二 に 次 じ 函数 かんすう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 定数 ていすう 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 函数 かんすう f 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 英語 えいご second derivative ）とは、f 導 しるべ 函数 かんすう 導 しるべ 函数 かんすう 指 さ 大雑把 おおざっぱ 言 い 量 りょう 変化 へんか 率 りつ 変化 へんか 測定 そくてい 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 物体 ぶったい 位置 いち 時間 じかん 対 たい 二 に 階 かい 微分 びぶん 物体 ぶったい 瞬間 しゅんかん 加速度 かそくど 物体 ぶったい 速度 そくど 時間 じかん 対 たい 変化 へんか ライプニッツの記法 きほう では、a を加速度 かそくど v を速度 そくど t を時間 じかん x を位置 いち d を瞬時 しゅんじ 変化 へんか 量 りょう
a
=
d
v
d
t
=
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}}
と表 あらわ 最後 さいご 式 しき
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle {\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}}
位置 いち 時間 じかん 対 たい 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう
グラフ において、二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 曲 きょく 率 りつ 凹凸 おうとつ 対応 たいおう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 正 せい 函数 かんすう 下 した 凸 とつ 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 負 まけ 函数 かんすう 反対 はんたい 側 がわ 湾曲 わんきょく
二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 冪 べき 乗 じょう 公式 こうしき [ 編集 へんしゅう ] 一 いち 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 冪 べき 乗 じょう 公式 こうしき Power rule ）を2回 かい 適用 てきよう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 冪 べき 乗 じょう 公式 こうしき 次 つぎ
d
2
d
x
2
[
x
n
]
=
d
d
x
d
d
x
[
x
n
]
=
d
d
x
[
n
x
n
−
1
]
=
n
d
d
x
[
x
n
−
1
]
=
n
(
n
−
1
)
x
n
−
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}}
函数 かんすう
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 一般 いっぱん 的 てき
f
″
(
x
)
{\displaystyle f''(x)}
表記 ひょうき [ 1] [ 2]
f
″
=
(
f
′
)
′
{\displaystyle f''=\left(f'\right)'}
ライプニッツの記法 きほう を用 もち 際 さい 独立 どくりつ 変数 へんすう x 対 たい 従属 じゅうぞく 変数 へんすう y 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう
d
2
y
d
x
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}
と表記 ひょうき 以下 いか 式 しき 導 みちび
d
2
y
d
x
2
=
d
d
x
(
d
y
d
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}
前述 ぜんじゅつ 記法 きほう 一般 いっぱん 的 てき 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう
d
2
y
d
x
2
{\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}
表 あらわ 表記 ひょうき 代数 だいすう 的 てき 操作 そうさ 微分 びぶん 分数 ぶんすう 形 かたち 分数 ぶんすう 分割 ぶんかつ 項 こう 打 う 消 け 制限 せいげん 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 別 べつ 式 しき 使 つか 解決 かいけつ 式 しき 一 いち 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 商 しょう 微分 びぶん 法則 ほうそく 適用 てきよう [ 3] 以下 いか 式 しき 得 え
y
″
(
x
)
=
d
d
x
(
d
y
d
x
)
=
d
(
d
y
d
x
)
d
x
=
d
2
y
d
x
2
−
d
y
d
x
d
2
x
d
x
2
{\displaystyle y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}}
この式 しき
d
u
{\displaystyle du}
u
{\displaystyle u}
適用 てきよう 微分 びぶん 作用素 さようそ
d
(
u
)
{\displaystyle d(u)}
d
2
u
{\displaystyle d^{2}u}
微分 びぶん 作用素 さようそ 回 かい 適用 てきよう
d
(
d
(
u
)
)
{\displaystyle d(d(u))}
d
u
2
{\displaystyle du^{2}}
u
{\displaystyle u}
適用 てきよう 微分 びぶん 作用素 さようそ 乗 じょう
(
d
(
u
)
)
2
{\displaystyle (d(u))^{2}}
表 あらわ
（上記 じょうき 記法 きほう 意味 いみ 考慮 こうりょ 表記 ひょうき 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 項 こう 他 た 代数 だいすう 的 てき 項 こう 同 おな 自由 じゆう 操作 そうさ 例 たと 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 逆 ぎゃく 函数 かんすう 公式 こうしき 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 連鎖 れんさ 律 りつ 同様 どうよう 上 うえ 式 しき 代数 だいすう 的 てき 操作 そうさ 導 みちび 記法 きほう 変更 へんこう 十分 じゅうぶん 有用 ゆうよう 未 いま 議論 ぎろん 余地 よち [ 4]
函数 かんすう
f
(
x
)
=
x
3
{\displaystyle f(x)=x^{3}}
対 たい 函数 かんすう f 導 しるべ 函数 かんすう
f
′
(
x
)
=
3
x
2
{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}}
であり、二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう
f
′
{\displaystyle f^{\prime }}
導 しるべ 函数 かんすう
f
′
′
(
x
)
=
6
x
.
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}
である。
f
(
x
)
=
sin
(
2
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(2x)}
−
π ぱい
/
4
{\displaystyle -\pi /4}
5
π ぱい
/
4
{\displaystyle 5\pi /4}
接線 せっせん 曲線 きょくせん 下 した 凸 とつ 青 あお 上 うえ 凸 とつ 緑 みどり 変 へん 曲 きょく 点 てん
π ぱい
{\displaystyle \pi }
π ぱい
{\displaystyle \pi }
赤 あか 函数 かんすう f 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 使 つか f 凹凸 おうとつ 調 しら [ 2] 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 正 せい 函数 かんすう 下 した 凸 とつ 凸 とつ 接線 せっせん 函数 かんすう 下 した 位置 いち 同様 どうよう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 負 まけ 函数 かんすう 上 うえ 凸 とつ 凹 ともいう）であり、その接線 せっせん 函数 かんすう 上 うえ 位置 いち
函数 かんすう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 符号 ふごう 変 か 函数 かんすう 凸 とつ 逆 ぎゃく 切 き 替 か 起 お 点 てん 変 へん 曲 きょく 点 てん 呼 よ 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 連続 れんぞく 仮定 かてい 変 へん 曲 きょく 点 てん 必要 ひつよう 一方 いっぽう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 点 てん 変 へん 曲 きょく 点 てん 限 かぎ
二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 関係 かんけい 利用 りよう 函数 かんすう 停留 ていりゅう 点 てん
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
点 てん 極大 きょくだい 極小 きょくしょう 判定 はんてい 特 とく
f
′
′
(
x
)
<
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
極大 きょくだい
f
′
′
(
x
)
>
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
極小 きょくしょう
f
′
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0}
変 へん 曲 きょく 点 てん 候補 こうほ
x
{\displaystyle x}
何 なに 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 結果 けっか 理由 りゆう 現実 げんじつ 世界 せかい 例 れい 説明 せつめい 車両 しゃりょう 最初 さいしょ 大 おお 速度 そくど 負 まけ 加速度 かそくど 伴 ともな 前進 ぜんしん 速度 そくど 地点 ちてん 車両 しゃりょう 位置 いち 明 あき 出発 しゅっぱつ 地点 ちてん 距離 きょり 極大 きょくだい 時点 じてん 過 す 速度 そくど 負 まけ 車両 しゃりょう 逆 ぎゃく 走 はし 極小 きょくしょう 場合 ばあい 同様 どうよう 最初 さいしょ 負 まけ 速度 そくど 正 せい 加速度 かそくど 持 も 車両 しゃりょう
以下 いか 極限 きょくげん 用 もち 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 表記 ひょうき
f
″
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
2
f
(
x
)
+
f
(
x
−
h
)
h
2
{\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}
この極限 きょくげん 二 に 階 かい 対称 たいしょう 導 しるべ 函数 かんすう 呼 よ [ 5] [ 6] 通常 つうじょう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 存在 そんざい 二 に 階 かい 対称 たいしょう 導 しるべ 函数 かんすう 存在 そんざい 注意 ちゅうい
式 しき 右辺 うへん 差分 さぶん 商 しょう 差分 さぶん 商 しょう 次 つぎ 表記 ひょうき 可能 かのう
f
(
x
+
h
)
−
2
f
(
x
)
+
f
(
x
−
h
)
h
2
=
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
−
f
(
x
)
−
f
(
x
−
h
)
h
h
{\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}}
この極限 きょくげん 数列 すうれつ 二 に 階 かい 差分 さぶん 連続 れんぞく 版 ばん 見 み
しかしながら、上記 じょうき 極限 きょくげん 存在 そんざい 函数 かんすう
f
{\displaystyle f}
二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 持 も 限 かぎ 上 うえ 極限 きょくげん 二 に 階 かい 微分 びぶん 計算 けいさん 可能 かのう 性 せい 与 あた 定義 ていぎ 反例 はんれい
sgn
(
x
)
=
{
−
1
if
x
<
0
,
0
if
x
=
0
,
1
if
x
>
0.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}
と定義 ていぎ 符号 ふごう 函数 かんすう
sgn
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
挙 あ
符号 ふごう 函数 かんすう 原点 げんてん 連続 れんぞく
x
=
0
{\displaystyle x=0}
二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 存在 そんざい 上記 じょうき 極限 きょくげん
x
=
0
{\displaystyle x=0}
以下 いか 示 しめ 存在 そんざい
lim
h
→
0
sgn
(
0
+
h
)
−
2
sgn
(
0
)
+
sgn
(
0
−
h
)
h
2
=
lim
h
→
0
sgn
(
h
)
−
2
⋅
0
+
sgn
(
−
h
)
h
2
=
lim
h
→
0
sgn
(
h
)
+
(
−
sgn
(
h
)
)
h
2
=
lim
h
→
0
0
h
2
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0\end{aligned}}}
一 いち 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 線型 せんけい 近似 きんじ 関連 かんれん 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 函数 かんすう f 対 たい 最良 さいりょう 二 に 次 じ 近似 きんじ 関連 かんれん 点 てん 一 いち 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 二 に 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう f 一致 いっち 二 に 次 じ 函数 かんすう 点 てん x = a 付近 ふきん 函数 かんすう f 最良 さいりょう 二 に 次 じ 近似 きんじ 公式 こうしき 次 つぎ 通 とお
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
+
1
2
f
″
(
a
)
(
x
−
a
)
2
{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}}
この二 に 次 じ 近似 きんじ x = a 函数 かんすう 二 に 次 じ テイラー級数 きゅうすう である。
二 に 次 じ 導 しるべ 函数 かんすう 固有値 こゆうち 固有 こゆう [ 編集 へんしゅう ] 多 おお 境界 きょうかい 条件 じょうけん 組 く 合 あ 二 に 次 じ 導 しるべ 函数 かんすう 固有値 こゆうち 固有 こゆう 明示 めいじ 的 てき 公式 こうしき 得 え 例 たと
x
∈
[
0
,
L
]
{\displaystyle x\in [0,L]}
同 どう 次元 じげん ディリクレ境界 きょうかい 条件 じょうけん （すなわち、
v
(
0
)
=
v
(
L
)
=
0
{\displaystyle v(0)=v(L)=0}
仮定 かてい 固有値 こゆうち
λ らむだ
j
=
−
j
2
π ぱい
2
L
2
{\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}
対応 たいおう 固有 こゆう 固有 こゆう 函数 かんすう 呼 よ
v
j
(
x
)
=
2
L
sin
(
j
π ぱい x
L
)
{\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}
v
j
″
(
x
)
=
λ らむだ
j
v
j
(
x
)
,
j
=
1
,
…
,
∞
{\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty }
その他 た 著名 ちょめい 例 れい Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative を参照 さんしょう
二 に 次 じ 導 しるべ 函数 かんすう 二 に 次 じ 偏 へん 導 しるべ 函数 かんすう 概念 がいねん 高 こう 次元 じげん 一般 いっぱん 化 か 函数 かんすう f : R 3 → R に対 たい 二 に 次 じ 偏 へん 導 しるべ 函数 かんすう
∂
2
f
∂
x
2
,
∂
2
f
∂
y
2
,
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
および混合 こんごう 導 しるべ 函数 かんすう
∂
2
f
∂
x
∂
y
,
∂
2
f
∂
x
∂
z
,
∂
2
f
∂
y
∂
z
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}}
を含 ふく
函数 かんすう 像 ぞう 定義 ていぎ 域 いき 両方 りょうほう 持 も 場合 ばあい ヘッセ行列 ぎょうれつ と呼 よ 対称 たいしょう 行列 ぎょうれつ 当 あ 行列 ぎょうれつ 固有値 こゆうち 二 に 次 じ 導 しるべ 函数 かんすう 判定 はんてい 多 た 変量 へんりょう 実装 じっそう 使用 しよう Second partial derivative test を参照 さんしょう
もう1つの高 こう 次元 じげん 一般 いっぱん 化 か ラプラシアン がある。これは
∇
2
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
として定義 ていぎ 微分 びぶん 作用素 さようそ
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
函数 かんすう 勾配 こうばい 発散 はっさん 行列 ぎょうれつ 跡 あと 等 ひと
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![{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7639dc1bfe504b6434578252b69c5ce1b2278543)
![{\displaystyle x\in [0,L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35e3fa30fa9d0e9f57923fb0101848d4fea625a)
