演算えんざん子こ (物理ぶつり学がく)

物理ぶつり学がくにおける演算えんざん子こ（えんざんし、operator）とは ある物理ぶつり状態じょうたいの空間くうかんから別べつの物理ぶつり状態じょうたいの空間くうかんへの関数かんすうのこと。 演算えんざん子こが用もちいられている最もっとも簡単かんたんな例れいとして対称たいしょう性せいがあり、群ぐんの考かんがえ方かたを有益ゆうえきにしている。 このことから、演算えんざん子こは古典こてん力学りきがくにおいて非常ひじょうに有用ゆうようなツールとなる。 量子力学りょうしりきがくでは演算えんざん子こはさらに重要じゅうようで、理論りろんの定式ていしき化かにおいて本質ほんしつ的てきな部分ぶぶんをなす。 数学すうがくでは「作用素さようそ」という語かたりが使つかわれているものと同おなじものであるが、以下いかでは物理ぶつりの観点かんてんから述のべる（英語えいごでは同おなじ語ごで operator である）。

古典こてん力学りきがく

古典こてん力学りきがくでは粒子りゅうし（または粒子りゅうし系けい）の運動うんどうはラグランジアン$L(q,{\dot {q}},t)$ やそれと等価とうかであるハミルトニアン $H(q,p,t)$によって完全かんぜんに決定けっていされる。これらは一般いっぱん化か座標ざひょうq、一般いっぱん化か速度そくど${\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t$、共役きょうやく運動うんどう量りょう

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$

についての関数かんすうである。

LやHが一般いっぱん化か座標ざひょうqと無関係むかんけいであるときは、qが変化へんかしてもLやHは変化へんかしない。よってqが変化へんかしても粒子りゅうしのダイナミクスは変かわらないままであり、これらの座標ざひょうに共役きょうやくな運動うんどう量りょうは保存ほぞんする。（これはネーターの定理ていりの一いち例れいで、座標ざひょうqについての運動うんどうの不変ふへん性せいは対称たいしょう性せいとなる。）古典こてん力学りきがくにおける演算えんざん子こは、これらの対称たいしょう性せいと関連かんれんしている。

より専門せんもん的てきには、Hが変換へんかんGの群ぐんの作用さよう下かで不変ふへんであるとき、

$S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)$.

Gの元もとは物理ぶつり的てきな演算えんざん子こで、物理ぶつり状態じょうたいと対応たいおうする。

古典こてん力学りきがくでの演算えんざん子こ一覧いちらん

変換へんかん	演算えんざん子こ	位置いち	運動うんどう量りょう
並進へいしん対称たいしょう性せい	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
時間じかん並進へいしん	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
回転かいてん不変ふへん性せい	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
ガリレイ変換へんかん	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
パリティ	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
T対称たいしょう性せい	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

ここで $R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )$は、単位たんいベクトル${\hat {\boldsymbol {n}}}$と角度かくどθしーたで定義ていぎされる回転かいてん行列ぎょうれつ。

量子力学りょうしりきがく

位置いち表示ひょうじした波動はどう関数かんすう$\psi (x)$に対たいして、位置いち演算えんざん子こ${\hat {x}}=x$、運動うんどう量りょう演算えんざん子こ${\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x$である（$i$は虚数きょすう単位たんい、$\hbar$はディラック定数ていすう）。 運動うんどう量りょう表示ひょうじした波動はどう関数かんすう$\psi (p)$に対たいして、運動うんどう量りょう演算えんざん子こ${\hat {p}}=p$、位置いち演算えんざん子こ${\hat {x}}=i\hbar \partial /\partial p$である。 量子力学りょうしりきがくにおける演算えんざん子こは必かならずしも交換こうかんしない。たとえば上記じょうきの位置いち演算えんざん子こと運動うんどう量りょう演算えんざん子こは非ひ可か換かわである：$[{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar$（不ふ確定かくてい性せい原理げんりも参照さんしょう）。

関連かんれん項目こうもく

• 有界ゆうかい線形せんけい作用素さようそ
• 表現ひょうげん論ろん