外そと微分びぶん

可か微分びぶん多様たよう体たい上うえ、外そと微分びぶん（がいびぶん、英えい: exterior derivative）は関数かんすうの微分びぶんの概念がいねんを高次こうじの微分びぶん形式けいしきに拡張かくちょうする。外そと微分びぶんはエリ・カルタンによって最初さいしょに現在げんざいの形式けいしきで記述きじゅつされた。それによってベクトル解析かいせきのストークスの定理ていり、ガウスの定理ていり、グリーンの定理ていりの自然しぜんな、距離きょりに依存いぞんしない一般いっぱん化かができる。

k 形式けいしきを無限むげん小しょう k 次元じげん平行へいこう面体めんていを通とおる流量りゅうりょうを測はかるものと考かんがえれば、その外そと微分びぶんを (k + 1)-平行へいこう面体めんていの境界きょうかいを通とおる正味しょうみの流ながれを測はかるものと考かんがえることができる。

定義ていぎ

k 次つぎ微分びぶん形式けいしきの外そと微分びぶんは k + 1 次じ微分びぶん形式けいしきである。

f が滑なめらかな関数かんすう（0 形式けいしき）であれば、f の外そと微分びぶん df は f の全ぜん微分びぶん df である。つまり、外そと微分びぶんdf は

任意にんいの滑なめらかなベクトル場じょう X に対たいして、df(X) = d_Xf（ただし d_Xf は X 方向ほうこうへの f の方向ほうこう微分びぶん）。

を満みたす一意的いちいてきな 1 形式けいしきである。

一般いっぱんの k 形式けいしきの外そと微分びぶんには様々さまざまな同値どうちな定義ていぎが存在そんざいする。

公理こうりによる定義ていぎ

外そと微分びぶん d は以下いかの性質せいしつを満みたす k-形式けいしきから (k + 1)-形式けいしきへの一意的いちいてきな R-線型せんけい写像しゃぞうとして定義ていぎされる：

1. 滑なめらかな関数かんすう f に対たいして d(f) ≔ df はf の微分びぶんである。
2. 任意にんいの滑なめらかな関数かんすう f に対たいして d(df) = 0 である。
3. d(αあるふぁ ∧ βべーた) = dαあるふぁ ∧ βべーた + (−1)^p(αあるふぁ ∧ dβべーた) である、ただし αあるふぁ は p-形式けいしきとする。つまり、d は微分びぶん形式けいしきのなす外積がいせき代数だいすう上うえ次数じすう 1 の反はん微分びぶんである。

二に番目ばんめの定義ていぎ性質せいしつはより一般いっぱん性せいを持もって成なり立たつ： 実じつは、任意にんいの k-形式けいしき αあるふぁ に対たいして d(dαあるふぁ) = 0（より簡潔かんけつには、d² = 0）である。三さん番目ばんめの定義ていぎ性質せいしつは特別とくべつな場合ばあいとして f が関数かんすうで αあるふぁ が k-形式けいしきであれば d(fαあるふぁ) = d(f ∧ αあるふぁ) = df ∧ αあるふぁ + f ∧ dαあるふぁ であるということを含ふくんでいる。なぜならば、関数かんすうは 0 形式けいしきであり、スカラー乗法じょうほうと外積がいせきは引数ひきすうの一方いっぽうがスカラーであるとき同値どうちであるからである。

局所きょくしょ座標ざひょう系けいによる定義ていぎ

代かわりに、完全かんぜんに局所きょくしょ座標ざひょう系けい (x¹, …, xⁿ) の言葉ことばで定義ていぎすることもできる。まず、座標ざひょう（微分びぶん）形式けいしき dx¹, …, dxⁿ は座標ざひょうチャートの範囲はんい内ないで 1-形式けいしきの基底きていをなす。1 ≤ p ≤ k なる各かく p に対たいして 1 ≤ i_p ≤ n とし、多重たじゅう添字そえじ I = (i₁, …, i_k) （および表記ひょうきの濫用らんようで dx^i₁ ∧ ⋯ ∧ dx^i_k を dx^I と書かく）が与あたえられたとき、Rⁿ 上うえの単純たんじゅん k-形式けいしき φふぁい = f dx^I の外そと微分びぶんは

$\mathrm {d} \varphi :=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{I}$

で与あたえられる。一般いっぱんの k-形式けいしきは I が {1, …, n} の k-元もと部分ぶぶん集合しゅうごう全すべてを渡わたる単純たんじゅん k-形式けいしきの和わ

$\omega =\sum _{I}f_{I}\mathrm {d} x^{I}$

に書かかれるから、その外そと微分びぶんの定義ていぎは単純たんじゅん形式けいしきの場合ばあいを線型せんけいに拡張かくちょうすることによって与あたえられる。i が多重たじゅう添そえ字じ I の成分せいぶんの 1 つであるときにはいつでも dxⁱ ∧ dx^I = 0 であることに注意ちゅういしよう（ウェッジ積せきを参照さんしょう）。

この局所きょくしょ座標ざひょう系けいによる定義ていぎは前節ぜんせつの公理こうりによる定義ていぎから従したがう。実際じっさい、単純たんじゅん形式けいしき φふぁい ≔ f dx^I に対たいし、前節ぜんせつで述のべた性質せいしつを適用てきようすれば d(f dx^I) = df ∧ dx^I + f d(dx^I) で第だい二に項こう = 0 だから dφふぁい = df ∧ dx^I = ∑n
i=1∂f/∂xⁱdxⁱ ∧ dx^I を得える。

結果けっかを一般いっぱんの場合ばあいに直截ちょくせつに書かけば、k-形式けいしき ωおめが の外そと微分びぶんは

$\mathrm {d} \omega :=\sum _{I}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{I}$

と定義ていぎされる。

不変ふへん公式こうしきによる定義ていぎ

代かわりに、明示めいじ的てきな式しきを k-形式けいしき ωおめが の外そと微分びぶんに対たいして、k + 1 個この任意にんいの滑なめらかなベクトル場じょう V₀, V₁, ..., V_k とペアにされたとき、与あたえることができる：

$\mathrm {d} \omega (V_{0},...,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\overset {\wedge }{V_{i}}},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\overset {\wedge }{V_{i}}},\ldots ,{\overset {\wedge }{V_{j}}},\ldots ,V_{k}),$

ただし [V_i, V_j] は括弧かっこ積せきを表あらわし、ハットはその元もとを取とり除のぞくことを表あらわす：

$\omega (V_{0},\ldots ,{\overset {\wedge }{V_{i}}},\ldots ,V_{k}):=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).$

特とくに、1 形式けいしきに対たいして次つぎが成なり立たつ： dωおめが(X, Y) = Xωおめが(Y) − Yωおめが(X) − ωおめが([X, Y]), ただし X と Y はベクトル場じょうである。

多様たよう体たい上じょうのストークスの定理ていり

M が境界きょうかいをもつコンパクトで滑なめらかで向むき付づけ可能かのうな n 次元じげん多様たよう体たいで、ωおめが は M 上うえの (n − 1) 形式けいしきとするとき、一般いっぱん化かされたストークスの定理ていりは

$\int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial {M}}\omega$

なることを述のべる。直感ちょっかん的てきには、M が無限むげん小しょう領域りょういきに分割ぶんかつされたと考かんがえ、すべての領域りょういきの境界きょうかいに渡わたって流ながれ (flux) を加くわえたとき、内部ないぶの境界きょうかいはすべて打うち消けし合あい、M の境界きょうかいを通とおる全体ぜんたいの流ながれが残のこる。

例れい

例れい 1.

1-形式けいしきの基底きてい dx¹, …, dxⁿ 上うえ σしぐま = u dx¹ ∧ dx² を考かんがえよう。その外そと微分びぶんは：

${\begin{aligned}\mathrm {d} \sigma &=\mathrm {d} (u)\wedge \mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\right)\wedge \mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}.\end{aligned}}$

最後さいごの式しきはウェッジ積せきの性質せいしつから容易よういに従したがう。すなわち、dxⁱ ∧ dxⁱ = 0.

例れい 2.

σしぐま = u dx + v dy を R² 上うえの 1-形式けいしきとする。各項かくこうに上記じょうきの公式こうしきを適用てきようすることによって（x¹ = x および x² = y と考かんがえる）次つぎが成なり立たつ。

${\begin{aligned}\mathrm {d} \sigma &=\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x+\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} y\\&={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial v}{\partial x}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial v}{\partial y}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} y\\&=0-{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial v}{\partial x}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+0\\&=\left({\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.\end{aligned}}$

さらなる性質せいしつ

閉形式しきと完全かんぜん形式けいしき

詳細しょうさいは「閉微分ぶん形式けいしきと完全かんぜん微分びぶん形式けいしき」を参照さんしょう

k-形式けいしき ωおめが は dωおめが = 0 であるときに閉 (closed) であるという（すなわち閉形式しきは d の核かくの元もとのことである）。ωおめが はある (k − 1)-形式けいしき αあるふぁ に対たいして ωおめが = dαあるふぁ であるときに完全かんぜん (exact) であるという（すなわち完全かんぜん形式けいしきは d の像ぞうに属ぞくする）。d² = 0 ゆえ、任意にんいの完全かんぜん形式けいしきは閉である。ポワンカレの補題ほだいは、可か縮ちぢみ領域りょういきにおいて逆ぎゃくが正ただしいと述のべている。

ド・ラームコホロジー

外そと微分びぶん d は d² = 0 という性質せいしつをもつので、それを多様たよう体たい上じょうのド・ラームコホモロジーを定義ていぎする微分びぶん（双対そうつい境界きょうかい写像しゃぞう）として使つかうことができる。k-次じド・ラームコホモロジー（群ぐん）は完全かんぜん k 形式けいしきを法ほうとした閉 k-形式けいしきのなすベクトル空間くうかんである。直前ちょくぜんの節ふしで述のべたように、ポワンカレの補題ほだいはこれらのベクトル空間くうかんが k > 0 に対たいして可か縮ちぢみ領域りょういきに対たいして自明じめいであることを述のべている。滑なめらかな多様たよう体たいに対たいして、形式けいしきの共通きょうつう部分ぶぶんはド・ラームコホモロジーから R 上うえの特異とくいコホモロジーへの自然しぜんな準じゅん同型どうけいを与あたえる。ド・ラームの定理ていりはこの写像しゃぞうが実じつは同型どうけいであることを示しめしており、ポワンカレの補題ほだいの遠大えんだいな一般いっぱん化かである。一般いっぱん化かされたストークスの定理ていりによって示唆しさされているように、外そと微分びぶんは特異とくい単体たんたい上じょうの境界きょうかい写像しゃぞうの「双対そうつい」である。

自然しぜん性せい

外そと微分びぶんはテクニカルな意味いみで自然しぜんである： f: M → N が滑なめらかな写像しゃぞうで Ωおめが^k が各かく多様たよう体たいに多様たよう体たい上じょうの k-形式けいしきの空間くうかんを割わり当あてる滑なめらかな反はん変へん関せき手しゅであれば、次つぎの図式ずしきは交換こうかんする

よって d(f*ωおめが) = f*dωおめが である、ただし f* は f の引ひき戻もどしを表あらわす。このことは、f_∗ を f の押おし出だし（微分びぶん）として、f*ωおめが(•) が定義ていぎにより ωおめが(f_∗(•)) に等ひとしいことから従したがう。ゆえに d は Ωおめが^k から Ωおめが^k+1 への自然しぜん変換へんかんである。

ベクトル解析かいせきにおける外そと微分びぶん

たいていのベクトル解析かいせきの演算えんざん子こは外そと微分びぶんの概念がいねんの特別とくべつな場合ばあいであるか、あるいは、近ちかい関係かんけいである。

勾配こうばい

滑なめらかな関数かんすう f: Rⁿ → R は 0-形式けいしきである。この 0-形式けいしきの外そと微分びぶんは 1-形式けいしき

$\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}=\langle \nabla f,\bullet \rangle$

である。つまり、形式けいしき df は任意にんいのベクトル場じょう V に作用さようして、各かく点てんにおいて V と f の勾配こうばい ∇f との内積ないせきを返かえす。

1-形式けいしき df は余よ接せっ束たばの断面だんめんであり、各かく点てんの余よ接せっ空間くうかんにおいて f の局所きょくしょ的てきな線型せんけい近似きんじを与あたえる。

発散はっさん

Rⁿ 上うえのベクトル場じょう V = (v₁, v₂, …, v_n) は対応たいおうする (n − 1)-形式けいしき

${\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}(\mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})-v_{2}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n-1})\\&=\sum _{p=1}^{n}(-1)^{(p-1)}v_{p}(\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{p-1}\wedge {\overset {\wedge }{\mathrm {d} x^{p}}}\wedge \mathrm {d} x^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})\end{aligned}}$

をもつ、ただし ${\overset {\wedge }{\mathrm {d} x^{p}}}$ はその元もとを除のぞくことを意味いみする。

（例たとえば、n = 3 つまり三さん次元じげん空間くうかんのとき、2-形式けいしき ωおめが_V は局所きょくしょ的てきに V とのスカラー三さん重じゅう積せきである。）ωおめが_V のある超ちょう曲面きょくめん上じょうの積分せきぶんは V のその超ちょう曲面きょくめん上じょうの流ながれ束たばである。

この (n − 1)-形式けいしきの外そと微分びぶんは n-形式けいしき

$\mathrm {d} \omega _{V}=\operatorname {div} (V)(\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n})$

である。

回転かいてん

Rⁿ 上うえのベクトル場じょう V もまた対応たいおうする 1-形式けいしき

$\eta _{V}=v_{1}\,\mathrm {d} x^{1}+v_{2}\,\mathrm {d} x^{2}+\cdots +v_{n}\,\mathrm {d} x^{n}$

をもつ。局所きょくしょ的てきには、ηいーた_V は V とのドット積せきである。ある道みちに沿そった ηいーた_V の積分せきぶんはその道みちに沿そって −V に逆さからってされた仕事しごとである。

n = 3 のとき、三さん次元じげん空間くうかんにおいて、1-形式けいしき ηいーた_V の外そと微分びぶんは 2-形式けいしき

$\mathrm {d} \eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} (V)}$

である。

grad, curl, div, およびラプラシアンの不変ふへん公式こうしき

任意にんいのリーマン多様たよう体たい上じょう、標準ひょうじゅん的てきなベクトル解析かいせきの演算えんざん子こは座標ざひょうによらない (coordinate-free) 表記ひょうきで次つぎのように書かくことができる：

${\begin{alignedat}{3}\operatorname {grad} (f)&{}=\nabla f&&{}=(\mathrm {d} f)^{\sharp }\\\operatorname {div} (F)&{}=\nabla \cdot F&&{}=\operatorname {\star } \mathrm {d} \operatorname {\star } (F^{\flat })\\\operatorname {curl} (F)&{}=\nabla \times F&&{}=[\operatorname {\star } (\mathrm {d} F^{\flat })]^{\sharp },\\\Delta f&{}=\nabla ^{2}f&&{}=\operatorname {\star } \mathrm {d} \operatorname {\star } \mathrm {d} f\end{alignedat}}$

ここで $\star$ はホッジのスター演算えんざん子こであり、 $\flat$ および $\sharp$ は音楽おんがく同型どうけい、$f$ はスカラー場じょう、$F$ はベクトル場じょうである。

関連かんれん項目こうもく

• 共きょう変へん外がい微分びぶん
• ド・ラーム複ふく体たい
• 離散りさん外積がいせき代数だいすう
• グリーンの定理ていり
• リー微分びぶん
• ストークスの定理ていり
• フラクタル微分びぶん

参考さんこう文献ぶんけん

• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. pp. 20. ISBN 0-486-66169-5 
• Ramanan, S. (2005). Global calculus. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 54. ISBN 0-8218-3702-8 
• Conlon, Lawrence (2001). Differentiable manifolds. Basel, Switzerland: Birkhäuser. pp. 239. ISBN 0-8176-4134-3 
• Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 35. ISBN 0-521-46800-0 

外部がいぶリンク

• Rowland, Todd. "Exterior Derivative". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• de Rham differential in nLab
• Definition:Exterior Derivative at ProofWiki