Well-defined

数学すうがくにおける well-defined^{[注釈ちゅうしゃく 1]}（ウェル・ディファインド）は、「定義ていぎによって一意いちいの解釈かいしゃくまたは値ねが割わり当あてられる」ことを言いう^[2]。

定義ていぎ

ある定義ていぎが well-defined であるのは次つぎの二に命題めいだいが示しめされたときである^[3]。

実際じっさいに成立せいりつする: （定義ていぎで）示しめされた表ひょう式しきが成立せいりつしない場合ばあい^{[注釈ちゅうしゃく 2]}、well-defined であるとは言いえない。

経由けいゆする中途ちゅうとの表ひょう式しきに依存いぞんしない: 往々おうおうにして、（数学すうがく上じょうの）定義ていぎはいくつもの表ひょう式しきを経由けいゆする^{[注釈ちゅうしゃく 3]}。このとき、最終さいしゅう的てきな結論けつろんが中途ちゅうとの表ひょう式しきに依存いぞんしている場合ばあい^{[注釈ちゅうしゃく 4]}、well-defined であるとは言いえない。

つまり定さだめた対象たいしょうが一意いちいに存在そんざいしているとき、well-defined であるという。

代数だいすう学がく的てき定義ていぎ

写像しゃぞうと定義ていぎ域いき上じょうの同値どうち関係かんけいに対たいして、次つぎのように数式すうしきを用もちいて記述きじゅつすることもできる。集合しゅうごう $X$ 上うえの同値どうち関係かんけい $\equiv$ と写像しゃぞう $f : X \to Y$ に対たいして

x \equiv x'

ならば

f (x) = f (x')

が任意にんいの $x, x' \in X$ に対たいして成立せいりつするとき、写像しゃぞう $f$ は関係かんけい $\equiv$ に関かんして well-defined であると言いう^[5]。

「同値どうち関係かんけいのもとでのwell-defined性せい（英語えいご版ばん）」および「準じゅん同型どうけい定理ていり（フランス語ふらんすご版ばん）」を参照さんしょう

例れい

1. 円周えんしゅう率りつ $π ぱい$ の定義ていぎ「円えんの直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅうの比ひ」を考かんがえる。この定義ていぎに現あらわれる円えんは具体ぐたい的てきな中心ちゅうしんや半径はんけいが指定していされていないが、直径ちょっけいは零れいでないのでまず比ひを取とることはどの円えんに対たいしてもできる。さらにすべての円えんは互たがいに相似そうじであるから、直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅうの比ひは途中とちゅうで経由けいゆする具体ぐたい的てきな円えんの選えらび方かたに依存いぞんしない。したがって、この円周えんしゅう率りつの定義ていぎは well-defined である。

2. 実数じっすう $a > 0$ の $x$ 乗のの定義ていぎを考かんがえる。 $x$ が有理数ゆうりすうの場合ばあいに良よく定義ていぎされているとして、 $x$ が実数じっすうの場合ばあいに定義ていぎを拡張かくちょうしたいとする。このとき $x$ に収束しゅうそくする有理ゆうり数列すうれつ ${x n}$ を用もちいて

a x ≔ lim n \to \infty a x n

と定義ていぎする場合ばあい、well-defined 性せいが問題もんだいになる^[3]。実際じっさいは、そのような ${x n}$ を取とることができるし、右辺うへんの極限きょくげんは収束しゅうそくして極限きょくげん値ちは ${x n}$ の取とり方かたによらずに一意いちいに定さだまる（特とくに $x$ が有理数ゆうりすうのとき、もともとの定義ていぎと一致いっちする）^[6]。したがってこの定義ていぎは well-defined である。

脚注きゃくちゅう

注釈ちゅうしゃく

^ 「容易たやすく理解りかいできる」といった意味いみの英語えいごの形容詞けいようしである（反意語はんいごは ill-defined）^[1]。
^ 例たとえば極限きょくげん値ちを用もちいた定義ていぎで、そもそも極限きょくげんが存在そんざいしない場合ばあいなど^[3]。
^ 例たとえば交まじわる二に直線ちょくせんの狭せま角かくに関かんする定義ていぎで、その交点こうてんに（便宜べんぎ的てきな理由りゆうから）新あたらしい名前なまえを付つけるなど^[4]。
^ 前ぜん注釈ちゅうしゃくの例れいを引ひき継ついで述のべると、用意よういした交点こうてんの位置いち（や名前なまえ）が変かわると最終さいしゅう的てきな（定義ていぎの）結論けつろんが変かわってしまう場合ばあい。

出典しゅってん

参考さんこう文献ぶんけん

Denlinger, Charles G. (2011). Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 978-0-7637-7947-4
(英語えいご) オックスフォード現代げんだい英えい英えい辞典じてん (9 ed.). オックスフォおっくすふぉード大学どだいがく出版しゅっぱん局きょく. (2015)
Weisstein, Eric W. (2008年ねん6月がつ1日にち). “Well-Defined -- from Wolfram MathWorld”. 2021年ねん3月がつ27日にち閲覧えつらん。
雪ゆき江こう明彦あきひこ『代数だいすう学がく1 群論ぐんろん入門にゅうもん』（初版しょはん）日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2010年ねん11月25日にち。ISBN 978-4-535-78659-2。
横田よこた一郎いちろう『例題れいだいが教おしえる群論ぐんろん入門にゅうもん』（初版しょはん）現代げんだい数学すうがく社しゃ、1976年ねん11月20日にち。 NCID BN03365362。
数学すうがくセミナー編集へんしゅう部ぶ編へん『数学すうがくの言葉ことばづかい100』（初版しょはん）日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、1999年ねん4月がつ25日にち。 NCID BA41426277。