精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん

精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん^[1]（せいどほしょうつきすうちけいさん、Validated Numerics, Rigorous Computation, Reliable Computation, Verified Computation, Numerical Verification, 独どく: Zuverlässiges Rechnen）とは数学すうがく的てきに厳密げんみつな誤差ごさ（前進ぜんしん誤差ごさ、後退こうたい誤差ごさ、丸まるめ誤差ごさ、打切うちきり誤差ごさ、離散りさん化か誤差ごさ）の評価ひょうかを伴ともなう数値すうち計算けいさんのことであり、数値すうち解析かいせきの一いち分野ぶんやである^[2]。演算えんざんでは区間くかん演算えんざんを使用しようし、結果けっかはすべて区間くかんで出力しゅつりょくする。精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんはウォリック・タッカーによって14番目ばんめのスメイルの問題もんだいを解とくのにも活用かつようされており（Tucker (1999)を参照さんしょう）、力学りきがく系けいの研究けんきゅうでは重要じゅうようなツールとして位置いちづけられている^[3]^[4]^[5]^[6]。

「数値すうち解析かいせき」および「区間くかん演算えんざん」も参照さんしょう

精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの必要ひつよう性せい

精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんではない通常つうじょうの数値すうち計算けいさんだと誤差ごさによって不都合ふつごうな事象じしょうが生しょうじてしまう。いくつかのその例れいを挙あげる。

Rumpの例題れいだい

1980年代ねんだいにRumpは次つぎのような例れいを提示ていじした（Rump (1988)を参照さんしょう）。

f(a,b)=333.75b^{6}+a^{2}(11a^{2}b^{2}-b^{6}-121b^{4}-2)+5.5b^{8}+{\frac {a}{2b}}

という関数かんすうを考かんがえ、この関数かんすうに $a=77617.0,b=33096.0$ という値ねを与あたえて数値すうち計算けいさんをしたときにどういう結果けっかが得えられるか実験じっけんした。計算けいさん機きはIBMのメインフレームS/370を使用しようして、単精度たんせいど、倍精度ばいせいど、拡張かくちょう精度せいどで実験じっけんを行おこない、それぞれ

単精度たんせいど（10進しん約やく8桁けた）: $f(a,b)\sim 1.172603...$
倍精度ばいせいど（10進しん約やく17桁けた）: $f(a,b)\sim 1.1726039400531...$
拡張かくちょう精度せいど（10進しん約やく34桁けた）: $f(a,b)\sim 1.172603940053178...$

の結果けっかを得えた。この結果けっかを見みると、それぞれの精度せいどに応おうじて途中とちゅうの桁けたまで正ただしい値ねが得えられているように思おもえたが、実じつは真しんの値ねは $f(a,b)=-0.82739605...$ であり、真しんの値ねとは符号ふごうさえ合あわないような結果けっかが得えられていた。これは、「ある演算えんざん精度せいどで計算けいさんしてそれよりも高たかい演算えんざん精度せいどで計算けいさんしたときに双方そうほうの結果けっかが近ちかければある程度ていどは結果けっかの正ただしさを確認かくにんできる」とは限かぎらないことを示しめす例れいである^[2]^[7]。

幻影げんえい解かい

Breuer-Plum-McKennaはEmden方程式ほうていしきの境界きょうかい値ち問題もんだいをスペクトル法ほうによって離散りさん化かして解とき、非対称ひたいしょうな近似きんじ解かいが得えられると報告ほうこくした。しかしGidas-Ni-Nirenbergの理論りろん的てきな解析かいせき手法しゅほうによって非対称ひたいしょうな解かいが存在そんざいしないことが証明しょうめいされていた。つまりBreuer-Plum-McKennaが得えた近似きんじ解かいは離散りさん化か誤差ごさによる幻影げんえい解かいだったのだ。これは珍めずらしい例れいだが、微分びぶん方程式ほうていしきの解かいの存在そんざいを厳密げんみつに検討けんとうするには数値すうち解法かいほうによって得えられた近似きんじ解かいを検証けんしょうしなければいけないことが分わかる。

商用しょうようソフトウェアの限界げんかい

ローレンツ方程式ほうていしきを精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんとMATLABのode45（ODEソルバ）において最高さいこう精度せいどを指定していした場合ばあいで比較ひかくを行おこなうと、ある程度ていど時刻じこくが進すすむと得えられる解かいが違ちがってくるという実験じっけん例れいがある^[8]。

数値すうち計算けいさんの誤差ごさによる事故じこ

数値すうち計算けいさんの誤差ごさによって生しょうじた事故じことして次つぎの3つが挙あげられる。

湾岸わんがん戦争せんそうでのミサイル迎撃げいげき失敗しっぱい（1991年ねん）^[9]
アリアン5ロケットの発射はっしゃ失敗しっぱい（1996年ねん）^[10]
選挙せんきょ結果けっかの間違まちがい^[11]

主おもな研究けんきゅう分野ぶんや

精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんは主おもに以下いかの分野ぶんやに分わかれて研究けんきゅうがなされている^[2]^[12]。

数値すうち線形せんけい代数だいすう (en) における精度せいど保証ほしょう（行列ぎょうれつ積せき、連立れんりつ一いち次じ方程式ほうていしき、固有値こゆうち問題もんだいを扱あつかう^[13]）
初等しょとう関数かんすう、特殊とくしゅ関数かんすうの精度せいど保証ほしょう
数値すうち積分せきぶんの精度せいど保証ほしょう^[22]^[23]^[24]

（ガウス求もとめ積せき、二重指数関数型数値積分公式などの数値すうち積分せきぶん公式こうしきの誤差ごさ評価ひょうかを行おこなう）

非線形ひせんけい方程式ほうていしきの精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち解法かいほう（Newton-Kantorovichの定理ていり^[13]^[25]^[26]^[27]、Krawczyk法ほう^[27]、区間くかんニュートン法ほう^[26]^[27]、Durand-Kerner-Aberth法ほう^[13]^[26]に関かんする研究けんきゅうが含ふくまれる）
ODE・PDEの精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち解法かいほう（PDEでは有限ゆうげん要素ようそ法ほう、関数かんすう解析かいせきの知識ちしきを駆使くしする^[25]^[28]）
積分せきぶん方程式ほうていしきの精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち解法かいほう
線形せんけい計画けいかく法ほうの精度せいど保証ほしょう^[29]
計算けいさん幾何きか学がくにおける精度せいど保証ほしょう^[30]
HPC環境かんきょうにおける精度せいど保証ほしょう

「数値すうち線形せんけい代数だいすう」、「常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほう」、「偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほう」、「数値すうち積分せきぶん」、「計算けいさん幾何きか学がく」、および「高性能こうせいのう計算けいさん」も参照さんしょう

主おもな精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんライブラリ

INTLAB: MATLAB/GNU Octaveを使用しようするライブラリである^[31]。
- VERSOFT (MATLAB/INTLABで開発かいはつされたライブラリ)^[32]
- INTSOLVER (大域たいいき最適さいてき化か問題もんだいを解とくためのライブラリ、INTLABを使用しようして開発かいはつされた)^[33]
kv (C++によるライブラリである)^[34]
- kv - GitHub
Arb C言語げんごによるライブラリであり、様々さまざまな特殊とくしゅ関数かんすうの精度せいど保証ほしょうに対応たいおうしている^[35]。
- arb - GitHub
JuliaIntervals - GitHub (Juliaによるライブラリ)^[36]^[37]

その他た、様々さまざまなライブラリが開発かいはつされている^[38]^[39]。

^ 山本やまもと哲朗てつろうによって発案はつあんされた用語ようごである
^ ^a ^b ^c 大石おおいし、他た (2018)
^ 荒井あらい迅「精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの力学りきがく系けいへの応用おうようについて (力学りきがく系けいの研究けんきゅう : トポロジーと計算けいさん機きによる新しん展開てんかい RIMS研究けんきゅう集会しゅうかい報告ほうこく集しゅう)」『数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ講究こうきゅう録ろく』第だい1485号ごう、京都きょうと大学だいがく数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ、2006年ねん4月がつ、1-13頁ぺーじ、CRID 1050001202109463040、hdl:2433/58149、ISSN 18802818、NAID 110004541092。
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参考さんこう文献ぶんけん

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中尾なかお充宏みつひろ，渡部わたなべ善隆よしたか：「実例じつれいで学まなぶ精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん」、サイエンス社しゃ（SGCライブラリ 85）、（2011年ねん10月がつ25日にち）。

外部がいぶリンク

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解説かいせつ記事きじ

[1] 山本やまもと哲朗てつろうによって発案はつあんされた用語ようごである

[大石他2018-2] 大石おおいし、他た (2018)

[3] 荒井あらい迅「精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの力学りきがく系けいへの応用おうようについて (力学りきがく系けいの研究けんきゅう : トポロジーと計算けいさん機きによる新しん展開てんかい RIMS研究けんきゅう集会しゅうかい報告ほうこく集しゅう)」『数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ講究こうきゅう録ろく』第だい1485号ごう、京都きょうと大学だいがく数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ、2006年ねん4月がつ、1-13頁ぺーじ、CRID 1050001202109463040、hdl:2433/58149、ISSN 18802818、NAID 110004541092。

[4] 荒井あらい迅「精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの応用おうよう : カオス : 渾沌こんとんを殺ころさず七なな竅を鑿つために」『数学すうがくセミナー』第だい47巻かん第だい11号ごう、日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2008年ねん11月、31-35頁ぺーじ、CRID 1050001339005746048、hdl:2115/42701、ISSN 03864960、NAID 120001909638。

[5] D. Michelucci (2000), "Reliable computations for dynamic systems". Proc. SCAN 2000 / Interval 2000 — 9th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic, and Validated Numerics

[6] Kühn, Wolfgang (1998). “Rigorously computed orbits of dynamical systems without the wrapping effect”. Computing (Springer) 61: 47-67. doi:10.1007/BF02684450. https://doi.org/10.1007/BF02684450.

[7] Loh, E., & Walster, G. W. (2002). Rump's example revisited. Reliable Computing, 8(3), 245-248.

[8] 精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの必要ひつよう性せい

[9] “スカッドミサイルの追撃ついげき・阻止そしの失敗しっぱいによる兵舎へいしゃの被爆ひばく”. 失敗しっぱい知識ちしきデータベース. 特定とくてい非ひ営利えいり活動かつどう法人ほうじん失敗しっぱい学会がっかい (2018年ねん1月がつ30日にち). 2019年ねん4月がつ20日はつか閲覧えつらん。

[10] “アリアン5型がたロケットが制御せいぎょ不能ふのうで４０秒びょう後ごに爆発ばくはつ”. 失敗しっぱい知識ちしきデータベース. 特定とくてい非ひ営利えいり活動かつどう法人ほうじん失敗しっぱい学会がっかい (2018年ねん1月がつ30日にち). 2019年ねん4月がつ20日はつか閲覧えつらん。

[11] Rounding error changes Parliament makeup

[12] 大石おおいし進一しんいち：「精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん」、コロナ社しゃ、（1999年ねん）

[Yamamoto1-13] 山本やまもと哲朗てつろう『数値すうち解析かいせき入門にゅうもん』（増ぞう訂てい版ばん）サイエンス社しゃ〈サイエンスライブラリ現代げんだい数学すうがくへの入門にゅうもん 14〉、2003年ねん6月がつ。ISBN 4-7819-1038-6。

[14] ガンマ関数かんすうの精度せいど保証ほしょう付つき計算けいさんメモ (PDF)

[15] Yamanaka, N., Okayama, T., & Oishi, S. I. (2015, November). Verified Error Bounds for the Real Gamma Function Using Double Exponential Formula over Semi-infinite Interval. In International Conference on Mathematical Aspects of Computer and Information Sciences (pp. 224-228). Springer, Cham.

[16] Rump, S. M. (2014). Verified sharp bounds for the real gamma function over the entire floating-point range. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, 5(3), 339-348.

[17] 大石おおいし進一しんいち(2008): 電子でんし情報じょうほう通信つうしん学会がっかい技術ぎじゅつ研究けんきゅう報告ほうこく. NLP, 非線形ひせんけい問題もんだい, 108, 55-57.

[18] N. Yamamoto and N. Matsuda (2005): Trans. Jap. Soc. Indust. Appl. Math., 15, 347-359.

[19] Johansson, F. (2019). Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic Integrals and Modular Forms. In Elliptic Integrals, Elliptic Functions and Modular Forms in Quantum Field Theory (pp. 269-293). Springer, Cham.

[20] Johansson, F. (2019). Computing Hypergeometric Functions Rigorously. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 45(3), 30.

[21] Johansson, F. (2015). Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives. Numerical Algorithms, 69(2), 253-270.

[22] Johansson, F. (2017). Arb: efficient arbitrary-precision midpoint-radius interval arithmetic. IEEE Transactions on Computers, 66(8), 1281-1292.

[23] Johansson, F. (2018, July). Numerical integration in arbitrary-precision ball arithmetic. In International Congress on Mathematical Software (pp. 255-263). Springer, Cham.

[24] Johansson, F., & Mezzarobba, M. (2018). Fast and Rigorous Arbitrary-Precision Computation of Gauss--Legendre Quadrature Nodes and Weights. en:SIAM Journal on Scientific Computing, 40(6), C726-C747.

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[takayasu-27] 非線形ひせんけい方程式ほうていしきに対たいする解かいの精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん (PDF)

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[29] Oishi, S., & Tanabe, K. (2009). Numerical Inclusion of Optimum Point for Linear Programming. JSIAM Letters, 1, 5-8.

[30] 尾崎おざき克久かつひさ「誤あやまらない計算けいさん幾何きか学がくアルゴリズム」『数学すうがくセミナー』第だい47巻かん第だい11号ごう、東京とうきょう : 日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2008年ねん11月、36-39頁ぺーじ、CRID 1523951030398658176、ISSN 03864960。

[31] S.M. Rump: INTLAB - INTerval LABoratory. In Tibor Csendes, editor, Developments in Reliable Computing, pages 77-104. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999.

[32] Rohn, J. (2009). VERSOFT: verification software in MATLAB/INTLAB.

[33] Montanher, T. M. (2009). Intsolver: An interval based toolbox for global optimization. Version 1.0.

[34] Overview of kv – a C++ library for verified numerical computation, Masahide Kashiwagi, SCAN 2018.

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[36] Sanders, D. P., Benet, L., & Kryukov, N. (2016). The julia package ValidatedNumerics. jl and its application to the rigorous characterization of open billiard models. SCAN 2016, 124.

[37] ValidatedNumerics.jl: a new framework in Julia, David P. Sanders and Luis Benet, SCAN 2018.

[38] Interval and Verified Software

[39] 松田まつだ望のぞむ『中心ちゅうしん値ち・半径はんけい方式ほうしきによる精度せいど保証ほしょう付つき多倍たばい長ちょう区間くかん演算えんざんライブラリの開発かいはつ』電気通信大学でんきつうしんだいがく〈博士はかせ（工学こうがく）甲かぶと第だい851号ごう〉、2016年ねん。 NAID 500000971971。

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表ひょう話はなし編へん歴れき数学すうがく
主要しゅよう分野ぶんや	数理すうり論ろん理学りがく集合しゅうごう論ろん圏けん論ろん代数だいすう学がく初等しょとう線型せんけい多重たじゅう線型せんけい抽象ちゅうしょう算術さんじゅつ/数かず論ろん解析かいせき学がく/微分びぶん積分せきぶん学がく関数かんすう解析かいせき学がく行列ぎょうれつ解析かいせき幾何きか学がく代数だいすう微分びぶん有限ゆうげん離散りさん位相いそう代数だいすう的てき位相いそう表現ひょうげん論ろんリー理論りろん（英語えいご版ばん）微分びぶん方程式ほうていしき線型せんけい微分びぶん方程式ほうていしき複素ふくそ微分びぶん方程式ほうていしき常微分じょうびぶん方程式ほうていしき偏へん微分びぶん方程式ほうていしき積分せきぶん微分びぶん方程式ほうていしき力学りきがく系けい組合くみあわせ数学すうがく数理すうり物理ぶつり学がくゲーム理論りろんグラフ理論りろん最適さいてき化か問題もんだい数理すうり最適さいてき化か計算けいさん理論りろん確率かくりつ論ろん数理すうり統計とうけい学がく（英語えいご版ばん）制御せいぎょ理論りろん三角さんかく法ほう
トピックス	数学すうがく史し和算わさん算さん道どう数理すうり哲学てつがく美よし未み解決かいけつ問題もんだい算数さんすう・数学すうがく教育きょういく算数さんすう教科きょうか
賞しょう	ボッチャー記念きねん賞しょうコール賞しょうフィールズ賞しょうヴェブレン賞しょうサレム賞しょうスティール賞しょうウルフ賞しょうクラフォード賞しょうクレイ研究けんきゅう賞しょうガウス賞しょうアーベル賞しょうラマヌジャン賞しょう SASTRAラマヌジャン賞しょうチャーン賞しょう数学すうがくブレイクスルー賞しょう
応用おうよう	情報じょうほう理論りろん折紙おりがみの数学すうがく囲碁いごと数学すうがく数値すうち解析かいせき精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん計算けいさん機き援用えんよう証明しょうめい数値すうち線形せんけい代数だいすう常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほう偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほう
学会がっかい・団体だんたい	国際こくさい数すう学者がくしゃ会議かいぎ国際こくさい数学すうがく連合れんごう国際こくさい産業さんぎょう数理すうり・応用おうよう数理すうり会議かいぎ国際こくさい産業さんぎょう数理すうり・応用おうよう数理すうり評議ひょうぎ会かい（英語えいご版ばん）アメリカ数すう学会がっかい SIAM ヨーロッパ数すう学会がっかいロンドン数すう学会がっかい日本にっぽん応用おうよう数理すうり学会がっかい日本にっぽん数すう学会がっかい数学すうがく教育きょういく協議きょうぎ会かい
競技きょうぎ	国際こくさい数学すうがくオリンピック日本にっぽん数学すうがくオリンピック日本にっぽんジュニア数学すうがくオリンピック広中ひろなか杯はい近畿大学きんきだいがく数学すうがくコンテスト人ひとの最大さいだいの力ちからを競きそう算数さんすう・数学すうがくの大会たいかい
研究所けんきゅうじょ	京都大学きょうとだいがく数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ明治大学めいじだいがく先端せんたん数理すうり科学かがくインスティテュート統計数理研究所とうけいすうりけんきゅうしょアンリ・ポアンカレ研究所けんきゅうじょオーバーヴォルファッハ数学すうがく研究所けんきゅうじょクレイ研究所けんきゅうじょ CIMAT数学すうがく研究けんきゅうセンターステクロフ数学すうがく研究所けんきゅうじょ
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集合しゅうごう / 部分ぶぶん集合しゅうごうのタイプ	均衡きんこう星ほし状じょう絶対ぜったい凸とつ凸とつ併呑へいどん有界ゆうかい（英語えいご版ばん）放射状ほうしゃじょう（英語えいご版ばん）対称たいしょう（英語えいご版ばん）線型せんけい錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）凸とつ錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）
線型せんけい位相いそう空間くうかんのタイプ	バナッハ樽たる型がた界さかい相しょう Brauner（英語えいご版ばん） F-空間くうかん有限ゆうげん次元じげんフレシェ (tame) ヒルベルト LF空間くうかん局所きょくしょ凸とつマッキー（英語えいご版ばん）モンテル核かく型がたノルム付つき（ノルム）準じゅんノルム付つき回帰かいき的てきリーススミス（英語えいご版ばん） Stereotype（英語えいご版ばん）ウェブ付つき位相いそうテンソル積せき（英語えいご版ばん）（ヒルベルト空間くうかんの（英語えいご版ばん））
位相いそう	双対そうつい双対そうつい空間くうかん作用素さようそ強つよ（極ごく作用素さようそ） Ultrastrong（英語えいご版ばん）弱じゃく（作用素さようそ） Ultraweak（英語えいご版ばん）一様いちよう収束しゅうそく（英語えいご版ばん）
線型せんけい作用素さようそ	随伴ずいはん双そう線型せんけい（形式けいしき）有界ゆうかい / 非ひ有界ゆうかい閉（英語えいご版ばん）連続れんぞく / 不連続ふれんぞくコンパクトフレドホルムヒルベルト＝シュミット汎ひろし関数かんすう（正ただし（英語えいご版ばん））正規せいき核かく自己じこ共役きょうやく Strictly singular（英語えいご版ばん）トレースクラス転置てんちユニタリ
集合しゅうごうの操作そうさ	代数だいすう的てき内部ないぶ（核かく）内部ないぶミンコフスキー和わ（英語えいご版ばん）極ごく
バナッハ環たまき	C-環たまきスペクトル（C-環たまき（英語えいご版ばん）半径はんけい) スペクトル理論りろん
定理ていり	Eberlein–Šmulian（英語えいご版ばん）開ひらけ写像しゃぞう角谷かどやの不動点ふどうてんゲルファント＝マズールコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしき Goldstine（英語えいご版ばん）シャウダーの不動点ふどうてんパーセヴァルの等式とうしきハーン–バナッハ（分離ぶんり超ちょう平面へいめん）バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語えいご版ばん） Banach–Mazur（英語えいご版ばん）フロイデンタールのスペクトル閉値域ちいき閉グラフベッセルの不等式ふとうしきマッキー＝アレンスマズールの補題ほだいリースの拡張かくちょう Lomonosov's invariant subspace（英語えいご版ばん）ニュートン＝カントロビッチ
解析かいせき	ボホナー空間くうかんフレシェ空間くうかんにおける微分びぶん（英語えいご版ばん）微分びぶん（フレシェガトー汎ひろし函数かんすう holomorphic（英語えいご版ばん））積分せきぶん（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス方正ほうせい弱じゃく) 汎ひろし函数かんすう計算けいさん（Borel（英語えいご版ばん） continuous（英語えいご版ばん） holomorphic（英語えいご版ばん））逆ぎゃく函数かんすう定理ていり（Nash–Moser theorem（英語えいご版ばん））ベクトル測度そくど
応用おうよう	量子力学りょうしりきがくの数学すうがく的てき定式ていしき化か有限ゆうげん要素ようそ法ほう偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいに対たいする精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん
日本人にっぽんじん研究けんきゅう者しゃ	加藤かとう敏夫としお吉田よしだ耕作こうさく藤田ふじた宏ひろし増田ますだ久弥ひさや
海外かいがいの研究けんきゅう者しゃ	リース・フリジェシュステファン・バナフダフィット・ヒルベルトイズライル・ゲルファントピーター・ラックス
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