関数かんすう解析かいせき学がく

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関数かんすう解析かいせき学がく（かんすうかいせきがく、英えい: functional analysis、仏ふつ: Analyse fonctionnelle、函数かんすう解析かいせき学がくとも書かかれる。別名べつめいは位相いそう解析かいせき学がく。）は数学すうがく（特とくに解析かいせき学がく）の一いち分野ぶんやで、フーリエ変換へんかんや微分びぶん方程式ほうていしき、積分せきぶん方程式ほうていしきなどの研究けんきゅうに端はしを発はっしている^[1]^[2]^[3]^[4]。特定とくていのクラスの関数かんすうからなるベクトル空間くうかんにある種しゅの位相いそう構造こうぞうを定さだめた関数かんすう空間くうかんや、その公理こうり化かによって得えられる線形せんけい位相いそう空間くうかんの構造こうぞうが研究けんきゅうされる^[1]^[2]^[3]^[4]。主おもな興味きょうみの対象たいしょうは、様々さまざまな関数かんすう空間くうかん上うえで積分せきぶんや微分びぶんによって定義ていぎされる線型せんけい作用素さようその振ふる舞まいを通つうじた積分せきぶん方程式ほうていしきや微分びぶん方程式ほうていしきの線型せんけい代数だいすう学がく的てき取とり扱あつかいであり、無限むげん次元じげんベクトル空間くうかん上うえの線型せんけい代数だいすう学がくと捉とらえられることも多おおい^[1]^[2]^[3]。また、無限むげん次元じげん空間くうかん上じょうでの微分びぶん (フレシェ微分びぶんなど) を扱あつかうため、無限むげん次元じげん空間くうかん上じょうでの微分びぶん積分せきぶん学がくという捉とらえ方かたも可能かのうである^[4]。

応用おうよう[編集へんしゅう]

関数かんすう解析かいせきの中なかでも特とくにヒルベルト空間くうかん論ろんは量子力学りょうしりきがくの数学すうがく的てき基礎きそである^[5]^[6]。また、コンピュータが高度こうどに発達はったつした現代げんだいにおいては数値すうち解析かいせき（特とくに有限ゆうげん要素ようそ法ほう、精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん）において微分びぶん方程式ほうていしきの解かいの存在そんざいを議論ぎろんするためなどに使つかわれる他ほか^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]、機械きかい学習がくしゅうにも応用おうようされる^[12]。

「有限ゆうげん要素ようそ法ほう」および「精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん」も参照さんしょう

主おもな研究けんきゅう者しゃ[編集へんしゅう]

海外かいがい[編集へんしゅう]

日本にっぽん[編集へんしゅう]

^ ^a ^b ^c Functional analysis at nLab
^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html
^ ^a ^b ^c Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics
^ ^a ^b ^c 関数かんすう解析かいせきの基礎きそ- $\infty$ 次元じげんの微積分びせきぶん-, 堀内ほりうち利郎としろう & 下村しもむら勝かつ孝たかし, 内田うちだ老ろう鶴づる圃.
^ 新井あらい朝雄あさお, 関数かんすう解析かいせき学がくと量子りょうし物理ぶつり学がく
^ 原はら隆たかし, 数学すうがく者しゃのための量子力学りょうしりきがく入門にゅうもん
^ 大石おおいし進一しんいち et. al. (2018), 精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの基礎きそ, コロナ社しゃ.
^ 中尾なかお充宏みつひろ, & 山本やまもと野人やじん. (1998). 精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんチュートリアル: 応用おうよう数理すうり最前線さいぜんせん.
^ 中尾なかお充宏みつひろ, & 渡部わたなべ善隆よしたか. (2011). 実例じつれいで学まなぶ精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん, サイエンス社しゃ.
^ Nakao, Mitsuhiro T; Plum, Michael; Watanabe, Yoshitaka (2019). Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations. Springer. doi:10.1007/978-981-13-7669-6
^ 桂田かつらだ祐史ゆうじ、Poisson方程式ほうていしきに対たいする有限ゆうげん要素ようそ法ほうの解析かいせき超ちょう特急とっきゅう
^ Sam Power, Functional Analysis meets Deep Learning.

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

洋書ようしょ[編集へんしゅう]

英語えいご[編集へんしゅう]

Kantorovich, L. V., & Akilov, G. P. (1982). Functional Analysis en:Pergamon Press. University of Michigan.
Yosida, K. (1995). Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg.
Brezis, H. (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. en:Springer Science & Business Media.
Adams, R. A., & Fournier, J. J. (2003). Sobolev Spaces. Elsevier.
Deimling, K. (2010). Nonlinear functional analysis. Courier Corporation.
Berger, M. S. (1977). Nonlinearity and functional analysis: lectures on nonlinear problems in mathematical analysis. en:Academic Press.
Schwartz, J. T., Schwartz, L., & Karcher, H. (1969). Nonlinear functional analysis. en:CRC Press.
Zeidler, E., Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I-V. en:Springer Science & Business Media.
Zeidler, E. (2012). Applied functional analysis: main principles and their applications. en:Springer Science & Business Media.
Zeidler, E. (2012). Applied functional analysis: applications to mathematical physics. en:Springer Science & Business Media.
Collatz, L. (2014). Functional analysis and numerical mathematics. en:Academic Press.
Computational Functional Analysis 2nd Edition, Ramon Moore & Michael Cloud (2007), Woodhead Publishing.
Lebedev, V. I. (2000). Functional analysis and computational mathematics. Moscow: Fizmatlit.

フランス語ふらんすご[編集へんしゅう]

en:Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Dunod, 2005.

和書わしょ[編集へんしゅう]

増田ますだ久弥ひさや, 関数かんすう解析かいせき, 裳も華はな房ぼう.
復刊ふっかん位相いそう解析かいせき―理論りろんと応用おうようへの入門にゅうもん、加藤かとう敏夫としお、共立きょうりつ出版しゅっぱん。
位相いそう解析かいせきの基礎きそ, 吉田よしだ耕作こうさく, 河田かわた敬義たかよし, 岩村いわむら聯れん, 岩波書店いわなみしょてん.
関数かんすう解析かいせき―その理論りろんと応用おうように向むけて, 藤田ふじた宏ひろし, 小西こにし芳雄よしお, Brezis H., 産業さんぎょう図書としょ.
藤田ふじた宏ひろし、理解りかいから応用おうようへの関数かんすう解析かいせき、岩波書店いわなみしょてん。
藤田ふじた宏ひろし、黒田くろだ成俊なりとし、伊藤いとう清三せいぞう、関数かんすう解析かいせき、岩波書店いわなみしょてん。
黒田くろだ成俊なりとし、関数かんすう解析かいせき、共立きょうりつ出版しゅっぱん。

解説かいせつ記事きじ[編集へんしゅう]

吉田よしだ耕作こうさく. (1982). 函数かんすう解析かいせき 50 年ねん. 数学すうがく, 34(4), 354-364.

数値すうち解析かいせきとの関係かんけいを解説かいせつする文献ぶんけん[編集へんしゅう]

大石おおいし進一しんいち (1997), 非線形ひせんけい解析かいせき入門にゅうもん, コロナ社しゃ. （PDEの解かいに対たいする精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんで用もちいる関数かんすう解析かいせきの知識ちしきを詳述しょうじゅつしている）
鈴木すずき千里せんり、数値すうち関数かんすう解析かいせきの基礎きそ、森北もりきた出版しゅっぱん。

外部がいぶリンク[編集へんしゅう]

「関数かんすう解析かいせき学がく」の講義こうぎノートPDF（Functional Analysis）入門にゅうもん用ようの教科書きょうかしょ

この項目こうもくは、解析かいせき学がくに関連かんれんした書かきかけの項目こうもくです。この項目こうもくを加筆かひつ・訂正ていせいなどしてくださる協力きょうりょく者しゃを求もとめています（プロジェクト:数学すうがく／Portal:数学すうがく）。

[nlab-1] Functional analysis at nLab

[world-2] Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html

[em-3] Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics

[infty-4] 関数かんすう解析かいせきの基礎きそ- $\infty$ 次元じげんの微積分びせきぶん-, 堀内ほりうち利郎としろう & 下村しもむら勝かつ孝たかし, 内田うちだ老ろう鶴づる圃.

[5] 新井あらい朝雄あさお, 関数かんすう解析かいせき学がくと量子りょうし物理ぶつり学がく

[6] 原はら隆たかし, 数学すうがく者しゃのための量子力学りょうしりきがく入門にゅうもん

[7] 大石おおいし進一しんいち et. al. (2018), 精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの基礎きそ, コロナ社しゃ.

[8] 中尾なかお充宏みつひろ, & 山本やまもと野人やじん. (1998). 精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんチュートリアル: 応用おうよう数理すうり最前線さいぜんせん.

[9] 中尾なかお充宏みつひろ, & 渡部わたなべ善隆よしたか. (2011). 実例じつれいで学まなぶ精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん, サイエンス社しゃ.

[10] Nakao, Mitsuhiro T; Plum, Michael; Watanabe, Yoshitaka (2019). Numerical verification methods and computer-assisted proofs for partial differential equations. Springer. doi:10.1007/978-981-13-7669-6

[11] 桂田かつらだ祐史ゆうじ、Poisson方程式ほうていしきに対たいする有限ゆうげん要素ようそ法ほうの解析かいせき超ちょう特急とっきゅう

[12] Sam Power, Functional Analysis meets Deep Learning.

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表ひょう話はなし編へん歴れき数学すうがく
主要しゅよう分野ぶんや	数理すうり論ろん理学りがく集合しゅうごう論ろん圏けん論ろん代数だいすう学がく初等しょとう線型せんけい多重たじゅう線型せんけい抽象ちゅうしょう算術さんじゅつ/数かず論ろん解析かいせき学がく/微分びぶん積分せきぶん学がく関数かんすう解析かいせき学がく行列ぎょうれつ解析かいせき幾何きか学がく代数だいすう微分びぶん有限ゆうげん離散りさん位相いそう代数だいすう的てき位相いそう表現ひょうげん論ろんリー理論りろん（英語えいご版ばん）微分びぶん方程式ほうていしき線型せんけい微分びぶん方程式ほうていしき複素ふくそ微分びぶん方程式ほうていしき常微分じょうびぶん方程式ほうていしき偏へん微分びぶん方程式ほうていしき積分せきぶん微分びぶん方程式ほうていしき力学りきがく系けい組合くみあわせ数学すうがく数理すうり物理ぶつり学がくゲーム理論りろんグラフ理論りろん最適さいてき化か問題もんだい数理すうり最適さいてき化か計算けいさん理論りろん確率かくりつ論ろん数理すうり統計とうけい学がく（英語えいご版ばん）制御せいぎょ理論りろん三角さんかく法ほう
トピックス	数学すうがく史し和算わさん算さん道どう数理すうり哲学てつがく美よし未み解決かいけつ問題もんだい算数さんすう・数学すうがく教育きょういく算数さんすう教科きょうか
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学会がっかい・団体だんたい	国際こくさい数すう学者がくしゃ会議かいぎ国際こくさい数学すうがく連合れんごう国際こくさい産業さんぎょう数理すうり・応用おうよう数理すうり会議かいぎ国際こくさい産業さんぎょう数理すうり・応用おうよう数理すうり評議ひょうぎ会かい（英語えいご版ばん）アメリカ数すう学会がっかい SIAM ヨーロッパ数すう学会がっかいロンドン数すう学会がっかい日本にっぽん応用おうよう数理すうり学会がっかい日本にっぽん数すう学会がっかい数学すうがく教育きょういく協議きょうぎ会かい
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表ひょう話はなし編へん歴れき関数かんすう解析かいせき学がく
集合しゅうごう / 部分ぶぶん集合しゅうごうのタイプ	均衡きんこう星ほし状じょう絶対ぜったい凸とつ凸とつ併呑へいどん有界ゆうかい（英語えいご版ばん）放射状ほうしゃじょう（英語えいご版ばん）対称たいしょう（英語えいご版ばん）線型せんけい錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）凸とつ錐きり（部分ぶぶん集合しゅうごう）
線型せんけい位相いそう空間くうかんのタイプ	バナッハ樽たる型がた界さかい相しょう Brauner（英語えいご版ばん） F-空間くうかん有限ゆうげん次元じげんフレシェ (tame) ヒルベルト LF空間くうかん局所きょくしょ凸とつマッキー（英語えいご版ばん）モンテル核かく型がたノルム付つき（ノルム）準じゅんノルム付つき回帰かいき的てきリーススミス（英語えいご版ばん） Stereotype（英語えいご版ばん）ウェブ付つき位相いそうテンソル積せき（英語えいご版ばん）（ヒルベルト空間くうかんの（英語えいご版ばん））
位相いそう	双対そうつい双対そうつい空間くうかん作用素さようそ強つよ（極ごく作用素さようそ） Ultrastrong（英語えいご版ばん）弱じゃく（作用素さようそ） Ultraweak（英語えいご版ばん）一様いちよう収束しゅうそく（英語えいご版ばん）
線型せんけい作用素さようそ	随伴ずいはん双そう線型せんけい（形式けいしき）有界ゆうかい / 非ひ有界ゆうかい閉（英語えいご版ばん）連続れんぞく / 不連続ふれんぞくコンパクトフレドホルムヒルベルト＝シュミット汎ひろし関数かんすう（正ただし（英語えいご版ばん））正規せいき核かく自己じこ共役きょうやく Strictly singular（英語えいご版ばん）トレースクラス転置てんちユニタリ
集合しゅうごうの操作そうさ	代数だいすう的てき内部ないぶ（核かく）内部ないぶミンコフスキー和わ（英語えいご版ばん）極ごく
バナッハ環たまき	C-環たまきスペクトル（C-環たまき（英語えいご版ばん）半径はんけい) スペクトル理論りろん
定理ていり	Eberlein–Šmulian（英語えいご版ばん）開ひらけ写像しゃぞう角谷かどやの不動点ふどうてんゲルファント＝マズールコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしき Goldstine（英語えいご版ばん）シャウダーの不動点ふどうてんパーセヴァルの等式とうしきハーン–バナッハ（分離ぶんり超ちょう平面へいめん）バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語えいご版ばん） Banach–Mazur（英語えいご版ばん）フロイデンタールのスペクトル閉値域ちいき閉グラフベッセルの不等式ふとうしきマッキー＝アレンスマズールの補題ほだいリースの拡張かくちょう Lomonosov's invariant subspace（英語えいご版ばん）ニュートン＝カントロビッチ
解析かいせき	ボホナー空間くうかんフレシェ空間くうかんにおける微分びぶん（英語えいご版ばん）微分びぶん（フレシェガトー汎ひろし函数かんすう holomorphic（英語えいご版ばん））積分せきぶん（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス方正ほうせい弱じゃく) 汎ひろし函数かんすう計算けいさん（Borel（英語えいご版ばん） continuous（英語えいご版ばん） holomorphic（英語えいご版ばん））逆ぎゃく函数かんすう定理ていり（Nash–Moser theorem（英語えいご版ばん））ベクトル測度そくど
応用おうよう	量子力学りょうしりきがくの数学すうがく的てき定式ていしき化か有限ゆうげん要素ようそ法ほう偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいに対たいする精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさん
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微分びぶん積分せきぶん学がく: 積分せきぶん法ほう微分びぶん法ほう微分びぶん方程式ほうていしき (常つね - 偏へん) 基本きほん定理ていり変へん分ぶん法ほうベクトル解析かいせきテンソル解析かいせき積分せきぶん一覧いちらん導しるべ関数かんすう一覧いちらん（英語えいご版ばん）
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