次数じすう付つき微分びぶん代数だいすう

数学すうがくの特とくに抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくおよび代数だいすう的てき位相いそう幾何きか学がくにおける次数じすう付つき微分びぶん環たまき（じすうつきびぶんかん、英えい: differential graded algebra; 次数じすう付つき微分びぶん代数だいすう、微分びぶん次数じすう環たまき）は、その多元たげん環たまき構造こうぞうに両立りょうりつする鎖くさり複ふく体たいの構造こうぞうを併あわせ持もつ次数じすう付つき環たまきを言いう。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

次数じすう付つき微分びぶん環たまき (differential graded algebra) または短みじかくDG代数だいすうとは、次数じすう付つき多元たげん環たまき $A$ とその上うえの次数じすう $1$ または次数じすう $-1$ の何いずれかである写像しゃぞう $d : A \to A$ で以下いかの性質せいしつを持もつものとの組くみ $(A, d)$ を言いう。

$d\circ d=0$ . ^{[注釈ちゅうしゃく 1]}
$d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\operatorname {deg} (a)}a\cdot (db)$ , ただし $deg$ は各かく斉ひとし次元じげんの次数じすうを表あらわす。^{[注釈ちゅうしゃく 2]}

この定義ていぎをより簡潔かんけつ（だがやや難解なんかい）な形かたちで述のべれば、次数じすう付つき微分びぶん環たまきとは鎖くさり複ふく体たい全体ぜんたいの成なすモノイド圏けんにおけるモノイド対象たいしょうのことである。次数じすう付つき微分びぶん環たまきの間あいだの次数じすう付つき微分びぶん準じゅん同型どうけい (DG射い) とは、微分びぶん $d$ と両立りょうりつする次数じすう付つき多元たげん環たまきの準じゅん同型どうけいを言いう。

次数じすう付つき微分びぶん添加てんか代数だいすう（英語えいご版ばん）（DGA代数だいすう、添加てんかDG代数だいすう、DGA）とは、係数けいすう環たまきへのDG射しゃを備そなえた次数じすう付つき微分びぶん代数だいすうを言いう（この用語ようご法ほうはアンリ・カルタンによるものである^[1]）

注ちゅう: 文献ぶんけんによっては、DG代数だいすうの意味いみで DGA と言いっている場合ばあいがあるので注意ちゅうい。

例れい[編集へんしゅう]

コジュル複ふく体たい（英語えいご版ばん）は次数じすう付つき微分びぶん環たまきである。
テンソル代数だいすうもまたコジュル複ふく体たい同様どうように微分びぶんを持もつ次数じすう付つき微分びぶん環たまきとなる。
位相いそう空間くうかんの、 $Z / p Z$ -係数けいすう特異とくいコホモロジーは以下いかの通とおり次数じすう付つき微分びぶん環たまきとなる: 複ふく体たいの微分びぶんは短たん完全かんぜん列れつ $0 \to Z / p Z \to Z / p 2 Z \to Z / p Z \to 0$ に付随ふずいするボクシュタイン準じゅん同型どうけい（英語えいご版ばん）によって与あたえられ、環たまきの乗法じょうほうはカップ積せきで与あたえられる。
可か微分びぶん多様たよう体たい上うえの微分びぶん形式けいしきの全体ぜんたいに外そと微分びぶんと外積がいせきを入いれて次数じすう付つき微分びぶんが考かんがえられる。ド・ラムコホモロジーの項こうを参照さんしょう。

次数じすう付つき微分びぶん環たまきに関かんするその他たの事実じじつ[編集へんしゅう]

次数じすう付つき微分びぶん環たまき $(A, d)$ のホモロジー $H * (A) ≔ ker(d)/im(d)$ は次数じすう付つき多元たげん環たまきを成なす。また次数じすう付つき添加てんか代数だいすうのホモロジーは添加てんか代数だいすう（英語えいご版ばん）となる。

注ちゅう[編集へんしゅう]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ したがって $d$ は、それが次数じすうを上あげる場合ばあい、 $A$ は鎖くさり複ふく体たいの構造こうぞうを持もち、 $d$ はその鎖くさり複ふく体たいの「微分びぶん」となる。次数じすうを上あげる場合ばあいも同様どうように、双対そうつい鎖くさり複ふく体たいの「微分びぶん」となる。
^ これは $d$ が次数じすう付つきの意味いみでの積せきの微分びぶん法則ほうそくを満足まんぞくすることを言いうものである

出典しゅってん[編集へんしゅう]

^ Cartan, H. (1954), “Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane H(Πぱい,n)”, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 40: 467–471

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9 , see sections V.3 and V.5.6

[1] したがって $d$ は、それが次数じすうを上あげる場合ばあい、 $A$ は鎖くさり複ふく体たいの構造こうぞうを持もち、 $d$ はその鎖くさり複ふく体たいの「微分びぶん」となる。次数じすうを上あげる場合ばあいも同様どうように、双対そうつい鎖くさり複ふく体たいの「微分びぶん」となる。

[2] これは $d$ が次数じすう付つきの意味いみでの積せきの微分びぶん法則ほうそくを満足まんぞくすることを言いうものである

[3] Cartan, H. (1954), “Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane H(Πぱい,n)”, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 40: 467–471

[注釈ちゅうしゃく 1]

[注釈ちゅうしゃく 2]

[1]