在 ざい 物理 ぶつり 學 がく 裏 うら 作用 さよう 量 りょう 英 えい action ）是 ぜ 一 いち 個 こ 別 べつ 抽象 ちゅうしょう 的 てき 物理 ぶつり 量 りょう 表示 ひょうじ 著 ちょ 一 いち 個 こ 動力 どうりょく 物理 ぶつり 系統 けいとう 的 てき 演 えんじ 化 か 趨向 すうこう 與 あずか 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 方法 ほうほう 大 だい 不 ふ 相 あい 同 どう 作 さく 用量 ようりょう 用 よう 來 らい 分析 ぶんせき 物理 ぶつり 系統 けいとう 的 てき 運動 うんどう 所得 しょとく 到 いた 的 てき 答案 とうあん 是 ぜ 相 しょう 同 どう 的 てき 只 ただ 需要 じゅよう 設定 せってい 系統 けいとう 在 ざい 兩個 りゃんこ 點 てん 的 てき 狀態 じょうたい 初 はつ 始 はじめ 狀態 じょうたい 與 あずか 最終 さいしゅう 狀態 じょうたい 然 しか 後 ご 經過 けいか 求 もとめ 解 かい 作 さく 用量 ようりょう 的 てき 平穩 へいおん 到 いた 系統 けいとう 在 ざい 兩個 りゃんこ 點 てん 之 の 間 あいだ 每 ごと 個 こ 點 てん 的 てき 狀態 じょうたい
皮 かわ 埃 ほこり 爾 なんじ 德 とく 費 ひ 馬 ば 年 ねん 發表 はっぴょう 了 りょう 費 ひ 馬 ば 原理 げんり 原理 げんり 闡明 せんめい 光 ひかり 傳播 でんぱ 的 てき 正確 せいかく 路 ろ 徑 みち 所 しょ 時間 じかん 必定 ひつじょう 是 ぜ 極 ごく 原理 げんり 在 ざい 物理 ぶつり 學界 がっかい 造成 ぞうせい 了 りょう 的 てき 震撼 しんかん 不同 ふどう 牛 うし 頓 ひたぶる 運動 うんどう 定律 ていりつ 的 てき 機械 きかい 性 せい 現今 げんこん
戈 ほこ 特 とく 弗 どる 里 さと 德 とく 尼 あま 茨 いばら 不 ふ 同意 どうい 費 ひ 馬 ば 的 てき 理論 りろん 他 た 認 みとめ 為 ため 光 こう 應 おう 選擇 せんたく 最 さい 容易 ようい 傳播 でんぱ 的 てき 路 ろ 徑 みち 他 た 年 ねん 發表 はっぴょう 了 りょう 他 た 的 てき 理論 りろん 光 ひかり 傳播 でんぱ 的 てき 正確 せいかく 路 ろ 徑 みち 應 おう 最小 さいしょう 的 てき 路 ろ 徑 みち 更 さら 精確 せいかく 地 ち 說 せつ 徑 みち 長 ちょう 的 てき 乘 じょう 積 せき 是 ぜ 最小 さいしょう 路 ろ 徑 みち 論 ろん 有 ゆう 一 いち 個 こ 難題 なんだい 要 よう 符合 ふごう 實驗 じっけん 的 てき 結果 けっか 玻璃 はり 的 てき 必須 ひっす 小 しょう 氣 き 的 てき 但 ただし 是 ぜ 玻璃 はり 的 てき 密度 みつど 大 だい 氣 き 應 おう 玻璃 はり 的 てき 會 かい 大 だい 氣 き 的 てき 尼 あま 茨 いばら 為 ため 提供 ていきょう 了 りょう 一 いち 個 こ 令 れい 人 じん 百 ひゃく 思 おもえ 的 てき 辯解 べんかい 的 てき 使 し 得 とく 光 こう 容易 ようい 擴散 かくさん 因 いん 光被 こうひ 約束 やくそく 在 ざい 假 かり 若 わか 河 かわ 道 どう 變 へん 水 みず 的 てき 流速 りゅうそく 會 かい 增加 ぞうか 同樣 どうよう 地 ち 光 ひかり 的 てき 路 ろ 徑 みち 變 へん 所以 ゆえん 光 こう 的 てき 速度 そくど 變 へん 快 かい 了 りょう
1744年 ねん 皮 かわ 埃 ほこり 爾 なんじ 爾 なんじ 在 ざい 一 いち 篇 へん 論文 ろんぶん 中 ちゅう 發表 はっぴょう 了 りょう 最小 さいしょう 作 さく 用量 ようりょう 原理 げんり 光 ひかり 選擇 せんたく 的 てき 傳播 でんぱ 路 ろ 徑 みち 作用 さよう 量 りょう 最小 さいしょう 他 た 定義 ていぎ 作 さく 用量 ようりょう 為 ため 移動 いどう 速度 そくど 與 あずか 移動 いどう 距離 きょり 的 てき 乘 じょう 積 せき 用 よう 原理 げんり 他 た 證明 しょうめい 了 りょう 費 ひ 馬 ば 原理 げんり 光 ひかり 傳播 でんぱ 的 てき 正確 せいかく 路 ろ 徑 みち 所 しょ 時間 じかん 是 これ 極 ごく 他 た 算出 さんしゅつ 光 こう 在 ざい 反射 はんしゃ 與 あずか 同 どう 介 かい 質 しつ 傳播 でんぱ 時 じ 的 てき 正確 せいかく 路 ろ 徑 みち 年 ねん 爾 なんじ 一 いち 篇 へん 論文 ろんぶん 中 ちゅう 應用 おうよう 原理 げんり 碰撞 ，正確 せいかく 地 ち 分析 ぶんせき 了 りょう 彈性 だんせい 與 あずか 非 ひ 種 しゅ 不 ふ 再 さい 需要 じゅよう 用 よう 不同 ふどう 的 てき 理論 りろん 來 らい 解釋 かいしゃく
萊昂哈德·歐 おう 拉 ひしげ 在 ざい 同年 どうねん 發表 はっぴょう 了 りょう 一 いち 篇 へん 論文 ろんぶん 他 た 表明 ひょうめい 物體 ぶったい 的 てき 運動 うんどう 遵守 じゅんしゅ 某 ぼう 種 たね 物理 ぶつり 量 りょう 極 ごく 定律 ていりつ 物理 ぶつり 量 りょう 是 ぜ
∫
p
a
t
h
v
2
d
t
{\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!}
應用 おうよう 論 ろん 歐 おう 拉 ひしげ 成功 せいこう 的 てき 計 けい 算出 さんしゅつ 當 とう 粒子 りゅうし 連 れん 心力 しんりょく 作用 さよう 時 じ 正確 せいかく 的 てき 體 たい 運動 うんどう
在 ざい 後 ご 許多 きょた 物理 ぶつり 學 がく 家 か 包括 ほうかつ 約 やく 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 威 い 廉 かど 頓 とみ 理 り 費 ひ 等 ひとし 等 ひとし 對 たい 用量 ようりょう 都 と 有 ゆう 不同 ふどう 的 てき 見解 けんかい 見解 けんかい 對 たい 理學 りがく 的 てき 發展 はってん 貢獻 こうけん
微分 びぶん 方程式 ほうていしき 時 じ 常 つね 被 ひ 用 もちい 來 らい 表 ひょう 述 じゅつ 物理 ぶつり 定律 ていりつ 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 指定 してい 出 で 隨 ずい 著 ちょ 極小 きょくしょう 的 てき 時間 じかん 位置 いち 或 ある 變數 へんすう 的 てき 變化 へんか 一 いち 個 こ 物理 ぶつり 變數 へんすう 如何 いか 改變 かいへん 總合 そうごう 極小 きょくしょう 的 てき 改變 かいへん 再 さい 加 か 上 じょう 物理 ぶつり 變數 へんすう 在 ざい 某 ぼう 的 てき 已 やめ 知 ち 數 すう 已 やめ 知 ち 導 しるべ 數 すう 求 もとめ 得 え 物理 ぶつり 變數 へんすう 在任 ざいにん 何 なん 點 てん 的 てき 數 すう
作用 さよう 量 りょう 方法 ほうほう 是 ぜ 一 いち 種 しゅ 全然 ぜんぜん 不同 ふどう 的 てき 方法 ほうほう 述 じゅつ 物理 ぶつり 系統 けいとう 的 てき 運動 うんどう 只 ただ 需要 じゅよう 設定 せってい 物理 ぶつり 變數 へんすう 在 ざい 兩 りょう 點 てん 的 てき 數 すう 稱 しょう 為 ため 初 はつ 始 はじめ 最終 さいしゅう 經過 けいか 作用 さよう 量 りょう 平穩 へいおん 的 てき 演算 えんざん 可 か 到 いた 數 すう 在 ざい 點 てん 之 の 間 あいだ 任 にん 何 なん 點 てん 的 てき 數 すう 作用 さよう 量 りょう 方法 ほうほう 與 あずか 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 方法 ほうほう 所得 しょとく 到 いた 的 てき 答案 とうあん 完全 かんぜん 相 しょう 同 どう
哈密頓 ひたぶる 原理 げんり 闡明 せんめい 了 りょう 種 しゅ 方法 ほうほう 在 ざい 物理 ぶつり 學 がく 價 あたい 位 い 的 てき 等價 とうか 物理 ぶつり 系統 けいとう 運動 うんどう 的 てき 微分 びぶん 方程式 ほうていしき 一 いち 個 こ 等價 とうか 的 てき 積分 せきぶん 方程式 ほうていしき 來 らい 無論 むろん 是 ぜ 關 せき 經典 きょうてん 力學 りきがく 中 なか 的 てき 一 いち 個 こ 單獨 たんどく 粒子 りゅうし 關 せき 經典 きょうてん 場 じょう 像 ぞう 電磁場 でんじば 或 ある 重力 じゅうりょく 場 じょう 述 じゅつ 都 と 是正 ぜせい 確 かく 的 てき 更 さら 加地 かじ 頓 ひたぶる 原理 げんり 已 やめ 經 けい 延伸 えんしん 至 いたり 量子力學 りょうしりきがく 與 あずか 量子 りょうし 場 じょう 論 ろん 了 りょう
用 よう 變 へん 分 ぶん 法 ほう 數學 すうがく 語 ご 言 げん 來 らい 求 もとめ 解 かい 一 いち 個 こ 物理 ぶつり 系統 けいとう 作 さく 用量 ようりょう 的 てき 平穩 へいおん 通常 つうじょう 是 ぜ 最小 さいしょう 可 か 到 いた 系統 けいとう 隨時 ずいじ 間 あいだ 的 てき 演 えんじ 化 か 說 せつ 系統 けいとう 從 したがえ 更 さら 廣義 こうぎ 地 ち 系統 けいとう 的 てき 正確 せいかく 演 えんじ 化 か 對 たい 何 なに 微 ほろ 必須 ひっす 是 ぜ 平穩 へいおん 的 てき 要求 ようきゅう 導 しるべ 正確 せいかく 演 えんじ 化 か 的 てき 微分 びぶん 方程式 ほうていしき
在 ざい 經典 きょうてん 物理 ぶつり 裏 うら 作用 さよう 量 りょう 語 ご 至 いたり 少 しょう 有 ゆう 七 なな 種 しゅ 不同 ふどう 的 てき 意義 いぎ 每 まい
最 さい 常見 つねみ 的 てき 作用 さよう 量 りょう 是 ぜ 一 いち 個 こ 泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
輸入 ゆにゅう 是 ぜ 參 さん 數 すう 為 ため 時間 じかん 與 あずか 空間 くうかん 的 てき 函數 かんすう 輸出 ゆしゅつ 是 ぜ 一 いち 個 こ 純量 じゅんりょう 在 ざい 經典 きょうてん 力學 りきがく 裏 うら 輸入 ゆにゅう 函數 かんすう 是 ぜ 物理 ぶつり 系統 けいとう 在 ざい 兩個 りゃんこ 時間 じかん 點 てん
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
之 これ 間 あいだ 廣義 こうぎ 座標 ざひょう
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
的 てき 演 えんじ 變 へん
作用 さよう 量 りょう
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
定義 ていぎ 為 ため 在 ざい 兩個 りゃんこ 時間 じかん 點 てん 之 の 間 あいだ 系統 けいとう 的 てき 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 量 りょう
L
{\displaystyle L\,\!}
對 たい 間 あいだ 的 てき 積分 せきぶん
S
[
q
(
t
)
]
=
∫
t
1
t
2
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
根據 こんきょ 哈密頓 ひたぶる 原理 げんり ，正確 せいかく 的 てき 演 えんじ 化 か
q
t
r
u
e
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!}
要求 ようきゅう 平穩 へいおん 的 てき 作用 さよう 量 りょう
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
最小 さいしょう 最大 さいだい 鞍 くら 經過 けいか 運算 うんざん 結果 けっか 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 方程式 ほうていしき
簡略 かんりゃく 作 さく 用量 ようりょう 一 いち 個 こ 通常 つうじょう 標記 ひょうき 為 ため
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
輸入 ゆにゅう 函數 かんすう 是 ぜ 物理 ぶつり 系統 けいとう 移動 いどう 的 てき 一 いち 條 じょう 路 ろ 徑 みち 完全 かんぜん 不 ふ 考慮 こうりょ 時間 じかん 參 さん 數 すう 在 ざい 種 しゅ 狀況 じょうきょう 路 みち 徑 みち 都 と 粒子 りゅうし 的 てき 移動 いどう 速度 そくど 無關 むせき 簡略 かんりゃく 作 さく 用量 ようりょう
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
定義 ていぎ 為 ため 廣義 こうぎ 動 どう 量 りょう
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
路 ろ 徑 みち 的 てき 積分 せきぶん
S
0
=
∫
p
d
q
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!}
其中，
q
{\displaystyle \mathbf {q} \,\!}
是 ぜ 廣義 こうぎ 座標 ざひょう 根據 こんきょ 莫佩爾 なんじ 原理 げんり ，正確 せいかく 路 ろ 徑 みち 的 てき 簡略 かんりゃく 作 さく 用量 ようりょう
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
是 ぜ 平穩 へいおん 的 てき
主 しゅ 條目 じょうもく 哈密頓 ひたすら 主 しゅ 函數 かんすう 。哈密頓 ひたすら 主 しゅ 函數 かんすう 是 ぜ 由 よし 頓 とみ 雅 みやび 可 か 比 ひ 方程式 ほうていしき 定義 ていぎ 的 てき 頓 とみ 雅 みやび 可 か 比 ひ 方程式 ほうていしき 是 ぜ 經典 きょうてん 力學 りきがく 的 てき 一 いち 種 しゅ 表 ひょう 述 じゅつ 頓 ひたすら 主 しゅ 函數 かんすう
S
{\displaystyle S\,\!}
與 あずか
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
有 ゆう 密 みつ 切 きり 的 てき 關係 かんけい 固定 こてい 住初 すみぞめ 始 はじめ 時間 じかん
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
和 かず 應 おう 的 てき 座標 ざひょう 點 てん
q
1
{\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!}
許 もと 時間 じかん 上限 じょうげん
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
和 かず 應 おう 的 てき 座標 ざひょう 點 てん
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
的 てき 改變 かいへん 取 と
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
和 わ
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
為 ため 函數 かんすう
S
{\displaystyle S\,\!}
的 てき 參 さん 數 すう 換 かわ 句 く 話 はなし 說 せつ 作用 さよう 量 りょう 函數 かんすう
S
{\displaystyle S\,\!}
是 これ 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 量 りょう 對 たい 間 あいだ 的 てき 不定 ふてい 積分 せきぶん
S
(
q
,
P
,
t
)
=
∫
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
更 さら 加地 かじ 可 か 證明 しょうめい
P
{\displaystyle \mathbf {P} \,\!}
是 ぜ 某 ぼう 常數 じょうすう 向 むこう 量 りょう
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
所以 ゆえん
S
(
q
,
P
,
t
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!}
主 しゅ 條目 じょうもく 哈密頓 ひたぶる 特徵 とくちょう 函數 かんすう 。假 かり 若 わか 哈密頓 ひたぶる 量 りょう
H
{\displaystyle H\,\!}
是 ぜ 守恆 もりつね 的 てき
H
=
α あるふぁ
{\displaystyle H=\alpha \,\!}
其中，
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha \,\!}
是 ぜ 常數 じょうすう
設定 せってい 哈密頓 ひたぶる 特徵 とくちょう 函數 かんすう
W
{\displaystyle W\,\!}
為 ため
W
(
q
,
a
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
−
α あるふぁ t
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!}
則 のり 頓 ひたぶる 特徵 とくちょう 函數 かんすう
W
{\displaystyle W\,\!}
是 ぜ 一 いち 個 こ 作用 さよう 量 りょう
更 さら 加地 かじ
d
W
d
t
=
∂
W
∂
q
q
˙
=
p
q
˙
{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}
對 たい 間 あいだ 積分 せきぶん
W
(
q
,
a
)
=
∫
p
q
˙
d
t
=
∫
p
d
q
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!}
這正是 ぜ 簡略 かんりゃく 作 さく 用量 ようりょう 的 てき 方程式 ほうていしき
頓 とみ 雅 みやび 可 か 比 ひ 方 かた 程 ほど 的 てき 解 かい [ 编辑 ] 主 しゅ 條目 じょうもく 哈密頓 とみ 雅 みやび 可 か 比 ひ 方程式 ほうていしき 。哈密頓 とみ 雅 みやび 可 か 比 ひ 方程式 ほうていしき 是 ぜ 經典 きょうてん 力學 りきがく 的 てき 一 いち 種 しゅ 表 ひょう 述 じゅつ 假 かり 若 わか 頓 とみ 雅 みやび 可 か 比 ひ 方程式 ほうていしき 是 ぜ 完全 かんぜん 可分 かぶん 的 てき 則 そく 頓 ひたすら 主 しゅ 函數 かんすう
S
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
分 ぶん 出 だし 的 てき 每 ごと 一 いち 個 こ 項目 こうもく
S
k
(
q
k
,
P
,
t
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
為 ため 作 さく 用量 ようりょう
作用 さよう 量 りょう 角度 かくど 座標 ざひょう [ 编辑 ] 主 しゅ 條目 じょうもく 作用 さよう 量 りょう 角度 かくど 座標 ざひょう 思考 しこう 一 いち 個 こ 作用 さよう 量 りょう 角度 かくど 座標 ざひょう 的 てき 廣義 こうぎ 動 どう 量 りょう 變數 へんすう
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
定義 ていぎ 為 ため 在 ざい 相 あい 空間 くうかん 關 せき 動 どう 運動 うんどう 或 ある 振 ふ 蕩 とろけ 運動 うんどう 廣義 こうぎ 動 どう 量的 りょうてき 閉路 へいろ 徑 みち 積分 せきぶん
J
k
=
∮
p
k
d
q
k
{\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!}
這變數 すう
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
稱 しょう 為 ため 廣義 こうぎ 座標 ざひょう
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
的 てき 作用 さよう 量 りょう 相應 そうおう 的 てき 正則 せいそく 座標 ざひょう 是 これ 角度 かくど
w
k
{\displaystyle w_{k}\,\!}
不同 ふどう 面 めん 簡略 かんりゃく 作 さく 用量 ようりょう 地 ち 用 よう 點 てん 積 せき 來 らい 積分 せきぶん 向 こう 量 りょう 只 ただ 有 ゆう 一 いち 個 こ 純量 じゅんりょう 變數 へんすう
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
被 ひ 用 もちい 來 らい 積分 せきぶん 作用 さよう 量 りょう
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
等 とう 隨 ずい 著 ちょ
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
閉路 へいろ 徑 みち
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!}
的 てき 改變 かいへん 應用 おうよう 於幾 おき 個 こ 有 ゆう 趣 おもむき 的 てき 物理 ぶつり 系統 けいとう
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
或 ある 者 もの 是 ぜ 常數 じょうすう 或 ある 者 もの 改變 かいへん 非常 ひじょう 地 ち 因 よし
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
時 どき 常 つね 應用 おうよう 微 ほろ 論 ろん 與 あずか 緩 なる 漸 やや 不 ふ 變量 へんりょう 的 てき 研究 けんきゅう
參 まいり 重言 じゅうげん 形式 けいしき
哈密頓 ひたぶる 原理 げんり 闡明 せんめい
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
的 てき 運動 うんどう 是正 ぜせい 確 かく 運動 うんどう 則 のり 作用 さよう 量 りょう 泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
的 てき 一 いち 次 じ 變 へん 分 ぶん
δ でるた
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
為 ため 零 れい 用 よう 數學 すうがく 方程式 ほうていしき 表示 ひょうじ 定義 ていぎ 作 さく 用量 ようりょう 為 ため
S
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!}
其中，
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}
是 ぜ 系統 けいとう 的 てき 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 函數 かんすう 廣義 こうぎ 座標 ざひょう
q
=
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!}
是 ぜ 時間 じかん 的 てき 函數 かんすう
假 かり 若 わか
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
是 ぜ 系統 けいとう 的 てき 正確 せいかく 運動 うんどう 則 のり
δ でるた
S
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!}
從 したがえ 頓 ひたぶる 原理 げんり 可 か 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 方程式 ほうていしき 假設 かせつ
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
是 ぜ 系統 けいとう 的 てき 正確 せいかく 運動 うんどう 讓 ゆずる
ε いぷしろん
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
成 なり 為 ため 一 いち 個 こ 微 ほろ
δ でるた
q
{\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!}
微 ほろ 軌道 きどう 兩個 りゃんこ 端點 たんてん 的 てき 零 れい
ε いぷしろん
(
t
1
)
=
ε いぷしろん
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
取 と 至 いたり
ε いぷしろん
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
的 てき 一 いち 階 かい 微 ほろ 作用 さよう 量 りょう 的 てき 一 いち 次 じ 變 へん 分 ぶん 為 ため
δ でるた
S
=
∫
t
1
t
2
[
L
(
q
+
ε いぷしろん
,
q
˙
+
ε いぷしろん ˙
)
−
L
(
q
,
q
˙
)
]
d
t
=
∫
t
1
t
2
(
ε いぷしろん
⋅
∂
L
∂
q
+
ε いぷしろん ˙
⋅
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
這裏，將 はた 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 量 りょう
L
{\displaystyle L\,\!}
展開 てんかい 至 いたり
ε いぷしろん
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
的 てき 一 いち 階 かい 微 ほろ
應用 おうよう 分部 わけべ 積分 せきぶん 法 ほう 右邊 うへん 項目 こうもく
δ でるた
S
=
[
ε いぷしろん
⋅
∂
L
∂
q
˙
]
t
1
t
2
+
∫
t
1
t
2
(
ε いぷしろん
⋅
∂
L
∂
q
−
ε いぷしろん
⋅
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
邊 あたり 界 かい 條件 じょうけん
ε いぷしろん
(
t
1
)
=
ε いぷしろん
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
使 つかい 第 だい 一 いち 個 こ 項目 こうもく 歸 き 零 れい 所以 ゆえん
δ でるた
S
=
∫
t
1
t
2
ε いぷしろん
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
要求 ようきゅう 作 さく 用量 ようりょう
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
平穩 へいおん 味 あじ 著 ちょ 對 たい 確 かく 運動 うんどう 的 てき 任意 にんい 微 ほろ
ε いぷしろん
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
一 いち 次 じ 變 へん 分 ぶん
δ でるた
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
必須 ひっす 等 とう
δ でるた
S
=
∫
t
1
t
2
ε いぷしろん
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!}
請注意 ちゅうい 還 かえ 沒 ぼっ 有 ゆう 對 たい 廣義 こうぎ 座標 ざひょう
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
何 なん 要求 ようきゅう 現在 げんざい 要求 ようきゅう 所有 しょゆう 的 てき 廣義 こうぎ 座標 ざひょう 都 と 無關 むせき 完 かん 整 せい 限 げん 制 せい 根據 こんきょ 變 へん 分 ぶん 法 ほう 基本 きほん 可 か 到 いた 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 方程式 ほうていしき
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!}
在 ざい 各個 かっこ 物理 ぶつり 學 がく 領域 りょういき 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 方程式 ほうていしき 都 と 被 ひ 認 みとめ 為 ため 是非 ぜひ 常 つね 重要 じゅうよう 的 てき 方程式 ほうていしき 能 のう 來 らい 精確 せいかく 地理 ちり 論 ろん 分析 ぶんせき 許多 きょた 物理 ぶつり 系統 けいとう
對應 たいおう 廣義 こうぎ 座標 ざひょう
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
的 てき 廣義 こうぎ 動 どう 量 りょう
p
k
{\displaystyle p_{k}\,\!}
又 また 稱 たたえ 為 ため 共軛 きょうやく 動 どう 量 りょう 定義 ていぎ 為 ため
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
假設 かせつ
L
{\displaystyle L\,\!}
不 ふ 顯 あらわ 性 せい 地 ち 廣義 こうぎ 座標 ざひょう
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
有 ゆう 關 せき
∂
L
∂
q
k
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!}
則 のり 廣義 こうぎ 動 どう 量 りょう
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
是 ぜ 常數 じょうすう 在 ざい 狀況 じょうきょう 座標 ざひょう
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
稱 たたえ 為 ため 循環 じゅんかん 座標 ざひょう 用 よう 極座標 きょくざひょう 系 けい
(
r
,
θ しーた ,
h
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}
來 らい 一 いち 個 こ 粒子 りゅうし 的 てき 平面 へいめん 運動 うんどう
L
{\displaystyle L\,\!}
與 あずか
θ しーた
{\displaystyle \theta \,\!}
無關 むせき 則 のり 廣義 こうぎ 動 どう 量 りょう 是 ぜ 守恆 もりつね 的 てき 角 すみ 動 どう 量 りょう
Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7 .這領域 りょういき 最 さい 常 つね 引用 いんよう 的 てき 參考 さんこう 書 しょ
列 れつ 夫 おっと 朗 ろう 道 どう ISBN 0-7506-2896-0 .這本書 しょ Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , pages 840–842。
Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2 。非常 ひじょう 好 このみ 的 てき 古 こ 早 はや 書 しょ
Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2 , pp. 254-275。
表 おもて 述 じゅつ 形式 けいしき 基 もと 概念 がいねん 重 じゅう 要理 ようり 应用 科学 かがく 史 し 分 ぶん 支 ささえ
线性（平 ひら 的 てき 量 りょう
角度 かくど 的 てき 量 りょう
量 りょう —
L
L2
量 りょう —
—
—
T
时间 : t s 位 い 移 うつり A m s T
时间 : t s
—
距离 : d 位 くらい 矢 や r s x 位 い 移 うつり m 面 めん A m2 —
角度 かくど θ しーた 角 かく 移 うつり θ しーた rad 立體 りったい 角 かく Ω おめが rad2 , sr
T−1
頻 しき 率 りつ f s−1 Hz 速 はや 率 りつ v 速度 そくど v m s−1 面積 めんせき 速 そく 率 りつ ν にゅー m2 s−1 T−1
頻 しき 率 りつ f s−1 Hz 角 かく 速 そく 率 りつ ω おめが 角速度 かくそくど ω おめが rad s−1
T−2
加速度 かそくど a m s−2 T−2
角 すみ 加速度 かそくど α あるふぁ s−2
T−3
加 か 加速度 かそくど j −3 T−3
角 すみ 加 か 加速度 かそくど ζ ぜーた s−3
M
质量 : m kg ML2
轉 うたて 動 どう I m2
MT−1
动量 : p 冲量 : J m s−1 , N s 作用 さよう 量 りょう 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角 すみ L 角 すみ ι いおた m2 s−1 作用 さよう 量 りょう 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 ちから F 重量 じゅうりょう F g kg m s−2 , N 能 のう 量 りょう E 功 こう W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力 ちから 矩 のり τ たう moment M kg m2 s−2 , N m 能 のう 量 りょう E 功 こう W kg m2 s−2 , J
MT−3
加 か 力 りょく Y kg m s−3 , N s−1 功 こう 率 りつ P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功 こう 率 りつ P kg m2 s−3 , W
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cee0c85b006a45d487296b17782c626c041b79d)
![{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67eaae9b7f3d2a6e098f0bbf839c28a77b6955bd)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fabe04476c8943e5676ea94fb3b6aff8a476a3f)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066955b204ff91fa042d9a4a3469e9cb2c3fa5a4)
