力学りきがく系けい

力学りきがく系けい（りきがくけい、英語えいご: dynamical system）とは、一定いっていの規則きそくに従したがって時間じかんの経過けいかとともに状態じょうたいが変化へんかするシステム（系けい）、あるいはそのシステムを記述きじゅつするための数学すうがく的てきなモデルのことである。一般いっぱんには状態じょうたいの変化へんかに影響えいきょうを与あたえる数個すうこの要素ようそを変数へんすうとして取とり出だし、要素ようそ間あいだの相互そうご作用さようを微分びぶん方程式ほうていしきまたは差分さぶん方程式ほうていしきとして記述きじゅつすることによってモデル化かされる。ゲーム理論りろんなど経済けいざい学がくに背景はいけいを持もつ分野ぶんやでは動どう学がく系けい（どうがくけい）とも呼よばれる^[1]^[2]。

力学りきがく系けいでは、システムの状態じょうたいを実数じっすうの集合しゅうごうによって定義ていぎしている。各々おのおのの状態じょうたいの違ちがいは、その状態じょうたいを代表だいひょうする変数へんすうの差さのみによって表現ひょうげんされる。システムの状態じょうたいの変化へんかは関数かんすうによって与あたえられ、現在げんざいの状態じょうたいから将来しょうらいの状態じょうたいを一意いちいに決定けっていすることができる。この関数かんすうは、状態じょうたいの発展はってん規則きそくと呼よばれる。

力学りきがく系けいの例れいとしては、振ふり子この振動しんどうや自然しぜん界かいに存在そんざいする生物せいぶつの個体こたい数すうの変動へんどう、惑星わくせいの軌道きどうなどが挙あげられるが、この世界せかいの現象げんしょうすべてを力学りきがく系けいと見みなすこともできる。システムの振ふる舞まいは、対象たいしょうとする現象げんしょうや記述きじゅつのレベルによって多種たしゅ多様たようである。

力学りきがく系けいの具体ぐたい例れい

概要がいよう[編集へんしゅう]

力学りきがく系けいの考かんがえ方かたは、ニュートン力学りきがくに端はしを発はっする。力学りきがく系けいでは、他たの自然しぜん科学かがくや工学こうがくの分野ぶんやと同様どうように、状態じょうたいの変化へんかに影響えいきょうを与あたえる数個すうこの要素ようそを変数へんすうとして取とり出だし、要素ようそ間あいだの相互そうご作用さようを記述きじゅつすることによってモデル化かされる。そして現在げんざいの直後ちょくごの状態じょうたいを、微分びぶん方程式ほうていしきまたは差分さぶん方程式ほうていしきを用もちいて与あたえている。将来しょうらいのある時点じてんにおける状態じょうたいは、現在げんざいの直後ちょくごの状態じょうたいを求もとめる計算けいさんを複ふく数すう回かい繰くり返かえすことによって求もとめることができる。そのため力学りきがく系けいでは、現在げんざいの状態じょうたいを与あたえることで、将来しょうらいのすべての状態じょうたいを決定けっていすることができる。

しかしながら、解析かいせき的てきに求もとめられる力学りきがく系けいはごく一部いちぶだけであり、さらに力学りきがく系けいを解とくためには高度こうどな数学すうがくが必要ひつようとされる。そのため、コンピュータの登場とうじょう以前いぜんでは、ごく単純たんじゅんなシステムのみが研究けんきゅうの対象たいしょうとして扱あつかわれた。

単純たんじゅんな力学りきがく系けいならば、その振ふる舞まいも容易よういに理解りかいすることができる。しかしながら複雑ふくざつなシステムになると、その挙動きょどうも複雑ふくざつさを増まし、詳くわしく解析かいせきしなければ将来しょうらいの状態じょうたいを予想よそうすることができなくなる。

よく知しられたシステムであっても、その挙動きょどうに影響えいきょうを与あたえる変数へんすうをすべて記述きじゅつできているとは限かぎらない。また、求もとめられた数値すうち解かいがシステムの近似きんじ解かいとして本当ほんとうに適切てきせつかどうかについても検証けんしょうしなければならない。これらの問題もんだいを解決かいけつするため、力学りきがく系けいの研究けんきゅうではリアプノフ安定あんていや構造こうぞう安定あんていなど、「安定あんてい性せい」の概念がいねんが用もちいられている。安定あんてい性せいの概念がいねんを用もちいることにより、たとえモデルが同おなじであっても、初期しょき条件じょうけんの違ちがいによってシステムの挙動きょどうに大おおきな違ちがいが出でる理由りゆうを容易よういに説明せつめいすることができる。

システムの挙動きょどうは初期しょき条件じょうけんによって異ことなるため、ある 1 つの初期しょき条件じょうけんの下したでの挙動きょどうを調しらべることに大おおきな意味いみはない。ある条件じょうけんでは周期しゅうき的てきな振ふる舞まいをするかもしれないし、ある状態じょうたいに落おち着つくかもしれない。どのような条件じょうけんでどのような挙動きょどうを呈ていするかが重要じゅうようである。力学りきがく系けいでは、システムの挙動きょどうの種類しゅるいを数学すうがく的てきに分類ぶんるいしている。起おこりうる挙動きょどうの種類しゅるいが完全かんぜんに知しられている力学りきがく系けいの例れいとしては、状態じょうたいを 2 変数へんすうで記述きじゅつできるシステムや、線形せんけい力学りきがく系けいなどがある。

システムの状態じょうたいに影響えいきょうを与あたえる変数へんすうが多様たような場合ばあい、ある変数へんすうの値ねが臨界りんかい値ちと呼よばれるある一定いっていの値ねを超こえると、システムの挙動きょどうが大おおきく変化へんかする分岐ぶんき現象げんしょうが起おこる。分岐ぶんき現象げんしょうの例れいとしては、割わり箸ばしの両りょう端はしにある一定いってい以上いじょうの力ちからを加くわえると折おれる現象げんしょう、道路どうろを通過つうかする自動車じどうしゃの台数だいすうがある一定いっていの台数だいすうを超こえると渋滞じゅうたいが発生はっせいする現象げんしょう、鉛なまりをある一定いってい以上いじょうの温度おんどに加熱かねつすると溶融ようゆうする現象げんしょうなどが挙あげられる。

力学りきがく系けいの理論りろんはアンリ・ポアンカレの研究けんきゅうによって飛躍ひやく的てきに発展はってんし、力学りきがく系けいの概念がいねんは統計とうけい力学りきがくやカオス理論りろんの基礎きその構築こうちくに対たいして大おおきな影響えいきょうを与あたえた。

基本きほん定義ていぎ[編集へんしゅう]

一般いっぱんに力学りきがく系けいとは、以下いかの条件じょうけんを満みたす、時間じかん T、位相いそう空間くうかんである多様たよう体たい M、写像しゃぞう f によるタプルである。

${\begin{aligned}&t,s\in T,~\mathbf {x} \in M,\\&\mathbf {f} :T\times M\to M,\\&\mathbf {f} (0,\mathbf {x} )=\mathbf {x} ,\\&\mathbf {f} (s,\mathbf {f} (t,\mathbf {x} ))=\mathbf {f} (t+s,\mathbf {x} ).\end{aligned}}$

力学りきがく系けいは、連続れんぞく力学りきがく系けいと離散りさん力学りきがく系けいに分類ぶんるいする事ことができる。

連続れんぞく力学りきがく系けい[編集へんしゅう]

t が実数じっすう全体ぜんたいで定義ていぎされる力学りきがく系けいは連続れんぞく力学りきがく系けい、あるいはフロー（流ながれ）と呼よばれる。連続れんぞく力学りきがく系けいは一般いっぱんに微分びぶん方程式ほうていしきで定義ていぎされることが多おおい。

例たとえば、関数かんすう X ₁(t ), X ₂(t ), ..., X _n(t ) を成分せいぶんに持もつような n 次元じげんベクトル^{[要よう曖昧あいまいさ回避かいひ]}を X(t )、t と X の関数かんすうである n 次元じげんのベクトルを F(t, X) とし、X に対たいする連立れんりつ微分びぶん方程式ほうていしき

${\frac {d\mathbf {X} }{dt}}=\mathbf {F} (t,\mathbf {X} )$

を考かんがえる。このとき、n 次元じげん空間くうかん (X ₁, X ₂, ..., X _n ) が上述じょうじゅつの微分びぶん方程式ほうていしきの相あい空間くうかんであり、f ^t は f ^t (X(s )) = X(s + t ) によって与あたえられる。

より抽象ちゅうしょう的てきには、微分びぶん方程式ほうていしきを与あたえる係数けいすう行列ぎょうれつ F は多様たよう体たい上じょうのベクトル場じょうとして与あたえられ、力学りきがく系けい f はそのベクトル場じょうの流ながれとして実現じつげんされる。従したがって連続れんぞく力学りきがく系けいは実数じっすうの加法かほう群ぐん R による多様たよう体たい M への可か微分びぶんな作用さようだということになる。

離散りさん力学りきがく系けい[編集へんしゅう]

t が整数せいすう全体ぜんたいでのみ定義ていぎされるような力学りきがく系けいは離散りさん力学りきがく系けいとよばれる。離散りさん力学りきがく系けいは多様たよう体たいのある変換へんかんの反復はんぷく写像しゃぞうとしてとらえられる。つまり、任意にんいの整数せいすう n について fⁿ は f¹ を n 回かい合成ごうせいした（n が負まけならば f の逆ぎゃく写像しゃぞうを -n 回かい合成ごうせいした）写像しゃぞうになっている。したがって離散りさん力学りきがく系けいは可逆かぎゃく変換へんかん f¹ が定さだめる整数せいすうの加法かほう群ぐんZによる多様たよう体たいMへの作用さようだということになる。

解かい軌道きどう[編集へんしゅう]

集合しゅうごう { f^t(x) | t } は解かい軌道きどうと呼よばれる。特殊とくしゅな解かい軌道きどうとして、ホモクリニック軌道きどうやヘテロクリニック軌道きどうがある。

解かい軌道きどうが閉曲線へいきょくせんになる場合ばあいは、閉軌道どうと呼よばれる。また閉軌道どうの特殊とくしゅな場合ばあいとしてリミットサイクルがある。

解かい軌道きどうの様子ようすを調しらべる理論りろんを、大域たいいき理論りろんという。

不動点ふどうてん[編集へんしゅう]

f^t　の不動点ふどうてんは、解かい軌道きどうの一ひとつで重要じゅうような性質せいしつを持もち、系けいの全体ぜんたい像ぞうをつかむのにも役立やくだつ。一般いっぱんに、数学すうがくや物理ぶつり学がくの分野ぶんやで平衡へいこう状態じょうたいを表あらわす際さいには平衡へいこう点てん、経済けいざい学がくの分野ぶんやでは均衡きんこう点てんと呼よばれることもある。

上述じょうじゅつの微分びぶん方程式ほうていしきでは次つぎのように定義ていぎされる。相あい空間くうかん内ないの点てん c おいて

$\mathbf {F} (t,\mathbf {c} )=\mathbf {0}$

が成立せいりつするとき、X = c は上述じょうじゅつの微分びぶん方程式ほうていしきの解かいである。この点てんは F(t , X) = 0 を満みたす上述じょうじゅつの微分びぶん方程式ほうていしきの定数ていすう解かいに対応たいおうし、相あい空間くうかんの中なかで移動いどうしない。