常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

常微分じょうびぶん方程式ほうていしき（じょうびぶんほうていしき、英えい: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分びぶん方程式ほうていしきの一種いっしゅで、未知みち関数かんすうが本質ほんしつ的てきにただ一ひとつの変数へんすうを持もつものである場合ばあいをいう。すなわち、変数へんすう t の未知みち関数かんすう x(t) に対たいして、（既知きちの）関数かんすう F を用もちいて

$F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right)$

という形かたちにできるような関数かんすう方程式ほうていしきを常微分じょうびぶん方程式ほうていしきと呼よぶ。x^(k)(t) は未知みち関数かんすう x(t) の k 階かいの導しるべ関数かんすうである。未知みち関数かんすうが単独たんどくでない場合ばあいには、関数かんすうの組くみをベクトルの記法きほうを用もちいて表あらわせば次つぎのようになる。

${\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).$

ここで F, x は

${\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right),\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}$

を表あらわす。この方程式ほうていしき系けいはしばしば連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきと呼よばれる。

また、多おおくの n 階かい常微分じょうびぶん方程式ほうていしきは次つぎのような形かたちに書かくことができる。

$x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).$

常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの理論りろんおよびその研究けんきゅうを微分びぶん方程式ほうていしき論ろんという。あるいはまた関数かんすう方程式ほうていしき論ろんの名なで微分びぶん方程式ほうていしき論ろんを指さすこともある。

線型せんけい常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

「線形せんけい微分びぶん方程式ほうていしき」も参照さんしょう

常微分じょうびぶん方程式ほうていしきが

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)$

の形かたちに表あらわされるとき線型せんけいであるという。ただし、a_k(t) および b(t) はt を変数へんすうとする既知きちの関数かんすうである。b(t) = 0 の方程式ほうていしきは特とくに斉ひとし次つぎ (homogeneous) な方程式ほうていしきと呼よばれ、そうでない方程式ほうていしきは非ひ斉ひとし次じ (inhomogeneous) な方程式ほうていしきと呼よばれる。

非ひ線型せんけい常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

線型せんけいでない常微分じょうびぶん方程式ほうていしきは非ひ線型せんけいであると言いわれる。非ひ線型せんけい方程式ほうていしきの解かいは一般いっぱんに、線型せんけい方程式ほうていしきのそれに比くらべて複雑ふくざつな様相ようそうを呈ていする。そのような例れいとして、ローレンツ方程式ほうていしきやパンルヴェ方程式ほうていしきなどがある。一方いっぽう、求もとめ積せき法ほうで解とける形かたちの非ひ線型せんけい方程式ほうていしきも数多かずおおく知しられている。 以下いかに例れいを挙あげておく 。

1階かい非ひ線型せんけい常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

$y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.$

$y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.$

ここに、n は実数じっすうであり、f(·) は既知きち関数かんすうである。

${\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).$　 m, n は実数じっすう，ただし，m ≠ 0，f は既知きち関数かんすう。

${\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).$　 A(x)，F は既知きち関数かんすう。

${\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.$　 A(x )，B(x )，F は，いずれも既知きち関数かんすう。

2階かい非ひ線型せんけい常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

$y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.$

$y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).$

上記じょうきの P(x) と f(·) は既知きち関数かんすうとする。

$y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.$　 n は実数じっすう，ただし，n ≠ 2，f は既知きち関数かんすう。

$x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.$　 f(y) は既知きち関数かんすう。

$x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.$　　αあるふぁ, γがんま, n は実数じっすう．ただし，n ≠ −1。

${\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).$　　f (·) は既知きち関数かんすう。$\alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m$ は実数じっすう．ただし，$\gamma \ell -\beta {m}=0$。

連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしき

連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしき（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立どくりつ変数へんすう t と複数ふくすうの未知みち関数かんすう x₁(t),..., x_n(t) およびその導しるべ関数かんすうにより構成こうせいされる複数ふくすうの方程式ほうていしきの組くみである。例たとえば、比較的ひかくてき簡単かんたんな例れいとして、t の 2 つの未知みち関数かんすうを x₁(t), x₂(t) とする。それらの一いち階かいの導しるべ関数かんすうを x'₁(t), x'₂(t) として、

$F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,$

$G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0$

は一ひとつの連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきである。ただし、F, G は既知きち関数かんすうである。

一般いっぱんの連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきは、1 つの独立どくりつ変数へんすうと m 個この未知みち関数かんすうおよびその n 階かいの導しるべ関数かんすうを含ふくみ、複数個ふくすうこの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの組くみになる。

$F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.$

ここで x_i^(j)(t) は、未知みち関数かんすう x_i(t) の j 階かいの導しるべ関数かんすうである (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。 なお、連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきを常微分じょうびぶん方程式ほうていしき系けい（system of ordinary differential equations）と呼よぶこともある。 これら r 個この常微分じょうびぶん方程式ほうていしきすべてを満足まんぞくする関数かんすうの組くみ x₁(t),..., x_m(t) をその解かいという。

具体ぐたい的てきな例れいを一ひとつ示しめす。独立どくりつ変数へんすう x の未知みち関数かんすうを y, z とし、a, b, c, d を定数ていすうとすると、

${\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,$

${\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d$

は、一いち階かいの連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの例れいである。一般いっぱん的てきな連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきは、求もとめ積せき法ほうで解とくのは困難こんなんであるが、一般いっぱん性せいを含ふくむ連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの例れいとして、求もとめ積せき法ほうで解とける連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきが多少たしょう知しられている。 一いち例れいを挙あげておく。

${\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}$

x は独立どくりつ変数へんすうであり、y, z, w は x を変数へんすうとする未知みち関数かんすうである。また、F, G, H を既知きち関数かんすうとする。

関連かんれん文献ぶんけん

和書わしょ

• 藤原ふじわら松三郎まつさぶろう.(1930), 常微分じょうびぶん方程式ほうていしき論ろん.岩波書店いわなみしょてん．
  • 『常微分じょうびぶん方程式ほうていしき論ろん』(1930)藤原ふじわら松三郎まつさぶろう著ちょの現代げんだい仮名遣かなづかい版ばん
• 吉江よしえ琢みがく児じ.(1947), 微分びぶん方程式ほうていしき論ろん. 共立きょうりつ出版しゅっぱん.
• フォーサイス 著ちょ,粟野あわの保たもつ, 末岡すえおか清きよし市し, 石津いしづ武彦たけひこ 共ども訳やく. (1947), 微分びぶん方程式ほうていしき 上巻じょうかん. 朝倉書店あさくらしょてん.
• 坂井さかい秀隆ひでたか. (2015). 常微分じょうびぶん方程式ほうていしき. 東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい.
• 大谷おおや光春みつはる. (2011). 常微分じょうびぶん方程式ほうていしき論ろん. サイエンス社しゃ.
• 福原ふくはら満みつる洲しま雄つよし「常微分じょうびぶん方程式ほうていしき 第だい2版はん」岩波いわなみ全書ぜんしょ. 岩波書店いわなみしょてん.
• 常微分じょうびぶん方程式ほうていしき, 朝倉書店あさくらしょてん, 高野たかの恭一きょういち.
• 常微分じょうびぶん方程式ほうていしきと解析かいせき力学りきがく, 木村きむら俊しゅん房ぼう・飯高いいたか茂しげる・西川にしかわ青あお季き・岡本おかもと和夫かずお・楠岡くすおか成雄しげお (編集へんしゅう) 伊藤いとう秀一ひでかず著ちょ, 共立きょうりつ講座こうざ 21世紀せいきの数学すうがく 第だい11巻かんISBN 978-4-320-01563-0, 1998年ねん01月がつ, 共立きょうりつ出版しゅっぱん.
• ウイルス感染かんせんと常微分じょうびぶん方程式ほうていしき, 岩見いわみ真しん吾われ, 佐藤さとう佳けい, 竹内たけうち康博やすひろ 著ちょ（シリーズ: 現象げんしょうを解明かいめいする数学すうがく / 三村みつむら昌あきら泰やすし, 竹内たけうち康博やすひろ, 森田もりた善久よしひさ 編集へんしゅう）共立きょうりつ出版しゅっぱん, 2017.4
• 常微分じょうびぶん方程式ほうていしき 新版しんぱん, レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン/千葉ちば克裕かつひろ 共立きょうりつ出版しゅっぱん 1981年ねん02月がつ
• 常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの局所きょくしょ漸近ぜんきん解析かいせき, 柴田しばた正和まさかず 森北もりきた出版しゅっぱん 2010年ねん08月がつ

洋書ようしょ

• Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: en:Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• Grimshaw, R. (2017). Nonlinear ordinary differential equations. Routledge.
• Arnolʹd, V. I., Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
• Arnolʹd, V. I., Ordinary differential equations. Springer.
• Wolfgang Walter, Ordinary differential equations. Springer.
• Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control. Springer.
• Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods, Springer India.
• Chicone, C. (2006). Ordinary differential equations with applications. Springer Science & Business Media.

関連かんれん項目こうもく

• 媒介ばいかい変数へんすう
• 変数へんすう分離ぶんり
• 求もとめ積せき法ほう
• 複雑ふくざつ系けい

方程式ほうていしき

• パンルヴェ方程式ほうていしき
• リッカチ方程式ほうていしき
• フックス型がた微分びぶん方程式ほうていしき
• ガウスの微分びぶん方程式ほうていしき
• ベッセル関数かんすう
• ルジャンドルの微分びぶん方程式ほうていしき
• 微分びぶん方程式ほうていしき
• 線型せんけい微分びぶん方程式ほうていしき
• 複素ふくそ微分びぶん方程式ほうていしき
• 偏へん微分びぶん方程式ほうていしき

数値すうち計算けいさん

• NAG数値すうち計算けいさんライブラリ
• 硬かたい方程式ほうていしき
• 常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの数値すうち解法かいほう
  • ルンゲ・クッタ法ほう
  • 線型せんけい多段ただん法ほう
  • 狙ねらい撃うち法ほう