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3次元 じげん ユークリッド空間 くうかん のモデル。3つの平面 へいめん は一 いち 次 じ 方程式 ほうていしき の解 かい を表 あらわ し、その交点 こうてん は共通 きょうつう 解 かい の集合 しゅうごう (この場合 ばあい は一意 いちい 点 てん )を表 あらわ す。青 あお い線 せん は、これらの方程式 ほうていしき のうちの2つの共通 きょうつう 解 かい を表 あらわ す。
線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく (せんけいだいすうがく、英 えい : linear algebra )とは、線形 せんけい 空間 くうかん と線形 せんけい 変換 へんかん を中心 ちゅうしん とした理論 りろん を研究 けんきゅう する代数 だいすう 学 がく の一 いち 分野 ぶんや である。現代 げんだい 数学 すうがく において基礎 きそ 的 てき な役割 やくわり を果 は たし、幅広 はばひろ い分野 ぶんや に応用 おうよう されている。また、これは特 とく に行列 ぎょうれつ ・行列 ぎょうれつ 式 しき ・連立 れんりつ 一 いち 次 じ 方程式 ほうていしき に関 かん する理論 りろん を含 ふく む。線形 せんけい などの用字 ようじ ・表記 ひょうき の揺 ゆ れについては線型 せんけい 性 せい を参照 さんしょう [注 ちゅう 1] 。
日本 にっぽん の大学 だいがく においては、多 おお くの理系 りけい 学部 がくぶ 学科 がっか (特 とく に理学部 りがくぶ ・工学部 こうがくぶ )で解析 かいせき 学 がく (微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく )とともに初 はつ 学年 がくねん から履修 りしゅう する。高校 こうこう 教育 きょういく においては平成 へいせい 27年度 ねんど からの新 しん 課程 かてい では数学 すうがく C の廃止 はいし に伴 ともな い行列 ぎょうれつ の分野 ぶんや が除外 じょがい されている。[1] 但 ただ し、2022年 ねん (令 れい 和 わ 4年度 ねんど )からは数学 すうがく Cが復活 ふっかつ しベクトルと共 とも に行列 ぎょうれつ の分野 ぶんや が高校 こうこう 教育 きょういく に再 さい 導入 どうにゅう される。
行列 ぎょうれつ は多 た 変数 へんすう の一 いち 次 じ の関係 かんけい 式 しき で表 あらわ される関係 かんけい を簡潔 かんけつ に記述 きじゅつ するために用 もち いられ、連立 れんりつ 一 いち 次 じ 方程式 ほうていしき の解法 かいほう の研究 けんきゅう の過程 かてい で見出 みいだ された。行列 ぎょうれつ の記法 きほう は、ケイリー 、シルヴェスター 、フロベニウス 、アイゼンシュタイン 、エルミート がそれぞれ同 どう 時期 じき に提唱 ていしょう した。最 もっと も早 はや くこの理論 りろん を提唱 ていしょう したのはアイゼンシュタインであるが、学会 がっかい からはなかなか注目 ちゅうもく されず、ケイリーが取 と り組 く んでいたものが30年 ねん 後 ご にシルヴェスターによって再 さい 発見 はっけん されたことで評価 ひょうか され始 はじ めるようになった(シルヴェスターが個別 こべつ に発見 はっけん したのか、ケイリーの理論 りろん を知 し っていたのかは詳 くわ しくは分 わ かっていない)。
連立 れんりつ 方程式 ほうていしき を一 いち 次 じ 変換 へんかん と捉 とら える立場 たちば からは、線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく は、高 こう 次元 じげん の真 ま っ直 す ぐな空間 くうかん (現代 げんだい 的 てき にいえばベクトル空間 くうかん )の幾何 きか について研究 けんきゅう する学問 がくもん であると言 い うことができる。このようにベクトル空間 くうかん とその変換 へんかん の理論 りろん として見 み るとき、線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく は高々 たかだか 有限 ゆうげん 次元 じげん のベクトル空間 くうかん の理論 りろん である。これを無限 むげん 次元 じげん のベクトル空間 くうかん で対象 たいしょう とするためには、多分 たぶん に空間 くうかん の位相 いそう とそれに基 もと づく解析 かいせき 学 がく が必要 ひつよう となる。無限 むげん 次元 じげん の線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく は関数 かんすう 解析 かいせき 学 がく と呼 よ ばれる。これは、無限 むげん 次元 じげん のベクトル空間 くうかん がある空間 くうかん 上 じょう の関数 かんすう 全体 ぜんたい の集合 しゅうごう として典型 てんけい 的 てき に現 あらわ れるからである。応用 おうよう は多岐 たき に渡 わた るが、経済 けいざい 学 がく に登場 とうじょう する産業 さんぎょう 連関 れんかん 表 ひょう や、量子力学 りょうしりきがく において物理 ぶつり 量 りょう を行列 ぎょうれつ として表現 ひょうげん する手法 しゅほう など、20世紀 せいき 以降 いこう の社会 しゃかい 科学 かがく 、自然 しぜん 科学 かがく において、行列 ぎょうれつ が果 は たす役割 やくわり は大 おお きい。
和算 わさん 家 か の関 せき 孝和 こうわ も現代 げんだい でいう行列 ぎょうれつ 式 しき に当 あ たるもの(関 せき 孝和 こうわ 1683 )を独自 どくじ に開発 かいはつ ・研究 けんきゅう していた。
線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく においては、連立 れんりつ 1次 じ 方程式 ほうていしき の各 かく 式 しき は空間 くうかん 内 ない に張 は られた平面 へいめん を表 あらわ しており、その平面 へいめん 同士 どうし の交 まじ わる領域 りょういき が連立 れんりつ 方程式 ほうていしき の解 かい であると説明 せつめい される。各 かく 平面 へいめん の交 まじ わる領域 りょういき が1点 てん となる場合 ばあい のみ解 かい が一意 いちい に定 さだ まり、交 まじ わる領域 りょういき が線 せん の場合 ばあい に解 かい は無数 むすう に存在 そんざい し、交 まじ わる領域 りょういき が無 な い場合 ばあい (例 れい :全 すべ ての平面 へいめん が平行 へいこう である場合 ばあい )には解 かい は存在 そんざい しない。どのように解 かい が存在 そんざい するかは線型 せんけい 独立 どくりつ な生成 せいせい 元 もと の数 かず を示 しめ す拡大 かくだい 係数 けいすう 行列 ぎょうれつ の階数 かいすう で判定 はんてい 可能 かのう である。
線型 せんけい 代数 だいすう の歴史 れきし は線型 せんけい 方程式 ほうていしき 系 けい を行列 ぎょうれつ 式 しき を用 もち いて解 と くという研究 けんきゅう からはじまった。歴史 れきし 的 てき には行列 ぎょうれつ 式 しき は行列 ぎょうれつ より以前 いぜん に現 あらわ れている。西洋 せいよう の数学 すうがく 史 し において、行列 ぎょうれつ 式 しき はライプニッツ が1693年 ねん により用 もち いられたのが最初 さいしょ であり、その後 ご 、ガブリエル・クラメルがいわゆる「クラメルの公式 こうしき 」で線型 せんけい 方程式 ほうていしき 系 けい を解 と く方法 ほうほう を1750年 ねん に編 あ み出 だ した。更 さら に後年 こうねん になってガウス が測地 そくち 学 がく の研究 けんきゅう から「ガウスの消去 しょうきょ 法 ほう 」を用 もち いて線型 せんけい 方程式 ほうていしき 系 けい を解 と く方法 ほうほう を開発 かいはつ した[3] 。おそらく1860年代 ねんだい には行列 ぎょうれつ 式 しき の公理 こうり 的 てき な定義 ていぎ がワイエルシュトラス とクロネッカー によって与 あた えられていた。
最初 さいしょ に行列 ぎょうれつ 代数 だいすう (matrix algebra)の研究 けんきゅう が現 あらわ れたのは1800年代 ねんだい 半 なか ばのイングランド であるとされる。1844年 ねん 、グラスマン は著書 ちょしょ 「Theory of Extension(拡大 かくだい の理論 りろん )」を出版 しゅっぱん し、この本 ほん には今日 きょう の線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく の基本 きほん 概念 がいねん に相当 そうとう する(当時 とうじ としては)新 あたら しい内容 ないよう が含 ふく まれていた。1848年 ねん 、シルベスター がラテン語 らてんご で子宮 しきゅう を意味 いみ するmatrix(行列 ぎょうれつ )という用語 ようご を導入 どうにゅう した。線型 せんけい 変換 へんかん の構成 こうせい に関 かん する研究 けんきゅう 全体 ぜんたい で、ケイリーは行列 ぎょうれつ の積 せき と逆 ぎゃく 行列 ぎょうれつ の概念 がいねん 定義 ていぎ した。重要 じゅうよう なのは、ケイリーが一 ひと つの文字 もじ で行列 ぎょうれつ を表記 ひょうき する方法 ほうほう を使 つか ったため、行列 ぎょうれつ が文字 もじ を縦横 じゅうおう に並 なら べた集合 しゅうごう 体 たい として扱 あつか われたことである。ケイリーはまた行列 ぎょうれつ と行列 ぎょうれつ 式 しき との関係 かんけい を認識 にんしき しており、「行列 ぎょうれつ の理論 りろん はいろいろあるが、私 わたし に言 い わせれば、行列 ぎょうれつ 式 しき の理論 りろん よりも重要 じゅうよう である」と述 の べている[3] 。
1882年 ねん 、トルコのフセイン・テフフィグ・パシャ は "Linear Algebra"(線型 せんけい 代数 だいすう )と名付 なづ けられた本 ほん を出版 しゅっぱん した[6] 。公理 こうり 的 てき な(実数 じっすう 体 たい 上 じょう の)線型 せんけい 空間 くうかん の定義 ていぎ や線型 せんけい 変換 へんかん の定義 ていぎ はペアノ によって1888年 ねん に与 あた えられ、1900年 ねん までには有限 ゆうげん 次元 じげん ベクトル空間 くうかん の理論 りろん が現 あらわ れた。線型 せんけい 代数 だいすう が最初 さいしょ に現代 げんだい 化 か されるのは20世紀 せいき の初 はじ めの四半世紀 しはんせいき であり、ここで多 おお くのアイデアと前 ぜん 世紀 せいき に誕生 たんじょう した抽象 ちゅうしょう 代 だい 数学 すうがく の概念 がいねん が導入 どうにゅう されていくこととなる。量子力学 りょうしりきがく における行列 ぎょうれつ の使用 しよう 、特殊 とくしゅ 相対 そうたい 論 ろん 、統計 とうけい 学 がく における利用 りよう の広 ひろ がりなど、純粋 じゅんすい 数学 すうがく を超 こ えて応用 おうよう されていった。コンピュータ の登場 とうじょう でガウスの消去 しょうきょ 法 ほう の効率 こうりつ 的 てき アルゴリズムの研究 けんきゅう や、モデルの定式 ていしき 化 か やシミュレーションなどにも線型 せんけい 代数 だいすう は必須 ひっす の道具 どうぐ となっている[3] 。
これらの概念 がいねん の起源 きげん に関 かん する議論 ぎろん については en:determinants (「行列 ぎょうれつ 式 しき 」英語 えいご 版 ばん )、及 およ びen:Gaussian elimination (「ガウスの消去 しょうきょ 法 ほう 」英語 えいご 版 ばん )を参照 さんしょう のこと。
なお、日本 にっぽん の和算 わさん においては、上述 じょうじゅつ のライプニッツより10年 ねん 早 はや い時期 じき に同様 どうよう の研究 けんきゅう が(関 せき 孝和 こうわ 1683 )によって行 おこな われている。
ベクトル空間 くうかん (線型 せんけい 空間 くうかん )- ベクトル - 線型 せんけい 部分 ぶぶん 空間 くうかん
数 かず ベクトル空間 くうかん
ユークリッド空間 くうかん - アフィン空間 くうかん
内積 ないせき 空間 くうかん
内積 ないせき - エルミート内積 ないせき - 直交 ちょっこう 補 ほ 空間 くうかん - 直交 ちょっこう 射影 しゃえい
線型 せんけい 結合 けつごう (一 いち 次 じ 結合 けつごう )
線型 せんけい 従属 じゅうぞく (一 いち 次 じ 従属 じゅうぞく )- 線型 せんけい 独立 どくりつ (一 いち 次 じ 独立 どくりつ )
基底 きてい - 標準 ひょうじゅん 基底 きてい - 次元 じげん - グラム・シュミットの正規 せいき 直交 ちょっこう 化 か 法 ほう
行列 ぎょうれつ
実 じつ 行列 ぎょうれつ - 複素 ふくそ 行列 ぎょうれつ
正方 まさかた 行列 ぎょうれつ - 正則 せいそく 行列 ぎょうれつ (GL (n , R ), GL (n , C ) ) - 逆 ぎゃく 行列 ぎょうれつ - 単位 たんい 行列 ぎょうれつ (スカラー行列 ぎょうれつ ) - 零 れい 行列 ぎょうれつ - 冪 べき 零 れい 行列 ぎょうれつ
対 たい 角 かく 行列 ぎょうれつ - 三角 さんかく 行列 ぎょうれつ (上 うえ 三角 さんかく 行列 ぎょうれつ 、下 しも 三角 さんかく 行列 ぎょうれつ )
転置 てんち 行列 ぎょうれつ - 随伴 ずいはん 行列 ぎょうれつ
直交 ちょっこう 行列 ぎょうれつ (O (n ) ) - 特殊 とくしゅ 直交 ちょっこう 行列 ぎょうれつ (SO (n ) ) - ユニタリ行列 ぎょうれつ (U (n ) ) - 特殊 とくしゅ ユニタリー行列 ぎょうれつ (SU (n ) ) - シンプレクティック行列 ぎょうれつ (Sp (n ) ) - 行列 ぎょうれつ 指数 しすう 関数 かんすう
対称 たいしょう 行列 ぎょうれつ - 反対称 はんたいしょう 行列 ぎょうれつ (歪 ひずみ 対称 たいしょう 行列 ぎょうれつ ) - エルミート行列 ぎょうれつ - 歪 いびつ エルミート行列 ぎょうれつ (反 はん エルミート行列 ぎょうれつ ) - 正規 せいき 行列 ぎょうれつ
置換 ちかん 行列 ぎょうれつ - 隣接 りんせつ 行列 ぎょうれつ
行列 ぎょうれつ 式 しき
置換 ちかん - 小 しょう 行列 ぎょうれつ 式 しき - 余 よ 因子 いんし 展開 てんかい - ヤコビアン - 関数 かんすう 行列 ぎょうれつ
線型 せんけい 方程式 ほうていしき 系 けい (連立 れんりつ 一 いち 次 じ 方程式 ほうていしき )
行列 ぎょうれつ の基本 きほん 変形 へんけい - クラメールの公式 こうしき - シルベスター行列 ぎょうれつ
線型 せんけい 変換 へんかん (一 いち 次 じ 変換 へんかん )
線型 せんけい 写像 しゃぞう (線型 せんけい 変換 へんかん ) - 相似 そうじ - 成分 せいぶん 行列 ぎょうれつ
階数 かいすう - 像 ぞう - 核 かく (核 かく 空間 くうかん )
対 たい 角 かく 化 か - スペクトル分解 ぶんかい - ジョルダン標準 ひょうじゅん 形 がた - 特異 とくい 値 ち 分解 ぶんかい
固有 こゆう 空間 くうかん
固有値 こゆうち - 固有 こゆう ベクトル - フロベニウスの定理 ていり - 固有 こゆう 多項式 たこうしき (固有 こゆう 方程式 ほうていしき ) - 最小 さいしょう 多項式 たこうしき - ケイリー・ハミルトンの定理 ていり - 縮退 しゅくたい
テンソル
双対 そうつい 空間 くうかん - 双 そう 線型 せんけい 形式 けいしき - 対称 たいしょう 形式 けいしき - エルミート形式 けいしき - テンソル代数 だいすう - グラスマン代数 だいすう