連鎖れんさ律りつ

微分びぶん法ほうにおいて連鎖れんさ律りつ（れんさりつ、英えい: chain rule）あるいは合成ごうせい関数かんすうの微分びぶん公式こうしきとは、複数ふくすうの関数かんすうが合成ごうせいされた合成ごうせい関数かんすうを微分びぶんするとき、その導しるべ関数かんすうがそれぞれの導しるべ関数かんすうの積せきで与あたえられるという関係かんけい式しきのこと。

概要がいよう

$f$ を開ひらき区間くかん $I$ 上うえの微分びぶん可能かのうな関数かんすう、 $g$ を開ひらけ区間くかん $J$ 上うえの微分びぶん可能かのうな関数かんすうとするとき、 $g$ と $f$ が合成ごうせい可能かのう（つまり $g(J)\subset I$ ）ならば合成ごうせい関数かんすう $f\circ g$ も開ひらけ区間くかん $J$ 上うえで微分びぶん可能かのうであり、導しるべ関数かんすうは関係かんけい式しき

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)

を満みたす。これを連鎖れんさ律りつという^[1]。ライプニッツの記法きほうでは

{\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}

となる。積分せきぶん法ほうにおいては、置換ちかん積分せきぶんに対応たいおうする。

例れい

例れい1

{\begin{cases}y=\log {u}\\u=\cos {x}\end{cases}}

$y=\log({\cos {x}})$ を $x$ について微分びぶんする。連鎖れんさ律りつより

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

である。導しるべ関数かんすう dy/du および du/dx を求もとめる：

{\frac {dy}{du}}={\frac {1}{u}}\,

{\frac {du}{dx}}=-\sin {x}\,

したがって

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{u}}\cdot (-\sin {x})=-{\frac {\sin {x}}{u}}=-{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}=-\tan {x}

となる。

間あいだ違ちがった証明しょうめい

微分びぶんの定義ていぎより

{\begin{aligned}(f\circ g)'(a)~&=\lim _{x\rightarrow a}{(f\circ g)(x)-(f\circ g)(a) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}\left[{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot {g(x)-g(a) \over x-a}\right]\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot \lim _{x\rightarrow a}{g(x)-g(a) \over x-a}\\&=f'(g(a))\cdot g'(a)\end{aligned}}

となる。これは一見いっけん正ただしそうに見みえるかもしれないが、 $a$ のどれだけ近ちかいところにも $g(x)=g(a)$ となる $x$ が存在そんざいする場合ばあい（例たとえば $g(x)$ が定数ていすう関数かんすうの場合ばあい）には、0除算じょざんが含ふくまれるため、この証明しょうめいは誤あやまりである。

証明しょうめい

上うえの間あいだ違ちがった証明しょうめいを"修正しゅうせい"して正ただしい証明しょうめいにするには、例たとえば次つぎのようにする。

微分びぶんの定義ていぎより：

(f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.

しばらくの間あいだ g(x) は a の近ちかくの任意にんいの x に対たいして g(a) と等ひとしくないと仮定かていする。すると上うえの式しきは2つの因子いんしの積せきに等ひとしい：

\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.

g が a の近ちかくで振動しんどうするとき、a にいくら近ちかづいても常つねに、さらに近ちかい x が存在そんざいして g(x) が g(a) に等ひとしいということが起おこり得える。例たとえば、これは $g (x) = x 2 sin(1 / x)$ に対たいして点てん $a = 0$ の近ちかくで起おこる。これが起おこるときにはいつでも、上うえの式しきは0による割わり算ざんを含ふくむから定義ていぎされない。これに対処たいしょするためには、次つぎのように関数かんすう Q を導入どうにゅうする：

Q(y)={\begin{cases}{\dfrac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}

$f \circ g$ に対応たいおうする差分さぶん商しょうは常つねに次つぎに等ひとしいことをこれから証明しょうめいする：

Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.

g(x) が g(a) に等ひとしくないときにはいつでも、 $g (x) - g (a)$ という因子いんしは打うち消けし合あうから明あきらかである。g(x) が g(a) に等ひとしいときには、f(g(x)) は f(g(a)) に等ひとしいから $f \circ g$ の微分びぶん商しょうは 0 であり、上うえの積せきは f′(g(a)) 掛かける 0 に等ひとしいから 0 である。したがって上うえの積せきはつねに微分びぶん商しょうに等ひとしい。 $f \circ g$ の a における微分びぶんが存在そんざいすることを示しめしその値ねを決定けっていするためには、上うえの積せきの x が a に行いくときの極限きょくげんが存在そんざいすることを示しめしその値ねを決定けっていするだけでよい。

これをするために、積せきの極限きょくげんはその因子いんしの極限きょくげんが存在そんざいすれば存在そんざいすることを思おもい出だそう。これが起おこるとき、これら 2つの因子いんしの積せきの極限きょくげんは因子いんしの極限きょくげんの積せきに等ひとしくなる。2つの因子いんしは $Q (g (x))$ と $(g (x) - g (a)) / (x - a)$ である。後者こうしゃは g の a における微分びぶん商しょうであり、仮定かていにより g は a において微分びぶん可能かのうであるので、x が a に向むかうときのその極限きょくげんは存在そんざいし g′(a) に等ひとしい。

Q(g(x)) を調しらべることが残のこっている。Q は f が定義ていぎされているときにはいつでも定義ていぎされている。さらに、仮定かていにより f は g(a) において微分びぶん可能かのうなので、Q は g(a) において連続れんぞくである。g は a において微分びぶん可能かのうであるから a において連続れんぞくであり、それゆえ $Q \circ g$ は a において連続れんぞくである。したがって x が a に行いくときのその極限きょくげんは存在そんざいし、 Q(g(a)) に等ひとしく、それは f′(g(a)) である。

これで両方りょうほうの因子いんしの極限きょくげんが存在そんざいしそれらはそれぞれ f′(g(a)) と g′(a) に等ひとしいことが示しめされた。したがって $f \circ g$ の a における微分びぶんは存在そんざいし f′(g(a))g′(a) に等ひとしい。

脚注きゃくちゅう

^ 杉浦すぎうら 1980, p. 131, 定理ていり 6.6（連鎖れんさ律りつ）.

参考さんこう文献ぶんけん

杉浦すぎうら光夫みつお『解析かいせき入門にゅうもんI』東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん、1980年ねん。ISBN 978-4-13-062005-5。