部分ぶぶん集合しゅうごう

部分ぶぶん集合しゅうごう（ぶぶんしゅうごう、英えい: subset）とは数学すうがくにおける概念がいねんの一ひとつ。集合しゅうごうAが集合しゅうごうBの部分ぶぶん集合しゅうごうであるとは、AがBの一部いちぶの要素ようそだけからなることである。AがBの一部分いちぶぶんであるという意味いみで部分ぶぶん集合しゅうごうという。二ふたつの集合しゅうごうの一方いっぽうが他方たほうの部分ぶぶん集合しゅうごうであるとき、この二ふたつの集合しゅうごうの間あいだに包含ほうがん関係かんけいがあるという。

定義ていぎ

集合しゅうごう A の要素ようそはすべて集合しゅうごう B の要素ようそでもあるとき、すなわち、

$\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$

が成なり立たつとき、A は B の部分ぶぶん集合しゅうごうであるといい、

$A\subseteq B$

で表あらわす。A が B の部分ぶぶん集合しゅうごうであることを、「A は B に（部分ぶぶん集合しゅうごうとして）含ふくまれる（包含ほうがんされる、英えい: contained）」、「A は B に包つつまれる（包摂ほうせつあるいは内包ないほうされる、英えい: included）」などということもある。またこのとき、B は A の上位じょうい集合しゅうごう（英えい: superset）であるということもある。B 以外いがいの集合しゅうごうで B の部分ぶぶん集合しゅうごうであるようなものは、B の真ま部分ぶぶん集合しゅうごう（英えい: proper subset）あるいは狭義きょうぎ（強つよい意味いみで）の部分ぶぶん集合しゅうごう（英えい: strict subset）と呼よばれる。すなわち、集合しゅうごう A が集合しゅうごう B の真ま部分ぶぶん集合しゅうごうであるとは、A ⊆ B かつ A ≠ B が成なり立たつことである。A が B の真ま部分ぶぶん集合しゅうごうであることを

$A\subset B$

で表あらわす。

記法きほうに関かんする注意ちゅうい

記法きほうの組くみ合あわせ

部分ぶぶん集合しゅうごう	真ま部分ぶぶん集合しゅうごう
A ⊆ B	A ⊂ B
	A ⊊ B
	A ⊆ B かつ A ≠ B
A ⊂ B	A ⊊ B
	A ⊂ B かつ A ≠ B

A が B の部分ぶぶん集合しゅうごうであることを A ⊆ B で表あらわし、A が B の真ま部分ぶぶん集合しゅうごうであることを A ⊂ B で表あらわした。大小だいしょう関係かんけいの不等式ふとうしきにおいて不等号ふとうごうを

x ≤ y かつ x ≠ y のとき x < y と書かく

とする記法きほうに合あわせて、包含ほうがん関係かんけいにおいても

A ⊆ B かつ A ≠ B のとき A ⊂ B と書かく

とする記法きほうは自然しぜんである。しかし、これとは異ことなる流儀りゅうぎもいくつか存在そんざいし、統一とういつされていない。例たとえば、A が B の部分ぶぶん集合しゅうごうであることを A ⊂ B で表あらわし、A が B の真ま部分ぶぶん集合しゅうごうであることを A ⊊ B で表あらわすという流儀りゅうぎがある。他ほかにも、部分ぶぶん集合しゅうごうには ⊆ を用もちい、真ま部分ぶぶん集合しゅうごうには ⊂ かつ ≠ を用もちいることもある。真ま部分ぶぶん集合しゅうごうであることを明示めいじできる ⊊ という記号きごうを用意よういする時ときもある。真ま部分ぶぶん集合しゅうごうであることに言及げんきゅうする箇所かしょが少すくなく煩雑はんざつにならなければ、混乱こんらんをさけるために逐一ちくいち

A ⊆ B かつ A ≠ B

A ⊂ B かつ A ≠ B

のように「かつ A ≠ B 」という条件じょうけんを明記めいきする場合ばあいもある。

基本きほん的てきな性質せいしつ

以下いか、S, T, U を集合しゅうごうとする。

• S = T と S ⊆ T かつ T ⊆ S は同値どうちである（外延がいえん性せいの原理げんり）。
• 空そら集合しゅうごう ∅ はすべての集合しゅうごうの部分ぶぶん集合しゅうごうである。
• S ⊆ S 。
• S ⊆ T かつ T ⊆ U ならば S ⊆ U である。
• S ⊆ S ∪ T 。
• S ⊆ T ならば S ∪ U ⊆ T ∪ U 。
• S ⊆ U かつ T ⊆ U ならば S ∪ T ⊆ U 。
• S ∩ T ⊆ S 。
• S ⊆ T ならば S ∩ U ⊆ T ∩ U 。
• S ⊆ T かつ S ⊆ U ならば S ⊆ T ∩ U 。
• S - T ⊆ S 。
• S ⊆ T ならば S - U ⊆ T - U 。
• S ⊆ T かつ S ⊆ U ^C ならば S ⊆ T - U 。
• 以下いかは同値どうちである：
  • S ⊆ T 。
  • S ∩ T = S 。
  • S ∪ T = T 。
  • S − T = ∅ 。
• S と T がともに U の部分ぶぶん集合しゅうごうのとき、S ⊆ T と U - T ⊆ V - S は同値どうちである。

参考さんこう文献ぶんけん　

• Devlin, K. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory. Undergraduate Texts in Mathematics (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-94094-4 

関連かんれん項目こうもく

• 集合しゅうごう
• 集合しゅうごう論ろん
• 集合しゅうごうの代数だいすう学がく
• 冪べき集合しゅうごう - 集合しゅうごうBの全すべての部分ぶぶん集合しゅうごうからなる集合しゅうごう族ぞく（$2^{B}=\{A|A\subseteq B\}$）