区間くかん (数学すうがく)

閉区間あいだ [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

開ひらき区間くかん (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

数学すうがくにおける（実み）区間くかん（じつくかん、英えい: (real) interval）は、実数じっすう全体ぜんたい R の部分ぶぶん集合しゅうごう I であって任意にんいの実数じっすう x, y ∈ I と z ∈ R について x < z < y ならば z ∈ I という条件じょうけんを満みたすものである。例たとえば、区間くかん [a, b] は a ≤ x ≤ b を満みたす実数じっすう x 全体ぜんたいからなる集合しゅうごうであり、この場合ばあいは a と b の両方りょうほうを含ふくむ区間くかんである。他たの例れいとして、実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう R, 負まけの実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう, 空そら集合しゅうごうなども区間くかんといえる。

実数じっすうに限かぎらず、勝手かってな全ぜん順序じゅんじょ集合しゅうごう（例たとえば整数せいすうの集合しゅうごうや有理数ゆうりすうの集合しゅうごう）上じょうでも区間くかんの概念がいねんは定義ていぎできる。

実じつ区間くかんは積分せきぶんおよび測度そくど論ろんにおいて、「大おおきさ」「測度そくど」「長ながさ」などと呼よばれる量りょうを容易よういに定義ていぎできるもっとも単純たんじゅんな集合しゅうごうとして重要じゅうような役割やくわりがある。測度そくどの概念がいねんは実数じっすうからなるより複雑ふくざつな集合しゅうごうに対たいして拡張かくちょうされ、ボレル測度そくどやルベーグ測度そくどといったような概念がいねんまでにつながっていく。

不ふ確定かくてい性せいや数学すうがく的てき近似きんじおよび算術さんじゅつ的てき丸まるめがあっても勝手かってな公式こうしきに対たいする保証ほしょうされた一定いってい範囲はんいを自動的じどうてきに与あたえる一般いっぱんの数値すうち計算けいさん法ほうとしての区間くかん演算えんざんを考かんがえるにあたって、区間くかんはその中核ちゅうかく概念がいねんを成なす。

用語ようごと表記ひょうき

端はし点てん (endpoints)

区間くかんの最小さいしょう値ちと最大さいだい値ちを示しめす2つの値ねで、 [a, b] などのようにコンマ区切くぎりで表記ひょうきする。小数点しょうすうてんにコンマを用もちいる国くにや桁けたの区切くぎりにコンマを用もちいるような場合ばあいなどでは、紛まぎれの無ないよう端点たんてんの区切くぎりにセミコロンを用もちいることもある。

開ひらく／閉

• 端点たんてんを含ふくまないことを開ひらけ、含ふくむことを閉とする様々さまざまな表現ひょうげんがある。両りょう端はしとも閉とじて（開ひらいて）いる区間くかんを閉区間あいだ（開ひらき区間くかん）といい、片側かたがわだけ開ひらいていれば半開はんかい区間くかん、より具体ぐたい的てきに左ひだり開ひらく右みぎ閉などとい表いあらわすこともある。これらは実数じっすう直線ちょくせんにおける通常つうじょうの位相いそうに関かんする開ひらけ集合しゅうごう系けい、閉集合しゅうごう系けいとちょうど一致いっちする。
• 区間くかんの開閉かいへいを表記ひょうきする際さい、閉とじている側がわは角かく括弧かっこを用もちいる。開ひらいている側がわは丸まる括弧かっこに変かえる記法きほうと角かく括弧かっこを逆ぎゃく向むきにする記法きほうが国際こくさい規格きかくISO 31-11に記載きさいされている（以下いか、集合しゅうごうの内包ないほう的てき記法きほうに基もとづく）。

閉区間あいだ

$[a,b]:=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.$

開ひらき区間くかん

$(a,b):=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}.$　別べつ表記ひょうき→　$]a,b[$

半開はんかい区間くかん（左ひだり開ひらく右みぎ閉）

$(a,b]:=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}.$　別べつ表記ひょうき→　$]a,b]$

半開はんかい区間くかん（左ひだり閉右開ひらく）

$[a,b):=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}.$　別べつ表記ひょうき→　$[a,b[$

なお、a = b のとき、(a, b), [a, b), (a, b] は何いずれも空そら集合しゅうごうを表あらわし、[a, b] は一いち点てん集合しゅうごう {a} を表あらわす。また a > b のときは、四よん種類しゅるいとも空そら集合しゅうごうになる。

注意ちゅうい

• 数学すうがくにおいて丸まる括弧かっこや角かく括弧かっこで括くくる記法きほうは遍在へんざいしているから、区間くかんの記法きほうがそれらと衝突しょうとつすることは注意ちゅういすべき点てんである。例たとえば、(a, b) は、集合しゅうごう論ろんにおいて順序じゅんじょ対たいを表あらわしたり、解析かいせき幾何きか学がくや線型せんけい代数だいすう学がくにおいて点てんやベクトルの座標ざひょうを記述きじゅつするのに用もちいたり、ときに代数だいすう学がくで複素数ふくそすうを表あらわすのに用もちいることもある。それゆえ、ブルバキは開ひらけ区間くかんを表あらわすのに ]a, b[ なる記法きほうを導入どうにゅうした。計算けいさん機き科学かがくなどにおいては [a, b] も順序じゅんじょ対たいを表あらわすのに用もちいられたりもする。
• 文献ぶんけんによっては ]a, b[ が区間くかん (a, b) の補ほ集合しゅうごう（つまり a 以下いかの実数じっすうと b 以上いじょうの実数じっすうすべてからなる集合しゅうごう）の意味いみで用もちいられる。
• 区間くかんのいずれかの方向ほうこうに限界げんかいがないことを示しめすために、無限むげん大だいの端点たんてんを用もちいることができる。具体ぐたい的てきには、 a = −∞ や b = +∞ と書かいて、例たとえば (0, +∞) は正せいの実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう（ℝ⁺ とも書かく）の意味いみであり、また (−∞, +∞) は実数じっすう直線ちょくせん ℝ に等ひとしい。
• 文脈ぶんみゃくによっては補完ほかん数すう直線ちょくせんの部分ぶぶん集合しゅうごうとしての区間くかんを定義ていぎすることもできる。補完ほかん数すう直線ちょくせんではすべての実数じっすうに加くわえて二ふたつの無限むげん遠とお点てん −∞ および +∞ が元もととして含ふくまれるから、その文脈ぶんみゃくでは [−∞, b], [−∞, b), [a, +∞], (a, +∞] などの記法きほうも使用しようできる。例たとえば (−∞, +∞] は −∞ を除のぞく拡大かくだい実数じっすう全すべてからなる集合しゅうごうを表あらわす。その解釈かいしゃくのもとでは、[−∞, b], (−∞, b], [a, +∞], [a, +∞) はすべて意味いみを為なし、かつ何いずれも相あい異ことなる。特とくに (−∞, +∞) は通常つうじょうの実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうで、[−∞, +∞] は拡大かくだい実数じっすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうになる。拡大かくだい実数じっすうで考かんがえる場合ばあい、通常つうじょうの実数じっすうの中なかで考かんがえる場合ばあいと比くらべて定義ていぎや語法ごほうなどが影響えいきょうを受うけるかもしれないことに注意ちゅういすべきである。例たとえば、区間くかん (−∞, +∞) = R は通常つうじょうの実数じっすうの範囲はんいでは閉集合しゅうごうだが、拡大かくだい実数じっすうの範囲はんいで考かんがえるならばそうではない。

その他たの用語ようご

• 退化たいか区間くかん: 区間くかんが退化たいかしているとはただ一ひとつの元もとからなる集合しゅうごうとなっているときに言いう。文献ぶんけんによっては、さらに空そら集合しゅうごうを退化たいか区間くかんの一種いっしゅとして含ふくめることもある。
• 真しんの区間くかん: 空そらでなく退化たいかもしていない（＝二ふたつ以上いじょうの元もとを含ふくむ）実じつ区間くかんは真しんの (proper; 通常つうじょうの) 区間くかんと言いい、無限むげん個この元もとを含ふくむ。
• 区間くかん I の内部ないぶとは I に含ふくまれる最大さいだいの開ひらき区間くかんを言いい、それはまた I の両りょう端点たんてんを除のぞく I の元もと全すべてからなる集合しゅうごうでもある。
• 区間くかん I の閉包へいほうとは I を含ふくむ最小さいしょうの閉区間あいだを言いい、それはまた集合しゅうごうとしての I に有限ゆうげんな端点たんてんを付つけ加くわえて得えられる集合しゅうごうでもある。
• 実数じっすうからなる任意にんいの集合しゅうごう X に対たいして、X の区間くかん包絡ほうらく (interval enclosure) または 区間くかん包つつみ (interval span) とは、X を含ふくむ区間くかんであって、なおかつその区間くかんには X を含ふくむほかのどの区間くかんも真しんに含ふくまれることがないという条件じょうけんを満みたす唯一ゆいいつの区間くかんを言いう。
• 有界ゆうかい区間くかん／非ひ有界ゆうかい区間くかん: その区間くかんを包含ほうがんする上位じょうい集合しゅうごうに、区間くかん内ないのすべての元もとがそれ以上いじょうとなるような数かずが存在そんざいするとき、その数かずを下界げかいといい、その区間くかんは左ひだり有界ゆうかいであるという。逆ぎゃくにすべての元もとがそれ以下いかとなるような数かずは上うえ界かいといい右みぎ有界ゆうかいとなる（→順序じゅんじょ集合しゅうごう#上うえ界かい）。
• 有界ゆうかい区間くかんはその径みち（この場合ばあい両端りょうたん点てんの絶対ぜったい差さ |a − b|）が有限ゆうげんであるという意味いみにおいて有界ゆうかい集合しゅうごうである。この径みちのことを、区間くかんの長ながさ、幅はば、測度そくど、大おおきさなどのように呼よぶ。非ひ有界ゆうかい区間くかんの長ながさはふつう +∞ と定義ていぎされる。空そらな区間くかんの長ながさは 0 と定義ていぎしたり、あるいは定義ていぎしない。
• 有界ゆうかい区間くかんの中心ちゅうしんまたは中点ちゅうてんとは、両りょう端点たんてんが a と b のとき (a + b)/2 のことを言いい、区間くかんの半径はんけいとは長ながさの半分はんぶん |a − b|/2 を言いう。中心ちゅうしんや半径はんけいは非ひ有界ゆうかい区間くかんや空そら区間くかんでは定義ていぎしない。

性質せいしつ

• 実数じっすう直線ちょくせん R 内うちの区間くかんの概念がいねんは、R の連結れんけつ部分ぶぶん集合しゅうごうの概念がいねんにちょうど一致いっちする。したがって、任意にんいの区間くかんを任意にんいの実じつ数値すうち連続れんぞく函数かんすうで写うつした像ぞうもまた区間くかんとなることがわかる。これは中ちゅう間あいだ値ちの定理ていりの一ひとつの定式ていしき化かである。
• 区間くかんの概念がいねんはまた R 内うちの凸とつ部分ぶぶん集合しゅうごうの概念がいねんとも一致いっちする。ゆえに部分ぶぶん集合しゅうごう X の区間くかん包つつみは X の凸とつ包つつみである。
• 区間くかんからなる任意にんいの族ぞくの交まじわりは必かならず一ひとつの区間くかんである。二ふたつの区間くかんの合併がっぺいがふたたび区間くかんとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、両りょう区間くかんの交まじわりが空そらでないか、一方いっぽうの区間くかんの開ひらき端点たんてんが他方たほうの閉端点てんに一致いっちすることである。後者こうしゃは例たとえば、(a, b) ∪ [b, c] = (a, c] のようなことを言いっている。
• R を距離きょり空間くうかんと見みるとき、その開ひらき球体きゅうたいとは有界ゆうかい開ひらき区間くかん (c + r, c − r) のことであり、その閉球体きゅうたいとは有界ゆうかい閉区間あいだ [c + r, c − r] のことを言いう。ここで中心ちゅうしんが c, 半径はんけいは r であることに注意ちゅういせよ。
• 区間くかん I の任意にんいの元もと x は I の交まじわりの無ない三みっつの区間くかん I₁, I₂, I₃ への分割ぶんかつを定義ていぎする。これら三みっつは順じゅんに、I のx より小ちいさい元もと全体ぜんたい、一いち点てん集合しゅうごう [x, x] = {x}、x より大おおきい元もと全体ぜんたいである。分割ぶんかつ片へん I₁, I₃ がともに空そらでない（特とくに内部ないぶが空そらでない）ための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんはx が I の内部ないぶに属ぞくすることである。これを区間くかんに対たいする三さん分ふん原理げんりと言いう。

一般いっぱん化か

高次こうじ元もと区間くかん

多おおくの文脈ぶんみゃくにおいて、n-次元じげん区間くかんは、各かく座標ざひょう軸じく上じょうに各々おのおのひとつ取とった n 個この区間くかんの直積ちょくせき集合しゅうごう I = I₁ × I₂ × ⋯ × I_n として書かける Rⁿ の部分ぶぶん集合しゅうごうとして定義ていぎされる。

n = 2 のとき、これは各かく辺あたりが座標軸ざひょうじくに平行へいこうな矩形くけい領域りょういき（各かく区間くかんの長ながさが等ひとしければ正方形せいほうけい領域りょういき）として見みることができ、同様どうように n = 3 のとき、軸じくに平行へいこうな直方体ちょくほうたい領域りょういき（同様どうように立方体りっぽうたい領域りょういき）となる。高こう次元じげんの場合ばあいにも、n 個この区間くかんの直積ちょくせきは有界ゆうかいな n-次元じげん超ちょう立方体りっぽうたいまたは超ちょう矩形くけいである。

いま定義ていぎした意味いみの区間くかん I のファセット (facet) は、I を定義ていぎする直積ちょくせき因子いんしのうち任意にんいの非ひ退化たいか区間くかん I_k を I_k の有限ゆうげん端点たんてんのみからなる退化たいか区間くかんに取とり換かえて得えられる区間くかんを言いう。I の面めん集合しゅうごうとは、I 自身じしんおよび I の任意にんいのファセットの面めんとなるもの全すべてからなる集合しゅうごうである。I の頂点ちょうてん集合しゅうごうとは、Rⁿ の一いち点てんのみからなる面めん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうを言いう。

いくつかの場合ばあいには、一いち次元じげんの場合ばあいの記法きほうを流用りゅうようした記法きほうも用もちいられる。a, b ∈ Rⁿ を成分せいぶん表示ひょうじしたものが a = (a₁, …, a_n) および b = (b₁, …, b_n) であるとき、

閉区間あいだ

$[a,b]:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1},\dots ,a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}\}.$

開ひらき区間くかん

$(a,b)={]{a,b}[}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}<x_{1}<b_{1},\dots ,a_{n}<x_{n}<b_{n}\}.$

半開はんかい区間くかん（左ひだり閉右開ひらく）

$[a,b)={[{a,b}[}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}\leq x_{1}<b_{1},\dots ,a_{n}\leq x_{n}<b_{n}\}.$

半開はんかい区間くかん（左ひだり開ひらく右みぎ閉）

$(a,b]={]{a,b}]}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}<x_{1}\leq b_{1},\dots ,a_{n}<x_{n}\leq b_{n}\}.$

複素ふくそ区間くかん

複素数ふくそすうの区間くかんは複素数ふくそすう平面へいめん内うちの矩形くけい領域りょういきもしくは円形えんけい領域りょういきの何いずれかとして定義ていぎすることができる。

区間くかんの位相いそう環たまき

区間くかんは両りょう端点たんてんを座標ざひょうとする平面へいめん上じょうの点てんと対応付たいおうづけることができ、したがって区間くかんからなる集合しゅうごうを平面へいめん上じょうの領域りょういきと対応付たいおうづけることができる。一般いっぱんに、区間くかんを実数じっすう直線ちょくせんの直積ちょくせき集合しゅうごう R × R に属ぞくする順序じゅんじょ対たい (x, y) と対応付たいおうづけるとき、y > x はしばしば暗黙あんもくの仮定かていとしてあるが、数学すうがく的てき構造こうぞうを見みる目的もくてきでこの制約せいやくは課かさず、y − x < 0 なる「逆ぎゃく向むき区間くかん」("reversed intervals") も許ゆるすことにする。そうすると、区間くかん [x, y] 全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、R 同士どうしの直和なおかずに成分せいぶんごとの和わと積せきを入いれた位相いそう環たまきと同どう一いち視しできる。

この直和なおかず環たまき (R ⊕ R, +, ×) は二ふたつのイデアル {[x, 0]  |  x ∈ R} および {[0, y]  |  y ∈ R} を持もつ。この環たまきの乗法じょうほう単位たんい元もとは退化たいか区間くかん [1, 1] である。二ふたつのイデアルに入はいらない区間くかん [x, y] 乗法じょうほう逆ぎゃく元もと [1/x, 1/y] を持もつ。通常つうじょうの位相いそうのもと、この区間くかんからなる代数だいすう系けいは位相いそう環たまきを成なす。この環たまきの単元たんげん群ぐんは各かく座標軸ざひょうじく（これはいまこの環たまきのイデアルとして与あたえられているのであった）で分わけられる四よっつの四よん分ふん象限しょうげんからなる。単元たんげん群ぐんの単位たんい成分せいぶんは第だい一いち象限しょうげんである。

任意にんいの区間くかんは、その中点ちゅうてんを中心ちゅうしんとする対称たいしょう区間くかんと考かんがえることができる。M Warmus が1956年ねんに出版しゅっぱんした再さい構成こうせいでは、「均衡きんこう区間くかん」("balanced interval") [x, −x] の軸じくを点てんに退化たいかした区間くかん [x, x] の軸じくに沿そって用もちいている。 区間くかんの環たまきを、直和なおかず環たまき R ⊕ R ではなくて、分解ぶんかい型がた複素数ふくそすう平面へいめんに同どう一いち視ししたのは M. Warmus と D. H. Lehmer である。同どう一いち視しは

z = (x + y)/2 + j(x − y)/2

を通とおして得えられる。この平面へいめん上じょうの線型せんけいかつ環かん同型どうけいな写像しゃぞうは、平面へいめん上じょうに乗法じょうほう構造こうぞうを与あたえ、そこでは通常つうじょうの複素数ふくそすうの算術さんじゅつにあるような極ごく分解ぶんかいなどの類似るいじ物ぶつを考かんがえることができるようになる。

参考さんこう文献ぶんけん

• T. Sunaga, "Theory of interval algebra and its application to numerical analysis", In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp. 29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126–143.

外部がいぶリンク

• A Lucid Interval by Brian Hayes: An American Scientist article provides an introduction.
• Interval computations website
• Interval computations research centers
• Interval Notation by George Beck, Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Interval". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• interval - PlanetMath.（英語えいご）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Interval, open”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Interval,_open 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Interval, closed”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Interval,_closed