数学 すうがく 微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく 周辺 しゅうへん 領域 りょういき ダニエル積分 せきぶん （ダニエルせきぶん、英 えい Daniell integral 初 はつ 学者 がくしゃ 学 まな リーマン積分 せきぶん のようなより初等 しょとう 的 てき 積分 せきぶん 概念 がいねん 一般 いっぱん 化 か 積分 せきぶん 法 ほう 一種 いっしゅ 旧来 きゅうらい ルベーグ積分 せきぶん の定式 ていしき 化 か 関 かん 主 おも 障害 しょうがい 積分 せきぶん 対 たい 十分 じゅうぶん 結果 けっか 得 え 満足 まんぞく 測度 そくど 論 ろん 展開 てんかい 必要 ひつよう Percy J. Daniell (1918 )欠点 けってん 悩 なや 別 べつ 手法 しゅほう 旧来 きゅうらい 定式 ていしき 化 か 具体 ぐたい 的 てき 積分 せきぶん 高 こう 次元 じげん 化 か スティルチェス積分 せきぶん への一般 いっぱん 化 か 対 たい 特徴 とくちょう 的 てき 優位 ゆうい 性 せい 見 み 基本 きほん 的 てき 考 かんが 方 かた 積分 せきぶん 公理 こうり 化 か 含 ふく
ダニエルの公理系 こうりけい [ 編集 へんしゅう ] ある集合 しゅうごう X 上 うえ 定義 ていぎ 有界 ゆうかい 実 じつ 函数 かんすう 族 ぞく H で以下 いか 二 ふた 公理 こうり 満 み H に属 ぞく 函数 かんすう 基本 きほん 函数 かんすう (elementary function ) と呼 よ
H は通常 つうじょう 点 てん 加法 かほう 倍 ばい 関 かん 線型 せんけい 空間 くうかん 成 な 函数 かんすう h が H に属 ぞく 各 かく 点 てん 絶対 ぜったい 値 ち 得 え 函数 かんすう |h | も H に属 ぞく さらに、H の各 かく 函数 かんすう h に対 たい h の基本 きほん 積分 せきぶん (elementary integral ) と呼 よ 実数 じっすう Ih を対応 たいおう 基本 きほん 積分 せきぶん 次 つぎ 三 みっ 公理 こうり 満足 まんぞく
線型 せんけい 性 せい h, k がともに H の元 もと α あるふぁ β べーた 実数 じっすう
I
(
α あるふぁ h
+
β べーた k
)
=
α あるふぁ I
h
+
β べーた I
k
{\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}
成立 せいりつ 非負 ひふ 性 せい H の元 もと h が h (x ) > 0常 つね 満 み Ih ≥ 0成立 せいりつ 連続 れんぞく 性 せい H の元 もと 列 れつ (hn ) が非 ひ 増大 ぞうだい X の各 かく 点 てん x において 0 に収束 しゅうそく Ihn → 0成立 せいりつ すなわち、基本 きほん 函数 かんすう 全体 ぜんたい 空間 くうかん H 上 うえ 非負 ひふ 値 ち 連続 れんぞく 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう I を定 さだ
基本 きほん 函数 かんすう 基本 きほん 積分 せきぶん 任意 にんい 函数 かんすう 空間 くうかん 上 うえ 非負 ひふ 値 ち 連続 れんぞく 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう 例 たと 階段 かいだん 函数 かんすう 全体 ぜんたい 成 な 函数 かんすう 族 ぞく 上記 じょうき 基本 きほん 函数 かんすう 公理系 こうりけい 明 あき 満足 まんぞく 階段 かいだん 函数 かんすう 全体 ぜんたい 成 な 族 ぞく 基本 きほん 積分 せきぶん 階段 かいだん 函数 かんすう 下 した 領域 りょういき 符号 ふごう 付 づけ 面積 めんせき 定義 ていぎ 基本 きほん 積分 せきぶん 公理系 こうりけい 満 み 明 あき 後述 こうじゅつ 積分 せきぶん 構成 こうせい 法 ほう 階段 かいだん 函数 かんすう 基本 きほん 函数 かんすう 適用 てきよう 得 え 積分 せきぶん 定義 ていぎ 積分 せきぶん 同値 どうち 連続 れんぞく 函数 かんすう 全体 ぜんたい 成 な 族 ぞく 基本 きほん 函数 かんすう 古典 こてん 的 てき リーマン積分 せきぶん を基本 きほん 積分 せきぶん 得 え 積分 せきぶん 積分 せきぶん 同値 どうち 同 おな 有界 ゆうかい 変動 へんどう 函数 かんすう 対 たい リーマン＝スティルチェス積分 せきぶん を用 もち 行 おこな ルベーグ＝スティルチェス積分 せきぶん に同値 どうち 積分 せきぶん 定 さだ
零 れい 集合 しゅうごう 基本 きほん 函数 かんすう 言葉 ことば 定義 ていぎ X の部分 ぶぶん 集合 しゅうごう Z が零 れい 集合 しゅうごう 測度 そくど 0 任意 にんい ε いぷしろん 対 たい H の非負 ひふ 値 ち 基本 きほん 函 はこ 数列 すうれつ (hp ) をうまく選 えら Ihp < ε いぷしろん Z 上 うえ sup p hp (x ) ≥ 1言 い
また、集合 しゅうごう 全 ぜん 測度 そくど X に関 かん 補 ほ 集合 しゅうごう 零 れい 集合 しゅうごう 集合 しゅうごう 全 ぜん 測度 そくど 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 各 かく 点 てん 決 き 性質 せいしつ 満 み 性質 せいしつ 適当 てきとう 零 れい 集合 しゅうごう 除 のぞ 成立 せいりつ 性質 せいしつ 集合 しゅうごう 殆 ほとん 至 いた 所 ところ 成立 せいりつ 言 い
ダニエル積分 せきぶん 定義 ていぎ [ 編集 へんしゅう ] 基本 きほん 函数 かんすう 選 えら 函数 かんすう 族 ぞく H をもとに、より大 おお 函数 かんすう L + 定 さだ 積分 せきぶん Ihn 全体 ぜんたい 成 な 集合 しゅうごう 有界 ゆうかい 殆 ほとん 至 いた 所 ところ 非 ひ 増大 ぞうだい 基本 きほん 函数 かんすう 列 れつ (hn ) の極限 きょくげん 得 え 函数 かんすう 全体 ぜんたい 成 な 族 ぞく L + 属 ぞく 函数 かんすう f の積分 せきぶん If を、
I
f
=
lim
n
→
∞
I
h
n
{\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}}
で定 さだ 積分 せきぶん 矛盾 むじゅん 無 な 定義 ていぎ 示 しめ f に収束 しゅうそく 基本 きほん 函 はこ 数列 すうれつ (hn ) の取 と 方 かた 依 よ
しかし、函数 かんすう L + 一般 いっぱん 点 てん 減法 げんぽう 負 まけ 数 かず 乗法 じょうほう 関 かん 閉 と 広 ひろ 函数 かんすう L へ拡張 かくちょう L + 適当 てきとう 函数 かんすう f, g に対 たい 適当 てきとう 全 ぜん 測度 そくど 集合 しゅうごう 上 じょう 差 さ φ ふぁい f − g 表 あらわ 函数 かんすう φ ふぁい 全体 ぜんたい 成 な 族 ぞく L における函数 かんすう φ ふぁい 積分 せきぶん Iφ ふぁい を
I
φ ふぁい =
I
f
−
I
g
{\displaystyle I\varphi =If-Ig}
で定 さだ 矛盾 むじゅん 無 な 定義 ていぎ Iφ ふぁい は φ ふぁい f, g への分解 ぶんかい 仕方 しかた 依 よ 積分 せきぶん 洩 も 構成 こうせい
古典 こてん 的 てき 積分 せきぶん 論 ろん 重要 じゅうよう 定理 ていり 例 たと ルベーグの優 ゆう 収束 しゅうそく 定理 ていり 、リース＝フィッシャーの定理 ていり 、ファトゥーの補題 ほだい 、フビニの定理 ていり など）はこの構成 こうせい 用 もち 証明 しょうめい 可能 かのう 積分 せきぶん 定式 ていしき 化 か 積分 せきぶん 旧来 きゅうらい 積分 せきぶん 同 おな 性質 せいしつ 有 ゆう
ダニエル積分 せきぶん 測度 そくど [ 編集 へんしゅう ] 集合 しゅうごう 写像 しゃぞう 間 あいだ 自然 しぜん 対応 たいおう 積分 せきぶん 測度 そくど 論 ろん 構成 こうせい 可能 かのう 集合 しゅうごう X 指示 しじ 函数 かんすう χ かい X 積分 せきぶん 値 ち Iχ かい X をその集合 しゅうごう X の測度 そくど m (X )定 さだ 積分 せきぶん 基 もと 定義 ていぎ 測度 そくど 古典 こてん 的 てき ルベーグ測度 そくど と同値 どうち 証明 しょうめい
旧来 きゅうらい 定式 ていしき 化 か 対 たい 優位 ゆうい 性 せい [ 編集 へんしゅう ] この方法 ほうほう 構成 こうせい 一般 いっぱん 積分 せきぶん 特 とく 函数 かんすう 解析 かいせき 学 がく 分野 ぶんや 旧来 きゅうらい 式 しき 積分 せきぶん 対 たい 優位 ゆうい 点 てん 持 も 既 すで 述 の 基本 きほん 函数 かんすう 有限 ゆうげん 個 こ 値 ね 通常 つうじょう 階段 かいだん 函数 かんすう 得 え 積分 せきぶん 構成 こうせい 積分 せきぶん 構成 こうせい 同値 どうち 積分 せきぶん 複雑 ふくざつ 函数 かんすう 対 たい 拡張 かくちょう 例 たと 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう 積分 せきぶん 定義 ていぎ 構成 こうせい 用 もち 際 さい 生 しょう 困難 こんなん 積分 せきぶん 方法 ほうほう 緩和 かんわ
ポーランドの数学 すうがく 者 しゃ ミクシンスキー は、さらに別 べつ 自然 しぜん 積分 せきぶん 定式 ていしき 化 か 絶対 ぜったい 収束 しゅうそく 級数 きゅうすう 概念 がいねん 用 もち 行 い 定式 ていしき 化 か ボホナー積分 せきぶん （バナッハ空間 くうかん に値 ね 函数 かんすう 対 たい 式 しき 積分 せきぶん 対 たい 通用 つうよう 補題 ほだい 用 もち 零 れい 集合 しゅうごう 言及 げんきゅう 積分 せきぶん 定義 ていぎ 積分 せきぶん 対 たい 多重 たじゅう 積分 せきぶん 変数 へんすう 変換 へんかん 定理 ていり 積分 せきぶん 対 たい フビニの定理 ていり とをダニエル積分 せきぶん 法 ほう 用 もち 証明 しょうめい Asplund & Bungart 1966 ) では、実 じつ 数値 すうち 函数 かんすう 対 たい 方法 ほうほう 明快 めいかい 取 と 扱 あつか 方法 ほうほう 用 もち 抽象 ちゅうしょう 的 てき ラドン＝ニコディムの定理 ていり の証明 しょうめい 提示 ていじ
Daniell, P. J. (1918), “A General Form of Integral” , Annals of Mathematics 19 (4): 279–294, ISSN 0003-486X , JSTOR 1967495 , https://jstor.org/stable/1967495 Asplund, O. Edgar; Bungart, Lutz (1966), A first course in Integration , Holt Rinehart and Winston, LCCN 66-10122 Daniell, Percy John (1919), “Integrals in an infinite number of dimensions”, Annals of Mathematics 20 : 281–88 Daniell, Percy John (1919), “Functions of limited variation in an infinite number of dimensions”, Annals of Mathematics 21 : 30–38 Daniell, Percy John (1920), “Further properties of the general integral”, Annals of Mathematics 21 : 203–20 Daniell, Percy John (1921), “Integral products and probability”, American Journal of Mathematics 43 : 143–62 Royden, H. L. (1988), Real Analysis (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-02-946620-9 Shilov, G. E.; Gurevich, B. L. (1978), Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman (trans.), Dover Publications, ISBN 0-486-63519-8 Taylor, A. E. (1965), General Theory of Functions and Integration (I ed.), Blaisdell Publishing Company, LCCN 65-14566 
