円周えんしゅう

円周えんしゅう（えんしゅう、英えい: circumference）とは、円えんの周囲しゅういもしくは周しゅう長ちょうのこと。円周えんしゅうの直径ちょっけいに対たいする比率ひりつは円周えんしゅう率りつ πぱい である。

円周えんしゅうの長ながさ

円えんの周しゅう長ちょう c は、直径ちょっけいを d とすると、

c = πぱいd

と表あらわされる。直径ちょっけいの半分はんぶんである半径はんけいを r として、

c = 2πぱいr

と表あらわされる場合ばあいも多おおい。

上うえ図ずにて、円えんの中心ちゅうしんは O，円周えんしゅうは C , 直径ちょっけいは D , 半径はんけいは R .

上記じょうき式しきは、積分せきぶんを用もちいて計算けいさんすることができる。 微小びしょう角度かくど dθしーた を用もちいると、弧こ長ちょうは r dθしーた で計算けいさんできるので、角度かくどを 0 から 2πぱい まで積分せきぶんすれば良よいから、

${\begin{aligned}c&=\int _{0}^{2\pi }rd\theta \\&=\left[r\theta \right]_{0}^{2\pi }\\&=2\pi r\end{aligned}}$

となる。

微小びしょう角度かくどについての概説がいせつ図ず

円周えんしゅうと面積めんせき

全すべての円えんは互たがいに相似そうじであるので、周しゅう長ちょうの等ひとしい2つの円えんの面積めんせき S は等ひとしい。

S は c を用もちいて、次つぎのように表あらわすことができる。

S = rc/2

なお、重じゅう積分せきぶんで考かんがえると、ヤコビアンを R とおいて積分せきぶんすれば良よいから、

${\begin{aligned}S&=\int _{0}^{r}dR\int _{0}^{2\pi }Rd\theta \\&=2\pi \int _{0}^{r}RdR\\&=2\pi \left[{\frac {R^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&=2\pi {\frac {r^{2}}{2}}\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}$

となる。ヤコビアンの概念がいねんを上記じょうきのような場合ばあいに限かぎって大雑把おおざっぱに捉とらえたならば、円周えんしゅうを円えんの半径はんけい r について、区間くかん [0, r] で積分せきぶんすればその面積めんせきが求もとまることになる。逆ぎゃくに、面積めんせきを微分びぶんすれば円周えんしゅうが求もとまることになる。さらに円周えんしゅうを微分びぶんすれば、ラジアンの定義ていぎより、周しゅう角かく（全角ぜんかく）が求もとまることになる。

関連かんれん項目こうもく

• 円えん (数学すうがく)
• 円周えんしゅう率りつ
• 弧こ (幾何きか学がく)
• 黄金おうごん角かく
• ラジアン