ボホナー積分せきぶん

数学すうがくにおけるボホナー積分せきぶん（ボホナーせきぶん、英えい: Bochner integral）は、サロモン・ボホナーに名なを因ちなむ、（単たん函数かんすうの積分せきぶんの極限きょくげんとしての）ルベーグ積分せきぶんのバナッハ空間くうかんに値ねをとる函数かんすうへの拡張かくちょうである。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

(X, Σしぐま, μみゅー) を測度そくど空間くうかん、B をバナッハ空間くうかんとする。ボホナー積分せきぶんはルベーグ積分せきぶんとほとんど同おなじ方法ほうほうで定義ていぎされる。X 上うえの B-値ね単たん函数かんすう s は、完全かんぜん加法かほう族ぞく Σしぐまの互たがいに交まじわらない元もとの族ぞく E_i と B の相そう異ことなる元もと b_i を使つかって

s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}

なる形かたちの和わに表あらわされる。ただし、χかい_E は集合しゅうごう E の指示しじ函数かんすうである。単たん函数かんすう s をこの形かたちに書かくとき, b_i が 0 でないような i では必かならず μみゅー(E_i) が有限ゆうげん値ちとなるならば、この単たん函数かんすう s は可か積分せきぶんであるといい、その積分せきぶんを

\int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}

で定義ていぎすることは通常つうじょうのルベーグ積分せきぶんと全まったく同おなじである。

可か測はか函数かんすう ƒ: X → B がボホナー可か積分せきぶんであるとは、可か積分せきぶんな単たん函はこ数列すうれつ s_n で

\lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}d\mu =0

を満みたすようなものが存在そんざいするときに言いう。ここで左辺さへんの積分せきぶんは通常つうじょうのルベーグ積分せきぶんである。

このとき、ボホナー積分せきぶんは

\int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu

と定義ていぎされる。可か測はか函数かんすうがボホナー可か積分せきぶんであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それがボホナー空間くうかん L¹ に属ぞくすることである。

ルベーグ積分せきぶんについてよく知しられた性質せいしつの多おおくは、ボホナー積分せきぶんに対たいしても引ひき続つづき成立せいりつする。おそらく最もっとも著いちじるしい例れいはボホナーの可か積分せきぶん判定はんてい条件じょうけんで、これは (X, Σしぐま, μみゅー) が有限ゆうげん測度そくど空間くうかんならばボホナー可か測はか函数かんすう ƒ: X → B がボホナー可か積分せきぶんであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんが

\int _{X}\|f\|_{B}\,d\mu <\infty

であることを述のべるものである。ただし、函数かんすう ƒ: X → B がボホナー可か測はかであるとは、B の可分かぶん部分ぶぶん空間くうかん B₀ に値ねをとる函数かんすう g で、B の任意にんいの開ひらき集合しゅうごう U の逆ぎゃく像ぞう g⁻¹(U) が Σしぐまに属ぞくするようなものを用もちいて、μみゅーに関かんしてほとんど至いたる所ところ f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可か測はか函数かんすう ƒ は μみゅーに関かんして殆ほとんど至いたる所ところ単たん函はこ数列すうれつの極限きょくげんになっている。

ボホナー積分せきぶんに対たいしても優ゆう収斂しゅうれん定理ていりの一種いっしゅが成なり立たつ。具体ぐたい的てきには、ƒ_n: X → B が完備かんび測度そくど空間くうかん上じょうの可か測はか函はこ数列すうれつでほとんど至いたる所ところ ƒ に収斂しゅうれんし、ほとんど全すべての x ∈ X で ‖f_n(x)‖_B ≤ g(x) を満みたす g ∈ L¹(μみゅー)が存在そんざいするならば、n → ∞ とする極限きょくげんで

\int _{X}\|f-f_{n}\|_{B}\,d\mu \to 0

および、任意にんいの E ∈ Σしぐまに対たいして

\int _{E}f_{n}\,d\mu \to \int _{E}f\,d\mu

が成立せいりつする。

ƒ がボホナー可か積分せきぶんならば不等式ふとうしき

\left\|\int _{E}f\,d\mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,d\mu

が任意にんいの E ∈ Σしぐまに対たいして成立せいりつする。特とくに集合しゅうごう函数かんすう

E\mapsto \int _{E}f\,d\mu

は μみゅーに関かんして絶対ぜったい連続れんぞくな X 上うえの可算かさん加法かほう的てき B-値ねベクトル測度そくどを定さだめる。

ラドン–ニコディム性せい[編集へんしゅう]

ボホナー積分せきぶんに関かんしてラドン–ニコディムの定理ていりが一般いっぱんには成立せいりつしないという重要じゅうような事実じじつがある。これはバナッハ空間くうかんのラドン–ニコディム性せいとして知しられる重要じゅうような性質せいしつである。具体ぐたい的てきに、 $μ みゅー$ を可か測はか空間くうかん $(X, Σ しぐま)$ 上うえの測度そくどとすると、 $B$ が $μ みゅー$ に関かんするラドン–ニコディム性せいを持もつとは、 $(X, Σ しぐま)$ 上うえの $B$ に値ねをとる任意にんいの有界ゆうかい変動へんどうかつ $μ みゅー$ -絶対ぜったい連続れんぞくな可算かさん加法かほう的てきベクトル測度そくど $γ がんま$ に対たいして、 $μ みゅー$ -可か積分せきぶん函数かんすう $g : X \to B$ で $\gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu$ を任意にんいの可か測はか集合しゅうごう $E \in Σ しぐま$ に対たいして満みたすものが存在そんざいすることをいう^[1]。

バナッハ空間くうかん $B$ がラドン–ニコディム性せいを持もつとは、 $B$ が任意にんいの有限ゆうげん測度そくどに関かんしてラドン–ニコディム性せいを持もつときに言いう。 $l 1$ はラドン–ニコディム性せいを持もち、 $c 0$ や $R n$ の有界ゆうかい開ひらき領域りょういき $Ω おめが$ に対たいする $L \infty (Ω おめが)$ , $L 1 (Ω おめが)$ および $C (Ω おめが)$ はラドン＝ニコディム性せいを持もたないことが知しられている。ラドン–ニコディム性せいを持もつ空間くうかんには、可分かぶんな双対そうつい空間くうかん（ダンフォード–ペティスの定理ていり）や回帰かいき的てきバナッハ空間くうかん（特とくにヒルベルト空間くうかん）などがある。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

^ The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces, Diómedes Bárcenas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 11 No. 1(2003), (pp. 55–59), pp. 55-56

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

Bochner, Salomon (1933), “Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind”, Fundamenta Mathematicae 20: 262–276
Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5
Diestel, J.; Uhl, J. J. (1977), Vector measures, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1515-1
Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional Analysis and Semi-Groups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1031-6
Lang, Serge (1969), Real analysis, Addison-wesley, ISBN 0-201-04172-3 (now published by springer Verlag)
Sobolev, V. I. (2001), “Bochner integral”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
van Dulst, D. (2001), “Vector measures”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces, Diómedes Bárcenas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 11 No. 1(2003), (pp. 55–59), pp. 55-56

[1]

表ひょう話はなし編へん歴れき積分せきぶん
積分せきぶん法ほう	リーマンルベーグバーキル（英語えいご版ばん）ボホナーダニエルダルブー（英語えいご版ばん） HK マクシェイン不変ふへんヘリンガー（英語えいご版ばん）ヒンチン（英語えいご版ばん）コルモゴロフ（英語えいご版ばん） LS ペティスプフェッファー（英語えいご版ばん） RS 方正ほうせい
計算けいさん法ほう	部分ぶぶん積分せきぶん置換ちかん積分せきぶん逆ぎゃく函数かんすうの積分せきぶん（英語えいご版ばん）積分せきぶんの順序じゅんじょ（英語えいご版ばん）三角さんかく函数かんすう置換ちかん（英語えいご版ばん）部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかいを通つうじた積分せきぶん（英語えいご版ばん）漸やや化か式しきによる積分せきぶん媒介ばいかい変数へんすう微分びぶんを用もちいた積分せきぶん（英語えいご版ばん）オイラーの公式こうしきを用もちいた積分せきぶん（英語えいご版ばん）積分せきぶん記号きごう下かの微分びぶん（英語えいご版ばん）複素ふくそ線せん積分せきぶん
広義こうぎ積分せきぶん	ガウス積分せきぶんガンマ関数かんすう
確かく率りつ積分せきぶん	伊藤いとう積分せきぶん（英語えいご版ばん）ストラトノヴィッチ積分せきぶん（英語えいご版ばん）スコロホッド積分せきぶん（英語えいご版ばん）
数値すうち積分せきぶん	台形だいけい公式こうしきガウス求もとめ積せきガウス＝クロンロッド求もとめ積せき法ほう二重指数関数型数値積分公式
積分せきぶん方程式ほうていしき	フレドホルム積分せきぶん方程式ほうていしきヴォルテラ積分せきぶん方程式ほうていしき

表ひょう話はなし編へん歴れき関数かんすう解析かいせき学がく
集合しゅうごう / 部分ぶぶん集合しゅうごうのタイプ	均衡きんこう星ほし状じょう絶対ぜったい凸とつ凸とつ併呑へいどん有界ゆうかい（英語えいご版ばん）放射状ほうしゃじょう（英語えいご版ばん）対称たいしょう（英語えいご版ばん）線型せんけい錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）凸とつ錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）
線型せんけい位相いそう空間くうかんのタイプ	バナッハ樽たる型がた界さかい相しょう Brauner（英語えいご版ばん） F-空間くうかん有限ゆうげん次元じげんフレシェ (tame) ヒルベルト LF空間くうかん局所きょくしょ凸とつマッキー（英語えいご版ばん）モンテル核かく型がたノルム付つき（ノルム）準じゅんノルム付つき回帰かいき的てきリーススミス（英語えいご版ばん） Stereotype（英語えいご版ばん）ウェブ付つき位相いそうテンソル積せき（英語えいご版ばん）（ヒルベルト空間くうかんの（英語えいご版ばん））
位相いそう	双対そうつい双対そうつい空間くうかん作用素さようそ強つよ（極ごく作用素さようそ） Ultrastrong（英語えいご版ばん）弱じゃく（作用素さようそ） Ultraweak（英語えいご版ばん）一様いちよう収束しゅうそく（英語えいご版ばん）
線型せんけい作用素さようそ	随伴ずいはん双そう線型せんけい（形式けいしき）有界ゆうかい / 非ひ有界ゆうかい閉（英語えいご版ばん）連続れんぞく / 不連続ふれんぞくコンパクトフレドホルムヒルベルト＝シュミット汎ひろし関数かんすう（正ただし（英語えいご版ばん））正規せいき核かく自己じこ共役きょうやく Strictly singular（英語えいご版ばん）トレースクラス転置てんちユニタリ
集合しゅうごうの操作そうさ	代数だいすう的てき内部ないぶ（核かく）内部ないぶミンコフスキー和わ（英語えいご版ばん）極ごく
バナッハ環たまき	C-環たまきスペクトル（C-環たまき（英語えいご版ばん）半径はんけい) スペクトル理論りろん
定理ていり	Eberlein–Šmulian（英語えいご版ばん）開ひらけ写像しゃぞう角谷かどやの不動点ふどうてんゲルファント＝マズールコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしき Goldstine（英語えいご版ばん）シャウダーの不動点ふどうてんパーセヴァルの等式とうしきハーン–バナッハ（分離ぶんり超ちょう平面へいめん）バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語えいご版ばん） Banach–Mazur（英語えいご版ばん）フロイデンタールのスペクトル閉値域ちいき閉グラフベッセルの不等式ふとうしきマッキー＝アレンスマズールの補題ほだいリースの拡張かくちょう Lomonosov's invariant subspace（英語えいご版ばん）ニュートン＝カントロビッチ
解析かいせき	ボホナー空間くうかんフレシェ空間くうかんにおける微分びぶん（英語えいご版ばん）微分びぶん（フレシェガトー汎ひろし函数かんすう holomorphic（英語えいご版ばん））積分せきぶん（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス方正ほうせい弱じゃく) 汎ひろし函数かんすう計算けいさん（Borel（英語えいご版ばん） continuous（英語えいご版ばん） holomorphic（英語えいご版ばん））逆ぎゃく函数かんすう定理ていり（Nash–Moser theorem（英語えいご版ばん））ベクトル測度そくど
応用おうよう	量子力学りょうしりきがくの数学すうがく的てき定式ていしき化か有限ゆうげん要素ようそ法ほう偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいに対たいする精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん
日本人にっぽんじん研究けんきゅう者しゃ	加藤かとう敏夫としお吉田よしだ耕作こうさく藤田ふじた宏ひろし増田ますだ久弥ひさや
海外かいがいの研究けんきゅう者しゃ	リース・フリジェシュステファン・バナフダフィット・ヒルベルトイズライル・ゲルファントピーター・ラックス
カテゴリ

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定義ていぎ[編集へんしゅう]

性質せいしつ[編集へんしゅう]

ラドン–ニコディム性せい[編集へんしゅう]

関連かんれん項目こうもく[編集へんしゅう]

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