在物理學领域裡,算符(operator)亦稱算子、運算子[1],有别于数学的算子,其作用於物理系統的狀態空間,使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜,需要用很多方程式來表明,假若能夠使用算符來代表,可以更為簡單扼要地表達論述。
對於很多案例,假若作用的對象有所迥異,算符的物理行為也會不同;但是,對於有些案例,算符的物理行為具有一般性,這時,就可以將論題抽象化,專注於研究算符的物理行為,不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此,在經典力學裏,算符是很有用的工具。在量子力學裏,算符為理論表述不可或缺的要素。
對於更深奧的理論研究,可能會遇到很艱難的數學問題,算符理論(operator theory)能夠提供高功能的架構,使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂,更能展現出內中物理涵意。
一般而言,在經典力學裏的算符大多作用於函數,這些函數的參數為各種各樣的物理量,算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」,作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。
在經典力學裏,粒子(或一群粒子)的動力行為是由拉格朗日量
或哈密頓量
決定;其中,
、
分別是廣義坐標、廣義速度,
是共軛動量,
是時間。
假設拉格朗日量
或哈密頓量
與某廣義坐標
無關,則當
有所改變時,
或
仍舊會保持不變,這意味著粒子的動力行為也會保持不變,對應於
的共軛動量
守恆。對於廣義坐標
的改變,動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏,當研讀有關對稱性的課題時,算符是很有用的工具。
特別而言,假設對於某種群
的變換運算,物理系統的哈密頓量是個不變量;也就是說,假設
,
。
在這案例裏,所有
的元素
都是物理算符,能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態;儘管
作用於這物理系統,哈密頓量守恆不變。
舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」
能夠將粒子從坐標為
移動至坐標為
,以方程式表示:
;
其中,
是描述一群粒子的密度函數。
給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統,則儘管
的作用,這物理系統的哈密頓量
是個不變量,對應於坐標
的動量
守恆。
經典力學算符表格
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算符
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標記
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位置
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動量
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平移算符
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時間演化算符
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旋轉算符
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伽利略變換算符
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宇稱算符
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時間反演算符
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|
是旋轉矩陣,
是旋轉軸向量,
是旋轉角弧。
對於一個微小的平移變換,猜測平移算符的形式為
;
其中,
是「單位算符」──變換群的單位元,
是微小參數,
是專門用來設定平移變換群的生成元。
為了簡化論述,只考慮一維案例,推導平移於一維空間的生成元。將平移算符
作用於函數
:
。
由於
很微小,可以泰勒近似
為
。
重寫平移算符的方程式為
;
其中,導數算符
是平移群的生成元。
總結,平移群的生成元是導數算符。
在正常狀況下,通過指數映射,可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例,重複地做
次微小平移變換
,來代替一個有限值為
的平移變換
:
。
現在,讓
變得無窮大,則因子
趨於無窮小:
。
這表達式的極限為指數函數:
。
核對這結果的正確性,將指數函數泰勒展開為冪級數:
。
這方程式的右手邊可以重寫為
。
這正是
的泰勒級數,也是
的原本表達式結果。
物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容,請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理(Gelfand-Naimark theorem)。
在量子力學裏,算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定,態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內,量子算符作用於量子態,使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變,量子算符必須是厄米算符[來源請求]。假若變換前的量子態與變換後的量子態,除了乘法數值以外,兩個量子態相同,則稱此量子態為本徵態,稱此乘法數值為本徵值。[2]:11-12
物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量,都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋,每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值,而且,測得這本徵值的機會呈機率性,量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。[3]:106-109
假設,物理量
是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符
可能有很多不同的本徵值
與對應的本徵態
,這些本徵態
,形成了具有正交歸一性的基底:[3]:96-99
;
其中,
是克羅內克函數。
假設,某量子系統的量子態為
;
其中,
是複係數,是在
裏找到
的機率幅。[2]:50
測量這動作將量子態
改變為本徵態
的機率為
,測量結果是本徵值
的機率也為
。
在量子力學裏,重複地做同樣實驗,通常會得到不同的測量結果,期望值是理論平均值,可以用來預測測量結果的統計平均值。
採用狄拉克標記,對於量子系統的量子態
,可觀察量
的期望值
定義為[2]:24-25
;
其中,
是對應於可觀察量
的算符。
將算符
作用於量子態
,會形成新量子態
:
。
從左邊乘以量子態
,經過一番運算,可以得到
。
所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和,就是可觀察量
的期望值:
。
將上述定義式加以推廣,就可以用來計算任意函數
的期望值:
。
例如,
可以是
,即重複施加算符
兩次:
。
假設兩種可觀察量
、
的算符分別為
、
,它們的對易算符定義為
。
對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符,當作用於量子態
時,會給出
。
假設
,則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」,否則,
,稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。
假設兩種可觀察量為不相容可觀察量,則由於不確定原理,絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題,不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗,裝備足夠優良的測量儀器,則對於某些量子系統,測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。[4]
每一種經過測量而得到的物理量都是實值,因此,可觀察量
的期望值是實值:
。
對於任意量子態
,這關係都成立:
。
根據伴隨算符的定義,假設
是
的伴隨算符,則
。因此,
。
這正是厄米算符的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[3]:96-99
應用基底的完備性,添加單位算符
於算符
的兩旁,可以得到[2]:20-23
;
其中,
是求和式內每一個項目的係數。
所以,量子算符可以用矩陣形式來代表:
。
算符
與它的伴隨算符
彼此之間的關係為
。
所以,分別代表這兩個算符的兩個矩陣,彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符,代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。
用矩陣代數來計算算符
怎樣作用於量子態
,假設系統因此變換為量子態
:
。
從左邊乘以本徵態
,應用基底的完備性,添加單位算符
於算符的右邊,可以得到
。
右矢
、
分別用豎矩陣來代表
、
。
兩個豎矩陣彼此之間的關係為
。
假設算符
是厄米算符,則其所有本徵態都相互正交。[5]以矩陣來代表算符,可以計算出一組本徵值與對應的本徵態,每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質,可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式,就可以找到本徵值
:
。
在這表格裏,算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間,則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符,不是單位向量。
只思考一維問題,將位置算符
施加於位置本徵態
,可以得到本徵值
,即粒子的位置:[6]:220-221
。
由於位置基底具有完整性,
,任意量子態
可以按著位置本徵態形成的基底展開:
。
將位置算符
施加於量子態
,由於算符
只作用於右矢
,與其它數學個體無關,可以移入積分式內:
。
左矢
與這方程式的內積為
。
設定量子態
。由於位置基底具有完整性,
,量子態
與
的內積,可以按著位置本徵態形成的基底展開為
。
將這兩個積分式加以比較,立刻可以辨識出全等式
。
設定量子態
。量子態
、
的位置空間表現,即波函數,分別定義為
、
。
兩個波函數
、
之間的關係為
。
總結,位置算符
作用於量子態
的結果
,表現於位置空間,等價於波函數
與
的乘積
。
表現於位置空間,一維動量算符為
。
將動量算符
施加於量子態
,可以得到類似前一節得到的結果:
。
應用位置基底所具有的完整性,對於任意量子態
,可以得到更廣義的結果:
;
其中,
、
分別是量子態
、
表現於位置空間的波函數。
假設
是
的本徵態,本徵值為
,則可得到
。
將
改寫為本徵值為
的本徵態
,方程式改寫為
。
這微分方程式的解析解為
。
所以,動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式,就可以推導求得這出結果。[2]:50-54
- ^ Kittel charles著,洪連輝等譯,固態物理學導論,第681頁。
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
- ^ 3.0 3.1 3.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
- ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358
- ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
- ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台灣: 天下文化書: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2