調和ちょうわ振動しんどう子こ

調和ちょうわ振動しんどう子こ（ちょうわしんどうし、英えい: harmonic oscillator）とは、質点しつてんが定点ていてんからの距離きょりに比例ひれいする引力いんりょくを受うけて運動うんどうする系けいである。調和ちょうわ振動しんどう子こは定点ていてんを中心ちゅうしんとして振動しんどうする系けいであり、その運動うんどうは解析かいせき的てきに解とくことができる。

古典こてん的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こ

ニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきから

「自由じゆう振動しんどう」も参照さんしょう

一端いったんを壁かべにつないだばね定数ていすう $k$ のばねの他た端はしに質量しつりょう $m$ の物体ぶったいをつなぐ。静止せいし状態じょうたいから物体ぶったいを $x$ だけ手てで引ひっ張ぱり、静しずかに手てを離はなすと物体ぶったいは振動しんどうを始はじめる。物体ぶったいに作用さようする力ちからは $-kx$ である。ニュートンの運動うんどう方程式ほうていしき $m{\ddot {x}}=-kx$ を解とくと、一般いっぱん解かいは次つぎのようになる。

$x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t,$

$\omega ={\sqrt {k/m}}$ : 調和ちょうわ振動しんどう子この角かく振動しんどう数すう（固有こゆう振動しんどう数すう）

A , B は定数ていすうで、初期しょき条件じょうけんによって決きまる。振動しんどう数すう$\omega$ は、ばね定数ていすうと物体ぶったいの質量しつりょうにのみ依存いぞんする。

ハミルトンの運動うんどう方程式ほうていしき（正せい準じゅん方程式ほうていしき）から

調和ちょうわ振動しんどう子このポテンシャル$U$ は次つぎのようになる。

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}$

ただし$x$は物体ぶったいの位置いちである。ばねが自然しぜん長ちょうの時ときの位置いちを原点げんてんとする。ハミルトニアン $H=T+U$を求もとめれば、運動うんどうはハミルトンの正せい準じゅん方程式ほうていしきにしたがう。$T$ は運動うんどうエネルギー、$p$ は運動うんどう量りょうである。

$H={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {k}{2}}x^{2}$

ハミルトンの正せい準じゅん方程式ほうていしきは

${\frac {\partial x}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial p}}$

${\frac {\partial p}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}$

である。ハミルトンの正せい準じゅん方程式ほうていしきから連立れんりつ方程式ほうていしきが得えられるが、これを解といても ニュートンの運動うんどう方程式ほうていしき $m{\ddot {x}}=-kx$ を得えるだけである。したがって、解かいは古典こてん力学りきがくと同おなじ結果けっかである。

また、ここで用もちいたハミルトニアンは量子力学りょうしりきがくでも使用しようする。

量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こ

1次元じげんの調和ちょうわ振動しんどう子こ

量子力学りょうしりきがくでは運動うんどう量りょう演算えんざん子こ ${\hat {p}}$ を

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

と書かく(正せい準じゅん量子りょうし化か)。$\hbar$ は換算かんさんプランク定数ていすう、$i$は虚数きょすう。よってハミルトニアン${\hat {H}}$は

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

となる。

1次元じげんの量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こについての時間じかん依存いぞんしないシュレーディンガー方程式ほうていしきは、以下いかのように書かける。

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\phi (x)=E\phi (x)$

この方程式ほうていしきは解析かいせき的てきに解とくことができ、その解かい（エネルギー固有こゆう状態じょうたい）はエルミート多項式たこうしき $H_{n}$ を使つかって以下いかのように表あらわされる。

$\phi _{n}(x)=AH_{n}(\xi )\exp \left(-{\frac {\xi ^{2}}{2}}\right)$

ただし、$\xi ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x$、$A$ は規格きかく化か定数ていすうで次つぎ式しきで与あたえられる。

$A={\sqrt {{\frac {1}{n!2^{n}}}{\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}}}$

また、エルミート多項式たこうしき$H_{n}$は

$H_{n}(x)=(-1)^{n}\exp \left(x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\exp \left(-x^{2}\right)$

で定義ていぎされる。具体ぐたい例れいとして$n=0,1,2$ の場合ばあいを示しめすと

$H_{0}=1$

$H_{1}=2x$

$H_{2}=4x^{2}-2$

である。基底きてい状態じょうたい（$n=0$）のエネルギー固有こゆう状態じょうたいはガウス波は束たばであり、$x=0$付近ふきんに局在きょくざいしている。 エネルギー固有値こゆうちは次つぎのようになる。

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\qquad (n=0,1,2,...)$

つまりエネルギー準じゅん位いは $\hbar \omega$ という均等きんとうな間隔かんかくで並ならぶ。$n=0$の状態じょうたいは零れい点てん振動しんどう、そのエネルギー固有値こゆうち$E_{0}=\hbar \omega /2$は零れい点てんエネルギーと呼よばれる。

より高こう次元じげんの調和ちょうわ振動しんどう子こ

以上いじょうは一いち次元じげん調和ちょうわ振動しんどう子この場合ばあいであるが、2次元じげん、3次元じげんも同様どうように解とける。3次元じげんの場合ばあい、エネルギー固有値こゆうちは次つぎのようになる。

$E_{N}=\hbar \omega \left(N+{\frac {3}{2}}\right)$

N は三さん方向ほうこうの量子りょうし数すう ($n_{x}$, $n_{y}$, $n_{z}$) の和わで、また$E_{N}$ は、(N+2)(N+1)/2 重じゅうに縮退しゅくたいしている。これは縮退しゅくたいが見みられなかった一いち次元じげんの場合ばあいとは明あきらかに異ことなる。

生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こ

調和ちょうわ振動しんどう子この扱あつかい方かたとしては、上述じょうじゅつの正せい準じゅん変数へんすうを用もちいた方法ほうほうの他ほかに、生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こで書かきなおして考かんがえる方法ほうほうがある。

以下いかのような演算えんざん子こを定義ていぎする。

${\hat {a}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\left(+{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x\right)$ : 消滅しょうめつ演算えんざん子こ

${\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x\right)$ : 生成せいせい演算えんざん子こ

これを使つかうと、上述じょうじゅつのシュレディンガー方程式ほうていしきは次つぎのように書かきなおせる。

$\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)\phi =E\phi$

1/2の項こうが出でるのは演算えんざん子こに微分びぶんが含ふくまれているためである。エネルギー固有値こゆうちとの比較ひかくから、${\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$の固有値こゆうちは $n$ に等ひとしいことがわかる。よって${\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$を数かず演算えんざん子こと呼よび${\hat {n}}\$で表あらわす。

生成せいせい・消滅しょうめつ演算えんざん子こをエネルギー固有こゆう状態じょうたい$\phi _{n}(x)$に作用さようさせると、${\hat {n}}\$の固有値こゆうちn を増減ぞうげんさせる。( $n$ = $0,1,2,....$)

${\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }\phi _{n}(x)&={\sqrt {n+1}}\phi _{n+1}(x)\\{\hat {a}}\phi _{n}(x)&={\sqrt {n}}\phi _{n-1}(x)&(n\geq 1)\\{\hat {a}}\phi _{0}(x)&=0\end{aligned}}$

つまり $n$ をなんらかの粒子りゅうしの数かずと見みなすならば、生成せいせい演算えんざん子こは粒子りゅうしを一ひとつ作づくり、消滅しょうめつ演算えんざん子こは一ひとつ減へらす働はたらきをする。また基底きてい状態じょうたい(粒子りゅうし数すう0の状態じょうたい)に消滅しょうめつ演算えんざん子こを作用さようさせても、もう粒子りゅうしは消けせない。

この演算えんざん子こを用もちいれば、方程式ほうていしきの解かいを容易よういに導出どうしゅつできる。

量子りょうし場じょうとの関係かんけい

場ばの量子りょうし論ろんや量子りょうし多た体系たいけいでは、場ばを量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こに分解ぶんかいすることがある。量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子この組くみがあれば、必かならずそれをボース粒子りゅうしの系けいとみなすことができる。独立どくりつな調和ちょうわ振動しんどう子こからなる系けいは、エネルギー固有値こゆうちや平衡へいこう状態じょうたいを議論ぎろんするかぎり、化学かがくポテンシャル$\mu =0$の理想りそうボース気体きたいと数学すうがく的てきに完全かんぜんに等価とうかである。

ただし全すべての場ばが調和ちょうわ振動しんどう子こに帰着きちゃくされるわけではない。調和ちょうわ振動しんどう子この集あつまりと考かんがえることができる場ばは、双曲線そうきょくせん型かたの微分びぶん方程式ほうていしきを満みたすものに限かぎられる（詳細しょうさいは非ひ調和ちょうわ振動しんどう子こやボゴリューボフ変換へんかんを参照さんしょう）。また粒子りゅうし像ぞうが描えがけるのは、調和ちょうわ振動しんどう子こになるような量子りょうし場じょうに限かぎられる。たとえばマクスウェルの場ばの全体ぜんたいが調和ちょうわ振動しんどう子この集あつまりになるわけではなく、遠とおくのほうに電磁波でんじはとして伝つたわっていく成分せいぶんだけが、調和ちょうわ振動しんどう子こになる。このとき現あらわれる粒子りゅうし像ぞうが光子こうしである。ただし粒子りゅうしの数かずと調和ちょうわ振動しんどう子この数かずには直接的ちょくせつてきな関係かんけいはない。粒子りゅうしの数かずが増減ぞうげんすると調和ちょうわ振動しんどう子この状態じょうたいが変化へんかする。

量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こに分解ぶんかいするというのは、量子りょうしがもつ粒子りゅうし性せいを振幅しんぷくで解釈かいしゃくし、波動はどう性せいを振動しんどう数すうで理解りかいしようとする考かんがえ方かたである。この考かんがえ方かたをあえてフェルミ粒子りゅうしにも適用てきようすると、ボース粒子りゅうしはいくらでも振幅しんぷくが大おおきくなれるが、フェルミ粒子りゅうしは振幅しんぷくに制限せいげんがあるためにあまり大おおきくなれないと考かんがえることもできる。この量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子この振幅しんぷくを表あらわすのが生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こである。

例れい

• 光子こうし（電磁場でんじばのフーリエ成分せいぶん）
• フォノン（格子こうし振動しんどうの基準きじゅん振動しんどう）

具体ぐたい例れい

図ず1:$\xi _{0}=0$における量子りょうし的てき調和ちょうわ振動しんどう子この図ず

図ず2:$\xi _{0}=0.45$における量子りょうし的てき調和ちょうわ振動しんどう子この図ず

量子力学りょうしりきがくにおける1次元じげんの調和ちょうわ振動しんどう子この運動うんどうをアニメーションで示しめす（図ず1）（図ず2）。青あおい曲線きょくせんが粒子りゅうしの波動はどう関数かんすうの実み部ぶである。緑みどりの曲線きょくせんが粒子りゅうしの存在そんざい確かく率りつ密度みつどである。

量子力学りょうしりきがくでは粒子りゅうしの運動うんどう状態じょうたいを波動はどう関数かんすうで表あらわす。波動はどう関数かんすうは一般いっぱんに複素数ふくそすうで与あたえられる。波動はどう関数かんすうの絶対ぜったい値ちの2乗じょうが存在そんざい確かく率りつ密度みつどを表あらわす。図ず1、図ず2に示しめされる存在そんざい確かく率りつ密度みつどの変動へんどうは古典こてん論ろんでの粒子りゅうしの単たん振動しんどうに対応たいおうしている。

波動はどう関数かんすうは一般いっぱんに

$\psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\phi _{n}(x)\exp \left(-i\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)$

とかける。ただし$C_{n}$は波なみ束たばを決定けっていする係数けいすうである。初期しょき条件じょうけんとして零れい点てん振動しんどうの中心ちゅうしんを$x_{0}$ だけ変位へんいさせた波なみ束たば

$\psi (x,0)=A\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x-x_{0})^{2}\right)$

を選えらぶ（ただし $x_{0}$ は任意にんいの定数ていすう）と、係数けいすう$C_{n}$はエルミートの多項式たこうしきの直交ちょっこう性せいから

${\begin{aligned}C_{n}&=\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{n}(x)\psi (x,0)\,dx\\&={\frac {1}{n!2^{n}}}{\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x_{0}\right)^{n}\exp \left(-{\frac {m\omega }{4\hbar }}x_{0}^{2}\right)\\&={\frac {1}{n!2^{n}}}{\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}\xi _{0}^{n}\exp \left(-{\frac {\xi _{0}^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}$

で与あたえられる(ただし、$\xi _{0}={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x_{0}$ とした)。この場合ばあいの粒子りゅうしの運動うんどうが図ず1、図ず2である。

図ず1のアニメーション

$\xi _{0}=0.0$では$1\leqq n$の$n$に対たいして$C_{n}=0$になる。すなわち波動はどう関数かんすうが

$\psi (x,t)=C_{0}\phi _{0}(x)\exp \left(-{\frac {i\omega }{2}}t\right)$

となる。波動はどう関数かんすうは定常波ていじょうはのように振動しんどうする。この振動しんどうが零れい点てん振動しんどうである。存在そんざい確かく率りつ密度みつどが時間じかん変化へんかしない定常ていじょう状態じょうたいとなる。エネルギー固有値こゆうちは零れい点てんエネルギー$E_{n}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$であり、エネルギー状態じょうたいは基底きてい状態じょうたいである。基底きてい状態じょうたいはエネルギーが0の状態じょうたいではないので波動はどう関数かんすうは運動うんどうする。

図ず2のアニメーション

$\xi _{0}=0.45$では$C_{n}$が$0$でない値ねを持もつ$n$が2つ以上いじょう存在そんざいする。波動はどう関数かんすうはエネルギー状態じょうたいが基底きてい状態じょうたいの波動はどう関数かんすうと励起れいき状態じょうたいの波動はどう関数かんすうの重かさね合あわせで表あらわされる。波動はどう関数かんすうの波形はけいは時間じかんによって変化へんかし、定常ていじょう状態じょうたいではない。波動はどう関数かんすうは振動しんどうの中心ちゅうしん付近ふきんで速度そくどが最大さいだいになる。ド・ブロイの関係かんけい式しき

$p={\frac {\hbar }{\lambda }}$

により速度そくどが大おおきくなると波長はちょう$\lambda$が短みじかくなるので波動はどう関数かんすうの波長はちょうが振動しんどうの中心ちゅうしん付近ふきんでは振動しんどうの端はしと比くらべて短みじかくなっている。

参考さんこう文献ぶんけん

• 長岡ながおか洋介ようすけ 著ちょ、小出こいで昭一郎しょういちろう・阿部あべ龍蔵りゅうぞう 監修かんしゅう 『振動しんどうと波なみ』 裳も華はな房ぼう、1992年ねん。ISBN 4-7853-2045-1。
• 小出こいで昭一郎しょういちろう 『量子力学りょうしりきがく (I)』（改訂かいてい版ばん）、裳も華はな房ぼう〈基礎きそ物理ぶつり学がく選書せんしょ〉、1990年ねん。ISBN 4-7853-2132-6。
• 『物理ぶつり学がく事典じてん』（三さん訂てい版ばん） 培風館ばいふうかん、2005年ねん。

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