拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう

約やく瑟夫·拉ひしげ格かく朗ろう日び

在ざい分析ぶんせき力學りきがく裏うら，一いち个动力系けい统的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう（英語えいご：Lagrangian），又また稱たたえ拉ひしげ格かく朗ろう日び函數かんすう，简称“拉ひしげ氏し量りょう”，是ぜ描述整せい个物理系りけい统的动力状じょう态的函数かんすう，對たい於一般いっぱん經典きょうてん物理ぶつり系統けいとう，通常つうじょう定義ていぎ為ため動どう能のう減へ去ざ勢いきおい能のう，以方程式ほうていしき表示ひょうじ為ため

${\mathcal {L}}=T-V$；

其中，${\mathcal {L}}$為ため拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう，$T$為ため動どう能のう，$V$為ため勢ぜい能のう。

在ざい分析ぶんせき力学りきがく裡うら，假設かせつ已やめ知ち一个系统的拉格朗日量，则可以将拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう直接ちょくせつ代入だいにゅう拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき，稍やや加か运算，即そく可か求もとめ得え此系统的运动方程式ほうていしき。

拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう是ぜ因數いんすう學がく家か和わ天文學てんもんがく家か約やく瑟夫·拉ひしげ格かく朗ろう日び而命名めいめい。

在ざい场论，若わか

$S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi (x),\partial \phi (x),x)d^{n}x$

是これ作用さよう量りょう，则拉格かく朗ろう日方ひかた程ほど是これ

${\frac {\delta S}{\delta \phi }}=0$

概念がいねん

拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう是ぜ动能$T$与あずか势能$V$的まと差さ值：

${\mathcal {L}}=T-V$。

通常つうじょう，動どう能のう的てき參まいり數すう為ため廣義こうぎ速度そくど${\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}$（符號ふごう上方かみがた的てき點てん號ごう表示ひょうじ對たい於時間あいだ$t$的てき全ぜん導しるべ數すう），而勢能のう的てき參さん數すう為ため廣義こうぎ座標ざひょう$q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t$，所以ゆえん，拉ひしげ格かく朗ろう日び量的りょうてき參さん數すう為ため$q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t$。解析かいせき一いち个问题，最さい先さき要よう选择一个合适的广义坐标。然しか后きさき，计算出さんしゅつ其拉格かく朗ろう日び量りょう。假定かてい這些參さん數すう（廣義こうぎ座標ざひょう、廣義こうぎ速度そくど）都と互相獨立どくりつ，就可以用拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき来らい求もとめ得とく系けい统的运动方程式ほうていしき。

假設かせつ一個物理系統的拉格朗日量為${\mathcal {L}}$，則のり此物理ぶつり系統けいとう的てき運動うんどう，以拉格かく朗ろう日び方程式ほうていしき表示ひょうじ為ため

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0$；

其中，$t$是ぜ时间，$q_{i}$是ぜ广义坐标，${\dot {q}}_{i}$是ぜ广义速度そくど。

拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう與作よさく用量ようりょう的てき關係かんけい

一いち個こ物理ぶつり系統けいとう的てき作用さよう量りょう${\mathcal {S}}$是ぜ一いち種しゅ泛函，以數學がく方程式ほうていしき定義ていぎ為ため

${\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt$；

其中，$L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$是ぜ系統的けいとうてき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう，廣義こうぎ坐すわ標しるべ$\mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)$是ぜ時間じかん$t$的てき函數かんすう，$t_{1}$和わ$t_{2}$分別ふんべつ為ため初はつ始はじめ時間じかん和わ終結しゅうけつ時間じかん。

假かり若わか，作用さよう量的りょうてき一いち次じ變へん分ぶん$\delta {\mathcal {S}}=0$，作用さよう量りょう${\mathcal {S}}$為ため平穩へいおん值，則のり$\mathbf {q} (t)$正確せいかく地ち描述這物理ぶつり系統けいとう的てき真ま實演じつえん化か。從したがえ這變分ぶん運算うんざん，可か以推導出どうしゅつ拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき

詳しょう盡つき相關そうかん導しるべ引，請參閱拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき。

对称性せい与あずか守恒もりつね量りょう

主しゅ条目じょうもく：诺特定理ていり

根ね据すえ诺特定理ていり，根ね据すえ物理ぶつり系けい统的对称性せい可か以通过拉格かく朗ろう日び量りょう导出守恒もりつね量りょう。如果物理ぶつり系けい统具有ぐゆう时间平たいら移うつり不ふ变性则可以导出で能のう量りょう守恒もりつね。导出过程如下，思考しこう拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう對たい於時間あいだ的てき全ぜん導しるべ數すう：

${\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$。

將はた拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき代入だいにゅう，可か以得到いた

${\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$。

定義ていぎ能のう量りょう函數かんすう${\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)$為ため

${\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}$，

則のり能のう量りょう函數かんすう與あずか拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう有ゆう以下いか含時關係かんけい式しき：

${\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$。

假かり若わか系けい统具有ぐゆう时间平たいら移うつり不ふ变性，即そく拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう顯あらわ性せい地ち與あずか時間じかん無關むせき，${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0$，則のり能のう量りょう函數かんすう是ぜ個こ常數じょうすう：${\mathit {h}}=E$。稱しょう這常數すう$E$為ため這物理ぶつり系統けいとう的てき能のう量りょう。因よし此，這物理ぶつり系統けいとう的てき能のう量りょう守恆もりつね。如果系けい统具有ぐゆう空そら间平移うつり不ふ变性，这个系けい统为动量守恒もりつね，守恒もりつね量りょう动量为 ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$。

拉ひしげ格かく朗ろう日び量的りょうてき逆ぎゃく问题

主しゅ条目じょうもく：拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく的てき逆ぎゃく问题

1941年ねん杰西·道どう格かく拉ひしげ斯指出さしで，对于任意にんい常微分じょうびぶん方かた程ほど组$F_{i}(t,q_{j},q_{j}^{'},q_{j}^{''})=0$，存在そんざい作用さよう量りょう${\mathcal {S}}\ =\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt$使つかい得とく其欧拉ひしげ-拉ひしげ格かく朗ろう日方ひかた程ほど为方程ほど组$F_{i}$的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん为：

${\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{''}}}={\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{''}}}$

${\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{'}}}-{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{'}}})$

${\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{'}}}+{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{'}}}=2{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{''}}})$

这一条件又称为亥姆霍兹条件。需要じゅよう注意ちゅうい的てき是ぜ，这里${\mathcal {L}}=T-V$不ふ一定いってい成立せいりつ，作用さよう量りょう中なか的てき${\mathcal {L}}$可か以是经典拉ひしげ格かく朗ろう日び的てき变形。例れい如：方ほう程ほど$x^{''}+bx^{'}+\omega ^{2}x=0$，对应的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう为${\mathcal {L}}=e^{bt}({\frac {x^{'2}}{2}}-{\frac {\omega ^{2}x^{2}}{2}})$

拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ

重要じゅうよう性せい

拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ是ぜ经典力学りきがく的てき一种重新表述。拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ的てき重要じゅうよう性せい，不ふ只ただ是ぜ因いん为它可か以广泛应用よう在ざい经典力学りきがく；而更是ぜ因いん为它能のう够帮助じょ物理ぶつり学がく家か更さら深刻しんこく地ち了解りょうかい一个物理系统的物理行为。雖然拉ひしげ格かく朗ろう日び只ただ是ぜ在ざい尋ひろ找一種表述經典力學的方法，他用たよう來らい推導拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき的てき平穩へいおん作さく用量ようりょう原理げんり，現在げんざい已やめ被ひ學術がくじゅつ界かい公認こうにん為ため在ざい量子力學りょうしりきがく也極具ぐ功こう用よう。

优点

• 拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ不ふ会かい被ひ任にん何なに坐すわ标系统捆绑住。拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ使用しよう广义坐标来らい描述系けい统的空そら间参数すう。它所涉わたる及的物理ぶつり量りょう是ぜ动能与あずか势能，这些物理ぶつり量的りょうてき值不会かい随ずい广义坐标的选择而改变。因よし此，對たい於系统的种种約束やくそく，可か以选择一组最合适的广义坐标，来らい计算问题的てき解答かいとう。

• 拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ能のう够简易えき地ち延伸えんしん至いたり其他学がく术領域りょういき。电路学がく、量子力学りょうしりきがく、粒子りゅうし物理ぶつり学がく、等ひとし等とう，都と可か以用拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ来らい分析ぶんせき。

• 如果用よう同どう样的表ひょう述じゅつ可か以分析ぶんせき不同ふどう学がく术領域りょういき的てき物理ぶつり系けい统，这些系けい统必定ひつじょう有ゆう結ゆい构上的てき类推。在ざい一个学术領域的新发现，意味いみ著ちょ很可能かのう在ざい另一个学术領域会有类似的现象。

可か略りゃく坐すわ標しめぎ和かず守恆もりつね定律ていりつ

拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう有ゆう一いち個こ優良ゆうりょう的てき性質せいしつ，那な就是守恆もりつね定律ていりつ可か以很容易ようい地ち從したがえ它的表ひょう達たち式しき讀出來でき。例れい如，假設かせつ拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう${\mathcal {L}}$跟某廣義こうぎ速度そくど${\dot {q}}_{2}$有ゆう關せき，而跟廣義こうぎ坐すわ標しるべ$q_{2}$無關むせき，則のり對應たいおう的てき廣義こうぎ動どう量りょう$p_{2}$是ぜ一いち個こ守恆もりつね量りょう。這種坐すわ標しるべ稱しょう為ため「可か略りゃく坐すわ標しるべ」，或ある「循環じゅんかん坐すわ標しるべ」。更さら詳細しょうさい地ち說せつ，拉ひしげ格かく朗ろう日び量的りょうてき形式けいしき為ため

${\mathcal {L}}(q_{1},q_{3},q_{4},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},{\dot {q}}_{4},\dots ;t)$。

直接ちょくせつ檢視けんし，就可以發覺はっかく${\mathcal {L}}$跟$q_{2}$無關むせき，因いん此可以推斷すいだん$p_{2}$是ぜ一いち個こ守恆もりつね量りょう。

以此類推るいすい，假設かせつ，時間じかん$t$不在ふざい${\mathcal {L}}$的まと表ひょう達たち式しき裏面りめん，則のり哈密頓ひたぶる量りょう守恆もりつね，即そく能のう量りょう守恆もりつね。這種物理ぶつり行為こうい是ぜ諾だく特定とくてい理り的てき一いち個こ特別とくべつ案あん例れい。關せき於能量りょう守恆もりつね問題もんだい，稍やや後會こうかい有ゆう更さら詳細しょうさい解說かいせつ。

经典力学りきがく实例

假かり设，在ざい三さん维空间裏，一個運動中的粒子的動能為$T={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x_{1}}}^{2}+{\dot {x_{2}}}^{2}+{\dot {x_{3}}}^{2})$，勢いきおい能のう為ため$V(r)$，則のり拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう是ぜ

${\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(r)$；

其中，$m$是ぜ粒子りゅうし質量しつりょう，$\mathbf {r}$是ぜ位置いち向こう量りょう，$v$是ぜ粒子りゅうし的てき速度そくど。

直角ちょっかく坐すわ标系

採用さいよう直角ちょっかく坐すわ标系。那な麼，拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき就是

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3$；

其中，$x_{i}$是ぜ位置いち向こう量りょう$\mathbf {r}$的てき第だい$i$個こ直角ちょっかく坐すわ标分量りょう。

那な麼，

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)=m{\ddot {x}}_{i}$、

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}$。

这物理系りけい统的运动方程式ほうていしき为

$m{\ddot {\mathbf {r} }}+{\boldsymbol {\nabla }}V=0$。

由よし於势能のう對たい於位置いち的てき負ふ梯はしご度ど是ぜ作用さよう力りょく：$\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(r)$，所以ゆえん，

$\mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {r} }}$。

这方程式ほうていしき与あずか牛うし顿第二に定律ていりつ方程式ほうていしき完全かんぜん相しょう同どう。由よし此可以观察出，拉ひしげ格かく朗ろう日び表ひょう述じゅつ与あずか牛うし顿表述じゅつ的てき功こう能のう相等そうとう。

能のう量りょう函數かんすう${\mathit {h}}$為ため

${\mathit {h}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x}}_{i}-{\mathcal {L}}=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(\mathbf {r} )=T+V=E$，

由よし於拉格かく朗ろう日び量りょう顯あらわ性せい地ち與あずか時間じかん無關むせき，能のう量りょう函數かんすう${\mathit {h}}$是これ個こ常數じょうすう$E$。

球たま坐すわ标系

假設かせつ選擇せんたく球たま坐すわ标系，則のり拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう是ぜ

${\mathcal {L}}(r,\ \theta ,\ \varphi ,\ {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$；

其中，$r$是ぜ径みち向こう距离，$\theta$是これ天てん顶角，$\varphi$是これ方位ほうい角かく。

稍やや加か运算，得とく到いた运动方程式ほうていしき为：

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}=m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {dV}{dr}}=0$、

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0$、

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0$。

特別とくべつ注意ちゅうい，${\mathcal {L}}$跟$\varphi$無關むせき。所以ゆえん，$\varphi$是ぜ可か略ほぼ坐すわ标，角かく動どう量的りょうてきz-分量ぶんりょう$L_{z}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}$是ぜ常数じょうすう。

檢けん驗けん粒子りゅうし的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう

假定かてい檢けん驗けん粒子りゅうし的てき質量しつりょう和わ電荷でんか超ちょう小しょう，其對於外在がいざい系統けいとう的てき影響えいきょう可か以忽略りゃく。檢けん驗けん粒子りゅうし時じ常つね可か以想像ぞう為ため簡單かんたん的てき質點しつてん粒子りゅうし，只ただ擁よう有ゆう質量しつりょう和わ電荷でんか性質せいしつ。像ぞう電子でんし或ある上うえ夸克一類的真實粒子具有更複雜的性質，它們的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう含有がんゆう更さら多項目たこうもく。

狹義きょうぎ相對そうたい論ろん裏うら的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう

在ざい狹義きょうぎ相對そうたい論ろん的てき四よん維空間あいだ裏うら，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-V$；

其中，$m$是ぜ粒子りゅうし的てき靜せい質量しつりょう，$c$是これ光速こうそく，$v$是ぜ粒子りゅうし的てき速度そくど。

其拉格かく朗ろう日び方程式ほうていしき為ため

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=0$；

其中，$\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$是これ勞ろう侖茲因子いんし。

注意ちゅうい到いた動どう量りょう$p_{i}=\gamma m{\dot {x}}_{i}$、作用さよう力りょく$F_{i}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}$。將はた這些公式こうしき代入だいにゅう拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき，就可複製ふくせい牛うし頓ひたぶる第だい二に定律ていりつ的てき方程式ほうていしき：

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$。

因いん此，這拉格かく朗ろう日び量りょう被ひ認定にんてい為ため正確せいかく無な誤あやま。

這粒子りゅうし的てき廣義こうぎ動どう量りょう$p_{i}$定義ていぎ為ため

$p_{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=\gamma m{\dot {x}}_{i}$。

• 假設かせつ這物理ぶつり系統的けいとうてき勢ぜい能のう為ため零れい，這粒子りゅうし是ぜ自由じゆう粒子りゅうし，則のり此系統けいとう的てき能のう量りょう函數かんすう$h$為ため

$h=\sum _{i=1}^{3}\gamma m{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}=\gamma mv^{2}+mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\gamma mc^{2}$。

這是質しつ能のう方程式ほうていしき：粒子りゅうし的てき總そう能のう量りょう等とう於其質量しつりょう乘じょう以光速そく平方へいほう

• 假設かせつ粒子りゅうし速度そくど遠とお小しょう於光速そく，則のり拉ひしげ格かく朗ろう日び量的りょうてき動どう能のう部分ぶぶん可か以近似きんじ為ため

$-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\approx -mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}\right)=-mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}=-mc^{2}+T$。

靜せい質量しつりょう的てき能のう量りょう$mc^{2}$是これ個こ常數じょうすう，可か以忽略りゃく（其變へん分ぶん等とう於零）。相對そうたい論ろん性せい拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう又また變へん回かい經典きょうてん拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう：

${\mathcal {L}}=T-V$。

電動でんどう力學りきがく裏うら的てき相對そうたい論ろん性せい拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう

一いち個こ移動いどう於電磁場でんじば的てき帶電たいでん粒子りゅうし的てき相對そうたい論ろん性せい拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう可か以寫為ため

${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi (\mathbf {r} )+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$q$是ぜ帶電たいでん粒子りゅうし的てき電荷でんか量りょう，$\phi$是これ電でん勢ぜい，$\mathbf {A}$是これ磁向量りょう勢ぜい。

其拉格かく朗ろう日び方程式ほうていしき為ため

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+q{\frac {dA_{i}}{dt}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}-q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}=0$。

所以ゆえん，

${\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})=-q{\frac {dA_{i}}{dt}}+q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}$。

注意ちゅうい到いた作用さよう力りょく$\mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})$，電場でんじょう$\mathbf {E} =-\nabla \phi$，磁場じば$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$。將はた這些公式こうしき代入だいにゅう上述じょうじゅつ方程式ほうていしき，經過けいか一番いちばん運算うんざん，就可以得到いた勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき：

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$。

這拉格かく朗ろう日び量りょう可か以複製せい出で勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき。因よし此，這拉格かく朗ろう日び量りょう被ひ認定にんてい為ため正確せいかく無な誤あやま。

協きょう變へん的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう

前面ぜんめん這些拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう都と不ふ具有ぐゆう協きょう變へん形式けいしき，當とう變換へんかん坐すわ標しるべ系けい時とき，拉ひしげ格かく朗ろう日び量的りょうてき形式けいしき可能かのう會かい有ゆう所しょ改變かいへん。為ため了りょう確保かくほ這形式しき不ふ會かい改變かいへん，必須ひっす將はた拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう寫うつし為ため協きょう變形へんけい式しき。

對たい於自由じゆう粒子りゅうし，作用さよう量りょう${\mathcal {A}}$為ため

${\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ dt$；

其中，$t_{1}$和わ$t_{2}$分別ふんべつ是ぜ初はつ始はじめ時間じかん和わ終結しゅうけつ時間じかん。

為ため了りょう要よう使つかい得とく拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう具有ぐゆう協きょう變形へんけい式しき，必須ひっす引用いんよう張ちょう量りょう來らい表ひょう達たち。採用さいよう愛あい因いん斯坦求もとめ和わ約定やくじょう，注意ちゅうい到いた四よん維速度そくど與あずか自己じこ的てき內積：

$U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=\gamma ^{2}c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$；

其中，$U^{\alpha }=X^{\prime \mu }={\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma (c,v_{1},v_{2},v_{3})$是これ四よん維速度そくど，是ぜ四よん維坐標しるべ$X^{\alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})$對たい於固有こゆう時じ$\tau$的てき導しるべ數すう（撇號表示ひょうじ對たい於固有こゆう時じ$\tau$的てき導しるべ數すう）。

將はた積分せきぶん元素げんそ從したがえ微小びしょう時間じかん元素げんそ$dt$改變かいへん為ため微小びしょう固有こゆう時じ元素げんそ$d\tau$，由ゆかり於$dt=\gamma d\tau$，協きょう變へん的てき作用さよう量りょう可か以寫為ため

${\mathcal {A}}=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{\frac {mc}{\gamma }}{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ \gamma d\tau =\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ d\tau$。

協きょう變へん的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう${\bar {\mathcal {L}}}$變へん為ため

${\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}$；

其中，$g_{\alpha \beta }$是これ閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし。

其拉格かく朗ろう日び方程式ほうていしき為ため

${\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-\ {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {mc{X}_{\mu }^{\prime }}{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}}\right)=0$。

注意ちゅうい到いた約束やくそく$U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}$，這粒子こ只ただ能のう運動うんどう於四維速度空間內的特定的三維曲面。將はた這約束やくそく代入だいにゅう上述じょうじゅつ方程式ほうていしき，可か以正確かく地ち複製ふくせい自由じゆう粒子りゅうし的てき運動うんどう方程式ほうていしき。

${\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime })=m{X}_{\mu }^{\prime \prime }=0$。

電動でんどう力學りきがく裏うら的てき相對そうたい論ろん性せい拉ひしげ格かく朗ろう日び量的りょうてき協きょう變へん表ひょう述じゅつ

現在げんざい假設かせつ這粒子りゅうし是ぜ移動いどう於電磁場でんじば的てき帶電たいでん粒子りゅうし。電磁場でんじば的てき協きょう變位へんい勢ぜい可か以寫為ため

$q\phi (\mathbf {r} )-q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })/\gamma$；

其中，$\mathbb {A} _{\alpha }=(\phi /c,-A_{1},-A_{2},-A_{3})$是これ電磁でんじ四よん維勢。

協きょう變へん的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう${\bar {\mathcal {L}}}$是これ

${\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}-qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })$。

其拉格かく朗ろう日び方程式ほうていしき為ため

${\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-{\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime }+q\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}=0$。

經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以得到いた

${\begin{aligned}m{X}_{\mu }^{\prime \prime }&=-q{\frac {d}{d\tau }}(\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=-q{\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=qU^{\alpha }\left({\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}-{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}\right)\\&=qU^{\alpha }F_{\mu \alpha }\\\end{aligned}}$

其中，$F_{\mu \alpha }$是これ電磁でんじ張はり量りょう。

這正是ぜ勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき的てき協きょう變形へんけい式しき。總そう結ゆい，協きょう變へん的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき可か以複製せい出で協きょう變へん的てき勞ろう侖茲力りょく方程式ほうていしき。

场论例れい子こ

电磁学がく

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\left(-{\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \star \mathbf {F} +\mathbf {A} \wedge \star \mathbf {J} \right)$

$\mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J}$

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$

量子りょうし电动力学りきがく

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }=i\hbar c{\bar {\psi }}{D}\!\!\!\!/\ \psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

量子りょうし色しょく动力学がく

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}\left(i\hbar c{\bar {\psi }}_{n}{D}\!\!\!\!/\ \psi _{n}-m_{n}c^{2}{\bar {\psi }}_{n}\psi _{n}\right)-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }$

杨-米べい尔斯场论

包括ほうかつQED、量子りょうし色しょく动力学がく、等ひとし

重力じゅうりょく

${\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}$

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

$T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }$

相あい对论

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein-Hilbert}}\end{aligned}}$

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$

$T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0$

$R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T$

$R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$

$D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }$

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}$

参まいり见

• 哈密顿量
• 哈密顿原理げんり
• 拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく
• 拉ひしげ格かく朗ろう日び方程式ほうていしき
• 哈密顿力学がく
• 最小さいしょう作さく用量ようりょう原理げんり
• 变分法ほう
• 诺特定理ていり
• 泛函导数
• 泛函积分（路みち径みち积分表ひょう述じゅつ）