時間じかん反転はんてん対称たいしょう性せい

時間じかん反転はんてん対称たいしょう性せい（じかんはんてんたいしょうせい、英語えいご: time reversal symmetry）とは T : t → −t となるような変換へんかんに関かんしての物理ぶつり的てき対称たいしょう性せいである。T対称たいしょう性せい（英語えいご: T-symmetry）とも。

量子力学りょうしりきがく

初期しょき状態じょうたいと終おわり状態じょうたいを反転はんてんする変換へんかん下かでの物理ぶつり的てき現象げんしょうの不変ふへん性せいが物理ぶつり学がくでしばしば考察こうさつの対象たいしょうとなる。時間じかん反転はんてん演算えんざん子こを T とすれば

$THT^{\dagger }=H$

$Te^{-iH(t_{f}-t_{i})}T^{\dagger }=e^{iH(t_{f}-t_{i})*}$

となる。

初期しょき状態じょうたい |φふぁい_i⟩ から 終おわり状態じょうたい |φふぁい_f⟩ へ時間じかん発展はってんするある物理ぶつり現象げんしょうを考かんがえた場合ばあいに、行列ぎょうれつ要素ようそが

$\langle \phi _{f}|e^{-iH(t_{f}-t_{i})}|\phi _{i}\rangle$

となる。これは

$\langle \phi _{i}|T^{\dagger }e^{-iH(t_{f}-t_{i})}T|\phi _{f}\rangle$

すなわち T|φふぁい_f⟩ から T|φふぁい_i⟩ への時間じかん発展はってんという物理ぶつり現象げんしょうについての行列ぎょうれつ要素ようそと等ひとしい。

アンチユニタリ演算えんざん子こ

アンチユニタリ演算えんざん子こは

$A(c_{1}|\phi _{1}\rangle +c_{2}|\phi _{2}\rangle )=c_{1}^{*}A|\phi _{1}\rangle +c_{2}^{*}A|\phi _{2}\rangle$

$A^{\dagger }A=I$

と定義ていぎされる。

例たとえばある系けいの基本きほんとなる方程式ほうていしきは、

$i\hbar {\frac {\partial |\psi \rangle }{\partial t}}=H|\psi \rangle$

である。これの時間じかんミラー系けいを考かんがえた場合ばあいに、仮かりに時間じかん反転はんてん演算えんざん子こがユニタリであれば、

$i\hbar {\frac {\partial |\psi '\rangle }{\partial t'}}=H'|\psi '\rangle$

$\Leftrightarrow i\hbar {\frac {\partial T|\psi \rangle }{\partial (-t)}}=THT^{\dagger }T|\psi \rangle$

$\Leftrightarrow -i\hbar {\frac {\partial |\psi \rangle }{\partial t}}=H|\psi \rangle$

となって元もとの系けいの方程式ほうていしきとは符号ふごうが異ことなってしまう。であるから、時間じかん反転はんてん演算えんざん子こ$T$はアンチユニタリ演算えんざん子こでなければならない。