生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こ

生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こ（せいせいしょうめつえんざんし、英えい: creation and annihilation operators）は、量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こや多た体からだ問題もんだいなど、量子りょうし論ろんにおいて基本きほん変数へんすうとして広ひろく使つかわれる演算えんざん子こである。

量子りょうし論ろんでは、正せい準じゅん変数へんすうで量子りょうし化かすることでできた量子りょうし論ろんを、生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こを基本きほん変数へんすうにした量子りょうし論ろんに書かき換かえることがしばしば行おこなわれる。

消滅しょうめつ演算えんざん子こは、状態じょうたいの粒子りゅうしの数かずを1だけ減へらす演算えんざん子こである。 生成せいせい演算えんざん子こは、状態じょうたいの粒子りゅうしの数かずを1だけ増ふやす演算えんざん子こで、消滅しょうめつ演算えんざん子このエルミート共役きょうやくをとったものである。

生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こは様々さまざまな粒子りゅうしの状態じょうたいに作用さようすることができる。 例たとえば、量子りょうし化学かがくや多た体からだ理論りろんにおいて、生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こは電子でんし状態じょうたいに作用さようされる。

ボース粒子りゅうしにおける生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子この扱あつかいは、量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子こにおける扱あつかいと同様どうようである。 例たとえば、同おなじボース粒子りゅうし状態じょうたいに関連かんれんする生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子この交換こうかん子こは1に等ひとしく、他たのすべての交換こうかん子こは0である。 一方いっぽう、フェルミ粒子りゅうしでは状況じょうきょうが異ことなり、交換こうかん子このかわりに反はん交換こうかん子こが含ふくまれている。

量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子この例れい

時間じかんに依存いぞんしない量子りょうし的てきな1次元じげん調和ちょうわ振動しんどう子このシュレディンガー方程式ほうていしきから出発しゅっぱつする。

$\left({\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}{\hat {q}}^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x)$

ここで、消滅しょうめつ演算えんざん子こ${\hat {a}}$を以下いかで定義ていぎし、そのエルミート共役きょうやく${\hat {a}}^{\dagger }$を生成せいせい演算えんざん子こと呼よぶことにする。

${\hat {a}}\equiv {\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\hat {q}}+{\frac {i}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}{\hat {p}}$

${\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\hat {q}}-{\frac {i}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}{\hat {p}}$

生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こを用もちいると、調和ちょうわ振動しんどう子このシュレディンガー方程式ほうていしきは以下いかのような簡単かんたんな形かたちに書かき換かえられる。

${\frac {\hbar \omega }{2}}({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger })\psi (q)=E\psi (q)$

性質せいしつ

• 定義ていぎから明あきらかなように、${\hat {a}}$、${\hat {a}}^{\dagger }$は自己じこ共役きょうやくでもオブザーバブルでもない。

• $\{{\hat {q}},{\hat {p}}\}$と$\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\}$は一対一いちたいいちに対応たいおうしている。よって全すべての物理ぶつり量りょうは$\{{\hat {q}},{\hat {p}}\}$でも表あらわせるし、$\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\}$でも表あらわせる。$\{{\hat {q}},{\hat {p}}\}$による量子りょうし化かを正せい準じゅん量子りょうし化かと呼よぶのに対たいし、$\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\}$による量子りょうし化かを第だい二に量子りょうし化かと呼よぶことがある。正せい準じゅん量子りょうし化かは、その基本きほん変数へんすう$\{{\hat {q}},{\hat {p}}\}$は自己じこ共役きょうやくであるのに対たいし、第だい二に量子りょうし化かは、その基本きほん変数へんすう$\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\}$は自己じこ共役きょうやくでもオブザーバブルでも無ないのが特徴とくちょうである。

• 交換こうかん関係かんけいは、

$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$

応用おうよう

量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子この基底きてい状態じょうたい$\ \psi _{0}(q)$以下いかの条件じょうけんを満みたす。

$a\ \psi _{0}(q)=0$

波動はどう関数かんすうは以下いかの微分びぶん方程式ほうていしきを満みたす。

$q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0$

この解かいは

$\psi _{0}(q)=C\exp(-{q^{2} \over 2}).$

規格きかく化か定数ていすうCは$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1$とガウス積分せきぶんより、 $1 \over {\sqrt[{4}]{\pi }}$  であることが分わかる。

行列ぎょうれつ表示ひょうじ

量子りょうし的てきな調和ちょうわ振動しんどう子この状態じょうたいベクトルで生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こを行列ぎょうれつ表示ひょうじすると、

$a^{\dagger }=\left({\begin{array}{cccccc}0&0&0&\dots &\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&\dots &\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&\dots &\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&\dots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&{\sqrt {n}}&0\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{array}}\right)$

$a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}$

それぞれの行列ぎょうれつ要素ようそは $a_{ij}^{\dagger }=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}^{\dagger }|\psi _{j}\rangle$、 $a_{ij}=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}|\psi _{j}\rangle$である。

場ばの量子りょうし論ろんにおける生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こ

詳細しょうさいは「第だい二に量子りょうし化か」を参照さんしょう

量子りょうし論ろんにおける場ばは、演算えんざん子こで表あらわされる。相互そうご作用さようが無ない場合ばあいなどでは、場ばの演算えんざん子こが従したがうべき方程式ほうていしきを（フーリエ展開てんかいなどで）解とくことができる。その結果けっか、場ばが粒子りゅうしの生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こで表あらわされることがわかり、多た体系たいけいと見みなすことができる（ただし相互そうご作用さようがある場合ばあいには、一般いっぱんに生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こを導入どうにゅうできるとは限かぎらない。したがって場ばが第一義だいいちぎ的てきな基本きほん量りょうであり、ハミルトニアン等とうの物理ぶつり量りょうも場ばを使つかって書かき表あらわす。）

多た体系たいけいや場ばの量子りょうし論ろんにおける生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こは、ボース粒子りゅうしとフェルミ粒子りゅうしで定義ていぎが異ことなる。 ${\mathcal {H}}$を1粒子りゅうしヒルベルト空間くうかんとする。 ${\mathcal {H}}$上うえのすべての$f\$における${\hat {a}}(f)\$によって得えられる代数だいすうに注目ちゅうもくする。

ボース粒子りゅうしでの生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こは、交換こうかん関係かんけいを用もちいて以下いかのように定義ていぎされる。

$[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0$

$[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f|g\rangle$,

フェルミ粒子りゅうしでの生成せいせい消滅しょうめつ演算えんざん子こは、反はん交換こうかん関係かんけいを用もちいて以下いかのように定義ていぎされる。フェルミ粒子りゅうしで交換こうかん関係かんけいを用もちいると、エネルギー固有値こゆうちに下限かげんが無なくなる、負まけのノルム状態じょうたいが現あらわれるなど、物理ぶつり的てきに意味いみのある理論りろんが得えられないためである。

$\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0$

$\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f|g\rangle$

消滅しょうめつ演算えんざん子こ${\hat {a}}(f)\$は${\mathcal {H}}$上うえで反はん線形せんけいである。生成せいせい演算えんざん子こ${\hat {a}}^{\dagger }(f)\$は${\mathcal {H}}$上うえで線形せんけいである。物理ぶつり的てきには、${\hat {a}}(f)\$は状態じょうたい$|f\rangle$の粒子りゅうしを消滅しょうめつさせ、${\hat {a}}^{\dagger }(f)\$は状態じょうたい$|f\rangle$の粒子りゅうしを生成せいせいさせる。

自由じゆう場じょうの真空しんくう状態じょうたいは粒子りゅうしの無ない状態じょうたいである。つまり、

$a(f)|0\rangle =0$

ここで$|0\rangle$は真空しんくう状態じょうたいである。

$|f\rangle$が規格きかく化か$\langle f|f\rangle =1$されている場合ばあい、 ${\hat {a}}^{\dagger }(f){\hat {a}}(f)\$は状態じょうたい$|f\rangle$の粒子りゅうし数すうを与あたえる。

参考さんこう文献ぶんけん

• Feynman, Richard P. (1998) [1972]. Statistical Mechanics: A Set of Lectures (2nd ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0201360769. https://books.google.co.jp/books?id=Ou4ltPYiXPgC&pg=Front&redir_esc=y&hl=ja 

関連かんれん項目こうもく

• 交換こうかん関係かんけい (量子力学りょうしりきがく)
• 第だい二に量子りょうし化か