区別くべつすることができ、矛盾むじゅんのある体系たいけいで推論すいろんができる。場合ばあいによっては矛盾むじゅんのある体系たいけいを矛盾むじゅんのない体系たいけいに修正しゅうせいすることも可能かのうである。また、大だい規模きぼソフトウェアシステムなどでは矛盾むじゅんのないことを保証ほしょうすることはできない。

一部いちぶの哲学てつがく者しゃはもっと積極せっきょく的てきに、いくつかの矛盾むじゅんを「真しん」であるとし、矛盾むじゅんを含ふくむ体系たいけいが必かならずしも正ただしくないわけではないという立場たちばをとる。このような観点かんてんを真ま矛盾むじゅん主義しゅぎ (Dialetheism) と呼よび、嘘うそつきパラドックスやラッセルのパラドックスのようなパラドックスを額面がくめん通どおり受うけ止とめようとする考かんがえ方かたが根底こんていにある。ただし、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの信奉しんぽう者しゃが全すべてそのように考かんがえているわけではない。一方いっぽうで、真ま矛盾むじゅん主義しゅぎの立場たちばでは矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは必須ひっすであり、さもなくば全すべてが真しんであると認みとめなければならなくなる。

トレードオフ

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりには問題もんだいもある。爆発ばくはつ律りつを排除はいじょしたため、以下いかの3つの非常ひじょうに基本きほん的てきな原理げんりのうち少すくなくとも1つを採用さいようできなくなる:

論理ろんり和わの導入どうにゅう	$A\vdash A\lor B$
選言せんげん三段論法さんだんろんぽう	$A\lor B,\neg A\vdash B$
推移すいい関係かんけいまたはカット規則きそく	$\Gamma \vdash A;A\vdash B\Rightarrow \Gamma \vdash B$

これらのうちどれを排除はいじょすべきかが研究けんきゅうされ、現在げんざいでは選言せんげん三段論法さんだんろんぽうを排除はいじょするのが一般いっぱん的てきである。真ま矛盾むじゅん主義しゅぎの立場たちばでは、選言せんげん三段論法さんだんろんぽうが正ただしくないというのは正当せいとうである。A と ¬A が共ともに真しんで、B が偽にせであるとする。A v B は A が真しんなので全体ぜんたいとして真しんである。従したがって、前提ぜんていとなる A v B と ¬A は共ともに真しんだが、結論けつろんとなる B は真しんではない。

同様どうように以下いかの3つの原理げんりも爆発ばくはつ律りつに依存いぞんしているため、少すくなくとも1つを排除はいじょしなければならない:

背理法はいりほう	$A\to (B\wedge \neg B)\vdash \neg A$
構造こうぞう規則きそく	$A\vdash B\to A$
二に重じゅう否定ひていの排除はいじょ	$\neg \neg A\vdash A$

「背理法はいりほう」と「構造こうぞう規則きそく」の排除はいじょが試こころみられてきた。「二に重じゅう否定ひていの排除はいじょ」の排除はいじょも行おこなわれているが、それは別べつの理由りゆうからである。二に重じゅう否定ひていの排除はいじょだけをなくしても、矛盾むじゅんから全すべての否定ひてい命題めいだいを証明しょうめい可能かのうである。

単純たんじゅんな矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんり

最もっとも有名ゆうめいな矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは LP（Logic of Paradox）という単純たんじゅんな体系たいけいである。アルゼンチンの論理ろんり学者がくしゃ F. G. Asenjo が 1966年ねんに提唱ていしょうし、後のちに Priest が広ひろめた。

LP の意味いみ論ろんを表現ひょうげんする方法ほうほうとして、通常つうじょうは関数かんすうの評価ひょうかとされるところを関係かんけいで置おき換かえるという方法ほうほうがある。二に項こう関係かんけい V は論理ろんり式しきと真理しんり値ちを関連付かんれんづける。V(A,1) は A が真しんであることを意味いみし、V(A,0) は A が偽にせであることを示しめす。各かく論理ろんり式しきには少すくなくとも1つの真理しんり値ちが対応たいおうつけられるが、対応たいおうする真理しんり値ちは必かならずしも1つである必要ひつようはない。否定ひていと論理ろんり和わの意味いみは次つぎのようになる:

• $V(\neg A,1)\Leftrightarrow V(A,0)$
• $V(\neg A,0)\Leftrightarrow V(A,1)$
• $V(A\lor B,1)\Leftrightarrow V(A,1)\ {\rm {or}}\ V(B,1)$
• $V(A\lor B,0)\Leftrightarrow V(A,0)\ {\rm {and}}\ V(B,0)$

他たの論理ろんり演算えんざんは否定ひていと論理ろんり和わの組合くみあわせで定義ていぎ可能かのうである。より非ひ形式けいしき的てきに表現ひょうげんすると次つぎのようになる:

• not A は A が偽にせであるときだけ真しんである。
• not A は A が真しんであるときだけ偽にせである。
• A or B は、Aが真しんかまたはBが真しんであるときだけ真しんである。
• A or B は、Aが偽にせでかつBも偽にせであるときだけ偽にせである。

論理ろんり的てき帰結きけつ関係かんけいの意味いみ論ろんは次つぎのようになる:

Γがんま $\vDash$ A は Γがんま の全ぜん要素ようそが真しんであるときはいつでも A が真しんとなることである。

ここで、V(A,1) と V(A,0) という関係かんけいがあり、V(B,1) という関係かんけいがないとする。これらの関係かんけいから爆発ばくはつ律りつと論理ろんり和わによる三段論法さんだんろんぽうの反例はんれいは容易よういに導みちびくことが出来できる。しかしそれは同時どうじにLPの条件じょうけん文ぶんのためのモーダスポネンスへの反例はんれいでもある。このため、LP では否定ひていと論理ろんり和わの組合くみあわせでは定義ていぎできない強つよい条件じょうけん結合けつごう子こを採用さいようすることが多おおい。

LP は多おおくの（通常つうじょう真しんである）推論すいろんパターンを保持ほじしており、ド・モルガンの法則ほうそく、否定ひてい/論理ろんり積せき/論理ろんり和わに関かんする自然しぜん演繹えんえきが成なり立たつ。また、驚おどろくべきことに恒つね真しん式しきはLPでも一般いっぱんの論理ろんり体系たいけいでも変かわらない。LPと古典こてん論理ろんりが異ことなるのは、推論すいろんが真しんとなる範囲はんいである。各かく論理ろんり式しきが必かならず真しんか偽にせの値ねを持もつという条件じょうけんを外はずした矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりを FDE（First-Degree Entailment）と呼よぶ。LPとは異ことなり、FDPには恒つね真しん式しきがない。

LP は数かずある矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの一種いっしゅでしかない点てんに注意ちゅういされたい。比較的ひかくてき単純たんじゅんな例れいとしてここに紹介しょうかいしたに過すぎない。

他たの論理ろんり学がくとの関係かんけい

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの重要じゅうような体系たいけいとして適切てきせつさの論理ろんりがある。論理ろんりは以下いかの条件じょうけんを満みたしたときだけ「適切てきせつ」であるとされる:

A → B が定理ていりであるとき、A と B は1つの非ひ論理ろんり定項ていこうを共有きょうゆうする。

このため、適切てきせつさの論理ろんりでは p & ¬p → q を定理ていりとして持もつことができない。また、{p, ¬p} から q を導みちびく推論すいろんも不可能ふかのうである。

適切てきせつさの論理ろんりと多値たち論理ろんりは重かさなる部分ぶぶんも多々たたあるが、適切てきせつさの論理ろんりが全すべて多値たち論理ろんりというわけではない（もちろん、全すべての多値たち論理ろんりが矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりというわけでもない）。

直観ちょっかん論理ろんりでは A ∨ ¬A を偽にせとする可能かのう性せいがあるが、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりでは A ∧ ¬A を真しんとする可能かのう性せいがある。このことから、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりと直観ちょっかん論理ろんりは互たがいに双対そうついと見みなせるように思おもわれる。しかし、直観ちょっかん論理ろんりは特殊とくしゅな論理ろんり体系たいけいであって、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは様々さまざまな体系たいけいを内包ないほうする論理ろんり体系たいけいのクラスである。従したがって、直観ちょっかん論理ろんりの双対そうついは特定とくていの矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの体系たいけいであり、双対そうつい直観ちょっかん論理ろんり（dual-intuitionistic logic）または（歴史れきし的てきな理由りゆうで）Brazilian logic と呼よばれる。2つの論理ろんり体系たいけいの双対そうつい性せいはシークエント計算けいさんのフレームワークでよくわかる。直観ちょっかん論理ろんりでは次つぎのシークエントを導出どうしゅつできない。

$\vdash A\lor \neg A$

しかし、双対そうつい直観ちょっかん論理ろんりでは次つぎのシークエントを導出どうしゅつできない。

$A\land \neg A\vdash$

同様どうように、直観ちょっかん論理ろんりでは次つぎのシークエントを導出どうしゅつできない。

$\neg \neg A\vdash A$

一方いっぽう、双対そうつい直観ちょっかん論理ろんりでは次つぎのシークエントを導出どうしゅつできない。

$A\vdash \neg \neg A$

双対そうつい直観ちょっかん論理ろんりには結合けつごう子こ # があり、これは直観ちょっかん的てき含意がんいの双対そうついである。大おおまかに言いえば、A # B は「Aだが、Bでない」（A but not B）という意味いみである。ただし、# は真理しんり関数かんすうではない。

応用おうよう

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは、様々さまざまな領域りょういきで矛盾むじゅんを扱あつかう手段しゅだんとして利用りようされてきた。以下いかに例れいを挙あげる:

• 意味いみ論ろん: 嘘うそつきパラドックスなどに陥おちいらない真実しんじつの形式けいしき的てきかつ単純たんじゅんな説明せつめい手段しゅだんとして矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりが提案ていあんされてきた。しかし、そのような体系たいけいではカリーのパラドックスも防ふせぐ必要ひつようがあるが、この場合ばあい否定ひていを使つかっていないため対処たいしょがより難むずかしい。
• 集合しゅうごう論ろんなどの数学すうがくの基礎きそ: ラッセルのパラドックスやゲーデルの不完全性ふかんぜんせい定理ていりとの関連かんれんで矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりを重視じゅうしする立場たちばもある。
• 認識にんしき論ろん: 矛盾むじゅんする理論りろんや仮説かせつで推論すいろんする手段しゅだんとして、あるいはそれらを改善かいぜんする手段しゅだんとして矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりが提案ていあんされてきた。
• ナレッジマネジメントと人工じんこう知能ちのう: 矛盾むじゅんする情報じょうほうを扱あつかう手段しゅだんとして矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりが一部いちぶで使つかわれてきた
• 義務ぎむ論理ろんりとメタ倫理りんり学がく: 倫理りんり的てき・規範きはん的てき矛盾むじゅんを扱あつかう手段しゅだんとして矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりが提案ていあんされてきた。

批判ひはん

前述ぜんじゅつした3つの原理げんり（のいずれか）を排除はいじょしなければ成立せいりつしない矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりに対たいして、爆発ばくはつ律りつを排除はいじょすることの直観ちょっかん的てき正当せいとう性せいよりも、その3つの原理げんりの直観ちょっかん的てき正当せいとう性せいが勝まさると主張しゅちょうする哲学てつがく者しゃもいる。

また、デイヴィド・ルイスは、ある文ぶんとその否定ひていが共ともに真しんであるとする矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりに反対はんたいの立場たちばを主張しゅちょうした。関連かんれんして、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの「否定ひてい」はいわゆる否定ひていではなく、アリストテレスのいう小しょう反対はんたいに相当そうとうするとの主張しゅちょうもある。

研究けんきゅう者しゃ

矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの主おもな研究けんきゅう者しゃを以下いかに列挙れっきょする:

• アラン・アンダーソン （アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこく、 1925年ねん - 1973年ねん） 矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの一種いっしゅでもある適切てきせつさの論理ろんりを構築こうちくした研究けんきゅう者しゃの1人ひとり。
• F. G. Asenjo （アルゼンチン）
• Diderik Batens （ベルギー）
• Nuel Belnap （アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこく、1930年ねん - ） Anderson と共ともに適切てきせつさの論理ろんりを構築こうちく。
• Jean-Yves Béziau （フランス/スイス、1965年ねん - ）
• Ross Brady （オーストラリア）
• Bryson Brown （カナダ）
• Walter Carnielli （ブラジル）
• Newton da Costa （ブラジル、1929年ねん - ） 矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの形式けいしき体系たいけいを構築こうちくした初期しょきの研究けんきゅう者しゃの1人ひとり。
• Itala M. L. D'Ottaviano （ブラジル）
• J. Michael Dunn （アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこく） 適切てきせつさの論理ろんりの研究けんきゅう者しゃ
• Stanisław Jaśkowski （ポーランド） 矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりの形式けいしき体系たいけいを構築こうちくした初期しょきの研究けんきゅう者しゃの1人ひとり。
• R. E. Jennings （カナダ）
• デイヴィド・ルイス （アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこく、1941年ねん - 2001年ねん） 矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりに対たいする批評ひひょう家か
• ヤン・ウカシェヴィチ （ポーランド、1878年ねん - 1956年ねん）
• Robert K. Meyer （アメリカ/オーストラリア）
• Chris Mortensen （オーストラリア） 矛盾むじゅん許容きょよう数学すうがく
• Val Plumwood （Val Routley とも、オーストラリア、1939年ねん - ）
• グレアム・プリースト Graham Priest （オーストラリア） 矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりについての現在げんざいの世界せかい的てき第一人者だいいちにんしゃ
• Francisco Miró Quesada （ペルー） 矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんり（paraconsistent logic）という用語ようごを生うみ出だした。
• Peter Schotch （カナダ）
• B. H. Slater （オーストラリア） 矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりに対たいする批評ひひょう家か
• Richard Sylvan （Richard Routley とも、ニュージーランド/オーストラリア、1935年ねん - 1996年ねん）
• Nicolai A. Vasiliev （ロシア、1880年ねん - 1940年ねん）

参考さんこう文献ぶんけん

• Aoyama, Hiroshi (2004年ねん). “LK, LJ, Dual Intuitionistic Logic, and Quantum Logic”. Notre Dame Journal of Formal Logic 45 (4): 193–213. 
• Bertossi, Leopoldo et al., eds. (2004年ねん). Inconsistency Tolerance. Berlin: Springer. ISBN 3-540-24260-0 
• Béziau, Jean-Yves (2000年ねん). “What is Paraconsistent Logic?”. In In D. Batens et al. (eds.). Frontiers of Paraconsistent Logic. Baldock: Research Studies Press. pp. 95-111. ISBN 0-86380-253-2 
• Bremer, Manuel (2005年ねん). An Introduction to Paraconsistent Logics. Frankfurt: Peter Lang. ISBN 3-631-53413-2 
• Brown, Bryson (2002年ねん). “On Paraconsistency.”. In In Dale Jacquette (ed.). A Companion to Philosophical Logic. Malden, Massachusetts: Blackwell Publishers. pp. 628-650. ISBN 0-631-21671-5 
• Lewis, David (1998年ねん) [1982年ねん]. “Logic for Equivocators”. Papers in Philosophical Logic. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 97–110. ISBN 0-521-58788-3 
• Priest, Graham (2002年ねん). “Paraconsistent Logic.”. In In D. Gabbay and F. Guenthner (eds.). Handbook of Philosophical Logic, Volume 6 (2nd ed. ed.). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. pp. 287-393. ISBN 1-4020-0583-0 
• Priest, Graham and Tanaka, Koji (2001年ねん). “Paraconsistent Logic”. Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2004 edition). 2006年ねん2月がつ24日にち閲覧えつらん。
• Slater, B. H. (1995年ねん). “Paraconsistent Logics?”. Journal of Philosophical Logic 24: 233–254. 
• Woods, John (2003年ねん). Paradox and Paraconsistency: Conflict Resolution in the Abstract Sciences. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-00934-0 

外部がいぶリンク

• Stanford Encyclopedia of Philosophy "Inconsistent Mathematics"