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線型せんけい代数だいすうがく

出典しゅってん: フリー百科ひゃっか事典じてん『ウィキペディア(Wikipedia)』
3次元じげんユークリッド空間くうかんのモデル。3つの平面へいめんいち方程式ほうていしきかいあらわし、その交点こうてん共通きょうつうかい集合しゅうごう(この場合ばあい一意いちいてん)をあらわす。あおせんは、これらの方程式ほうていしきのうちの2つの共通きょうつうかいあらわす。

線型せんけい代数だいすうがく(せんけいだいすうがく、えい: linear algebra)とは、線形せんけい空間くうかん線形せんけい変換へんかん中心ちゅうしんとした理論りろん研究けんきゅうする代数だいすうがくいち分野ぶんやである。現代げんだい数学すうがくにおいて基礎きそてき役割やくわりたし、幅広はばひろ分野ぶんや応用おうようされている。また、これはとく行列ぎょうれつ行列ぎょうれつしき連立れんりついち方程式ほうていしきかんする理論りろんふくむ。線形せんけいなどの用字ようじ表記ひょうきれについては線型せんけいせい参照さんしょう[ちゅう 1]

日本にっぽん大学だいがくにおいては、おおくの理系りけい学部がくぶ学科がっかとく理学部りがくぶ工学部こうがくぶ)で解析かいせきがく微分びぶん積分せきぶんがく)とともにはつ学年がくねんから履修りしゅうする。高校こうこう教育きょういくにおいては平成へいせい27年度ねんどからのしん課程かていでは数学すうがくC廃止はいしともな行列ぎょうれつ分野ぶんや除外じょがいされている。[1] ただし、2022ねんれい4年度ねんど)からは数学すうがくCが復活ふっかつしベクトルととも行列ぎょうれつ分野ぶんや高校こうこう教育きょういくさい導入どうにゅうされる。

概要がいよう[編集へんしゅう]

行列ぎょうれつ変数へんすういち関係かんけいしきあらわされる関係かんけい簡潔かんけつ記述きじゅつするためにもちいられ、連立れんりついち方程式ほうていしき解法かいほう研究けんきゅう過程かてい見出みいだされた。行列ぎょうれつ記法きほうは、ケイリーシルヴェスターフロベニウスアイゼンシュタインエルミートがそれぞれどう時期じき提唱ていしょうした。もっとはやくこの理論りろん提唱ていしょうしたのはアイゼンシュタインであるが、学会がっかいからはなかなか注目ちゅうもくされず、ケイリーがんでいたものが30ねんにシルヴェスターによってさい発見はっけんされたことで評価ひょうかされはじめるようになった(シルヴェスターが個別こべつ発見はっけんしたのか、ケイリーの理論りろんっていたのかはくわしくはかっていない)。

連立れんりつ方程式ほうていしきいち変換へんかんとらえる立場たちばからは、線型せんけい代数だいすうがくは、こう次元じげんぐな空間くうかん現代げんだいてきにいえばベクトル空間くうかん)の幾何きかについて研究けんきゅうする学問がくもんであるとうことができる。このようにベクトル空間くうかんとその変換へんかん理論りろんとしてるとき、線型せんけい代数だいすうがく高々たかだか有限ゆうげん次元じげんのベクトル空間くうかん理論りろんである。これを無限むげん次元じげんのベクトル空間くうかん対象たいしょうとするためには、多分たぶん空間くうかん位相いそうとそれにもとづく解析かいせきがく必要ひつようとなる。無限むげん次元じげん線型せんけい代数だいすうがく関数かんすう解析かいせきがくばれる。これは、無限むげん次元じげんのベクトル空間くうかんがある空間くうかんじょう関数かんすう全体ぜんたい集合しゅうごうとして典型てんけいてきあらわれるからである。応用おうよう多岐たきわたるが、経済けいざいがく登場とうじょうする産業さんぎょう連関れんかんひょうや、量子力学りょうしりきがくにおいて物理ぶつりりょう行列ぎょうれつとして表現ひょうげんする手法しゅほうなど、20世紀せいき以降いこう社会しゃかい科学かがく自然しぜん科学かがくにおいて、行列ぎょうれつたす役割やくわりおおきい。

和算わさんせき孝和こうわ現代げんだいでいう行列ぎょうれつしきたるもの(せき孝和こうわ 1683)を独自どくじ開発かいはつ研究けんきゅうしていた[2]

線型せんけい代数だいすうがくにおいては、連立れんりつ1方程式ほうていしきかくしき空間くうかんないられた平面へいめんあらわしており、その平面へいめん同士どうしまじわる領域りょういき連立れんりつ方程式ほうていしきかいであると説明せつめいされる。かく平面へいめんまじわる領域りょういきが1てんとなる場合ばあいのみかい一意いちいさだまり、まじわる領域りょういきせん場合ばあいかい無数むすう存在そんざいし、まじわる領域りょういき場合ばあい(れい:すべての平面へいめん平行へいこうである場合ばあい)にはかい存在そんざいしない。どのようにかい存在そんざいするかは線型せんけい独立どくりつ生成せいせいもとかずしめ拡大かくだい係数けいすう行列ぎょうれつ階数かいすう判定はんてい可能かのうである。

歴史れきし[編集へんしゅう]

線型せんけい代数だいすう歴史れきし線型せんけい方程式ほうていしきけい行列ぎょうれつしきもちいてくという研究けんきゅうからはじまった。歴史れきしてきには行列ぎょうれつしき行列ぎょうれつより以前いぜんあらわれている。西洋せいよう数学すうがくにおいて、行列ぎょうれつしきライプニッツ1693ねんによりもちいられたのが最初さいしょであり、その、ガブリエル・クラメルがいわゆる「クラメルの公式こうしき」で線型せんけい方程式ほうていしきけい方法ほうほう1750ねんした。さら後年こうねんになってガウス測地そくちがく研究けんきゅうから「ガウスの消去しょうきょほう」をもちいて線型せんけい方程式ほうていしきけい方法ほうほう開発かいはつした[3]。おそらく1860年代ねんだいには行列ぎょうれつしき公理こうりてき定義ていぎワイエルシュトラスクロネッカーによってあたえられていた[4]

最初さいしょ行列ぎょうれつ代数だいすう(matrix algebra)の研究けんきゅうあらわれたのは1800年代ねんだいなかばのイングランドであるとされる。1844ねんグラスマン著書ちょしょ「Theory of Extension(拡大かくだい理論りろん)」を出版しゅっぱんし、このほんには今日きょう線型せんけい代数だいすうがく基本きほん概念がいねん相当そうとうする(当時とうじとしては)あたらしい内容ないようふくまれていた。1848ねんシルベスターラテン語らてんご子宮しきゅう意味いみするmatrix(行列ぎょうれつ)という用語ようご導入どうにゅうした。線型せんけい変換へんかん構成こうせいかんする研究けんきゅう全体ぜんたいで、ケイリーは行列ぎょうれつせきぎゃく行列ぎょうれつ概念がいねん定義ていぎした[5]重要じゅうようなのは、ケイリーがひとつの文字もじ行列ぎょうれつ表記ひょうきする方法ほうほう使つかったため、行列ぎょうれつ文字もじ縦横じゅうおうならべた集合しゅうごうたいとしてあつかわれたことである。ケイリーはまた行列ぎょうれつ行列ぎょうれつしきとの関係かんけい認識にんしきしており、「行列ぎょうれつ理論りろんはいろいろあるが、わたしわせれば、行列ぎょうれつしき理論りろんよりも重要じゅうようである」とべている[3]。 1882ねん、トルコのフセイン・テフフィグ・パシャは "Linear Algebra"(線型せんけい代数だいすう)と名付なづけられたほん出版しゅっぱんした[6]公理こうりてきな(実数じっすうたいじょうの)線型せんけい空間くうかん定義ていぎ線型せんけい変換へんかん定義ていぎペアノによって1888ねんあたえられ[7]1900ねんまでには有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん理論りろんあらわれた。線型せんけい代数だいすう最初さいしょ現代げんだいされるのは20世紀せいきはじめの四半世紀しはんせいきであり、ここでおおくのアイデアとぜん世紀せいき誕生たんじょうした抽象ちゅうしょうだい数学すうがく概念がいねん導入どうにゅうされていくこととなる。量子力学りょうしりきがくにおける行列ぎょうれつ使用しよう特殊とくしゅ相対そうたいろん統計とうけいがくにおける利用りようひろがりなど、純粋じゅんすい数学すうがくえて応用おうようされていった。コンピュータ登場とうじょうガウスの消去しょうきょほう効率こうりつてきアルゴリズムの研究けんきゅうや、モデルの定式ていしきやシミュレーションなどにも線型せんけい代数だいすう必須ひっす道具どうぐとなっている[3]

これらの概念がいねん起源きげんかんする議論ぎろんについては en:determinants (「行列ぎょうれつしき英語えいごばん)、およen:Gaussian elimination(「ガウスの消去しょうきょほう英語えいごばん)を参照さんしょうのこと。

なお、日本にっぽん和算わさんにおいては、上述じょうじゅつのライプニッツより10ねんはや時期じき同様どうよう研究けんきゅうが(せき孝和こうわ 1683)によっておこなわれている[2]

用語ようご[編集へんしゅう]

ベクトル空間くうかん線型せんけい空間くうかん)- ベクトル - 線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん
かずベクトル空間くうかん
ユークリッド空間くうかん - アフィン空間くうかん
内積ないせき空間くうかん
内積ないせき - エルミート内積ないせき - 直交ちょっこう空間くうかん - 直交ちょっこう射影しゃえい
線型せんけい結合けつごういち結合けつごう
線型せんけい従属じゅうぞくいち従属じゅうぞく)- 線型せんけい独立どくりついち独立どくりつ
基底きてい - 標準ひょうじゅん基底きてい - 次元じげん - グラム・シュミットの正規せいき直交ちょっこうほう
行列ぎょうれつ
じつ行列ぎょうれつ - 複素ふくそ行列ぎょうれつ
正方まさかた行列ぎょうれつ - 正則せいそく行列ぎょうれつ (GL(n, R), GL(n, C)) - ぎゃく行列ぎょうれつ - 単位たんい行列ぎょうれつスカラー行列ぎょうれつ) - れい行列ぎょうれつ - べきれい行列ぎょうれつ
たいかく行列ぎょうれつ - 三角さんかく行列ぎょうれつうえ三角さんかく行列ぎょうれつしも三角さんかく行列ぎょうれつ
転置てんち行列ぎょうれつ - 随伴ずいはん行列ぎょうれつ
直交ちょっこう行列ぎょうれつ (O(n)) - 特殊とくしゅ直交ちょっこう行列ぎょうれつ (SO(n)) - ユニタリ行列ぎょうれつ (U(n)) - 特殊とくしゅユニタリー行列ぎょうれつ (SU(n)) - シンプレクティック行列ぎょうれつ (Sp(n)) - 行列ぎょうれつ指数しすう関数かんすう
対称たいしょう行列ぎょうれつ - 反対称はんたいしょう行列ぎょうれつひずみ対称たいしょう行列ぎょうれつ) - エルミート行列ぎょうれつ - いびつエルミート行列ぎょうれつはんエルミート行列ぎょうれつ) - 正規せいき行列ぎょうれつ
置換ちかん行列ぎょうれつ - 隣接りんせつ行列ぎょうれつ
行列ぎょうれつしき
置換ちかん - しょう行列ぎょうれつしき - 因子いんし展開てんかい - ヤコビアン - 関数かんすう行列ぎょうれつ
線型せんけい方程式ほうていしきけい連立れんりついち方程式ほうていしき
行列ぎょうれつ基本きほん変形へんけい - クラメールの公式こうしき - シルベスター行列ぎょうれつ
線型せんけい変換へんかんいち変換へんかん
線型せんけい写像しゃぞう線型せんけい変換へんかん) - 相似そうじ - 成分せいぶん行列ぎょうれつ
階数かいすう - ぞう - かくかく空間くうかん
たいかく - スペクトル分解ぶんかい - ジョルダン標準ひょうじゅんがた - 特異とくい分解ぶんかい
固有こゆう空間くうかん
固有値こゆうち - 固有こゆうベクトル - フロベニウスの定理ていり - 固有こゆう多項式たこうしき固有こゆう方程式ほうていしき) - 最小さいしょう多項式たこうしき - ケイリー・ハミルトンの定理ていり - 縮退しゅくたい
テンソル
双対そうつい空間くうかん - そう線型せんけい形式けいしき - 対称たいしょう形式けいしき - エルミート形式けいしき - テンソル代数だいすう - グラスマン代数だいすう

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

  1. ^ (長岡ながおか亮介りょうすけ 2003, p. 9)によれば、線形せんけいとするとせんかたちあつか数学すうがく誤解ごかいされる危険きけんせいがあるとのことである。

出典しゅってん[編集へんしゅう]

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

  • せき孝和こうわかいふくだいほう』(復刻ふっこくばん古典こてん数学すうがく書院しょいん、1937ねん原著げんちょ1683ねん)。NDLJP:1144574 
  • Pacha, Hussein Tevfik (1892) (英語えいご). Linear algebra (2nd ed.). İstanbul: A. H. Boyajian 
  • 佐武さたけ一郎いちろう線型せんけい代数だいすうがくはなぼう、1982ねんISBN 4-7853-1301-3 
  • 齋藤さいとう正彦まさひこ:「線型せんけい代数だいすう入門にゅうもん」、東京とうきょう大学だいがく出版しゅっぱんかいISBN 978-4-13-062001-7、(1966)。
  • Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-64767-6. https://books.google.co.jp/books?id=4JprCQAAQBAJ&pg=PA57 
  • 長岡ながおか亮介りょうすけ線型せんけい代数だいすう入門にゅうもん放送大学ほうそうだいがく教育きょういく振興しんこうかい、2003ねんISBN 4-595-23669-7 
  • Kleiner, I. (2007). A History of Abstract Algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4. https://books.google.co.jp/books?id=udj-1UuaOiIC&pg=PA79 
  • 佐藤さとう, 賢一けんいち小松こまつ, 彦三郎ひこさぶろうせき孝和こうわ行列ぎょうれつしきさい検討けんとう」『数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ講究こうきゅうろくだい1392かん、2004ねん、214-224ぺーじhdl:2433/49757NAID 110006471628 

関連かんれん項目こうもく[編集へんしゅう]

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]