特性とくせい曲線きょくせん法ほう

数学すうがくにおいて特性とくせい曲線きょくせん法ほう（とくせいきょくせんほう、英えい: method of characteristics）とは、偏へん微分びぶん方程式ほうていしきに対たいする一ひとつの解法かいほうである。一般いっぱんには一いち階かい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきに対たいして適用てきようされるが、任意にんいの双そう曲きょく型がた偏へん微分びぶん方程式ほうていしきに対たいするより一般いっぱんの特性とくせい曲線きょくせん法ほうも存在そんざいする。この方法ほうほうでは偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを、常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの族ぞくに書かき下くだし、適切てきせつな超ちょう曲面きょくめん上うえで与あたえられたいくつかの初期しょきデータより積分せきぶんされることによってその線せんに沿そった解かいが得えられる。

一いち階かい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの特性とくせい曲線きょくせん

一いち階かいの偏へん微分びぶん方程式ほうていしき（PDE）に対たいする特性とくせい曲線きょくせん法ほうでは、それが常微分じょうびぶん方程式ほうていしき（ODE）となるようなある曲線きょくせん（特性とくせい曲線きょくせんあるいは単たんに特性とくせい線せんと呼よばれる）を探さがすことになる。そのようなODEが見みつかれば、特性とくせい曲線きょくせんに沿そって解といた後のちに元もとのPDEに対たいして解かいを変換へんかんすれば良よいことになる。

ここで、二ふたつの独立どくりつ変数へんすう x と y の函数かんすうのケースを取とり上あげる。次つぎの形かたちの準じゅん線型せんけい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを考かんがえる：

$a(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial x}}+b(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial y}}=c(x,y,z).$

(1)

ここで、解かい z が得えられたとして、R³ 内うちの曲面きょくめんのグラフ z = z(x,y) を考かんがえる。この曲面きょくめんに対たいする法線ほうせんベクトルは次つぎで与あたえられる。

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,$

これは次つぎのようにして分わかる。x,y方向ほうこうの接せっベクトルをそれぞれ$n_{1}$,$n_{2}$とすると、これらは例たとえば$n_{1}=(1,0,\partial z/\partial x)dx$,$n_{2}=(0,1,\partial z/\partial y)dy$となる。これらの外積がいせきから上述じょうじゅつの法線ほうせんベクトル（と平行へいこうなベクトル）が得えられる。

したがって式しき (1) は、ベクトル場じょう

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,$

が全すべての点てんにおいて曲面きょくめん z = z(x, y) に接せっするという幾何きか学がく的てきな内容ないようを意味いみする。い換いかえると、解かいはこのベクトル場じょうの積分せきぶん曲線きょくせんの合併がっぺいとなる。これらの積分せきぶん曲線きょくせんは、元もとの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの特性とくせい曲線きょくせんと呼よばれる。

特性とくせい曲線きょくせんの方程式ほうていしきは、ラグランジュ＝シャルピ方程式ほうていしきによって次つぎのように不変ふへんな形かたちで表あらわすことが出来できる：

${\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.$

また、この曲線きょくせんのパラメータ化か t が固定こていされた場合ばあい、これらの方程式ほうていしきは x(t), y(t), z(t) に対たいする次つぎの連立れんりつ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきとして書かくことが出来できる。

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\{\frac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\{\frac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}$

これらを元もとの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの特性とくせい方程式ほうていしき (characteristic equation) という。

線型せんけいと準じゅん線型せんけいの場合ばあい

次つぎの形式けいしきのPDEを考かんがえる。

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$

このPDEを線型せんけいとするためには、係数けいすう a_i は空間くうかん変数へんすうのみに依存いぞんし、u には独立どくりつとすればよい。準じゅん線型せんけいとするためには、a_i はその函数かんすうの値ねにも依存いぞんするが、導しるべ函数かんすうには依存いぞんしないものとすればよい。これら二ふたつのケースの区別くべつは、ここでの議論ぎろんでは本質ほんしつ的てきではない。

線型せんけいあるいは準じゅん線型せんけいのPDEに対たいし、特性とくせい曲線きょくせんはパラメータ的てきに次つぎで与あたえられる。

$(x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))$

但ただし次つぎの常微分じょうびぶん方程式ほうていしき系けいが満みたされるものとする。

${\frac {dx_{i}}{ds}}=a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u)$

(2)

${\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$

(3)

式しき (2) と (3) が、元もとのPDEの特性とくせい曲線きょくせんである。

完全かんぜんに非ひ線型せんけいの場合ばあい

次つぎの偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを考かんがえる。

$F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0$

(4)

ここで変数へんすう p_i は次つぎの偏へん微分びぶんを略記りゃっきしたものである。

$p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.$

Rⁿ⁺¹ 内うちの超ちょう曲面きょくめん (x_i, u) が偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解かいであるとする。解かいの超ちょう曲面きょくめんの上うえにある任意にんいの滑なめらかな(微分びぶん可能かのうな)曲線きょくせんを特性とくせい曲線きょくせんと言いい、s を曲線きょくせん長ながさに沿そうパラメータとして、曲線きょくせん上じょうの各かく点てんは次つぎのように表あらわされるものとする。

$u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).$

また、解かいの曲面きょくめんの方向ほうこうは、この特性とくせい曲線きょくせんの各かく点てんでの接線せっせんの傾かたむき $p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}$ により指定していされているとする。解かいに沿そって (4)を s に関かんして微分びぶんすると、次つぎが得えられる。

$\sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0$

(5)

${\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0$

(6)

$\sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.$

(7)

式しき(6)は、解かい u に対たいして連鎖れんさ律りつを適用てきようすることで得えられる。また式しき(7)の括弧かっこ内ないは

${\dot {x_{i}}}dp_{i}-{\dot {p_{i}}}dx_{i}={\frac {dx_{i}}{ds}}{\frac {dp_{i}}{ds}}ds-{\frac {dp_{i}}{ds}}{\frac {dx_{i}}{ds}}ds=0.$

だから式しき(7)が成立せいりつする。

λらむだ をある定数ていすうとして λらむだ×(5)+(7)/dsを 作つくると次つぎの式しき(8)となる。

$\sum _{i}(\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i})+{\dot {p}}_{i})(dx_{i}/ds)+\sum _{i}(\lambda F_{p_{i}}-{\dot {x}}_{i})(dp_{i}/ds)=0$

(8)

式しき(8)はその点てんを通とおる任意にんいの特性とくせい曲線きょくせん x_i (s)に対たいして成なり立たつ。特性とくせい曲線きょくせん x_i(s)が任意にんいに変かわると、dx_i/dsおよびdp_i/dsはそれに応おうじて変かわってしまう変数へんすうである。それでも式しき(8)が成なり立たつためには、dx_i/dsおよびdp_i/dsの係数けいすうは 0 でなければならない。よって

$\quad \lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i})+{\dot {p}}_{i}=0,\quad \lambda F_{p_{i}}-{\dot {x}}_{i}=0,.$

${\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}).$

この${\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}}$を式しき(6)に入いれると

$\quad {\dot {u}}-\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}=0,\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}.$

ここに λらむだ はある定数ていすうである。これらの式しきをより対称たいしょう的てきに書かくと、特性とくせい曲線きょくせんに対たいする次つぎのラグランジュ＝シャルピ方程式ほうていしきが得えられる。

${\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.$

(9)

幾何きか学がく的てきに、完全かんぜんに非ひ線型せんけいの場合ばあいの特性とくせい曲線きょくせん法ほうは、微分びぶん方程式ほうていしきのモンジュ錐きりが至いたる所ところで解かいのグラフに接せっすることを要求ようきゅうするものとして解釈かいしゃくされる。

例れい

一いち例れいとして、次つぎの移流いりゅう方程式ほうていしきが挙あげられる（この例れいではPDEの記法きほうや基本きほん的てきなODEの解かいについてはよく知しっているものと仮定かていする）。

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0\,$

ここに $a\,$ は定数ていすうで、$u\,$ は $x\,$ と $t\,$ の函数かんすうである。この線型せんけい一いち階かい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを、適切てきせつな曲線きょくせんに沿そって常微分じょうびぶん方程式ほうていしきに変換へんかんすることを考かんがえる。すなわち、次つぎの形状けいじょうの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきを考かんがえる。

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))$,

ここに $(x(s),t(s))\,$ は特性とくせい曲線きょくせんである。はじめに、連鎖れんさ律りつより次つぎが得えられる。

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}$

今いま、${\frac {dx}{ds}}=a$ and ${\frac {dt}{ds}}=1$ とすると、次つぎが得えられる。

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\,$

これははじめのPDEの左辺さへんである。したがって

${\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$

が得えられる。したがって、特性とくせい曲線きょくせん $(x(s),t(s))\,$ に沿そって、元もとの PDE は ODE $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0\,$ になる。すなわち、特性とくせい曲線きょくせんに沿そって解かいは定数ていすうである。すると、$u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)\,$ となる。但ただし $(x_{s},t_{s})\,$ と $(x_{0},0)\,$ は同一どういつの特性とくせい曲線きょくせん上じょうに存在そんざいする。したがって、一般いっぱん解かいを決定けっていする上じょうで、次つぎのような常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの特性とくせいシステムを解とけば十分じゅうぶんである。

• ${\frac {dt}{ds}}=1$。$t(0)=0\,$ とすることで $t=s\,$ が得えられる。
• ${\frac {dx}{ds}}=a$。$x(0)=x_{0}\,$ とすることで $x=as+x_{0}=at+x_{0}\,$ が得えられる。
• ${\frac {du}{ds}}=0$。$u(0)=f(x_{0})\,$ とすることで $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)\,$ が得えられる。

この場合ばあい、特性とくせい曲線きょくせんは傾かたむきが $a\,$ であるような直線ちょくせんで、任意にんいの特性とくせい曲線きょくせんに沿そって $u\,$ の値ねは定数ていすうとなる。

線型せんけい微分びぶん作用素さようその特性とくせい曲線きょくせん

X を可か微分びぶん多様たよう体たいとし、P を次数じすう k の線型せんけい微分びぶん作用素さようそ

$P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)$

とする。局所きょくしょ座標ざひょう系けい xⁱ においては

$P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}$

とする。ここで αあるふぁ は多重たじゅう指数しすうである。P の主しゅ表象ひょうしょうは σしぐま_P と表あらわされ、これはそれらの局所きょくしょ座標ざひょう系けいにおいて定義ていぎされる余よ接せっ束たば T^∗X に関かんする次つぎの函数かんすうである。

$\sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }$

ここに ξくしー_i は座標ざひょう微分びぶん dxⁱ によって導みちびかれる余よ接せっ束たば上じょうのファイバー座標ざひょうである。これは特定とくていの座標ざひょう系けいを用もちいることで定義ていぎされるが、ξくしー_i と xⁱ を関連かんれんづける変換へんかん則そくは σしぐま_P がその余よ接せっ束たば上じょうで well-defined な函数かんすうであることを保証ほしょうするものである。

函数かんすう σしぐま_P は変数へんすう ξくしー について次数じすう k の斉ひとし次じ函数かんすうである。σしぐま_P のゼロ解かいは、T^∗X のゼロ切断せつだんとは離はなれた所ところにあり、P の特性とくせい曲線きょくせんである。式しき F(x) = c によって定義ていぎされる X の超ちょう曲面きょくめんが、x での特性とくせい超ちょう曲面きょくめんであるとは、

$\sigma _{P}(x,dF(x))=0$

が成立せいりつすることを言いう。特性とくせい超ちょう曲面きょくめんは、余よ法ほう束たばが P の特性とくせい集合しゅうごうに属ぞくする超ちょう曲面きょくめんである。

特性とくせい曲線きょくせんの定性的ていせいてき解析かいせき

特性とくせい曲線きょくせんはまた、PDEへの定性的ていせいてきな洞察どうさつを得える上うえでの強力きょうりょくな道具どうぐとなる。

圧縮あっしゅく性せい流体りゅうたいにおけるポテンシャルフローに対たいする衝撃波しょうげきはを見みつけるために、特性とくせい曲線きょくせんの交点こうてんを利用りようすることが出来できる。直感ちょっかん的てきに言いうと、各かく特性とくせい曲線きょくせんはそれ自身じしんに沿そった $u\,$ の解かいを意味いみするものであると考かんがえられる。したがって、二ふたつの特性とくせい曲線きょくせんが交まじわる場合ばあいには、函数かんすうは複数ふくすう値ちということになりこれは非ひ物理ぶつり的てきな解かいである。物理ぶつり的てきにはこのような矛盾むじゅんは、衝撃波しょうげきはの構成こうせい、接線せっせんの不連続ふれんぞく性せいあるいは弱じゃく不連続ふれんぞく性せいによって除外じょがいすることが出来できる。その結果けっか、初はじめの仮定かていを満みたさない非ひポテンシャルフローが得えられる。

特性とくせい曲線きょくせんは、PDEの定義ていぎ域いきの一部分いちぶぶんをカバーしないこともある。この事実じじつは希薄きはく化かと呼よばれ、弱よわい意味いみ、すなわち積分せきぶん方程式ほうていしきに対たいしてのみ解かいが存在そんざいすることを意味いみする。

特性とくせい曲線きょくせんの方向ほうこうは、上述じょうじゅつの例れいで示しめしたように、解かいに沿そった値ねのフローを示しめすものである。この種たねの知識ちしきは、問題もんだいに対たいして有限ゆうげん差分さぶんが最適さいてきであるように示しめすものであるため、PDEを数値すうち的てきに解とく上うえで有用ゆうようとなる。

関連かんれん項目こうもく

• 量子りょうし特性とくせい曲線きょくせん法ほう

参考さんこう文献ぶんけん

• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience 
• Delgado, Manuel (1997), “The Lagrange-Charpit Method”, SIAM Review 39 (2): 298–304, Bibcode: 1997SIAMR..39..298D, doi:10.1137/S0036144595293534, JSTOR 2133111, https://jstor.org/stable/2133111 
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
• John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6 
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X 
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 
• Sarra, Scott (2003), “The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws”, Journal of Online Mathematics and its Applications .
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education 

外部がいぶリンク

• Prof. Scott Sarra tutorial on Method of Characteristics
• Prof. Alan Hood tutorial on Method of Characteristics