可か微分びぶん多様たよう体たい

地球ちきゅうの座標ざひょう近傍きんぼうの微分びぶん可能かのうでないアトラス。アトラスが微分びぶん可能かのうでないとき微積分びせきぶんの結果けっかは座標ざひょう近傍きんぼう間あいだで両立りょうりつ可能かのうとは限かぎらない。北回帰線きたかいきせんは真まん中なかの座標ざひょう近傍きんぼうでは滑なめらかな曲線きょくせんであるが、一方いっぽう左ひだりの座標ざひょう近傍きんぼうでは鋭するどい角かくを持もつ。可か微分びぶん多様たよう体たいの概念がいねんは座標ざひょう近傍きんぼうの間あいだの変換へんかんをする関数かんすうが微分びぶん可能かのうであることを要求ようきゅうすることによって多様たよう体たいの概念がいねんを洗練せんれんする。

数学すうがくにおいて、可か微分びぶん多様たよう体たい（かびぶんたようたい、英えい: differentiable manifold）、あるいは微分びぶん可能かのう多様たよう体たい（びぶんかのうたようたい）は、局所きょくしょ的てきに十分じゅうぶん線型せんけい空間くうかんに似にており微積分びせきぶんができるような多様たよう体たいである。任意にんいの多様たよう体たいは、チャート（座標ざひょう近傍きんぼう、局所きょくしょ座標ざひょう）の集あつまり、アトラス（座標ざひょう近傍きんぼう系けい、局所きょくしょ座標ざひょう系けい）、によって記述きじゅつすることができる。各かく座標ざひょう近傍きんぼうは微積分びせきぶんの通常つうじょうのルールが適用てきようする線型せんけい空間くうかんの中なかにあるから、各々おのおののチャートの中なかで考かんがえるときには微積分びせきぶん学がくのアイデアを適用てきようできる。チャートが適切てきせつに両立りょうりつ可能かのうであれば（すなわち1つのチャートから別べつのチャートへの変換へんかんが微分びぶん可能かのうであれば）、1つのチャートでなされた計算けいさんは任意にんいの他ほかの微分びぶん可能かのうなチャートにおいても有効ゆうこうである。

フォーマルに言いえば、可か微分びぶん多様たよう体たいは大域たいいき的てきに定義ていぎされた可か微分びぶん構造こうぞうを持もつ位相いそう多様たよう体たいである。任意にんいの位相いそう多様たよう体たいにはアトラスの同相どうしょう写像しゃぞうと線型せんけい空間くうかん上じょうの標準ひょうじゅん的てきな微分びぶん構造こうぞうを用もちいて局所きょくしょ的てきに微分びぶん構造こうぞうを与あたえることができる。同相どうしょう写像しゃぞうによって誘導ゆうどうされた局所きょくしょ座標ざひょう系けい上じょうの大域たいいき的てきな微分びぶん構造こうぞうを誘導ゆうどうするためには、アトラスのチャートの共通きょうつう部分ぶぶん上じょうでの合成ごうせいが対応たいおうする線型せんけい空間くうかん上じょうの微分びぶん可能かのうな関数かんすうでなければならない。い換いかえると、チャートの定義ていぎ域いきが重かさなっているところでは、各かくチャートによって定義ていぎされた座標ざひょうはアトラスのすべてのチャートによって定義ていぎされた座標ざひょうに関かんして微分びぶん可能かのうであることが要求ようきゅうされる。様々さまざまなチャートによって定義ていぎされた座標ざひょうを互たがいに結むすびつける写像しゃぞうを変換へんかん関数かんすう (transition map/遷移せんい写像しゃぞう/座標ざひょう変換へんかん) と呼よぶ。

微分びぶん可能かのう性せいは文脈ぶんみゃくによって連続れんぞく微分びぶん可能かのう、k 回かい微分びぶん可能かのう、滑なめらか、正則せいそくといった異ことなる意味いみを持もつ。さらに、抽象ちゅうしょう的てきな空間くうかんにそのような可か微分びぶん構造こうぞうを誘導ゆうどうできることによって微分びぶん可能かのう性せいの定義ていぎを大域たいいき的てきな座標ざひょう系けいなしの空間くうかんに拡張かくちょうすることができる。微分びぶん構造こうぞうによって大域たいいき的てきに微分びぶん可能かのうな接せっ空間くうかん、微分びぶん可能かのうな関数かんすう、微分びぶん可能かのうなテンソル場じょうやベクトル場じょうを定義ていぎすることができる。可か微分びぶん多様たよう体たいは物理ぶつりにおいても非常ひじょうに重要じゅうようである。特別とくべつな種類しゅるいの可か微分びぶん多様たよう体たいは古典こてん力学りきがく、一般いっぱん相対そうたい論ろん、ヤン・ミルズ理論りろんといった物理ぶつり理論りろんの基礎きそをなす。可か微分びぶん多様たよう体たいに対たいして微積分びせきぶんを展開てんかいすることが可能かのうである。これによってexterior calculus（外そと微分びぶん法ほう/外そと微分びぶん学がく）のような数学すうがく的てき機構きこうが導みちびかれる。可か微分びぶん多様たよう体たい上じょうの微積分びせきぶんの研究けんきゅうは微分びぶん幾何きか学がくと呼よばれる。

歴史れきし

詳細しょうさいは「位相いそう多様たよう体たいと代数だいすう多様たよう体たいの歴史れきし」を参照さんしょう

はっきりした分野ぶんやとしての微分びぶん幾何きか学がくの出現しゅつげんは一般いっぱんにカール・フリードリヒ・ガウスとベルンハルト・リーマンによるものとされている。リーマンはゲッティンゲン大学だいがくの有名ゆうめいな教授きょうじゅ就任しゅうにん講演こうえん で初はじめて多様たよう体たいを記述きじゅつした。彼かれは多様たよう体たいのアイデアを与あたえられた対象たいしょうを新あたらしい方向ほうこうに変かえる直観ちょっかん的てきな過程かていによって動機付どうきずけ、続つづくフォーマルな発展はってんにおいて座標ざひょう系けいとチャートの役割やくわりを先見せんけんの明あかりを持もって記述きじゅつした：

Having constructed the notion of a manifoldness of n dimensions, and found that its true character consists in the property that the determination of position in it may be reduced to n determinations of magnitude, ...– B. Riemann

ジェームズ・クラーク・マクスウェル のような物理ぶつり学者がくしゃと数学すうがく者しゃグレゴリオ・リッチ＝クルバストロ (Gregorio Ricci-Curbastro) とトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ (Tullio Levi-Civita) の仕事しごとはテンソル解析かいせきの発展はってんと内在ないざい的てきな幾何きか学がく的てき性質せいしつを座標ざひょう変換へんかんで不変ふへんな性質せいしつと同一どういつ視しする共きょう変性へんせい(en:general covariance)の概念がいねんに導みちびいた。これらのアイデアはアインシュタインの一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんとその根本こんぽんにある等価とうか原理げんりに重要じゅうような応用おうようを見みつけた。2次元じげん多様たよう体たいの現代げんだい的てきな定義ていぎはヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) によってリーマン面めんに関かんする 1913 年ねんの本ほんにおいて与あたえられた。アトラスのことばによる多様たよう体たいの広ひろく受うけ入いれられている一般いっぱん的てきな定義ていぎはハスラー・ホイットニーによる。

定義ていぎ

位相いそう多様たよう体たいとは、チャートと呼よばれる同相どうしょう写像しゃぞうの集あつまりアトラス によって線型せんけい空間くうかんに局所きょくしょ的てきに同相どうしょうな第だい二に可算かさんハウスドルフ空間くうかんである。1 つのチャートの、別べつのチャートの逆ぎゃく写像しゃぞうとの合成ごうせいは、変換へんかん関数かんすうと呼よばれる関数かんすうであり、線型せんけい空間くうかんの開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうから線型せんけい空間くうかんの別べつの開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうの上うえへの同相どうしょう写像しゃぞうを定義ていぎする。これによって「空間くうかんの断片だんぺんを貼はり合あわせて多様たよう体たいを作つくる」という概念がいねんが定義ていぎされる――作つくられた多様たよう体たいはまたどのように貼はり合あわせられたかのデータも持もっている。しかしながら、異ことなるアトラス（貼はり合あわせ）から「同おなじ」多様たよう体たいが作つくられるかもしれない。多様たよう体たいは好このみのアトラスで来こない。そして、したがって、位相いそう多様たよう体たいはアトラスの同値どうち類るいとともに上うえのような空間くうかんと定義ていぎされる。アトラスの同値どうち性せいは以下いかで定義ていぎする。

変換へんかん関数かんすうにどれだけの微分びぶん可能かのう性せいを要求ようきゅうするかに従したがって可か微分びぶん多様たよう体たいの異ことなるタイプがある。以下いかはいくつかの一般いっぱん的てきな例れいである。

• 可か微分びぶん多様たよう体たい (differentiable manifold) とは、変換へんかん関数かんすうがすべて微分びぶん可能かのうなアトラスの同値どうち類るいを伴ともなった位相いそう多様たよう体たいである。より広ひろいことばでは、C^k 級きゅう多様たよう体たい (C^k-manifold) は変換へんかん関数かんすうがすべて k 回かい連続れんぞく微分びぶん可能かのうなアトラスを持もつ位相いそう多様たよう体たいである。
• 滑なめらかな多様たよう体たい (smooth manifold) あるいは C^∞ 級きゅう多様たよう体たい (C^∞-manifold) とは、すべての変換へんかん関数かんすうが滑なめらかな可か微分びぶん多様たよう体たいである。つまり、すべての階数かいすうの微分びぶんが存在そんざいする。なので滑なめらかな多様たよう体たいはすべての k に対たいして C^k 級きゅう多様たよう体たいである。そのようなアトラスの同値どうち類るいは滑なめらかな構造こうぞうと呼よばれる。
• 解析かいせき的てき多様たよう体たい (analytic manifold) あるいは C^ωおめが 級きゅう多様たよう体たい (C^ωおめが-manifold) とは、各かく変換へんかん関数かんすうが解析かいせき的てきという追加ついかの条件じょうけんを持もった滑なめらかな多様たよう体たいである。つまり、各かく変換へんかん関数かんすうのテイラー展開てんかいがある開ひらき球だま上じょう絶対ぜったい収束しゅうそくしその関数かんすうに等ひとしい。
• 複素ふくそ多様たよう体たい (complex manifold) は複素数ふくそすう体たい上うえのユークリッド空間くうかんをモデルにしすべての変換へんかん関数かんすうが正則せいそくな位相いそう空間くうかんである。

C^k アトラスの有意義ゆういぎな概念がいねんはあるが、C⁰ （連続れんぞく写像しゃぞう： 位相いそう多様たよう体たい）と C^∞ （滑なめらかな写像しゃぞう： 滑なめらかな多様たよう体たい）より他たに C^k 多様たよう体たいの異ことなる概念がいねんは存在そんざいしない、なぜならば k > 0 のすべての C^k 構造こうぞうに対たいして、C^k 同値どうちな C^∞ 構造こうぞうが一意的いちいてきに存在そんざいする（すべての C^k 構造こうぞうは C^∞ 構造こうぞうに一意的いちいてきに滑なめらかにできる）からである。これはホイットニー (Whitney)の結果けっかである。実じつは、すべての C^k 構造こうぞうは C^ωおめが 構造こうぞうに一意的いちいてきに滑なめらか化かできる。さらに、1つの C^∞ アトラスに同値どうちな 2 つの C^k アトラスは C^k アトラスとして同値どうちなので、2 つの相そう異ことなる C^k アトラスは衝突しょうとつしない。詳細しょうさいは Differential structure: Existence and uniqueness theorems を参照さんしょう。したがって「可か微分びぶん多様たよう体たい」と「滑なめらかな多様たよう体たい」という用語ようごを入いれ替かえ可能かのうな同義語どうぎごとして使つかう。これは異ことなる k に対たいして意味いみのある違ちがいのある C^k 写像しゃぞうとは非常ひじょうに対照たいしょう的てきである。例たとえば、ナッシュの埋うめ込こみ定理ていりは任意にんいの多様たよう体たいはユークリッド空間くうかん R^N に等とう長ちょう埋うめ込こみできると述のべている。ここで N は、任意にんいの 1 ≤ k ≤ ∞ に対たいして十分じゅうぶん大おおきい N が存在そんざいするのであるが、N は k に依存いぞんする。

一方いっぽう、複素ふくそ多様たよう体たいは著いちじるしい制限せいげんを受うけている。例れいとして、周しゅうの定理ていりは任意にんいの射影しゃえい複素ふくそ多様たよう体たいは実じつは射影しゃえい代数だいすう多様たよう体たいであると述のべている。代数だいすう的てきな構造こうぞうを持もっているのである。

アトラス

詳細しょうさいは「アトラス (位相いそう幾何きか学がく)」を参照さんしょう

$X$

$U_{\alpha }$

$U_{\beta }$

$\varphi _{\alpha }$

$\varphi _{\beta }$

$\varphi _{\alpha \beta }$

$\varphi _{\beta \alpha }$

$\mathbf {R} ^{n}$

$\mathbf {R} ^{n}$

Charts on a manifold

位相いそう空間くうかん X 上うえのアトラスはチャートと呼よばれる対たいの集あつまり {(U_{αあるふぁ},φふぁい_{αあるふぁ})} である、ここで U_{αあるふぁ} は X を覆おおう開ひらけ集合しゅうごうであり、各かく添そえ字じ αあるふぁ に対たいして

$\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to {\mathbf {R} }^{n}$

は U_{αあるふぁ} から n 次元じげん実じつ空間くうかんの開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうへの同相どうしょう写像しゃぞうである。アトラスの変換へんかん関数かんすう (transition map) は関数かんすう

$\varphi _{\alpha \beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}|_{\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$

である。

すべての位相いそう多様たよう体たいはアトラスを持もつ。C^k アトラスは変換へんかん関数かんすうが C^k 級きゅうのアトラスである。位相いそう多様たよう体たいは C⁰ アトラスを持もち、一般いっぱんに C^k 級きゅう多様たよう体たいは C^k 級きゅうアトラスを持もつ。連続れんぞくアトラスとは C⁰ アトラスであり、滑なめらかなアトラスは C^∞ アトラスであり、解析かいせき的てきアトラスは C^ωおめが アトラスである。アトラスが少すくなくとも C¹ であれば、微分びぶん構造こうぞう (differential structure) あるいは可か微分びぶん構造こうぞう (differentiable structure) とも呼よばれる。正則せいそくアトラス (holomorphic atlas) は台だいとなるユークリッド空間くうかんが複素数ふくそすう体たい上じょう定義ていぎされていて変換へんかん関数かんすうが双そう正則せいそくなアトラスである。

両立りょうりつするアトラス

異ことなるアトラスが本質ほんしつ的てきに同おなじ多様たよう体たいを生しょうじることがある。円えんを2つの座標ざひょうチャートによって写うつすことができるが、これらのチャートの定義ていぎ域いきをわずかに変かえると同おなじ多様たよう体たいに対たいする異ことなるアトラスが得えられる。これらの異ことなるアトラスはより大おおきいアトラスに統合とうごうすることができる。そのような統合とうごうされたアトラスの変換へんかん関数かんすうが構成こうせい成分せいぶんのアトラスの変換へんかん関数かんすうほど滑なめらかでないということが起おこり得える。C^k アトラスを C^k アトラスを構成こうせいするために統合とうごうできれば、両立りょうりつできる (compatible) という。アトラスの両立りょうりつ可能かのう性せいは同値どうち関係かんけいである。ある同値どうち類るいのすべてのアトラスを統合とうごうすることによって極大きょくだいアトラス (maximal atlas) を構成こうせいできる。各かく C^k アトラスはある一意的いちいてきな極大きょくだい C^k アトラスに属ぞくする。

別べつの定義ていぎ

擬なずらえ群ぐん

擬なずらえ群ぐんの概念がいねん は様々さまざまな異ことなる構造こうぞうを統一とういつ的てきな方法ほうほうで多様たよう体たいに定義ていぎできるようにするためにアトラスの柔軟じゅうなんな一般いっぱん化かを提供ていきょうする。擬なずらえ群ぐん (pseudogroup) は位相いそう空間くうかん S 集合しゅうごう Γがんま からなる。Γがんま は S の開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうから S の他ほかの開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうへの同相どうしょう写像しゃぞうで以下いかを満みたすものからなる

1. f ∈ Γがんま で U が f の定義ていぎ域いきの開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうであれば、制限せいげん f|_U も Γがんま に入はいる。
2. f が S の開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうの合併がっぺい $\cup _{i}\,U_{i}$ から S の開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうへの同相どうしょう写像しゃぞうであれば、すべての i に対たいして $f|_{U_{i}}\in \Gamma$ であれば f ∈ Γがんま となる。
3. すべての開ひらき集合しゅうごう U ⊂ S に対たいして、U の恒等こうとう変換へんかんは Γがんま に入はいる。
4. f ∈ Γがんま であれば、f⁻¹ ∈ Γがんま である。
5. Γがんま の 2 つの元もとの合成ごうせいは Γがんま の元もとである。

最後さいごの3つの条件じょうけんは群ぐんの定義ていぎと類似るいじしている。関数かんすうは S 上うえ大域たいいき的てきに定義ていぎされていないから Γがんま が群ぐんであるとは限かぎらないことに注意ちゅういしよう。例たとえば、Rⁿ 上うえのすべての局所きょくしょ的てきな C^k 級きゅう微分びぶん同相どうしょう写像しゃぞうからなる集あつまりは擬なずらえ群ぐんをなす。Cⁿ の開ひらき集合しゅうごうの間あいだのすべての双そう正則せいそく写像しゃぞうは擬なずらえ群ぐんをなす。さらなる例れい： Rⁿ の向むきを保たもつ写像しゃぞう、シンプレクティック同相どうしょう写像しゃぞう、メビウス変換へんかん、アフィン変換へんかん、など。したがって多種たしゅ多様たような関数かんすうのクラスが擬なずらえ群ぐんをなす。

U_i ⊂ M から位相いそう空間くうかん S の開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうへの同相どうしょう写像しゃぞう φふぁい_i のアトラス (U_i, φふぁい_i) が擬なずらえ群ぐん Γがんま と両立りょうりつ可能かのう (compatible) であるとは、変換へんかん関数かんすう φふぁい_j o φふぁい_i⁻¹: φふぁい_i(U_i ∩ U_j) → φふぁい_j(U_i ∩ U_j) がすべて Γがんま に入はいっていることをいう。

すると可か微分びぶん多様たよう体たいは Rⁿ 上うえの C^k 級きゅう関数かんすうの擬なずらえ群ぐんと両立りょうりつ可能かのうなアトラスである。複素ふくそ多様たよう体たいは Cⁿ の開ひらき集合しゅうごう上じょうの双そう正則せいそく写像しゃぞうと両立りょうりつ可能かのうなアトラスである。などなど。したがって擬なずらえ群ぐんは微分びぶん幾何きか学がくや位相いそう幾何きか学がくに重要じゅうような多様たよう体たいの多おおくの構造こうぞうを記述きじゅつする1つだけの枠組わくぐみを提供ていきょうする。

構造こうぞう層そう

多様たよう体たいに C^k 構造こうぞうを与あたえる別べつのアプローチを使つかうことが便利べんりなことがある。ここで k は 1, 2, ..., ∞, あるいは実じつ解析かいせき的てき多様たよう体たいに対たいして ωおめが, である。座標ざひょうチャートを考かんがえる代かわりに、多様たよう体たい自身じしんの上うえに定義ていぎされた関数かんすうから始はじめることができる。M の構造こうぞう層そう、C^k と表記ひょうきする、は、各かく開ひらけ集合しゅうごう U ⊂ M に対たいして連続れんぞく関数かんすう U → R の代数だいすう C^k(U) を定義ていぎする関せき手しゅの一種いっしゅである。構造こうぞう層そう C^k が n 次元じげん C^k 級きゅう多様たよう体たいの構造こうぞうを M に与あたえるとは、任意にんいの p ∈ M に対たいして、p の近傍きんぼう U と n 個この関数かんすう x¹, ..., xⁿ ∈ C^k(U) が存在そんざいして、写像しゃぞう f = (x¹, ..., xⁿ): U → Rⁿ が Rⁿ の開ひらき集合しゅうごうの上うえへの同相どうしょう写像しゃぞうで、C^k|_U が Rⁿ 上うえの k 回かい連続れんぞく微分びぶん可能かのうな関数かんすうの層そうの引ひき戻もどしとなることをいう。

とくに、この後者こうしゃの条件じょうけんが意味いみするのは、V に対たいして任意にんいの関数かんすう h ∈ C^k(V) は h(x) = H(x¹(x),...,xⁿ(x)), ただし H は f(V)（Rⁿ の開ひらき集合しゅうごう）上じょうの k 回かい微分びぶん可能かのうな関数かんすう、と一意的いちいてきに書かけるということである。したがって、層そう論ろん的てきな視点してんは、可か微分びぶん多様たよう体たい上じょうの関数かんすうは局所きょくしょ座標ざひょうにおいて Rⁿ 上うえの微分びぶん可能かのうな関数かんすうとして表現ひょうげんでき、a fortiori にこれは多様たよう体たい上じょうの微分びぶん構造こうぞうを特徴とくちょうづけるのに十分じゅうぶんであるということである。

局所きょくしょ環たまきの層そう

可か微分びぶん多様たよう体たいを定義ていぎする同様どうようだがより技術ぎじゅつ的てきなアプローチは環たまき付つき空間くうかんの概念がいねんを用もちいて定式ていしき化かできる。このアプローチは代数だいすう幾何きか学がくのスキームの理論りろんに強つよく影響えいきょうを受うけているが、微分びぶん可能かのうな関数かんすうの芽めの局所きょくしょ環たまきを用もちいる。これは複素ふくそ多様たよう体たいの文脈ぶんみゃくで特とくにポピュラーである。

Rⁿ 上うえの基本きほん的てきな構造こうぞう層そうを記述きじゅつすることから始はじめる。U が Rⁿ の開ひらき集合しゅうごうのとき、

O(U) = C^k(U, R)

を U 上うえのすべての実じつ数値すうち k 回かい連続れんぞく微分びぶん可能かのうな関数かんすうからなるとしよう。U が変化へんかすると、これは Rⁿ 上うえの環たまきの層そうを決定けっていする。p ∈ Rⁿ に対たいする茎くき O_p は p の近ちかくの関数かんすうの芽めからなり、R 上うえの代数だいすうである。とくに、これは一意的いちいてきな極大きょくだいイデアルが p で消きえる関数かんすうからなる局所きょくしょ環たまきである。対たい (Rⁿ, O) は局所きょくしょ環たまき付つき空間くうかんの例れいである：各かく茎くきが局所きょくしょ環たまきである層そうを伴ともなった位相いそう空間くうかんである。

（C^k 級きゅうの）微分びぶん可能かのう多様たよう体たいは対たい (M, O_M) からなる。ここで M は第だい二に可算かさんハウスドルフ空間くうかんであり、O_M は M 上うえ定義ていぎされた局所きょくしょ R-代数だいすうの層そうであって、局所きょくしょ環たまき付つき空間くうかん (M, O_M) が (Rⁿ, O) に局所きょくしょ同型どうけいなものである。このようにして、可か微分びぶん多様たよう体たいは Rⁿ をモデルとしたスキームと考かんがえることができる。これが意味いみするのは、各かく点てん p ∈ M に対たいして、p の近傍きんぼう U と関数かんすうの対たい (f, f^#) で次つぎのようなものが存在そんざいするということである：

1. f: U → f(U) ⊂ Rⁿ は Rⁿ の開ひらき集合しゅうごうの上うえへの同相どうしょう
2. f^#: O|_f(U) → f_* (O_M|_U) は層そうの同型どうけい
3. f^# の局所きょくしょ化かは局所きょくしょ環たまきの同型どうけい

f^#_f(p): O_f(p) → O_{M, p}.

この抽象ちゅうしょう的てきな枠組わくぐみで可か微分びぶん多様たよう体たいを研究けんきゅうする重要じゅうような動機どうき付づけがいくつかある。まず、モデル空間くうかんが Rⁿ である必要ひつよう性せいの a priori な理由りゆうはない。例たとえば（とくに代数だいすう幾何きか学がくにおいて）これを正則せいそく関数かんすうの層そう（したがって複素ふくそ解析かいせき幾何きかの空間くうかんに辿たどり着つく）あるいは多項式たこうしきの層そう（したがって複素ふくそ代数だいすう幾何きかにおいて興味きょうみの持もたれる空間くうかんに到達とうたつする）を伴ともなった複素数ふくそすうの空間くうかん Cⁿ にとることができる。おおまかには、このコンセプトはスキームの任意にんいの適切てきせつな概念がいねんに適合てきごうできる（トポス論ろんを参照さんしょう）。第だい二にに、座標ざひょうは構成こうせいにもはや明示めいじ的てきに必要ひつようでない。座標ざひょう系けいの類似るいじ物ぶつは対たい (f, f^#) であるが、これらは（チャートやアトラスのように）議論ぎろんの中心ちゅうしんにあるのではなく単たんに局所きょくしょ同型どうけいのアイデアを定さだめているだけである。第だい三さんに、層そう O_M は明あきらかに関数かんすうの層そうでは全まったくない。むしろ、（局所きょくしょ環たまきの極大きょくだいイデアルによる商しょうによる）構成こうせいの結果けっかとして関数かんすうの層そうとしてそれが出現しゅつげんする。したがってそれは構造こうぞうのより原始げんし的てきな定義ていぎである（綜合そうごう微分びぶん幾何きか学がくの項こうを参照さんしょう）。

このアプローチの最後さいごの利点りてんは微分びぶん幾何きかと位相いそう幾何きかの研究けんきゅうの基本きほん的てきな対象たいしょうの多おおくの自然しぜんな直接的ちょくせつてき記述きじゅつができることである。

• ある点てんでの余よ接せっ空間くうかんは I_p/I_p² である、ただし I_p は茎ぐき O_{M, p} の極大きょくだいイデアルである。
• 一般いっぱんに、全ちょん余よ接せっ束たばは関連かんれんしたテクニックにより得えることができる（詳細しょうさいは余よ接せっ束たばを参照さんしょう）。
• テイラー級数きゅうすう（およびジェット）は O_{M, p} 上うえの I_p-進すすむフィルトレーションを用もちいて座標ざひょうと独立どくりつにアプローチできる。
• 接せっ束たば（あるいはより正確せいかくには断面だんめんの層そう）は O_M から二に重じゅう数すうの環たまきへの射いの層そうと同一どういつ視しできる。

微分びぶん可能かのうな関数かんすう

n 次元じげん可か微分びぶん多様たよう体たい M 上うえの実じつ数値すうち関数かんすう f が点てん p ∈ M において微分びぶん可能かのう (differentiable) であるとは、p のまわりで定義ていぎされた任意にんいの1つの座標ざひょうチャートにおいて微分びぶん可能かのうであることをいう。より正確せいかくに言いえば、(U, φふぁい) がチャートで U を p を含ふくむ M の 開ひらき集合しゅうごうで φふぁい: U → Rⁿ をチャートを定義ていぎしている写像しゃぞうとすると、f が微分びぶん可能かのうであることと

$f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }$

が φふぁい(p) において微分びぶん可能かのうであることが同値どうちである。一般いっぱんに利用りよう可能かのうなチャートはたくさんあるが、微分びぶん可能かのう性せいの定義ていぎは p でのチャートの取とり方かたに依よらない。チェーンルールをチャート間あいだの変換へんかん関数かんすうに適用てきようすると f が p での任意にんいの特定とくていのチャートで微分びぶん可能かのうであれば p でのすべてのチャートで微分びぶん可能かのうであることが従したがう。類似るいじの考察こうさつを C^k 級きゅう関数かんすう、滑なめらかな関数かんすう、解析かいせき的てき関数かんすう、の定義ていぎに使つかえる。

関数かんすうの微分びぶん

可か微分びぶん多様たよう体たい上じょうの関数かんすうの微分びぶんを定義ていぎする様々さまざまな方法ほうほうがあるが、最もっとも基本きほん的てきなのは方向ほうこう微分びぶんである。方向ほうこう微分びぶんの定義ていぎは多様たよう体たいがベクトルを定義ていぎする適切てきせつなアフィン構造こうぞうを欠かいているという事実じじつによって複雑ふくざつである。したがって方向ほうこう微分びぶんはベクトルの代かわりに多様たよう体内たいないの曲線きょくせんを見みる。

方向ほうこう微分びぶん

m 次元じげん可か微分びぶん多様たよう体たい M 上うえの実じつ数値すうち関数かんすう f が与あたえられると、M の点てん p における f の方向ほうこう微分びぶんは以下いかのように定義ていぎされる。γがんま(t) を M 内うちの曲線きょくせんで γがんま(0) = p で、任意にんいの1つのチャートのとの合成ごうせいが R^m 内うちの微分びぶん可能かのうな曲線きょくせんであるという意味いみで微分びぶん可能かのうなものとする。すると γがんま に沿そった p での f の方向ほうこう微分びぶん (directional derivative) は

$\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}$

である。γがんま₁ と γがんま₂ が2つの曲線きょくせんで γがんま₁(0) = γがんま₂(0) = p であり任意にんいの座標ざひょうチャート φふぁい において

$\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}$

であるとすると、チェーンルールによって、f の p での γがんま₁ に沿そった方向ほうこう微分びぶんと γがんま₂ に沿そった方向ほうこう微分びぶんは同おなじである。これは方向ほうこう微分びぶんは p での曲線きょくせんの接せっベクトルのみに依存いぞんすることを意味いみする。したがって可か微分びぶん多様たよう体たいの場合ばあいに適合てきごうした方向ほうこう微分びぶんのより抽象ちゅうしょう的てきな定義ていぎはアフィン空間くうかんにおける方向ほうこう微分びぶんの直感ちょっかん的てきな性質せいしつを究極きゅうきょく的てきに捉とらえている。

接せっベクトルと微分びぶん

p ∈ M での接せっベクトルは γがんま(0) = p なる微分びぶん可能かのう曲線きょくせん γがんま を、曲線きょくせんの間あいだに定さだまる接せっする（一いち次じの接触せっしょくを持もつ）という同値どうち関係かんけいで割わった、同値どうち類るいである。したがってすべての座標ざひょうチャート φふぁい において

$\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\iff \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}$

である。したがって同値どうち類るいは p において定さだめられた速度そくどベクトルを持もつような p を通とおる曲線きょくせんたちである。p におけるすべての接せっベクトルの集あつまりはベクトル空間くうかんをなす。これが p における M の接せっ空間くうかん T_pM である。

X が p での接せっベクトルであり、f が p の近ちかくで定義ていぎされた微分びぶん可能かのうな関数かんすうであれば、X を定義ていぎする同値どうち類るいの任意にんいの曲線きょくせんに沿そって f を微分びぶんすることは X に沿そった well-defined な方向ほうこう微分びぶんを与あたえる：

$Xf(p):=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.$

再ふたたび、チェーンルールによってこれは同値どうち類るいからの γがんま の選えらび方かたに依よらないことが示しめせる、なぜならば p において互たがいに一いち次じの接触せっしょくを持もつ任意にんいの曲線きょくせんは同おなじ方向ほうこう微分びぶんを生うみ出だすからである。

関数かんすう f を固定こていすると、写像しゃぞう

$X\mapsto Xf(p)$

は接せっ空間くうかん上じょうの線型せんけい汎ひろし関数かんすうである。この線型せんけい汎ひろし関数かんすうはしばしば df(p) と表記ひょうきされ、f の p での微分びぶん (differential) と呼よばれる：

$df(p)\colon T_{p}M\to {\mathbf {R} }.$

1の分割ぶんかつ

可か微分びぶん多様たよう体たい上じょうの微分びぶん可能かのうな関数かんすうの層そうのトポロジカルな特色とくしょくの1つは1の分割ぶんかつを持もつことである。これは一般いっぱんには1の分割ぶんかつを持もつことができない（解析かいせき的てき構造こうぞうや正則せいそく構造こうぞうのような）より強つよい構造こうぞうから多様たよう体たい上じょうの可か微分びぶん構造こうぞうを区別くべつする。

M を C^k 級きゅう多様たよう体たい、ただし 0 ≤ k ≤ ∞, とする。{U_{αあるふぁ}} を M の開ひらき被覆ひふくとする。このとき被覆ひふく {U_{αあるふぁ}} に従属じゅうぞくする1の分割ぶんかつ (partition of unity) とは以下いかの条件じょうけんを満みたす M 上うえの実じつ数値すうち C^k 級きゅう関数かんすう φふぁい_i の集あつまりである：

• φふぁい_i の台だいはコンパクトかつ局所きょくしょ有限ゆうげん；
• φふぁい_i の台だいはある αあるふぁ に対たいし U_{αあるふぁ} に完全かんぜんに含ふくまれる；
• M の各かく点てんにおいて φふぁい_i の和わは 1 である：

$\sum _{i}\phi _{i}(x)=1.\,$

（φふぁい_i の台だいの局所きょくしょ有限ゆうげん性せいによってこの最後さいごの条件じょうけんは実じつは各かく点てんで有限ゆうげん和やわであることに注意ちゅうい。）

C^k 級きゅう多様たよう体たい M のすべての開ひらき被覆ひふくは C^k 級きゅうの 1 の分割ぶんかつを持もつ。これによって Rⁿ 上うえの C^k 級きゅう関数かんすうのトポロジーからの構成こうせいを可か微分びぶん多様たよう体たいの圏けんに持もち越こすことができる。とくに、ある特定とくていの座標ざひょうアトラスに従属じゅうぞくする 1 の分割ぶんかつを選えらび Rⁿ の各かくチャートでの積分せきぶんを実行じっこうすることによって積分せきぶんを議論ぎろんすることが可能かのうである。したがって 1 の分割ぶんかつによって考かんがえるべき他ほかの種類しゅるいの関数かんすう空間くうかんができる。例たとえば、L^p 空間くうかん、ソボレフ空間くうかん、積分せきぶんを要求ようきゅうする他ほかの種類しゅるいの空間くうかん。

多様たよう体たい間あいだの写像しゃぞうの微分びぶん可能かのう性せい

M と N を次元じげんがそれぞれ m と n の可か微分びぶん多様たよう体たいとし、f を M から N への写像しゃぞうとする。可か微分びぶん多様たよう体たいは位相いそう空間くうかんであるから f が連続れんぞくであるとはどういう意味いみかを知しっている。しかし k ≥ 1 に対たいして「f は C^k(M, N) である」とはどういう意味いみであろうか？f がユークリッド空間くうかんの間あいだの関数かんすうのときにはそれがどういう意味いみか知しっているので、 f を M のチャートと N のチャートと合成ごうせいしてユークリッド空間くうかんから M へ行いき N へ行いきユークリッド空間くうかんへ行いく写像しゃぞうを得えると、その写像しゃぞうが C^k(R^m, Rⁿ) であるということの意味いみを知しっている。「f は C^k(M, N) である」ということを f のチャートとのすべてのそのような合成ごうせいが C^k(R^m, Rⁿ) であるいうことだと定義ていぎする。再ふたたびチェーンルールにより微分びぶん可能かのう性せいのアイデアが M と N のアトラスのどのチャートが選えらばれたかに依よらないことが保証ほしょうされる。しかしながら、微分びぶんそのものの定義ていぎはより微妙びみょうである。M あるいは N がそれ自身じしん既すでにユークリッド空間くうかんであれば、それをユークリッド空間くうかんに写うつすチャートは必要ひつようない。

スカラーの多元たげん環たまき

C^k 級きゅう多様たよう体たい M に対たいし、多様たよう体たい上じょうの実じつ数値すうち C^k 級きゅう関数かんすう全体ぜんたいの集合しゅうごうは点てんごとの和わと積せきによって多元たげん環たまきをなし、スカラー場代ばだい数すう (algebra of scalar fields) あるいは単たんに the algebra of scalars と呼よばれる。この多元たげん環たまきは乗法じょうほう単位たんい元もととして定数ていすう関数かんすう 1 を持もち、代数だいすう幾何きか学がくにおける正則せいそく関数かんすうの環たまきの微分びぶん可能かのうな類似るいじ物ぶつである。

多様たよう体たいをその algebra of scalars から再さい構成こうせいすることができる。まずは集合しゅうごうとして、しかし位相いそう空間くうかんとしても。これはバナッハ・ストーンの定理ていりの応用おうようであり、よりフォーマルにはC^*-環たまきのスペクトルとして知しられている。まず、M の点てんと多元たげん環たまき準じゅん同型どうけい φふぁい: C^k(M) → R の間あいだには1対たい1の対応たいおうがある。準じゅん同型どうけい φふぁい は C^k(M) の余よ次元じげん 1 のイデアル（すなわち φふぁい の核かく）と対応たいおうする。これは極大きょくだいイデアルでなければならない。逆ぎゃくに、この多元たげん環たまきのすべての極大きょくだいイデアルはある1点てんで消きえる関数かんすうのイデアルであり、これは C^k(M) の MSpec が M を点てん集合しゅうごうとして修復しゅうふくすること、実じつは M を位相いそう空間くうかんとして修復しゅうふくするのであるが、を証明しょうめいしている。

様々さまざまな幾何きか学がく的てき構造こうぞうを algebra of scalars のことばで代数だいすう的てきに定義ていぎすることができ、これらの定義ていぎはしばしば代数だいすう幾何きか学がく（環たまきを幾何きか学がく的てきに解釈かいしゃくして）や作用素さようそ論ろん（バナッハ空間くうかんを幾何きか学がく的てきに解釈かいしゃくして）に一般いっぱん化かする。例たとえば、M の接せっ束たばは M 上うえの滑なめらかな関数かんすうの多元たげん環たまきの微分びぶんとして定義ていぎできる。

多様たよう体たいのこの「代数だいすう化か」(algebraization) （幾何きか学がく的てきな対象たいしょうを多元たげん環たまきに置おき換かえること）はC^*-環たまきの概念がいねんを導みちびき――可か換かわ C^*-環たまきはバナッハ・ストーンによってちょうど多様たよう体たいの ring of scalars であり――非ひ可か換かわ C^*-環たまきを多様たよう体たいの非ひ可か換かわの一般いっぱん化かと考かんがえることができる。これは非ひ可か換かわ幾何きか学がくの分野ぶんやの基礎きそである。

束たば

接せっ束たば

詳細しょうさいは「接せっ束たば」を参照さんしょう

ある点てんの接せっ空間くうかんはその点てんにおけるあらゆる方向ほうこう微分びぶんからなり、多様たよう体たいと同おなじ次元じげん n を持もつ。その点てんに局所きょくしょ的てきな（非特異ひとくい）座標ざひょう x_k の集合しゅうごうに対たいして、座標ざひょう微分びぶん $\partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}$ は一般いっぱんにその接せっ空間くうかんの基底きていを定義ていぎする。すべての点てんにおける接せっ空間くうかんの集あつまりに多様たよう体たいの構造こうぞうを入いれることができ、接せっ束たば (tangent bundle) と呼よばれ、次元じげんは 2n である。接せっ束たばは接せっベクトルが住すんでいるところで、それ自身じしん可か微分びぶん多様たよう体たいである。ラグランジアンは接せっ束たば上じょうの関数かんすうである。接せっ束たばを R （実数じっすう直線ちょくせん）から M への 1-jet の束たばとして定義ていぎすることもできる。

U_{αあるふぁ} × Rⁿ, ただし U_{αあるふぁ} は M のアトラスのチャートの1つを表あらわす、に基もとづいたチャートからなる接せっ束たばのアトラスを構成こうせいできる。これらの新あたらしいチャートの各々おのおのはチャート U_{αあるふぁ} の接せっ束たばである。このアトラスの変換へんかん関数かんすうはもとの多様たよう体たい上じょうの変換へんかん関数かんすうから定義ていぎされ、もとの微分びぶん可能かのう性せいのクラスを保たもつ。

余よ接せっ束たば

詳細しょうさいは「余よ接せっ束たば」を参照さんしょう

ベクトル空間くうかんの双対そうつい空間くうかんはベクトル空間くうかん上じょうの実じつ数値すうち線型せんけい写像しゃぞうの集合しゅうごうである。ある点てんでの余よ接せっ空間くうかんはその点てんでの接せっ空間くうかんの双対そうついであり、余よ接せっ束たばはすべての余よ接せっ空間くうかんの集あつまりである。

接せっ束たばと同様どうよう余あまり接せっ束たばは再ふたたび可か微分びぶん多様たよう体たいである。ハミルトニアンは余よ接せっ束たば上じょうのスカラーである。余よ接せっ束たばの全ぜん空間くうかんはシンプレクティック多様たよう体たいの構造こうぞうを持もつ。余よ接せっベクトルを「余よベクトル」(covector) と呼よぶことがある。余よ接せっ束たばを M から R への関数かんすうの 1-jet の束たばとして定義ていぎすることもできる。

余よ接せっ空間くうかんの元もとを無限むげん小しょうの変位へんいと考かんがえることができる。f が微分びぶん可能かのうな関数かんすうであれば、各かく点てん p において余よ接せっベクトル df_p を定義ていぎすることができる。これは接せっベクトル X_p を X_p に伴ともなう f の微分びぶんに送おくる。しかしながら、すべての余よベクトル場じょうがこのように表現ひょうげんできるわけではない。そのようにできるものを完全かんぜん微分びぶん形がたと呼よぶ。与あたえられた局所きょくしょ座標ざひょう x^k の集合しゅうごうに対たいし、微分びぶん dx k
p  は p における余よ接せっ空間くうかんの基底きていを成なす。

テンソル束たば

テンソル束たばは接せっ束たばと余よ接せっ束たばのすべてのテンソル積せきの直和なおかずである。テンソル束たばの各かく元もとはテンソル場じょうであり、ベクトル場じょう上じょう、あるいは他たのテンソル場じょう上じょう、多重たじゅう線型せんけい作用素さようそとして作用さようすることができる。

テンソル束たばは可か微分びぶん多様たよう体たいにはなれない、なぜならば無限むげん次元じげんだからである。しかしながらスカラー関数かんすうの環たまき上じょうの多元たげん環たまきではある。各かくテンソルはどれだけの接せっ因子いんしと余よ接せっ因子いんしをそれが持もっているかを示しめすその階数かいすうによって特徴とくちょうづけられる。ときどきこれらの階数かいすうは共きょう変へんおよび反はん変へん階数かいすう、それぞれ接せっ階数かいすうと余よ接せっ階数かいすうを表あらわす、と呼よばれることがある。

枠わく束たば

詳細しょうさいは「枠わく束たば」を参照さんしょう

枠わく（あるいはより正確せいかくには接せっ枠わく (tangent frame/接せっ標しるべ構)）は特定とくていの接せっ空間くうかんの順序じゅんじょ付つき基底きていである。同様どうように、接せっ枠わくは Rⁿ からこの接せっ空間くうかんへの線型せんけい同型どうけい写像しゃぞうである。動うごく接せっ枠わくは定義ていぎ域いきの各かく点てんでの基底きていを与あたえるベクトル場じょうの順序じゅんじょ付つきリストである。動うごく枠わくを枠わく束たば F(M) 、M 上うえのすべての枠わくからなる集合しゅうごうからなる GL(n, R) 主しゅ束たば、の断面だんめんと見みなすこともできる。M 上うえのテンソル場じょうを F(M) 上じょうの同どう変へんベクトル値ち関数かんすうと見みなすことができるので、枠わく束たばは有用ゆうようである。

ジェット束たば

詳細しょうさいは「ジェット束たば」を参照さんしょう

十分じゅうぶん滑なめらかな多様たよう体たい上じょう様々さまざまな種類しゅるいのジェット束たばを考かんがえることができる。多様たよう体たいの（1階かいの）接せっ束たばは多様たよう体たいの曲線きょくせんを一いち次じの接触せっしょくなる同値どうち関係かんけいで割わった集合しゅうごうである。類似るいじ的てきに、k-階かいの接せっ束たばは k-次つぎの接触せっしょく関係かんけいで割わった曲線きょくせんの集あつまりである。同様どうように、余よ接せっ束たばは多様たよう体たい上じょうの関数かんすうの 1-jet の束たばであり、k-jet 束たばはそれらの k-jet の束たばである。ジェット束たばの一般いっぱん的てきなアイデアのこれらおよび他たの例れいは多様たよう体たい上じょうの微分びぶん作用素さようその研究けんきゅうにおいて重要じゅうような役割やくわりを果はたす。

枠わくの概念がいねんも高次こうじジェットの場合ばあいに一般いっぱん化かする。k 階かいの枠わくを Rⁿ から M への微分びぶん同相どうしょう写像しゃぞうの k-jet と定義ていぎする。すべての k 階かいの枠わくの集あつまり F^k(M) は M 上うえの主あるじ G^k 束たばである、ただし G^k はk-jet の群ぐんである、すなわち原点げんてんを固定こていする Rⁿ の微分びぶん同相どうしょうの k-jet からなる群ぐんである。GL(n, R) は自然しぜんに G¹, およびすべての k ≥ 2 に対たいする G^k の部分ぶぶん群ぐんに同型どうけいであることに注意ちゅういする。とくに、F²(M) の断面だんめんは M 上うえの接続せつぞくの枠わく成分せいぶんを与あたえる。したがって、商しょう束たば F²(M)/ GL(n, R) は M 上うえの線型せんけい接続せつぞく全体ぜんたいからなる束たばである。

多様たよう体たい上じょうの微積分びせきぶん

多た変数へんすうの微分びぶん積分せきぶん学がくのテクニックの多おおくもまた、自然しぜんな修正しゅうせいを加くわえて、可か微分びぶん多様たよう体たいに適用てきようする。例たとえば多様たよう体たいの接せっベクトルに沿そった微分びぶん可能かのう関数かんすうの方向ほうこう微分びぶんを定義ていぎでき、これは関数かんすうの全ぜん微分びぶんを一般いっぱん化かする手段しゅだん、微分びぶん、に導みちびく。微積分びせきぶん学がくの観点かんてんから、多様たよう体たい上じょうの関数かんすうの微分びぶんは少すくなくとも局所きょくしょ的てきにはユークリッド空間くうかん上じょう定義ていぎされた関数かんすうの通常つうじょうの微分びぶんと多おおくは同おなじように振ふる舞まう。例たとえばそのような関数かんすうに対たいして陰かげ関数かんすう定理ていりや逆ぎゃく関数かんすう定理ていりのバージョンが存在そんざいする。

しかしながら、ベクトル場じょう（および一般いっぱんにテンソル場じょう）の微積分びせきぶんにおいては重要じゅうような違ちがいがある。手短てみじかに言いえば、ベクトル場じょうの方向ほうこう微分びぶんは well-defined でなく、あるいは少すくなくとも直截ちょくせつ的てきな方法ほうほうでは定義ていぎされない。ベクトル場じょう（やテンソル場じょう）の微分びぶんのいくつかの一般いっぱん化かは確たしかに存在そんざいし、ユークリッド空間くうかんでの微分びぶんのいくつかの形式けいしき的てきな性質せいしつを捉とらえる。主おもなものは：

• リー微分びぶん、これは微分びぶん構造こうぞうによって一意的いちいてきに定義ていぎされるが、方向ほうこう微分びぶんの通常つうじょうの性質せいしつのいくつかは満みたされない。
• アフィン接続せつぞく、これは一意的いちいてきには定義ていぎされないが、通常つうじょうの方向ほうこう微分びぶんの性質せいしつをより完全かんぜんに一般いっぱん化かする。アフィン接続せつぞくは一意いちいでないので、それは多様たよう体たい上じょう特定とくていされなければならない追加ついかのデータである。

積分せきぶん法ほうからのアイデアも可か微分びぶん多様たよう体たいに持もちこされる。これらは外そと微分びぶん法ほう と微分びぶん形式けいしきのことばで自然しぜんに表現ひょうげんされる。多た変数へんすうの積分せきぶんの基本きほん的てきな定理ていり — すなわちグリーンの定理ていり、発散はっさん定理ていり、ストークスの定理ていり — は外そと微分びぶんと部分ぶぶん多様たよう体たい上うえの積分せきぶんを関連付かんれんづける定理ていり（これもストークスの定理ていりと呼よばれる）に一般いっぱん化かする。

写像しゃぞうの微分びぶん

詳細しょうさいは「写像しゃぞうの微分びぶん」を参照さんしょう

2つの多様たよう体たいの間あいだの微分びぶん可能かのうな関数かんすうは部分ぶぶん多様たよう体たいの適切てきせつな概念がいねんや他たの関連かんれんする概念がいねんを定式ていしき化かするために必要ひつようである。f: M → N が m 次元じげんの可か微分びぶん多様たよう体たい M から n 次元じげんの可か微分びぶん多様たよう体たい N への微分びぶん可能かのうな写像しゃぞうであれば、f の微分びぶんは写像しゃぞう df: TM → TN である。これは Tf とも記しるされ、接写せっしゃ像ぞう (tangent map) と呼よばれる。M の各かく点てんにおいてこれは一方いっぽうの接せっ空間くうかんから他方たほうへの線型せんけい変換へんかんである：

$df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.$

f の p での階数かいすう (rank) はこの線型せんけい変換へんかんの階数かいすうである。

通常つうじょう関数かんすうのランクは点てんごとの性質せいしつである。しかしながら、関数かんすうが最大さいだいのランクを持もてば、ランクは点てんの近傍きんぼうで定数ていすうのままである。微分びぶん可能かのうな関数かんすうは"通常つうじょう"最大さいだいのランクを持もつ。その正確せいかくな意味いみはサード (Sard) の定理ていりによって与あたえられる。ある点てんで最大さいだいランクの関数かんすうははめ込こみや沈しずめこみと呼よばれる：

• m ≤ n で、f: M → N が p ∈ M においてランク m を持もてば、f は p でのはめ込こみ (immersion) と呼よばれる。f が M のすべての点てんではめ込こみであり像ぞうの上うえへの同相どうしょう写像しゃぞうであれば、f は埋うめ込こみである。埋うめ込こみは M が N の部分ぶぶん多様たよう体たいであるという概念がいねんを定式ていしき化かする。一般いっぱんに、埋うめ込こみは自己じこ交叉こうさや他たの局所きょくしょ的てきでない位相いそう的てき特異とくい性せいを持もたないはめ込こみである。
• m ≥ n で、f: M → N が p ∈ M でランク n を持もてば、f は p での沈しずめこみ (submersion) と呼よばれる。陰かげ関数かんすうの定理ていりは f が p での沈しずめこみであれば M は p の近ちかくで局所きょくしょ的てきに N と R^m−n の積せきであると述のべている。正式せいしきに言いえば、f(p) ∈ N の近傍きんぼうにおける座標ざひょう (y₁, ..., y_n) と、p ∈ M の近傍きんぼうにおいて定義ていぎされた m−n 個この関数かんすう x₁, ..., x_m−n であって

$(y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})$

が p の近傍きんぼうにおける M の局所きょくしょ座標ざひょう系けいであるようなものが存在そんざいする。沈しずめこみはファイブレーションとファイバー束たばの理論りろんの基礎きそをなす。

リー微分びぶん

ソフス・リー (Sophus Lie) に因ちなんだリー微分びぶんは多様たよう体たい M 上うえのテンソル場じょうの多元たげん環たまき上うえの微分びぶんである。M 上うえのすべてのリー微分びぶんからなるベクトル空間くうかんは

$[A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A$

で定義ていぎされるリーブラケットに関かんして無限むげん次元じげんリー環たまきをなす。

リー微分びぶんは M 上うえのフロー（active微分びぶん同相どうしょう写像しゃぞう）の無限むげん小しょう生成せいせい子ことしてベクトル場じょうによって表現ひょうげんされる。逆ぎゃくにみると、M の微分びぶん同相どうしょうの群ぐんはリー群ぐん論ろんの直接ちょくせつの類似るいじの方法ほうほうでリー微分びぶんの付随ふずいするリー環たまきの構造こうぞうを持もつ。

外そと微分びぶん法ほう

詳細しょうさいは「微分びぶん形式けいしき」を参照さんしょう

外そと微分びぶん法ほうによって勾配こうばい、発散はっさん、回転かいてん作用素さようその一般いっぱん化かができる。

各かく点てんにおける微分びぶん形式けいしきの束たばはその点てんにおける接せっ空間くうかん上じょうのすべての反対称はんたいしょう多重たじゅう線型せんけい写像しゃぞうからなる。それは自然しぜんに多様たよう体たいの次元じげん以下いかの各かく n に対たいし n 形式けいしきに分割ぶんかつされる。n 形式けいしきは n 変数へんすうの形式けいしきで、n 次つぎの形式けいしきとも呼よばれる。1 形式けいしきは余よ接せっベクトルであり、0 形式けいしきは単たんにスカラー関数かんすうである。一般いっぱんに、n 形式けいしきは余よ接せっランク n で接せっランク 0 のテンソルである。しかしすべてのそのようなテンソルが形式けいしきであるわけではない。形式けいしきは反対称はんたいしょうでなければならないからである。

外そと微分びぶん

外そと微分びぶんと呼よばれるスカラーから余よベクトルへの写像しゃぞう

$\mathrm {d} \colon {\mathcal {C}}(M)\to \mathrm {T} ^{*}(M):f\mapsto \mathrm {d} f$

であって

$\mathrm {d} f\colon \mathrm {T} (M)\to {\mathcal {C}}(M):V\mapsto V(f)$

なるものが存在そんざいする。

この写像しゃぞうは上うえでのべたように余よベクトルを無限むげん小しょう変位へんいに関連かんれんづける写像しゃぞうである。いくつかの余よベクトルはスカラー関数かんすうの外そと微分びぶんである。n 形式けいしきから (n + 1) 形式けいしきの上うえへの写像しゃぞうに一般いっぱん化かすることができる。この微分びぶんを 2 回かい適用てきようすると 0 になる。微分びぶんが 0 の形式けいしきは閉形式しきと呼よばれ、それ自身じしん外がい微分びぶんであるような形式けいしきは完全かんぜん形式けいしきと呼よばれる。

ある点てんでの微分びぶん形式けいしきの空間くうかんは外積がいせき代数だいすうの原型げんけい的てきな例れいである。したがって k 形式けいしきと l 形式けいしきを (k + l) 形式けいしきに写うつすウェッジ積せきを持もつ。外そと微分びぶんはこの代数だいすうに拡張かくちょうし、積せきの法則ほうそくの1つのバージョンを満みたす：

$\mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge \mathrm {d} \eta ).$

微分びぶん形式けいしきと外そと微分びぶんから、多様たよう体たいのド・ラームコホモロジーを定義ていぎすることができる。n 次じコホモロジー群ぐんは閉形式しき全体ぜんたいを完全かんぜん形式けいしき全体ぜんたいで割わった群ぐんである。

可か微分びぶん多様たよう体たいのトポロジー

位相いそう多様たよう体たいとの関係かんけい

1, 2, 3次元じげんのすべての位相いそう多様たよう体たいは（微分びぶん同相どうしょうの違ちがいを除のぞいて）一意的いちいてきな微分びぶん構造こうぞうを持もつ。したがって位相いそう多様たよう体たいと可か微分びぶん多様たよう体たいの概念がいねんは高こう次元じげんでしか区別くべつがない。各かく高こう次元じげんで滑なめらかな構造こうぞうを持もたない位相いそう多様たよう体たいや複数ふくすうの微分びぶん同相どうしょうでない構造こうぞうを持もつ位相いそう多様たよう体たいが存在そんざいすることが知しられている。

滑なめらかにできない多様たよう体たいの存在そんざいは Kervaire (1960) によって証明しょうめいされ、Kervaire多様たよう体たい参照さんしょう、後のちにドナルドソンの定理ていりの文脈ぶんみゃくで説明せつめいされた（ヒルベルトの第だい五ご問題もんだいと比較ひかくせよ）； 滑なめらかにできない多様たよう体たいの良よい例れいは E₈ 多様たよう体たいである。

複数ふくすうの両立りょうりつ不能ふのうな構造こうぞうを持もつ多様たよう体たいの古典こてん的てきな例れいはジョン・ミルナー (John Milnor) のエキゾチック 7 次元じげん球面きゅうめんである。

分類ぶんるい

境界きょうかいを持もたないすべての第だい二に可算かさん 1 次元じげん多様たよう体たいは R（実数じっすう直線ちょくせん）と S（円周えんしゅう）の高こう々可算かさん個このコピーの非ひ交和に同相どうしょうである。連結れんけつなのは R と S だけで、このうち S のみがコンパクトである。高こう次元じげんでは、分類ぶんるい理論りろんは通常つうじょうコンパクト連結れんけつ多様たよう体たいのみを考かんがえる。

2次元じげん多様たよう体たいの分類ぶんるいは、曲面きょくめんを参照さんしょう：とくにコンパクトで連結れんけつな向むき付つけられた2次元じげん多様たよう体たいは非負ひふ整数せいすうである種たね数すうによって分類ぶんるいされる。

3次元じげん多様たよう体たいの分類ぶんるいは、原理げんり的てきには、3次元じげん多様たよう体たいの幾何きか化かと、モストウ (Mostow) の剛性ごうせい定理ていりや双そう曲きょく群ぐんの同型どうけい問題もんだいに対たいするセラ (Sela) のアルゴリズム のような幾何きか化か可能かのう 3 次元じげん多様たよう体たいに対たいする様々さまざまな認知にんちされている結果けっかから従したがう。

n > 3 に対たいする n 次元じげん多様たよう体たいの分類ぶんるいはホモトピー同値どうちの違ちがいを除のぞいてでさえ不可能ふかのうなことが知しられている。任意にんいの有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんが与あたえられると、その群ぐんを基本きほん群ぐんに持もつ 4 次元じげん閉多様さま体たいを構成こうせいできる。有限ゆうげん表示ひょうじ群ぐんの同型どうけい問題もんだいを決定けっていするアルゴリズムは存在そんざいしないから、2つの4次元じげん多様たよう体たいが同おなじ基本きほん群ぐんを持もつかどうか決定けっていするアルゴリズムは存在そんざいしない。前まえに書かかれた構成こうせいが同相どうしょうな4次元じげん多様たよう体たいのクラスになることとそれらの群ぐんが同型どうけいであることは同値どうちであるから、4次元じげん多様たよう体たいの同相どうしょう問題もんだいは決定けってい不能ふのうである。さらに、自明じめい群ぐんを認識にんしきすることさえ決定けってい不能ふのうであるから、多様たよう体たいが自明じめいな基本きほん群ぐんを持もつかどうか、すなわち単たん連結れんけつかどうかを決定けっていすることさえ一般いっぱんには可能かのうでない。

単たん連結れんけつ4次元じげん多様たよう体たいは交叉こうさ形式けいしきとカービー・ジーベンマン不ふ変量へんりょう (Kirby–Siebenmann invariant) を用もちいてフリードマン (Michael Freedman) によって同相どうしょうの違ちがいを除のぞいて分類ぶんるいされている。滑なめらかな4次元じげん多様たよう体たいの理論りろんは、R⁴ 上うえの異種いしゅ微分びぶん構造こうぞうが示しめしているように、はるかに複雑ふくざつであることが知しられている。

しかしながら、次元じげんが 5 以上いじょうの単たん連結れんけつな滑なめらかな多様たよう体たいに対たいしては状況じょうきょうは扱あつかいやすくなる。このときはh-コボルディズム論ろんを分類ぶんるいをホモトピー同値どうちの違ちがいを除のぞいた分類ぶんるいに還元かんげんすることに使つかえ、手術しゅじゅつ理論りろんが適用てきようできる。これは Dennis Barden によって単たん連結れんけつ5次元じげん多様たよう体たいの明示めいじ的てきな分類ぶんるいを提供ていきょうするために実行じっこうされてきた。

多様たよう体たい上じょうの構造こうぞう

（擬なずらえ）リーマン多様たよう体たい

リーマン多様たよう体たいとは接せっ空間くうかんに微分びぶん可能かのうなような内積ないせきを入いれた可か微分びぶん多様たよう体たいである。内積ないせき構造こうぞうはリーマン計量けいりょうと呼よばれる対称たいしょう2階かいテンソルの形式けいしきで与あたえられる。この計量けいりょうはベクトルと余よベクトルを相互そうご変換へんかんするために、そして階数かいすう4のリーマン曲きょく率りつテンソルを定義ていぎするために、使つかうことができる。リーマン多様たよう体たいには、長ながさ、体積たいせき、角度かくどの概念がいねんがある。任意にんいの可か微分びぶん多様たよう体たいにはリーマン構造こうぞうを与あたえることができる。

擬なずらえリーマン多様たよう体たいはリーマン多様たよう体たいの変種へんしゅで、計量けいりょうテンソルが（正せい定値ていちとは対照たいしょう的てきに）不ふ定値ていち符号ふごうを持もつことも許ゆるしたものである。符号ふごう (3, 1) の擬なずらえリーマン多様たよう体たいは一般いっぱん相対そうたい論ろんにおいて重要じゅうようである。すべての可か微分びぶん多様たよう体たいに擬なずらえリーマン構造こうぞうを与あたえられるわけではない。位相いそう幾何きか学がく的てきな制限せいげんがあるのである。

フィンスラー多様たよう体たいはリーマン多様たよう体たいの一般いっぱん化かで、内積ないせきをベクトルノルムに置おき換かえたものである。長ながさは定義ていぎできるが、角度かくどは定義ていぎできない。

シンプレクティック多様たよう体たい

詳細しょうさいは「シンプレクティック多様たよう体たい」を参照さんしょう

シンプレクティック多様たよう体たいとは閉非ひ退化たいか2形式けいしきを伴ともなった多様たよう体たいである。この条件じょうけんからシンプレクティック多様たよう体たいの次元じげんは偶数ぐうすうでなければならない。ハミルトン力学りきがくにおいて相あい空間くうかんとして生しょうじる余よ接せっ束たばは動機どうきづけとなる例れいであるが、多おおくのコンパクト多様たよう体たいもまたシンプレクティック構造こうぞうを持もつ。ユークリッド空間くうかんに埋うめ込こまれたすべての向むき付づけ可能かのうな曲面きょくめんはシンプレクティック構造こうぞう、ユークリッド内積ないせきに誘導ゆうどうされた各かく接せっ空間くうかん上うえの符号ふごう付つき面積めんせき形式けいしき、を持もつ。すべてのリーマン面めんはそのような曲面きょくめんの例れいであり、したがって、実じつ多様たよう体たいと考かんがえてシンプレクティック多様たよう体たいの例れいである。

リー群ぐん

詳細しょうさいは「リー群ぐん」を参照さんしょう

リー群ぐんは C^∞ 多様たよう体たいであって群ぐんでもあり積せきと逆ぎゃく元もとを取とる演算えんざんが多様たよう体たいの写像しゃぞうとして滑なめらかであるようなものである。これらの対象たいしょうは対称たいしょう性せいの記述きじゅつにおいて自然しぜんに生しょうじる。

一般いっぱん化か

滑なめらかな写像しゃぞうと滑なめらかな多様たよう体たいの圏けんは望のぞまれる性質せいしつをいくらか欠かいており、人々ひとびとはこれを修正しゅうせいするために滑なめらかな多様たよう体たいを一般いっぱん化かしようとしてきた。微分びぶん空間くうかんは "plot" と呼よばれるチャートの異ことなる概念がいねんを用もちいる。他たの試こころみに Frölicher space や軌道きどう体たい (orbifold) がある。

修正しゅうせい可能かのう集合しゅうごう (rectifiable set) は区分くぶん的てきに滑なめらかあるいは求もとめ長ちょう可能かのうな曲線きょくせんの概念がいねんを高こう次元じげんに一般いっぱん化かする。しかしながら、修正しゅうせい可能かのう集合しゅうごうは一般いっぱんの多様たよう体たいにない。

関連かんれん項目こうもく

• 多様たよう体たい
• アフィン接続せつぞく
• アトラス
• クリストッフェルの記号きごう
• 微分びぶん幾何きか学がく
• 一般いっぱん相対そうたい論ろんの数学すうがく入門にゅうもん
• リーマン幾何きか学がくの公式こうしき一覧いちらん
• リーマン幾何きか学がく
• 空間くうかん (数学すうがく)

文献ぶんけん一覧いちらん

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• 松島まつしま, 与三よぞう『多様たよう体たい入門にゅうもん』（第だい37版はん）裳も華はな房ぼう〈基礎きそ選書せんしょ5〉、2008年ねん。ISBN 978-4-7853-1305-0。