ヤコビ行列ぎょうれつ

多た変数へんすう微分びぶん積分せきぶん学がくおよびベクトル解析かいせきにおけるヤコビ行列ぎょうれつ（ヤコビぎょうれつ、英えい: Jacobian matrix）あるいは単たんにヤコビアンまたは関数かんすう行列ぎょうれつ（かんすうぎょうれつ、独どく: Funktionalmatrix）は、一変いっぺん数すうスカラー値ち関数かんすうにおける接線せっせんの傾かたむきおよび一変いっぺん数すうベクトル値ち函数かんすうの勾配こうばいの、多た変数へんすうベクトル値ち関数かんすうに対たいする拡張かくちょう、高こう次元じげん化かである。名称めいしょうはカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因ちなむ。多た変数へんすうベクトル値ち関数かんすう f のヤコビ行列ぎょうれつは、f の各かく成分せいぶんの各かく軸じく方向ほうこうへの方向ほうこう微分びぶんを並ならべてできる行列ぎょうれつで

$J_{f}=D_{x}f={\frac {\partial f}{\partial x}}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\quad \left(f={\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\right)$

のように表あらわされる。

ヤコビ行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しきは、ヤコビ行列ぎょうれつ式しき (英えい: Jacobian determinant) あるいは単たんにヤコビアンと呼よばれる。ヤコビ行列ぎょうれつ式しきは変数へんすう変換へんかんに伴ともなう面積めんせき要素ようそや体積たいせき要素ようその無限むげん小しょう変化へんかの比率ひりつを符号ふごうつきで表あらわすもので、しばしば重じゅう積分せきぶんの変数へんすう変換へんかんに現あらわれる。

これらは多た変数へんすう微分びぶん積分せきぶん学がく、多様たよう体からだ論ろんなどで基本きほん的てきな役割やくわりを果はたすほか、最適さいてき化か問題もんだい等ひとしの応用おうよう分野ぶんやでも重要じゅうような概念がいねんである。

定義ていぎ

D を n 次元じげんユークリッド空間くうかん Rⁿ の開ひらけ集合しゅうごうとし、f を D 上うえで定義ていぎされ、R^m に値ねを取とる C¹ 級きゅう関数かんすうとする。 点てん p ∈ D における f のヤコビ行列ぎょうれつは、

${\frac {\partial f}{\partial x}}(p)={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}$

なる m × n 行列ぎょうれつをいう。これをしばしば J_f(p) や Df(p) あるいは ∂f/∂x = ∂(f₁, …, f_m)/∂(x₁, …, x_n), Df/Dx = D(f₁, …, f_m)/D(x₁, …, x_n) などと表あらわす。

m = n の場合ばあい、ヤコビ行列ぎょうれつは正方せいほう行列ぎょうれつとなり、その行列ぎょうれつ式しきを考かんがえることができる。ヤコビ行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しき |J_f| をヤコビ行列ぎょうれつ式しき、関数かんすう行列ぎょうれつ式しきあるいは簡単かんたんにヤコビアンと呼よぶ。ヤコビ行列ぎょうれつ式しきも |J_f|, |Df(p)| あるいは |∂f/∂x| = |∂(f₁, …, f_m)/∂(x₁, …, x_n)|, |Df/Dx| = |D(f₁, …, f_m)/D(x₁, …, x_n)| などとも書かかれる。

性質せいしつ

ヤコビ行列ぎょうれつは、実じつ関数かんすうに関かんする微分びぶん係数けいすうおよび導しるべ函数かんすうの自然しぜんな拡張かくちょうとなっている。つまり、n = m = 1 のとき、(1, 1)-型かた行列ぎょうれつとその唯一ゆいいつの成分せいぶんである実数じっすうとを同一どういつ視しすることにより、ヤコビ行列ぎょうれつの概念がいねんは微分びぶん係数けいすうおよび導しるべ函数かんすうの概念がいねんに一致いっちする。

f が点てん p において任意にんいの偏へん微分びぶんを持もつならば p においてヤコビ行列ぎょうれつは存在そんざいする。しかし、f の偏へん微分びぶん可能かのう性せいだけでは f の微分びぶん可能かのう性せいは言いえないから、ヤコビ行列ぎょうれつが存在そんざいしても f は p において必かならずしも全ぜん微分びぶん可能かのうでない。

f が D 上うえの点てん p で微分びぶん可能かのう、すなわち

$\lim _{x\to p}{\dfrac {\|f(x)-f(p)-{\mathit {df}}(x-p)\|}{\|x-p\|}}=0$

なる線型せんけい写像しゃぞう df が存在そんざいするとき、この線型せんけい写像しゃぞう df の標準ひょうじゅん基底きていに関かんする表現ひょうげん行列ぎょうれつは f の p におけるヤコビ行列ぎょうれつ J_f(p) によって与あたえられる（すなわち、R^m のベクトルの各かく成分せいぶんへの射影しゃえい πぱい_i: R^m → R (i = 1, 2, ..., m ) に対たいして

$f_{i}:=\pi _{i}\circ f$

と書かけば、点てん x = p におけるヤコビ行列ぎょうれつ J_f(p) は

${\bigg (}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}{\bigg |}_{x=p}{\bigg )}_{i=1,\ldots ,m \atop j=1,\ldots ,n}$　

と書かくことができる）。またこれは f が D の全域ぜんいきで微分びぶん可能かのうであるとき、p に対たいして J_f (p) を対応たいおうさせる写像しゃぞう J_f: p ↦ J_f(p) は f の全ぜん微分びぶんであると言いっても同おなじことである。

f が点てん p において微分びぶん可能かのうであるとき、点てん p におけるヤコビ行列ぎょうれつ J_f(p) は、x が p に十分じゅうぶん近ちかいとき

$f(x)=f(p)+J_{f}(p)(x-p)+o(\|x-p\|)$

なる関係かんけいを満足まんぞくする（ここで o はランダウの記号きごう）という意味いみで f の p における一いち次じ近似きんじであり、接せっ空間くうかんの間あいだの線型せんけい写像しゃぞうとみなせる。この線型せんけい写像しゃぞうの合成ごうせいは行列ぎょうれつ積せきと等価とうかであり、g が f(p) を含ふくむ領域りょういき E から R^l への関数かんすうであり、f (p ) において微分びぶん可能かのうであるとき、

$J_{g\circ f}(p)=J_{g}(f(p))\cdot J_{f}(p)$

が成なり立たつ。これは、合成ごうせい関数かんすうの微分びぶんに相当そうとうする。

逆ぎゃく関数かんすうの定理ていり

ここでは、f が D 上うえで C^k 級きゅう (k ≥ 1) であるとする。

m = n のとき、f の p におけるヤコビ行列ぎょうれつは正方せいほう行列ぎょうれつであるが、ヤコビ行列ぎょうれつが正則せいそく行列ぎょうれつである場合ばあい、f は 局所きょくしょ的てきに全ぜん単たん射しゃとなり、その逆ぎゃく関数かんすうは C^k 級きゅうであり、f (p ) でのヤコビ行列ぎょうれつは J_f(p) の逆ぎゃく行列ぎょうれつとなる。 つまり、p を含ふくむある領域りょういき D' について、f の D' への制限せいげん

$h:=f|_{D'}\colon D'\to f(D')$

が C^k 級きゅう全ぜん単たん射しゃで、

$J_{h^{-1}}(h(p))=(J_{h}(p))^{-1}$

となる。

一方いっぽう、J_f(p) が退化たいかしている（階数かいすうが落おちる）場合ばあいには、以下いかの二ふたつの状況じょうきょうがありうる。

• f は p のまわりで局所きょくしょ的てきに全ぜん単たん射しゃだが、逆ぎゃく関数かんすうが f(p) にて微分びぶん不可能ふかのう

  例れい

  x³ は 0 付近ふきんで全ぜん単たん射しゃだが、逆ぎゃく関数かんすうは 0 で微分びぶん不可能ふかのう

• f は p のまわりで局所きょくしょ的てきにも全ぜん単たん射しゃでない

  例れい

  x² は 0 付近ふきんで局所きょくしょ的てきにも全ぜん単たん射しゃでない

この時とき、p を特異とくい点てん、または臨界りんかい点てんという。ヤコビ行列ぎょうれつ及およびヤコビアンは、特異とくい点てんを見みつけるのにしばしば用もちいられる。

多様たよう体からだ論ろんにおけるヤコビ行列ぎょうれつ

詳細しょうさいは「接せっベクトル空間くうかん」を参照さんしょう

ここでは、多様たよう体たい間あいだの写像しゃぞうのヤコビ行列ぎょうれつについて述のべる。

M, N をそれぞれ m 次元じげん、n 次元じげんの C^k (k ≥ 1) 多様たよう体たいで、f をその間あいだの C^k 級きゅう写像しゃぞうだとする。 このとき、f の点てん p ∈ M での微分びぶん df_p は、点てん p における M の接せっベクトル空間くうかん T_pM と、点てん f(p) における N の接せっベクトル空間くうかん T_f(p)N の間あいだの線型せんけい写像しゃぞうとなる。p のまわりの M の局所きょくしょ座標ざひょう {x₁, …, x_m} および f (p) のまわりの N の局所きょくしょ座標ざひょう {y ₁, ..., y_n} を定さだめると、それぞれの接せっベクトル空間くうかんにおける基底きていが定さだまる。 この基底きていに関かんする df_p の表現ひょうげん行列ぎょうれつを f の p におけるヤコビ行列ぎょうれつと呼よぶ。

写像しゃぞうの微分びぶんは局所きょくしょ座標ざひょうに依存いぞんしないが、ヤコビ行列ぎょうれつは局所きょくしょ座標ざひょうの選えらび方かたに依存いぞんする。 ただし、同おなじ写像しゃぞうの、局所きょくしょ座標ざひょうの選えらび方かたを変かえたヤコビ行列ぎょうれつ同士どうしは互たがいに共役きょうやくである。

この定義ていぎは、冒頭ぼうとうの定義ていぎの拡張かくちょうとなっている。 M = R^m（の開ひらき集合しゅうごう）、N = Rⁿ とし、それぞれに自明じめいな局所きょくしょ座標ざひょうを選えらぶことによって、冒頭ぼうとうの定義ていぎと一致いっちする。

極座標きょくざひょう系けいに関かんする具体ぐたい例れい

「変数へんすう変換へんかん」も参照さんしょう

ここでは、いくつかの極座標きょくざひょう系けいから直交ちょっこう座標ざひょう系けいへの座標ざひょう変換へんかんで、ヤコビアンがどのようになるか述のべる。

円えん座標ざひょう

円えん座標ざひょうは、直交ちょっこう座標ざひょうへの座標ざひょう変換へんかん (x , y) = f(r , θしーた) = (r cos θしーた, r sin θしーた) を与あたえるから、ヤコビアンは

$|J_{f}|=\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r$

となる。従したがって、特異とくい点てんは r = 0 となる点てん、即すなわち (0, θしーた) である。これは直交ちょっこう座標ざひょうでの (0, 0) を表あらわす。

円柱えんちゅう座標ざひょう

円柱えんちゅう座標ざひょうは、直交ちょっこう座標ざひょうへの座標ざひょう変換へんかん (x, y, z) = f (r, θしーた, z) = (r cos θしーた, r sin θしーた, z) を与あたえるから、ヤコビアンは

$|J_{f}|={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r$

となる。従したがって、円えん座標ざひょうのときと同おなじく、特異とくい点てんは r = 0 となる点てん、即すなわち (0, θしーた, z) である。これは直交ちょっこう座標ざひょうでの (0, 0, z) すなわち z–軸じくを表あらわす。

球たま座標ざひょう

球たま座標ざひょうは、直交ちょっこう座標ざひょうへの座標ざひょう変換へんかん (x, y, z) = f (r, θしーた, φふぁい) = (r sinθしーたcosφふぁい, r sinθしーたsinφふぁい, r cosθしーた) を与あたえるから、ヤコビアンは

$|J_{f}|={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \phi &r\cos \theta \cos \phi &-r\sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &r\cos \theta \sin \phi &r\sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta$

となる。従したがって、特異とくい点てんは r = 0 または sin θしーた = 0 となる点てん、即すなわち (0, θしーた, φふぁい) と (r, 0, φふぁい), (r, πぱい, φふぁい) である。これは直交ちょっこう座標ざひょうでの (0, 0, 0), (0, 0, r), (0, 0, −r) すなわち z–軸じくを表あらわす。

参考さんこう文献ぶんけん

• 岩いわ堀ほり長慶ちょうけい 編へん 編へん『微分びぶん積分せきぶん学がく』裳も華はな房ぼう、1983年ねん12月。ISBN 978-4-7853-1039-4。 
• 島しま和久かずひさ『多た変数へんすうの微分びぶん積分せきぶん学がく』近代きんだい科学かがく社しゃ、1991年ねん9月がつ。ISBN 978-4-7649-1024-9。 
• Spivak, Michael (2018) [1965], Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, Mathematics Monograph Series (Paperback ed.), New York: CRC Press, ISBN 978-0-8053-9021-6 
  • スピヴァック, M. 著ちょ、齋藤さいとう正彦まさひこ 訳わけ『多た変数へんすうの解析かいせき学がく　古典こてん理論りろんへの現代げんだい的てきアプローチ』（新装しんそう版ばん）東京とうきょう図書としょ、2007年ねん4月がつ。ISBN 978-4-489-02004-9。 
• 松本まつもと幸夫ゆきお『多様たよう体たいの基礎きそ』東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい〈基礎きそ数学すうがく 5〉、1988年ねん9月がつ。ISBN 978-4-13-062103-8。 
• Warner, Frank W. (2010), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics 94, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-2820-7 

関連かんれん項目こうもく

• ヘッセ行列ぎょうれつ