部分ぶぶん積分せきぶん

部分ぶぶん積分せきぶん（ぶぶんせきぶん、英えい: Integration by parts）とは、微分びぶん積分せきぶん学がく・解析かいせき学がくにおける関数かんすうの積せきの積分せきぶん法ほうに関かんする定理ていりであり、積せきの積分せきぶんをより計算けいさんが容易よういな積分せきぶんに変形へんけいするために頻繁ひんぱんに使つかわれる手法しゅほうである。

具体ぐたい的てきには、2つの微分びぶん可能かのうな関数かんすう ${\textstyle u(x)}$、${\textstyle v(x)}$、区間くかん ${\textstyle a\leq x\leq b}$ に対たいして成なり立たつ以下いかのような関係かんけい式しきを指さす。

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx$

不定ふてい積分せきぶんの場合ばあいであれば、同様どうように以下いかの関係かんけい式しきが成なり立たつ。

$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx\!$

またはより簡潔かんけつに

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.\!$

と表記ひょうきされる。ここで ${\textstyle du}$ と ${\textstyle dv}$ は ${\textstyle x}$ の関数かんすう ${\textstyle u}$ 、${\textstyle v}$ の微分びぶん、即すなわち

$du=u'(x)dx,\quad dv=v'(x)dx$

である。

導出どうしゅつ

上記じょうきの定理ていりは以下いかのように導出みちびきだされる。

${\textstyle u(x)}$ と ${\textstyle v(x)}$ がともに微分びぶん可能かのう関数かんすうであるとき、積せきの微分びぶん法則ほうそく（ライプニッツ則そく）より

${\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)=v(x){\frac {d}{dx}}\left(u(x)\right)+u(x){\frac {d}{dx}}\left(v(x)\right)\!$

両辺りょうへんを区間くかん ${\textstyle a\leq x\leq b}$ で ${\textstyle x}$ に関かんして積分せきぶんして

$\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx+\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx$

ここで微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん定理ていりより、

$\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}$

であるから、

$\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx+\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx$

即すなわち以下いかの部分ぶぶん積分せきぶんの公式こうしきを得える。

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx$

不定ふてい積分せきぶんの場合ばあいも同様どうように導出どうしゅつ出来できる。

ここで左辺さへんの ${\textstyle \int uv'dx}$ は ${\textstyle v'}$ (${\textstyle v}$ の 導しるべ関数かんすう) を含ふくんでいるから、まず ${\textstyle v}$（${\textstyle v'}$ の 原始げんし関数かんすう）を見みつける必要ひつようがあり、次ついで部分ぶぶん積分せきぶんの公式こうしきを適用てきようし、積分せきぶん ${\textstyle \int vu'dx}$ を計算けいさんする。

（具体ぐたい的てきな計算けいさん例れいは後述こうじゅつ）

視覚しかく的てきな解釈かいしゃく

部分ぶぶん積分せきぶんの定理ていりのグラフによる解釈かいしゃく。図示ずしされた曲線きょくせんは媒介ばいかい変数へんすう t の関数かんすうである。

パラメーター t によって ${\textstyle (x,y)=(f(t),g(t))}$ で表あらわされた曲線きょくせんを定義ていぎする。この曲線きょくせんが局所きょくしょ的てきに全ぜん単たん射しゃであると仮定かていすると、

$x(y)=f(g^{-1}(y))$

$y(x)=g(f^{-1}(x))$

青色あおいろの領域りょういきの面積めんせきは、

$A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy$

同様どうように赤色あかいろの領域りょういきの面積めんせきは、

$A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx$

にそれぞれ対応たいおうする。

${\textstyle A_{1}}$ と ${\textstyle A_{2}}$ を足たし合あわせた領域りょういき全体ぜんたいは、大おおきい方ほうの長方形ちょうほうけいの面積めんせき ${\textstyle x_{2}y_{2}}$ から小ちいさい方ほうの長方形ちょうほうけいの面積めんせき ${\textstyle x_{1}y_{1}}$ を除のぞいたものに等ひとしい。

$\overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} ^{A_{2}}={\biggl .}x_{i}y_{i}{\biggl |}_{i=1}^{i=2}$

近傍きんぼうで曲線きょくせんが滑なめらかであれば、これは不定ふてい積分せきぶんに一般いっぱん化かできる。

$\int xdy+\int ydx=xy$

変形へんけいして、

$\int xdy=xy-\int ydx$

つまり部分ぶぶん積分せきぶんは、青色あおいろの領域りょういきの面積めんせきが領域りょういき全体ぜんたいの面積めんせきと赤色あかいろの領域りょういきの面積めんせきから導みちびかれることに相当そうとうすると考かんがえる事ことが出来できる。

またこのように可視かし化かすることにより、関数かんすう ${\textstyle f(x)}$ の積分せきぶんが分わかっている時ときに逆ぎゃく関数かんすう ${\textstyle f^{-1}(x)}$ の積分せきぶんが部分ぶぶん積分せきぶんで求もとめられることが理解りかい出来できる。実際じっさい、関数かんすう ${\textstyle x(y)}$ と ${\textstyle y(x)}$ は逆ぎゃく関数かんすうの関係かんけいにあり、積分せきぶん ${\textstyle \int xdy}$ は ${\textstyle \int ydx}$ が分わかっていれば上記じょうきのようにして計算けいさん可能かのうである。

部分ぶぶん積分せきぶんを用もちいた積分せきぶん計算けいさん

基本きほん方針ほうしん

部分ぶぶん積分せきぶんは機械きかい的てきに積分せきぶんを求もとめられる方法ほうほうではなく、むしろある程度ていどの試行錯誤しこうさくごを要ようする場合ばあいがある。基本きほん的てきな方針ほうしんは、ある一ひとつの関数かんすうが与あたえられた時ときに、それを部分ぶぶん積分せきぶん公式こうしきに当あてはめて変形へんけいした場合ばあいに出現しゅつげんする積分せきぶん項こうがもとの積分せきぶんよりも計算けいさんが容易よういになるように、その関数かんすうを2つの関数かんすうの積せき ${\textstyle u(x)v(x)}$ に分割ぶんかつするというものである。下記かきの式しきは良よい分割ぶんかつの方法ほうほうを探さがすのに役立やくだつであろう。

$\int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx\!$

右辺うへんで u は微分びぶんされて、逆ぎゃくに v は積分せきぶんされていることに注意ちゅうい。即すなわち、微分びぶんされた時ときに単純たんじゅんな形かたちになる関数かんすうを ${\textstyle u}$ に、また積分せきぶんされた時ときに単純たんじゅんな形かたちになる関数かんすうを ${\textstyle v}$ に選択せんたくするのが良よいことが分わかる。簡単かんたんな例れいとして以下いかの積分せきぶんを考かんがえてみると、

$\int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx\!$

${\textstyle \ln(x)}$ を微分びぶんすると ${\textstyle 1/x}$ であることから、${\textstyle \ln(x)}$ を ${\textstyle u}$ の部分ぶぶんとして選択せんたくし、また ${\textstyle 1/x^{2}}$ の不定ふてい積分せきぶんが ${\textstyle -1/x}$ であることから、${\textstyle 1/x^{2}}$ を ${\textstyle v}$ の部分ぶぶんとして選択せんたくする。すると公式こうしきにより、

$\int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=-\int \ln x\,d\left({\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {\ln x}{x}}+\int {\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=-{\frac {\ln x}{x}}-{\frac {1}{x}}+C\!$

${\textstyle -1/x^{2}}$ の不定ふてい積分せきぶんは ${\textstyle 1/x}$ となる。

別べつの例れいとして、${\textstyle u'(\int vdx)}$ の積せきが約分やくぶんにより簡単かんたんな形かたちになるように ${\textstyle u}$ と ${\textstyle v}$ を選択せんたくすることもある。例たとえば次つぎの例れいでは、

$\int \sec ^{2}x\ln |\sin x|dx$

${\textstyle u(x)=\ln |\sin x|}$ として、また ${\textstyle v(x)=\sec ^{2}x}$ とすると、 ${\textstyle u}$ を微分びぶんすると合成ごうせい関数かんすうの微分びぶん法ほうにより ${\textstyle 1/\tan x}$ となり、 ${\textstyle v}$ を積分せきぶんすると ${\textstyle \tan x}$ となる。したがって公式こうしきにより、

$\int \sec ^{2}x\ln |\sin x|dx=\tan x\ln |\sin x|-\int \tan x{\frac {1}{\tan x}}dx$

被ひ積分せきぶん関数かんすうは 1 となり、積分せきぶんして ${\textstyle x}$ となる。積せきが簡単かんたんな形かたちになる組くみ合あわせを探さがすにはある程度ていどの試行錯誤しこうさくごが必要ひつようなことがある。

その他たいくつかのテクニックを以下いかの例れいで示しめす。

例れい

多項式たこうしきと三角さんかく関数かんすう

$I=\int x\cos x\,dx\,$

この積分せきぶんを計算けいさんするには、

$u=x\Rightarrow du=dx$

$dv=\cos x\,dx\Rightarrow v=\sin x$

とすると、

${\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\,dv\\&=uv-\int v\,du\\&=x\sin x-\int \sin x\,dx\\&=x\sin x+\cos x+C,\end{aligned}}\!$

ここで ${\textstyle C}$ は積分せきぶん定数ていすうである。

下記かきの式しきにおける ${\textstyle x}$ のより高位こういの累乗るいじょうでは、

$\int x^{n}e^{x}\,dx,\,\int x^{n}\sin x\,dx,\,\int x^{n}\cos x\,dx\,$

部分ぶぶん積分せきぶんを繰くり返かえし使つかって同様どうように計算けいさん出来できる。1回かい部分ぶぶん積分せきぶんを適用てきようする度たびに ${\textstyle x}$ の指数しすうが1ずつ下さがる。

指数しすう関数かんすうと三角さんかく関数かんすう

部分ぶぶん積分せきぶんの仕組しくみを考かんがえるためによく使つかわれる例れいとして、

$I=\int e^{x}\cos x\,dx$

を計算けいさんする。ここでは、部分ぶぶん積分せきぶんを2回かい行おこなう。最初さいしょに

$u=\cos x\Rightarrow du=-\sin x\,dx$

$dv=e^{x}\,dx\Rightarrow v=e^{x}$

とすると、

$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx.\!$

となる。残のこった積分せきぶん項こうに対たいして再度さいど部分ぶぶん積分せきぶんを行おこなう。

$u=\sin x\Rightarrow du=\cos x\,dx$

$dv=e^{x}\,dx\Rightarrow v=e^{x}$

として、

$\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$

これらを組くみ合あわせて、

$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$

同おなじ積分せきぶん項こうが等式とうしきの両辺りょうへんに出現しゅつげんしているので

$2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}(\sin x+\cos x)+C\!$

と変形へんけい出来できて、

$\int e^{x}\cos x\,dx=\ {\frac {1}{2}}e^{x}(\sin x+\cos x)+C'\!$

となる。ただし、${\textstyle C}$ と ${\textstyle C'={\frac {C}{2}}}$ は積分せきぶん定数ていすうである。

$\int \sec ^{3}x\,dx$ のような積分せきぶんも同様どうようの方法ほうほうを使つかって計算けいさん出来できる。

関数かんすうに形式けいしき的てきに1を掛かける

更さらによく知しられた例れいを挙あげる。被ひ積分せきぶん関数かんすうを1とそれ自身じしんの積せきと考かんがえて部分ぶぶん積分せきぶんを行おこなう方法ほうほうである。これは、被ひ積分せきぶん関数かんすうの導しるべ関数かんすうが分わかっていて、更さらにその導しるべ関数かんすうに xを乗じょうじた関数かんすうの積分せきぶんが計算けいさん可能かのうな場合ばあいに有効ゆうこうである。

最初さいしょの例れいとして${\textstyle \int \ln x\,dx}$ を考かんがえる。これを以下いかのように1と自身じしんの積せきとして考かんがえて、

$I=\int \ln x\cdot 1\,dx.\!$

次つぎのようにおくと、

$u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}$

$dv=dx\Rightarrow v=x\$

以下いかのように計算けいさん出来できる。

${\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}$

次つぎの例れいとして ${\textstyle \arctan x}$ の積分せきぶんを考かんがえる。

$I=\int \arctan x\,dx$

これを以下いかのように書かき換かえる。

$\int \arctan(x)\cdot 1\,dx$

次つぎのようにおくと、

${\begin{aligned}u=\arctan x&\Rightarrow \tan u=x\\&\Rightarrow \sec ^{2}u\,du=dx\\&\Rightarrow (1+\tan ^{2}u)\,du=dx\\&\Rightarrow du={\frac {dx}{1+x^{2}}}\end{aligned}}$

$dv=dx\Rightarrow v=x$

以下いかのように計算けいさん出来できる。

${\begin{aligned}\int \arctan x\,dx&=x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\&=x\arctan x-\left.{\frac {1}{2}}\right.\int {\frac {2x}{1+x^{2}}}\,dx\\&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\int {\frac {d(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\\&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\end{aligned}}$

ここでは逆ぎゃく関数かんすうの微分びぶん法ほうを使用しようした。

部分ぶぶん積分せきぶんの再帰さいき的てき適用てきよう

部分ぶぶん積分せきぶんを ${\textstyle \int v\,du}$ に対たいして再帰さいき的てきに適用てきようすることにより、次つぎの公式こうしきを得える。

$\int uv=uv_{1}-u'v_{2}+u''v_{3}-\cdots +(-1)^{n-1}\ u^{(n-1)}\ v_{n}+(-1)^{n}\int {u^{(n)}v_{n}}.\!$

ここで、${\textstyle u'}$ は ${\textstyle u}$ の1次じ導しるべ関数かんすう、${\textstyle u''}$ は2次じ導しるべ関数かんすうであり、${\textstyle u^{(n)}}$ は n 次じ導しるべ関数かんすうを表あらわす。$v_{n}$ は以下いかのように定義ていぎされる。

$v_{n+1}(x)=\int \!\int \ \cdots \int v\ (dx)^{n+1}.\!$

上記じょうきの式しきは、${\textstyle uv_{1}}$ から開始かいしして1つ目めの項こうは順じゅんに微分びぶんして行いき、2つ目めの項こうは積分せきぶんして行いけば計算けいさん出来できる（同時どうじに符号ふごうを反転はんてんしながらであるが）。特とくに、${\textstyle u^{(k+1)}}$ がある ${\textstyle k+1}$ で 0 になる時ときには ${\textstyle u^{(k)}}$ の項こうまでで終了しゅうりょうするため、便利べんりな公式こうしきである。

拡張かくちょう

多た因子いんしへの拡張かくちょう

（積せきの微分びぶん法則ほうそくの一般いっぱん化かも参照さんしょうのこと）

3つの関数かんすう ${\textstyle u(x)}$、${\textstyle v(x)}$、${\textstyle w(x)}$ の積せきの微分びぶん法則ほうそくに対たいして積分せきぶんを行おこなうと、同様どうように以下いかのような結果けっかを得える。

$\int _{a}^{b}uv\,dw=uvw-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du$

一般いっぱん的てきに ${\textstyle n}$ 個この関数かんすうの積せきの場合ばあいは、

${\frac {d}{dx}}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)=\sum _{j=1}^{n}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x){\frac {du_{j}(x)}{dx}}$

即すなわち、

${\Bigl [}\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x){\Bigr ]}_{a}^{b}=\sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x)\,du_{j}(x)$

ここで右辺うへんの積せきは、同どうじ項こうで微分びぶんを取とった関数かんすうを除のぞく全すべての関数かんすうの積せきを取とるものとする。

スティルチェス積分せきぶん

リーマン＝スティルチェス積分せきぶん（またはスティルチェス積分せきぶん）とは、トーマス・スティルチェスによるリーマン積分せきぶんの拡張かくちょうである。

リーマン＝スティルチェス積分せきぶんに関かんしても、被ひ積分せきぶん関数かんすう ${\textstyle f}$ および積分せきぶん関数かんすう ${\textstyle g}$ に対たいして部分ぶぶん積分せきぶん公式こうしきが

$\int _{a}^{b}f\,dg=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g\,df$

なる形かたちで成なり立たつ。

また、リーマン＝スティルチェス積分せきぶんおよび（狭義きょうぎの）ルベーグ積分せきぶんの一般いっぱん化かであるルベーグ＝スティルチェス積分せきぶん（またはルベーグ＝ラドン積分せきぶん）に対たいしても、以下いかの形かたちで部分ぶぶん積分せきぶん公式こうしきが定式ていしき化かされる。

2つの有界ゆうかい変動へんどう関数かんすう U, V に対たいして U または V のいずれかが連続れんぞく、若もしくは U および V がともに正常せいじょう（英えい: regular）となるような点てんでは、

$\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\quad (a<b)$

が成立せいりつする。

詳細しょうさいはリーマン＝スティルチェス積分せきぶんおよびルベーグ＝スティルチェス積分せきぶんを参照さんしょう。

高こう次元じげんへの拡張かくちょう

部分ぶぶん積分せきぶんを高こう次元じげんの場合ばあいに対たいして拡張かくちょうすることが出来できる。

$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ を区分くぶん的てきに滑なめらかな境界きょうかい $\Gamma$ を持もつ有界ゆうかいな開ひらけ集合しゅうごうとし、$\mathbf {n}$ を $\Gamma$ への外そと向むき単位たんい面めん法線ほうせんベクトル、$u$ と $\mathbf {v}$ をそれぞれ $\Omega$ の閉包へいほうにおいて滑なめらかな関数かんすうおよびベクトル値ち関数かんすうとして定義ていぎする。

この時とき、 $\nabla \cdot (u\mathbf {v} )=\nabla u\cdot \mathbf {v} +u\nabla \cdot \mathbf {v}$ に対たいしてガウスの発散はっさん定理ていりを適用てきようすると、

$\int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {v} )\,d\Omega =\int _{\Omega }(\nabla u\cdot \mathbf {v} +u\nabla \cdot \mathbf {v} )\,d\Omega =\int _{\Gamma }(u\mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,d\Gamma$

であるから、以下いかの部分ぶぶん積分せきぶん公式こうしきが得えられる。

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {v} \,d\Omega =\int _{\Gamma }u(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\,d\Gamma -\int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {v} \,d\Omega$

また、$\mathbf {v} =\nabla v$，$v\in C^{2}({\bar {\Omega }})$ なる $v$ で表あらわされる時とき、

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega =\int _{\Gamma }u\,\nabla v\cdot \mathbf {n} \,d\Gamma -\int _{\Omega }u\,\nabla ^{2}v\,d\Omega$

となり、グリーンの第だい一いち恒等こうとう式しきが得えられる。

同様どうように、任意にんいの階数かいすうの微分びぶん可能かのうテンソル場じょう ${\boldsymbol {F}}$ と ${\boldsymbol {G}}$ に対たいして、発散はっさん定理ていりより以下いかの部分ぶぶん積分せきぶん公式こうしきが導みちびかれる。

$\int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes ({\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {G}})\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\boldsymbol {G}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}\,d\Omega$

ここで $\otimes$ はテンソル積せきを表あらわす。${\boldsymbol {F}}$ が恒等こうとうテンソルに等ひとしい時ときは、発散はっさん定理ていりの式しきを得える。

$\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes {\boldsymbol {G}}\,d\Gamma \,$

添字そえじ表記ひょうきで表あらわすと以下いかのようになる。

$\int _{\Omega }F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,$

ここで${\boldsymbol {F}}$ と ${\boldsymbol {G}}$ がともに2階かいのテンソルであるような特殊とくしゅな場合ばあいを考かんがえ、1つの添字そえじの縮ちぢみ約やくを取とると、

$\int _{\Omega }F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,$

即すなわち

$\int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {G}})\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})\,d\Gamma -\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}):{\boldsymbol {G}}^{T}\,d\Omega \,$

となる。

応用おうよう

部分ぶぶん積分せきぶんの解析かいせき学がくにおけるいくつかの応おう用例ようれいを挙あげる。

ガンマ関数かんすう

関数かんすう等式とうしき

ガンマ関数かんすうは広義こうぎ積分せきぶんを用もちいて定義ていぎされる特殊とくしゅ関数かんすうである。部分ぶぶん積分せきぶんを使つかうと、これが階かい乗じょうの拡張かくちょうになっていることが分わかる。

${\begin{aligned}\Gamma (z)&:=\int _{0}^{\infty }d\lambda e^{-\lambda }\lambda ^{z-1}\\&=-\int _{0}^{\infty }d\left(e^{-\lambda }\right)\lambda ^{z-1}\\&=-\left[e^{-\lambda }\lambda ^{z-1}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }d\left(\lambda ^{z-1}\right)e^{-\lambda }\\&=0+\int _{0}^{\infty }d\lambda \left(z-1\right)\lambda ^{z-2}e^{-\lambda }\\&=(z-1)\Gamma (z-1)\\\end{aligned}}$

このようにして、以下いかのよく知しられた等式とうしきが得えられる。

$\Gamma (z)=(z-1)\Gamma (z-1).$

$n\in \mathbb {N}$に対たいしてこの公式こうしきを繰くり返かえし適用てきようすることで階かい乗じょうが得えられる。

$\Gamma (n+1)=n!,\quad n\in \mathbb {N} .$

定義ていぎの等価とうか性せい

ガンマ関数かんすうはワイエルシュトラスの乗じょう積せき表示ひょうじ:

${\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)$

を用もちいて定義ていぎすることもできる（$\gamma$はオイラーの定数ていすうである）。

無限むげん乗じょう積せきによる定義ていぎと広義こうぎ積分せきぶんによる定義ていぎが同値どうちであることは部分ぶぶん積分せきぶんを繰くり返かえすことで示しめされる。

調和ちょうわ解析かいせき

調和ちょうわ解析かいせき、特とくにフーリエ変換へんかんにおける部分ぶぶん積分せきぶんの応おう用例ようれいを挙あげる。よく知しられた例れいとして、関数かんすうのフーリエ変換へんかんの収束しゅうそくが、関数かんすうの滑なめらかさに依存いぞんしていることを示しめすものである。

導しるべ関数かんすうのフーリエ変換へんかん

f が k 回かい連続れんぞく微分びぶん可能かのうであり、更さらに k 次つぎまでの導しるべ関数かんすうが無限むげん大だいで 0 に収束しゅうそくする時とき、そのフーリエ変換へんかんは以下いかの関係かんけい式しきを満みたす。

$({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )$

ここで $f^{(k)}$ は $f$ の $k$ 次じ導しるべ関数かんすうを表あらわす。

導しるべ関数かんすうのフーリエ変換へんかんに対たいして部分ぶぶん積分せきぶんを適用てきようすると、以下いかの結果けっかを得える。

${\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}$

この結果けっかを繰くり返かえし適用てきようすることによって、一般いっぱんの k に対たいする結果けっかが得えられる。同様どうようの手法しゅほうは導しるべ関数かんすうのラプラス変換へんかんを求もとめる際さいにも利用りよう出来できる。

フーリエ変換へんかんの収束しゅうそく

上記じょうきの結果けっかにより、$f$ と $f^{(k)}$ が積分せきぶん可能かのうならば、

$\vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}}$, ただし $I(f):=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}dy$.

い換いかえると、$f$ がこれらの条件じょうけんを満足まんぞくするならば、そのフーリエ変換へんかんは無限むげん大おおで高だか々 ${\textstyle 1/|\xi |^{k}}$ のオーダーで収束しゅうそくするということである。特とくに、$k\geq 2$ ならばフーリエ変換へんかんは積分せきぶん可能かのうである。

証明しょうめいにはフーリエ変換へんかんの定義ていぎから直ただちに得えられる次つぎの関係かんけいを用もちいる。

$\vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy$

節ふしの冒頭ぼうとうで述のべたのと同様どうようの考かんがえ方かたにより、次つぎの結果けっかが得えられる。

$\vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy$

この2つの不等式ふとうしきを片々へんぺん加くわえて ${\textstyle 1+|2\pi \xi |^{k}}$ で除じょすることにより上記じょうきの結果けっかが得えられる。

作用素さようそ論ろん

作用素さようそ論ろんにおける部分ぶぶん積分せきぶんの利用りよう例れいの1つとして、${\textstyle -\Delta }$ ( ${\textstyle \Delta }$ は ラプラス作用素さようそ) が ${\textstyle L^{2}}$ において正せい値ね作用素さようそであるということが挙あげられる（Lp空間くうかんを参照さんしょう）。

f が滑なめらかでコンパクトな台だいを持もつならば、部分ぶぶん積分せきぶんを用もちいることにより以下いかの結果けっかを得える。

${\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}$

その他たの応用おうよう

• 弱じゃく微分びぶん、およびシュワルツ超ちょう函数かんすうの定式ていしき化か。
• スツルム＝リウヴィル型がた微分びぶん方程式ほうていしきにおける境界きょうかい値ち問題もんだい。
• 変へん分ぶん法ほうによるオイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしきの導出どうしゅつ。
• 複素ふくそ解析かいせきにおける漸近ぜんきん展開てんかいの導出どうしゅつ。
• 数値すうち積分せきぶんへの応用おうよう。

参考さんこう文献ぶんけん

• Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2 
• Arbogast, Todd; Jerry Bona (2005) (Pdu). Methods of Applied Mathematics. http://www.math.utexas.edu/users/arbogast/appMath08.pdu 

関連かんれん項目こうもく

• 弱じゃく微分びぶん
• 積せきの微分びぶん法則ほうそく
• 積分せきぶん法ほう
• 置換ちかん積分せきぶん
• 発散はっさん定理ていり
• 不定ふてい積分せきぶん
• 部分ぶぶん和わ分ぶん
• ベクトル解析かいせき

外部がいぶリンク

• 世界せかい大だい百科ひゃっか事典じてん 第だい2版はん『部分ぶぶん積分せきぶん法ほう』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Integration by Parts". mathworld.wolfram.com (英語えいご).