算さん符ふ

在ざい物理ぶつり學がく领域裡うら，算さん符ふ（operator）亦また稱たたえ算さん子こ、運算うんざん子こ，有ゆう别于数学すうがく的てき算さん子こ，其作用よう於物理ぶつり系統けいとう的てき狀態じょうたい空間くうかん，使つかい得とく物理ぶつり系統けいとう從したがえ某ぼう種たね狀態じょうたい變換へんかん為ため另外一いち種しゅ狀態じょうたい。這變換へんかん可能かのう相當そうとう複雜ふくざつ，需要じゅよう用よう很多方程式ほうていしき來らい表明ひょうめい，假かり若わか能のう夠使用しよう算ざん符ふ來らい代表だいひょう，可か以更為ため簡單かんたん扼要地表ちひょう達たち論述ろんじゅつ。

對たい於很多た案あん例れい，假かり若わか作用さよう的てき對象たいしょう有ゆう所しょ迥異，算さん符ふ的てき物理ぶつり行為こうい也會不同ふどう；但ただし是ぜ，對たい於有些案例れい，算さん符ふ的てき物理ぶつり行為こうい具有ぐゆう一般いっぱん性せい，這時，就可以將論題ろんだい抽象ちゅうしょう化か，專せん注ちゅう於研究けんきゅう算ざん符ふ的てき物理ぶつり行為こうい，不ふ必顧慮こりょ到いた狀態じょうたい的てき獨特どくとく性せい。這方法ほう比較ひかく適用てきよう於一些像對稱たいしょう性せい或ある守恆もりつね定律ていりつ的てき論題ろんだい。因よし此，在ざい經典きょうてん力學りきがく裏うら，算さん符ふ是ぜ很有用よう的てき工具こうぐ。在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら，算さん符ふ為ため理論りろん表ひょう述じゅつ不可ふか或ある缺かけ的てき要素ようそ。

對たい於更深奧しんおう的てき理論りろん研究けんきゅう，可能かのう會かい遇ぐう到いた很艱難なん的てき數學すうがく問題もんだい，算さん符ふ理論りろん（operator theory）能のう夠提供ていきょう高だか功こう能のう的てき架か構，使つかい得とく數學すうがく推導更さら為ため簡潔かんけつ精緻せいち、易えき讀易懂，更さら能のう展てん現出げんしゅつ內中物理ぶつり涵意。

一般いっぱん而言，在ざい經典きょうてん力學りきがく裏うら的てき算さん符ふ大だい多作たさく用よう於函數かんすう，這些函數かんすう的てき參まいり數すう為ため各種かくしゅ各樣かくよう的てき物理ぶつり量りょう，算さん符ふ將はた某ぼう函數かんすう映うつ射い為ため另一いち種しゅ函數かんすう。這種算さん符ふ稱しょう為ため「函數かんすう算さん符ふ」。在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら的てき算さん符ふ稱しょう為ため「量子りょうし算さん符ふ」，作用さよう的てき對象たいしょう是ぜ量子りょうし態たい。量子りょうし算さん符ふ將はた某ぼう量子りょうし態たい映うつ射い為ため另一いち種しゅ量子りょうし態たい。

經典きょうてん力學りきがく

在ざい經典きょうてん力學りきがく裏うら，粒子りゅうし（或ある一群いちぐん粒子りゅうし）的てき動力どうりょく行為こうい是ぜ由ゆかり拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)$或ある哈密頓ひたぶる量りょう${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$決定けってい；其中，$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})$、${\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})$分別ふんべつ是ぜ廣義こうぎ坐すわ標しるべ、廣義こうぎ速度そくど，$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}$是これ共軛きょうやく動どう量りょう，$t$是ぜ時間じかん。

假設かせつ拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう${\mathcal {L}}$或ある哈密頓ひたぶる量りょう${\mathcal {H}}$與あずか某ぼう廣義こうぎ坐すわ標しるべ$q_{i}$無關むせき，則のり當とう$q_{i}$有ゆう所しょ改變かいへん時じ，${\mathcal {L}}$或ある${\mathcal {H}}$仍舊會かい保持ほじ不變ふへん，這意味あじ著ちょ粒子りゅうし的てき動力どうりょく行為こうい也會保持ほじ不變ふへん，對應たいおう於$q_{i}$的てき共軛きょうやく動どう量りょう$p_{i}$守恆もりつね。對たい於廣義こうぎ坐すわ標しるべ$q_{i}$的てき改變かいへん，動力どうりょく行為こうい所しょ具有ぐゆう的てき不變ふへん性せい是ぜ一いち種しゅ對稱たいしょう性せい。在ざい經典きょうてん力學りきがく裏うら，當とう研とぎ讀有關せき對稱たいしょう性せい的てき課題かだい時じ，算さん符ふ是ぜ很有用よう的てき工具こうぐ。

特別とくべつ而言，假設かせつ對たい於某種しゅ群ぐん$G$的てき變換へんかん運算うんざん，物理ぶつり系統けいとう的てき哈密頓ひたぶる量りょう是これ個こ不ふ變量へんりょう；也就是ぜ說せつ，假設かせつ$S\in G$，

$S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )$。

在ざい這案例れい裏うら，所有しょゆう$G$的てき元素げんそ$S$都みやこ是ただし物理ぶつり算さん符ふ，能のう夠將物理ぶつり系統けいとう從したがえ某ぼう種たね狀態じょうたい變換へんかん為ため另一いち種しゅ狀態じょうたい；儘管$S$作用さよう於這物理ぶつり系統けいとう，哈密頓ひたぶる量りょう守恆もりつね不變ふへん。

舉一いち個こ關せき於平ひら移うつり於空間あいだ的てき簡單かんたん例れい子こ。「平たいら移うつり算さん符ふ」$T_{a}$能のう夠將粒子りゅうし從したがえ坐すわ標しるべ為ため$q_{i}$移動いどう至いたり坐すわ標しるべ為ため$q_{i}+a$，以方程式ほうていしき表示ひょうじ：

$T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)$；

其中，$f(q_{i})$是ぜ描述一いち群ぐん粒子りゅうし的てき密度みつど函數かんすう。

給きゅう定じょう一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則のり儘管$T_{a}$的てき作用さよう，這物理ぶつり系統けいとう的てき哈密頓ひたぶる量りょう${\mathcal {H}}$是これ個こ不變ふへん量りょう，對應たいおう於坐標しるべ$q_{i}$的てき動どう量りょう$p_{i}$守恆もりつね。

經典きょうてん力學りきがく算さん符ふ表ひょう格かく

算さん符ふ	標記ひょうき	位置いち	動どう量りょう
平ひら移うつり算さん符ふ	$T(\mathbf {\Delta \mathbf {r} } )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
時間じかん演えんじ化か算さん符ふ	$U(\Delta t)$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+\Delta t)$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+\Delta t)$
旋轉せんてん算ざん符ふ	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
伽とぎ利り略りゃく變換へんかん算ざん符ふ	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
宇稱算さん符ふ	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
時間じかん反はん演算えんざん符ふ	$\Theta$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

• $R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )$是これ旋轉せんてん矩のり陣じん，${\hat {\mathbf {n} }}$是ぜ旋轉せんてん軸じく向むこう量りょう，$\theta$是ぜ旋轉せんてん角かく弧こ。

生成せいせい元もと概念がいねん

對たい於一いち個こ微小びしょう的てき平たいら移うつり變換へんかん，猜測平たいら移うつり算さん符ふ的てき形式けいしき為ため

$T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A$；

其中，$I$是ぜ「單位たんい算さん符ふ」──變換へんかん群ぐん的てき單位たんい元もと，$\epsilon$是ぜ微小びしょう參さん數すう，$A$是ぜ專門せんもん用よう來らい設定せってい平ひら移うつり變換へんかん群ぐん的てき生成せいせい元もと。

為ため了簡りょうけん化か論述ろんじゅつ，只ただ考慮こうりょ一いち維案例れい，推導平たいら移うつり於一維空間あいだ的てき生成せいせい元もと。將はた平ひらた移うつり算さん符ふ$T_{\epsilon }$作用さよう於函數すう$f(x)$：

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )$。

由よし於$\epsilon$很微小びしょう，可か以泰たい勒近似きんじ$f(x-\epsilon )$為ため

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)$。

重じゅう寫うつし平たいら移うつり算さん符ふ的てき方程式ほうていしき為ため

$T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)$；

其中，導しるべ數すう算さん符ふ$\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$是ぜ平たいら移うつり群ぐん的てき生成せいせい元もと。

總そう結ゆい，平たいら移うつり群ぐん的てき生成せいせい元もと是ぜ導しるべ數すう算さん符ふ。

指數しすう映うつ射い

在ざい正常せいじょう狀況じょうきょう下か，通過つうか指數しすう映うつ射い，可か以從生成せいせい元もと得え到いた整せい個こ群ぐん。對たい於平移うつり於空間あいだ這案例れい，重複じゅうふく地ち做$N$次じ微小びしょう平たいら移うつり變換へんかん$T_{a/N}$，來らい代替だいたい一いち個こ有限ゆうげん值為$a$的てき平たいら移うつり變換へんかん$T_{a}$ ：

$T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)$。

現在げんざい，讓ゆずる$N$變へん得とく無窮むきゅう大だい，則のり因子いんし$a/N$趨於無窮むきゅう小しょう：

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)$。

這表達たち式しき的てき極限きょくげん為ため指數しすう函數かんすう：

$T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)$。

核かく對たい這結果けっか的てき正確せいかく性せい，將はた指數しすう函數かんすう泰たい勒展開てんかい為ため冪べき級數きゅうすう：

$T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)$。

這方程式ほうていしき的てき右手みぎて邊べ可か以重寫うつし為ため

$f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots$。

這正是ぜ$f(x-a)$的てき泰たい勒級數すう，也是$T_{a}f(x)$的てき原本げんぽん表ひょう達たち式しき結果けっか。

物理ぶつり算さん符ふ的てき數學すうがく性質せいしつ是ぜ很重要じゅうよう的てき研とぎ讀論題ろんだい。更さら多た相關そうかん內容，請參閱條目めC*-代数だいすう與あずか蓋ぶた爾なんじ范德-奈馬克かつ定理ていり（Gelfand-Naimark theorem）。

量子力學りょうしりきがく

在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら，算さん符ふ的てき功こう能のう被ひ發揮はっき得とく淋漓りんり盡つき致。量子力學りょうしりきがく的てき數學すうがく表ひょう述じゅつ建立こんりゅう於算符ふ的てき概念がいねん。量子りょうし系統けいとう的てき量子りょうし態たい可か以用態たい向むこう量りょう設定せってい，態たい向むこう量りょう是ぜ向むかい量りょう空間くうかん的てき單位たんい範はん數すう向むかい量りょう。在ざい向むこう量りょう空間くうかん內，量子りょうし算さん符ふ作用さよう於量子りょうし態たい，使つかい它變換へんかん成なり另一いち個こ量子りょうし態たい。由よし於物體ぶったい的てき態たい向むこう量りょう範はん數すう應おう該保持ほじ不變ふへん，量子りょうし算さん符ふ必須ひっす是ぜ厄やく米まい算さん符ふ。假かり若わか變換へんかん前まえ的てき量子りょうし態たい與あずか變換へんかん後ご的てき量子りょうし態たい，除じょ了りょう乘法じょうほう數すう值以外がい，兩個りゃんこ量子りょうし態たい相しょう同どう，則のり稱しょう此量子りょうし態たい為ため本ほん徵ちょう態たい，稱しょう此乘法ほう數すう值為本ほん徵ちょう值。

物理ぶつり實驗じっけん中ちゅう可か以觀測かんそく到いた的てき物理ぶつり量りょう稱たたえ為ため可か觀察かんさつ量りょう。每まい一いち個こ可か觀察かんさつ量りょう，都みやこ有ゆう其對應おう的てき算さん符ふ。可か觀察かんさつ量的りょうてき算さん符ふ也許會かい有ゆう很多本ほん徵ちょう值與本ほん徵ちょう態たい。根據こんきょ統計とうけい詮かい釋しゃく，每まい一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測はか得う這本徵ちょう值的機會きかい呈てい機き率りつ性せい，量子りょうし系統けいとう的てき量子りょうし態たい也會改變かいへん為ため對應たいおう於本徵ちょう值的本ほん徵ちょう態たい。

量子りょうし算さん符ふ

假設かせつ，物理ぶつり量りょう$O$是ぜ某ぼう量子りょうし系統的けいとうてき可か觀察かんさつ量りょう，其對應おう的てき量子りょうし算さん符ふ${\hat {O}}$可能かのう有ゆう很多不同ふどう的てき本ほん徵ちょう值$O_{i}$與あずか對應たいおう的てき本ほん徵ちょう態たい$|e_{i}\rangle$，這些本ほん徵ちょう態たい$|e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$，形成けいせい了りょう具有ぐゆう正せい交歸一いち性せい的てき基底きてい：

$\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$；

其中，$\delta _{ij}$是これ克かつ羅ら內克函數かんすう。

假設かせつ，某ぼう量子りょうし系統けいとう的てき量子りょうし態たい為ため

$|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle$；

其中，$c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle$是ぜ複ふく係數けいすう，是ぜ在ざい$|e_{i}\rangle$裏うら找到$|\psi \rangle$的てき機き率りつ幅はば。

測量そくりょう這動作さく將はた量子りょうし態たい$|\psi \rangle$改變かいへん為本ためもと徵ちょう態たい$|e_{i}\rangle$的まと機き率りつ為ため$p_{i}=|c_{i}|^{2}$，測量そくりょう結果けっか是ぜ本ほん徵ちょう值$O_{i}$的まと機き率りつ也為$p_{i}$。

期き望もち值

主しゅ条目じょうもく：期き望もち值

在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら，重複じゅうふく地ち做同樣どうよう實驗じっけん，通常つうじょう會得えとく到いた不同ふどう的てき測量そくりょう結果けっか，期き望もち值是ぜ理論りろん平均へいきん值，可か以用來らい預あずか測はか測量そくりょう結果けっか的てき統計とうけい平均へいきん值。

採用さいよう狄拉克かつ標記ひょうき，對たい於量子りょうし系統けいとう的てき量子りょうし態たい$|\psi \rangle$，可か觀察かんさつ量りょう$O$的まと期き望もち值$\langle O\rangle$定義ていぎ為ため

$\langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle$；

其中，${\hat {O}}$是ぜ對應たいおう於可觀察かんさつ量りょう$O$的てき算さん符ふ。

將はた算さん符ふ${\hat {O}}$作用さよう於量子りょうし態たい$|\psi \rangle$，會かい形成けいせい新しん量子りょうし態たい$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle$。

從したがえ左邊さへん乘じょう以量子りょうし態たい$\langle \psi |$，經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以得到いた

$\langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

所以ゆえん，每まい一個本徵值與其機率的乘積，所有しょゆう乘じょう積せき的てき代數だいすう和わ，就是可か觀察かんさつ量りょう$O$的てき期き望もち值：

$\langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}$。

將はた上述じょうじゅつ定義ていぎ式しき加か以推廣ひろ，就可以用來らい計算けいさん任意にんい函數かんすう$F(O)$的まと期き望もち值：

$\langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle$。

例れい如，$F({\hat {O}})$可か以是${\hat {O}}^{2}$，即そく重複じゅうふく施ほどこせ加算かさん符ふ${\hat {O}}$兩次りょうじ：

$\langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle$。

對たい易えき算さん符ふ

主しゅ条目じょうもく：對たい易えき算さん符ふ

假設かせつ兩りょう種たね可か觀察かんさつ量りょう$A$、$B$的てき算さん符ふ分別ふんべつ為ため${\hat {A}}$、${\hat {B}}$，它們的てき對たい易えき算さん符ふ定義ていぎ為ため

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$。

對たい易えき算さん符ふ是ぜ由ゆかり兩りょう種たね算さん符ふ組合くみあい而成的てき複ふく合算がっさん符ふ，當とう作用さよう於量子りょうし態たい$|\psi \rangle$時とき，會かい給きゅう出で

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle$。

假設かせつ$[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$，則のり稱しょう這兩種しゅ可か觀察かんさつ量りょう為ため「相あい容よう可か觀察かんさつ量りょう」，否いや則のり，$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$，稱しょう這兩種しゅ可か觀察かんさつ量りょう為ため「不ふ相あい容よう可か觀察かんさつ量りょう」。

假設かせつ兩りょう種たね可か觀察かんさつ量りょう為ため不ふ相あい容よう可か觀察かんさつ量りょう，則のり由よし於不ふ確定かくてい原理げんり，絕無ぜつむ法ほう製せい備出這兩種しゅ可か觀察かんさつ量りょう在ざい任意にんい精確せいかく度ど內的量子りょうし系統けいとう。注意ちゅうい到いた這是一個關於製備方面的問題，不ふ是ぜ一個關於測量方面的問題。假かり若わか精せい心しん設計せっけい測量そくりょう實驗じっけん，裝備そうび足あし夠優良ゆうりょう的てき測量そくりょう儀ぎ器き，則のり對たい於某些量子りょうし系統けいとう，測量そくりょう這兩種しゅ可か觀察かんさつ量りょう至いたり任意にんい精確せいかく度ど是ぜ很容易ようい達成たっせい的てき任務にんむ。

厄やく米まい算さん符ふ

每まい一種經過測量而得到的物理量都是實值，因いん此，可か觀察かんさつ量りょう$O$的まと期き望もち值是實じつ值：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}$。

對たい於任意にんい量子りょうし態たい$|\psi \rangle$，這關係かんけい都と成立せいりつ：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}$。

根據こんきょ伴ばん隨ずい算さん符ふ的てき定義ていぎ，假設かせつ${\hat {O}}^{\dagger }$是これ${\hat {O}}$的てき伴とも隨ずい算さん符ふ，則のり$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle$。因よし此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }$。

這正是ぜ厄やく米まい算さん符ふ的てき定義ていぎ。所以ゆえん，表現ひょうげん可か觀察かんさつ量的りょうてき算さん符ふ，都みやこ是ただし厄やく米まい算さん符ふ。

矩のり陣じん力學りきがく

應用おうよう基底きてい的てき完備かんび性せい，添加てんか單位たんい算さん符ふ${\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|$於算符ふ${\hat {O}}$的てき兩りょう旁つくり，可か以得到いた

${\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|$；

其中，$O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle$是ぜ求もとめ和式わしき內每一いち個こ項目こうもく的てき係數けいすう。

所以ゆえん，量子りょうし算さん符ふ可か以用矩のり陣じん形式けいしき來らい代表だいひょう：

${\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}$ 。

算さん符ふ${\hat {O}}$與あずか它的伴ばん隨ずい算さん符ふ${\hat {O}}^{\dagger }$彼此ひし之の間あいだ的てき關係かんけい為ため

$\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}$。

所以ゆえん，分別ふんべつ代表だいひょう這兩個りゃんこ算さん符ふ的てき兩個りゃんこ矩のり陣じん，彼此ひし是ぜ對たい方かた的てき轉置てんち共軛きょうやく。對たい於厄米まい算さん符ふ，代表だいひょう的てき矩のり陣じん是ぜ個こ實じつ值的對稱たいしょう矩のり陣じん。

用よう矩のり陣じん代數だいすう來らい計算けいさん算ざん符ふ${\hat {O}}$怎樣作用さよう於量子りょうし態たい$|\psi \rangle$，假設かせつ系統けいとう因いん此變換へんかん為ため量子りょうし態たい$|\phi \rangle$：

$|\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle$。

從したがえ左邊さへん乘じょう以本徵ちょう態たい$\langle e_{i}|$，應用おうよう基底きてい的てき完備かんび性せい，添加てんか單位たんい算さん符ふ${\hat {I}}$於算符ふ的てき右邊うへん，可か以得到いた

$\langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle$。

右みぎ矢や$|\phi \rangle$、$|\psi \rangle$分別ふんべつ用よう豎矩陣じん來らい代表だいひょう

$|\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 、　　　　$|\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 。

兩個りゃんこ豎矩陣じん彼此ひし之の間あいだ的てき關係かんけい為ため

${\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}$ 。

假設かせつ算ざん符ふ${\hat {O}}$是ぜ厄やく米まい算さん符ふ，則のり其所有本ありもと徵ちょう態たい都と相互そうご正せい交。以矩陣じん來らい代表だいひょう算ざん符ふ，可か以計算出さんしゅつ一組本徵值與對應的本徵態，每ごと一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由よし於本徵ちょう態たい的てき正せい交性質しつ，可か以找到一組基底來表示每一種量子態。解析かいせき方かた塊かたまり矩のり陣じん的てき特徵とくちょう多項式たこうしき，就可以找到いた本ほん徵ちょう值$\lambda$：

$\det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0$。

量子りょうし算さん符ふ表ひょう格かく

在ざい這表格かく裏うら，算さん符ふ的てき表現ひょうげん空間くうかん是ぜ位置いち空間くうかん。假かり若わか表現ひょうげん空間くうかん是ぜ其它種しゅ空間くうかん，則のり表示ひょうじ出で的てき方程式ほうていしき會かい不ふ一いち樣よう。在ざい英文えいぶん字母じぼ上方かみがた的てき尖とんが角かく號ごう表示ひょうじ整せい個こ符號ふごう代表だいひょう的てき是ぜ個こ量子りょうし算さん符ふ，不ふ是ぜ單位たんい向むこう量りょう。

算さん符ふ名稱めいしょう	直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい分量ぶんりょう表示ひょうじ	向こう量りょう表示ひょうじ
位置いち算ざん符ふ	${\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r}$
動どう量りょう算さん符ふ	一般いっぱん狀況じょうきょう ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$	一般いっぱん狀況じょうきょう $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$
	電磁場でんじば ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	電磁場でんじば（$\mathbf {A}$是これ磁向量りょう勢ぜい） $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$
動どう能のう算さん符ふ	平ひら移うつり運動うんどう ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	平ひら移うつり運動うんどう ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\hat {T}}_{x}+{\hat {T}}_{y}+{\hat {T}}_{z}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\\\end{aligned}}$
	電磁場でんじば ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}$	電磁場でんじば（$\mathbf {A}$是これ磁向量りょう勢ぜい） ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}$
	旋轉せんてん運動うんどう（$I$是これ轉うたて動どう慣量） ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}$	旋轉せんてん運動うんどう ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}$
勢いきおい能のう算さん符ふ	N/A	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)$
總そう能のう量りょう算さん符ふ	N/A	含時位い勢ぜい： ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$ 不ふ含時位い勢ぜい： ${\hat {E}}=E$
哈密頓ひたぶる算さん符ふ	N/A	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}$
角すみ動どう量りょう算さん符ふ	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla$
自じ旋算符ふ	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ 其中， $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ 是これ自じ旋1/2粒子りゅうし的てき包つつみ立りつ矩のり陣じん。	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}$ 其中，向むこう量りょう${\boldsymbol {\sigma }}$的てき分量ぶんりょう是ぜ包つつみ立りつ矩のり陣じん。
總角あげまき動どう量りょう算さん符ふ	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$
躍おど遷矩（電でん） （transition moment）	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=qx\\{\hat {d}}_{y}&=qy\\{\hat {d}}_{z}&=qz\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {r}$

範はん例れい

位置いち算ざん符ふ

主しゅ条目じょうもく：位置いち算ざん符ふ

只ただ思考しこう一いち維問題もんだい，將はた位置いち算ざん符ふ${\hat {x}}$施ほどこせ加か於位置本おきもと徵ちょう態たい$|x\rangle$，可か以得到いた本ほん徵ちょう值$x$，即そく粒子りゅうし的てき位置いち：

${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$。

由よし於位置いち基底きてい具有ぐゆう完かん整せい性せい，${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$，任意にんい量子りょうし態たい$|\psi \rangle$可か以按著ちょ位置いち本ほん徵ちょう態たい形成けいせい的てき基底きてい展開てんかい：

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

將はた位置いち算ざん符ふ${\hat {x}}$施ほどこせ加か於量子りょうし態たい$|\psi \rangle$，由ゆかり於算符ふ${\hat {x}}$只ただ作用さよう於右矢や$|x\rangle$，與あずか其它數學すうがく個體こたい無關むせき，可か以移入いにゅう積分せきぶん式しき內：

${\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

左ひだり矢や$\langle \psi |$與あずか這方程式ほうていしき的てき內積為ため

$\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

設定せってい量子りょうし態たい$|\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$。由よし於位置いち基底きてい具有ぐゆう完かん整せい性せい，${\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x$，量子りょうし態たい$\langle \psi |$與あずか$|\alpha \rangle$的てき內積，可か以按著ちょ位置いち本ほん徵ちょう態たい形成けいせい的てき基底きてい展開てんかい為ため

$\langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x$。

將はた這兩個りゃんこ積分せきぶん式しき加か以比較ひかく，立たて刻こく可か以辨識出全ぜん等式とうしき

$\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle$。

設定せってい量子りょうし態たい$|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$。量子りょうし態たい$|\Psi \rangle$、$|\psi \rangle$的てき位置いち空間くうかん表現ひょうげん，即そく波なみ函數かんすう，分別ふんべつ定義ていぎ為ため

$\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle$、

$\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle$。

兩個りゃんこ波は函數かんすう$\Psi (x)$、$\psi (x)$之これ間あいだ的てき關係かんけい為ため

$\Psi (x)=x\psi (x)$。

總そう結ゆい，位置いち算ざん符ふ${\hat {x}}$作用さよう於量子りょうし態たい$|\psi \rangle$的てき結果けっか$|\Psi \rangle$，表現ひょうげん於位置いち空間くうかん，等價とうか於波函數かんすう$\psi (x)$與あずか$x$的てき乘じょう積せき$\Psi (x)$。

動どう量りょう算さん符ふ

表現ひょうげん於位置いち空間くうかん，一維動量算符為

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$。

將はた動どう量りょう算さん符ふ${\hat {p}}$施ほどこせ加か於量子りょうし態たい$|\psi \rangle$，可か以得到いた類似るいじ前まえ一いち節せつ得え到いた的てき結果けっか：

$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle$。

應用おうよう位置いち基底きてい所しょ具有ぐゆう的てき完かん整せい性せい，對たい於任意にんい量子りょうし態たい$|\phi \rangle$，可か以得到いた更さら廣義こうぎ的てき結果けっか：

${\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}$ ；

其中，$\phi (x)=\langle x|\phi \rangle$、$\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$分別ふんべつ是ぜ量子りょうし態たい$|\phi \rangle$、$|\psi \rangle$表現ひょうげん於位置いち空間くうかん的てき波なみ函數かんすう。

假設かせつ$|\psi \rangle$是これ${\hat {p}}$的てき本ほん徵ちょう態たい，本ほん徵ちょう值為$p$，則のり可か得え到いた

$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle$。

將はた$|\psi \rangle$改あらため寫うつし為本ためもと徵ちょう值為$p$的てき本ほん徵ちょう態たい$|p\rangle$，方程式ほうていしき改あらため寫うつし為ため

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle$。

這微分ぶん方程式ほうていしき的てき解析かいせき解かい為ため

$\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }$。

所以ゆえん，動どう量りょう本ほん徵ちょう態たい的てき波なみ函數かんすう是ぜ一いち個こ平面へいめん波は。不ふ需要じゅよう應用おうよう薛丁格かく方程式ほうていしき，就可以推導しるべ求もとめ得え這出はいで結果けっか。

參まいり閱

• 有界ゆうかい算さん符ふ
• 表示ひょうじ論ろん
• 算さん子こ