積分せきぶん曲線きょくせん

微分びぶん方程式ほうていしき dy/dx = x² − x − 2 に対応たいおうする slope field に対たいする3つの積分せきぶん曲線きょくせん．

数学すうがくにおいて，積分せきぶん曲線きょくせん（せきぶんきょくせん，英えい: integral curve）は常微分じょうびぶん方程式ほうていしきあるいは方程式ほうていしき系けいの特定とくていの解かいを表あらわすパラメトリック曲線きょくせんである．微分びぶん方程式ほうていしきがベクトル場じょうあるいは slope field として表あらわされているとき，対応たいおうする積分せきぶん曲線きょくせんは各かく点てんで場ばに接せっする．

積分せきぶん曲線きょくせんは，微分びぶん方程式ほうていしきやベクトル場じょうの性質せいしつや解釈かいしゃくに応おうじて，様々さまざまな他ほかの名前なまえで呼よばれる．物理ぶつり学がくでは，電場でんじょうや磁場じばに対たいする積分せきぶん曲線きょくせんは field line と呼よばれ，流体りゅうたいの速度そくど場じょうに対たいする積分せきぶん曲線きょくせんは流ながれ線せんと呼よばれる．力学りきがく系けいでは，系けいを記述きじゅつする微分びぶん方程式ほうていしきの積分せきぶん曲線きょくせんは軌道きどうと呼よばれる．

定義ていぎ

F をベクトル場じょうとする，つまり，デカルト座標ざひょうのベクトル値ち関数かんすう (F₁, F₂, ..., F_n) とする．x(t) をデカルト座標ざひょう (x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t)) のパラメトリック曲線きょくせんとする．このとき x(t) が F の積分せきぶん曲線きょくせん (integral curve) であるとは，それが次つぎの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの自じ励系の解かいであることをいう：

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

そのような系けいは1つのベクトルの方程式ほうていしきとして書かける：

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,$

この方程式ほうていしきは曲線きょくせんに沿そった任意にんいの点てん x(t) において曲線きょくせんに接せっするベクトルはちょうどベクトル F(x(t)) であり，したがって曲線きょくせん x(t) はベクトル場じょう F に各かく点てんで接せっするということを言いっている．

与あたえられたベクトル場じょうがリプシッツ連続れんぞくならば，ピカール・リンデレフの定理ていりにより，小ちいさい時間じかんに対たいして一意的いちいてきなフローが存在そんざいする．

可か微分びぶん多様たよう体たいへの一般いっぱん化か

定義ていぎ

M を C^r 級きゅう，r ≥ 2 のバナッハ多様たよう体たいとする．通常つうじょう通どおり，TM で M の接せっ束たばを表あらわす．自然しぜんな射影しゃえいを πぱい_M: TM → M は

$\pi _{M}:(x,v)\mapsto x$

で与あたえられる．M 上うえのベクトル場じょうは接せっ束たば TM の切断せつだん，すなわち，多様たよう体たい M の各かく点てんにその点てんでの M の接せっベクトルを割わり当あてる写像しゃぞうである．X を C^r−1 級きゅうの M 上うえのベクトル場じょうとし，p ∈ M とする．時間じかん t₀ で p を通とおる X の積分せきぶん曲線きょくせんとは，次つぎのような C^r−1 級きゅう曲線きょくせん αあるふぁ: J → M である：t₀ を含ふくむ実数じっすう直線ちょくせん R の開ひらき区間くかん J 上うえで定義ていぎされていて，

$\alpha (t_{0})=p;\,$

$\alpha '(t)=X(\alpha (t)){\text{ for all }}t\in J$

を満みたす．

常微分じょうびぶん方程式ほうていしきとの関係かんけい

時間じかん t₀ で p を通とおるベクトル場じょう X の積分せきぶん曲線きょくせん αあるふぁ の上記じょうきの定義ていぎは，αあるふぁ が次つぎの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの初期しょき値ち問題もんだいの局所きょくしょ的てきな解かいであるということと同おなじである：

$\alpha (t_{0})=p;\,$

$\alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,$

それは J 内うちの時間じかんに対たいしてのみ定義ていぎされていて，すべての t ≥ t₀（もちろん t ≤ t₀ も）に対たいして定義ていぎされている必要ひつようはないという意味いみで局所きょくしょ的てきである．したがって，積分せきぶん曲線きょくせんの存在そんざいと一意いちい性せいを証明しょうめいする問題もんだいは常微分じょうびぶん方程式ほうていしき・初期しょき値ち問題もんだいの解かいを見みつけそれが一意いちいであることを示しめす問題もんだいと同おなじである．

時間じかん微分びぶんについての注意ちゅうい

上うえで αあるふぁ′(t) は時刻じこく t での αあるふぁ の微分びぶん，時刻じこく t で「αあるふぁ が指さしている方向ほうこう」を表あらわす．より抽象ちゅうしょう的てきな視点してんからは，これはフレシェ微分びぶんである：

$(\mathrm {d} _{t}f)(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.$

M が Rⁿ の開ひらき部分ぶぶん集合しゅうごうという特別とくべつな場合ばあいには，これはよく知しっている微分びぶん

$\left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right)$

である，ただし αあるふぁ₁, ..., αあるふぁ_n は通常つうじょうの座標ざひょう方向ほうこうについての αあるふぁ の座標ざひょうである．

同おなじことは誘導ゆうどう写像しゃぞうのことばでさらに抽象ちゅうしょう的てきに述のべることができる．J の接せっ束たば TJ は自明じめい束たば J × R であり，すべての t ∈ J に対たいして ιいおた(t) = 1（より正確せいかくには ιいおた((t, 1)) = 1）なるこの束たばの自然しぜんな切断せつだん ιいおた が存在そんざいする．曲線きょくせん αあるふぁ は次つぎの図式ずしきが可か換かわになるような束たば写像しゃぞう αあるふぁ_∗: TJ → TM を誘導ゆうどうする：

このとき時間じかん微分びぶん αあるふぁ′ は合成ごうせい αあるふぁ′ = αあるふぁ_∗ ∘ ιいおた であり，αあるふぁ′(t) は点てん t ∈ J におけるその値ねである．

参考さんこう文献ぶんけん

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.