Окружність

Геометрія
Проєкція сфери на площину
Історія
Галузі Евклідова Сферична Неевклідова еліптична гіперболічна Синтетична Аналітична Алгебрична арифметична діофантова Геометрія чисел Диференціальна диференціальна топологія конформна ріманова псевдоріманова симплектична фінслерова групи Лі Скінченна Проєктивна
Положення Властивості Виміри Побудова за допомогою циркуля та лінійки Кут Крива Діагональ Ортогональність перпендикулярність Паралельність Вершина Конгруентність Подібність Симетрія
Без- / одновимірна Точка Пряма відрізок промінь Довжина
Двовимірна Площина Площа Многокутник Трикутник Висота Гіпотенуза Теорема Піфагора Паралелограм Квадрат Прямокутник Ромб Ромбоїд Чотирикутник Трапеція Дельтоїд прямокутний Коло Діаметр Окружність Площа круга
Тривимірна Об'єм Куб прямокутний паралелепіпед Циліндр Піраміда (геометрія) Сфера
Чотири- / більше-вимірів Тесеракт Гіперсфера
Видатні геометри Айда Ясуакі Аріабхата I Ібн аль-Хайсам Аполлоній Архімед Майкл Атія Янош Бояї Брамагупта Елі Жозеф Картан Гарольд Коксетер Декарт Евклід Ейлер Гаусс Громов Гільберт Хаям Кляйн Лобачевський Манава Мінковський Мінггату Паскаль Піфагор Парамешвара Пуанкаре Ріман Насир ад-Дін ат-Тусі Вірасена Ян Хуей Чжан Хен
Категорія • Портал

У геометрії, окружністю (від латинського circumferentia, що означає «обійти довкола») кола це лінійна довжина довкола нього. Тобто, окружність визначає довжину кола, якби його випрямили і розтягнули в вигляді прямого відрізка. Оскільки коло це зовнішня межа круга (диску), окружність це особливий випадок периметра. Периметр це довжина довкола будь-якої замкненої фігури і цей термін застосовують до всіх фігур окрім кола і подібних округлих фігур, таких як Еліпси.

Крім того, слово «окружність» може стосуватися самої межі кола, а не поняття довжини цієї межі.

Окружність кола

Ілюстрація кола з окружністю (C) показаною чорним, діаметром (D) блакитним, радіусом (R) червоним, із центром у точці (O), що виділена фіолетовим. Окружність = πぱい × діаметр = 2 × πぱい × радіус.

Окружність кола, це відстань довкола нього, але якщо, як у більшості елементарних трактуваннях, відстань визначається по прямій лінії, таке пояснення не може використовуватися як визначення. З таких міркувань, окружність кола можна визначити як границю периметрів вписаних правильних багатокутників із нескінченним збільшенням кількості їх сторін. Поняття окружності використовують при вимірювання фізичних об'єктів, також при розгляді абстрактних геометричних форм.

Якщо діаметр кола дорівнює 1, його окружність дорівнює πぱい.

Якщо радіус кола дорівнює 1, що називається одиничним колом—його окружність становить 2πぱい.

Зв'язок із числом πぱい

Окружність кола пов'язана з однією з найважливіших математичних констант. Ця константа, пі, позначається грецькою літерою πぱい. Першими декількома десятковими цифрами чисельного значення πぱい є 3,141592653589793… (див.  A000796). πぱい визначається як відношення довжини окружності кола C до його діаметру d:

$\pi ={\frac {C}{d}}.$

Або, аналогічним способом, як відношення довжини окружності до двох радіусів. Вищезгадану формулу можна виразити так, щоб знаходити окружність:

${C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!$

Математична константа πぱい широко використовується в математиці, техніці, і науці.

У своїй праці Вимірювання кола, написаній 250 до н. е., Архімед показав, що відношення (C/d, хоча він тоді не використовував назву πぱい), є більшим за 310/71 але меншим за 31/7 розраховуючи периметри вписаного і описаного правильного полігону із 96 сторонами. Цей метод наближення значення πぱい використовувався століттями, що дозволяло отримувати більшої точності використовуючи полігони з усе більшою і більшою кількістю сторін. Останній подібний розрахунок в 1630 виконав Крістоф Гріенбергер, що використав полігони із 10⁴⁰ сторонами.

Окружність еліпса

Термін окружність використовується іноді для визначення периметру еліпса. Не існує загальної формули для визначення окружності еліпса через велику і малу піввісі еліпса, яка б використовувала лише елементарні функції. Однак, для цих параметрів існують наближені формули. Однією з таких апроксимацій, є формула Ейлера (1773), для конічного еліпса,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

це

$C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.$

Деякими нижніми і верхніми межами окружності конічного еліпса із $a\geq b$ є наступні

$C\leq 2\pi a,$

$\pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),$

$4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.$

Тут верхньою межею $2\pi a$ є окружність описаного концентричного кола, що проходить через крайні точки великої піввісі еліпса, а нижньою межею $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ є периметр вписаного ромба із вершинами, що лежать на крайніх точках великої і малої півосей.

Окружність еліпса можна точно виразити за допомогою повного еліптичного інтегралу другого роду. Більш точно, ми будемо мати

$C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,$

де, знову ж таки, $a$ є довжиною великої піввісі і $e$ є ексцентриситетом ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

Окружність графу

В теорії графів окружність графу відноситься до найдовшого (простого) циклу, що міститься в графі.

Посилання

• Numericana — Circumference of an ellipse [Архівовано 16 грудня 2017 у Wayback Machine.] (англ.)