轉うたて動どう慣量

轉うたて動どう慣量
常見つねみ符號ふごう	I
国くに际单位い	kg m2
其他單位たんい	lbf·ft·s2
單位たんい因いん次じ	M L2
從したがえ其他物理ぶつり量的りょうてき推衍	$I={\frac {L}{\omega }}$
因いん次じ	M L2

走はし钢丝者もの手しゅ里さと端はし着ぎ长杆，为了靠もたれ转动惯量保持ほじ平衡へいこう，对抗转动运动。圖ず為ため撒姆爾なんじ·迪すすむ克かつ森もり（Samuel Dixon）於1890年ねん穿ほじ過か尼あま加か拉ひしげ河かわ的てき相しょう片へん。

在ざい经典力學りきがく中ちゅう，轉うたて動どう慣量又また稱しょう慣性かんせい矩のり（英語えいご：Moment of inertia），通常つうじょう以$I$表示ひょうじ，國際こくさい單位たんい制せい為ため$\mathrm {kg\cdot m^{2}}$。轉てん動どう慣量是ぜ一個物體對於其旋轉運動的慣性かんせい大小だいしょう的てき量りょう度ど。一いち個こ剛體ごうたい對たい於某轉てん軸じく的てき轉てん動どう慣量決定けってい對たい於這物體ぶったい繞にょう著ちょ這轉軸じく進行しんこう某ぼう種たね角かく加速度かそくど運動うんどう所しょ需要じゅよう施ほどこせ加か的てき力りょく矩のり。

轉うたて動どう慣量在ざい转动力学りきがく中なか的てき角かく色しょく相當そうとう於線性せい動力どうりょく學がく中ちゅう的てき質量しつりょう，描述角すみ動どう量りょう、角速度かくそくど、力ちから矩のり和わ角すみ加速度かそくど等とう數個すうこ量りょう之の間あいだ的てき關係かんけい。

定てい义

飛ひ輪わ擁よう有ゆう很大的てき轉てん動どう慣量，可か以用來らい使つかい機械きかい運轉うんてん順じゅん滑すべり

對たい於一いち個こ質點しつてん，$I=mr^{2}$，其中$m$是ぜ其質量しつりょう，$r$是ぜ質點しつてん和わ轉てん軸じく的てき垂直すいちょく距離きょり。

對たい於一個有多個質點的系統，$I=\sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}$。

对于剛體ごうたい，可か以用無限むげん個こ質點しつてん的てき轉てん動どう慣量和わ，即そく用よう積分せきぶん計算けいさん其轉動どう慣量，$I=\int {\rho r^{2}}dV$，其中$\rho$是ぜ密度みつど，$dV$是ぜ微量びりょう體積たいせき。

相あい关概念がいねん

定てい轴转动动力学りきがく方かた程ほど

在ざい直線ちょくせん運動うんどう，$F=ma$。在ざい旋轉せんてん運動うんどう，則のり有ゆう${\tau }=I{\alpha }$，其中${\tau }$是これ力ちから矩のり，${\alpha }$是これ角すみ加速度かそくど。

定てい轴转动动能のう

一般いっぱん物件ぶっけん的てき動どう能のう是これ$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$。將はた速度そくど$v$和かず質量しつりょう$m$，用よう轉てん動力どうりょく學がく的てき定義ていぎ取と代だい：

$v=\omega r$，

$m={\frac {I}{r^{2}}}$

得とく出で

$K={\frac {1}{2}}\left({\frac {I}{r^{2}}}\right)(\omega r)^{2}$，

簡化得とく

$K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$。

如果一個人坐在一張可轉動的椅子，雙手そうしゅ拿重物ぶつ，張ちょう開ひらく雙手そうしゅ，轉てん動どう椅子いす，然しか後ご突然とつぜん將しょう手しゅ縮ちぢみ到いた胸むね前まえ，轉うたて動的どうてき速度そくど將はた突然とつぜん增加ぞうか，因いん為ため轉てん動どう慣量減少げんしょう了りょう。

常用じょうよう定理ていり

平行へいこう軸じく定理ていり

平行へいこう軸じく定理ていり是ぜ說せつ，如果一いち個こ質量しつりょう為ため$m$的てき物件ぶっけん，以某條じょう經過けいか质心$A$點てん的てき直線ちょくせん為ため軸じく，其轉動どう慣量為ため$I_{A}$。在ざい空そら間取まどり點てん$B$，使つかい得とく$AB$垂直すいちょく於原本げんぽん的てき軸じく。那な麼如果はて以經過けいか$B$、平行へいこう於原本げんぽん的てき軸じく的てき直線ちょくせん為ため軸じく，$AB$的てき距離きょり為ため$d$，則のり$I_{B}=I_{A}+md^{2}$。

垂直すいちょく轴定理ていり

垂直すいちょく轴定理ていり是ぜ说，如果一いち个平面めん物件ぶっけん，以该平面へいめん内ない两条互相垂直すいちょく、交于$A$点てん的てき直ちょく线为轴，转动惯量分ぶん别为$I_{1}$、$I_{2}$，则它以过$A$点てん且垂直ちょく于该平面へいめん的てき直ちょく线为轴的转动惯量$I_{3}=I_{1}+I_{2}$。

伸展しんてん定てい则

伸展しんてん定てい则是ぜ说，如果一いち个物件ぶっけん中ちゅう的てき任にん一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移，该物件ぶっけん对该轴的转动惯量不ふ变。

慣性かんせい張はり量りょう

對たい於三維空間中任意一参考點$Q$與あずか以此参考さんこう點てん為ため原點げんてん的てき直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい$Qxyz$，一いち個こ剛體ごうたい的てき慣性かんせい張はり量りょう$\mathbf {I} \,\!$是これ

$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!$。（1）

這裏，矩のり陣じん的てき對たい角かく元素げんそ$I_{xx}\,\!$、$I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$分別ふんべつ為ため對たい於$x$-軸じく、$y$-軸じく、$z$-軸じく的てき轉うたて動どう慣量。設定せってい$(x,\ y,\ z)\,\!$為ため微小びしょう質量しつりょう$dm\,\!$對たい於點$Q$的てき相對そうたい位置いち。則のり這些轉てん動どう慣量以方程式ほうていしき定義ていぎ為ため

$I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!$，

$I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+z^{2})\ dm\,\!$，（2）

$I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!$。

矩のり陣じん的てき非ひ對たい角かく元素げんそ，稱たたえ為ため慣量積せき，以方程式ほうていしき定義ていぎ為ため

$I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!$，

$I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!$，（3）

$I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!$。

導しるべ引

圖ずA

如圖$A$，一いち個こ剛體ごうたい對たい於質心こころ$G$與あずか以點$G$為ため原點げんてん的てき直角ちょっかく座標ざひょう系けい$Gxyz$的まと角かく動どう量りょう$\mathbf {L} _{G}\,\!$定義ていぎ為ため

$\mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times \mathbf {v} \ dm\,\!$。

這裏，$\mathbf {r} \,\!$代表だいひょう微小びしょう質量しつりょう$dm\,\!$在ざい$Gxyz$座標ざひょう系けい的てき位置いち，$\mathbf {v} \,\!$代表だいひょう微小びしょう質量しつりょう的てき速度そくど。因よし為ため速度そくど是ぜ角速度かくそくど${\boldsymbol {\omega }}\,\!$叉また積せき位置いち，所以ゆえん，

$\mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!$。

計算けいさん$x$-軸じく分量ぶんりょう，

${\begin{aligned}L_{Gx}&=\int \ y({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{z}-z({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{y}\ dm\\&=\int \ y\omega _{x}y-y\omega _{y}x+z\omega _{x}z-z\omega _{z}x\ dm\\&=\int \ \omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\ dm\\&=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\ .\end{aligned}}\,\!$

相似そうじ地ち計算けいさん$y$-軸じく與あずか$z$-軸じく分量ぶんりょう，角かく動どう量りょう為ため

$L_{Gx}=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\,\!$，

$L_{Gy}=-\omega _{x}\int \ xy\ dm+\omega _{y}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{z}\int \ yz\ dm\,\!$，

$L_{Gz}=-\omega _{x}\int \ xz\ dm-\omega _{y}\int \ yz\ dm+\omega _{z}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!$。

如果，我わが們用方程式ほうていしき（1）設定せってい對たい於質心こころ$G$的てき慣性かんせい張はり量りょう$\mathbf {I} _{G}\,\!$，讓ゆずる角速度かくそくど${\boldsymbol {\omega }}\,\!$為ため$(\omega _{x}\;,\;\omega _{y}\;,\;\omega _{z})\,\!$，那な麼，

$\mathbf {L} _{G}=\mathbf {I} _{G}\ {\boldsymbol {\omega }}\,\!$。（4）

平行へいこう軸じく定理ていり

主しゅ条目じょうもく：平行へいこう軸じく定理ていり

平行へいこう軸じく定理ていり能のう夠很簡易かんい的てき，從したがえ對たい於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換てんかん至いたり另外一いち個こ平行へいこう的てき座標ざひょう系統けいとう。假かり若わか已やめ知ち剛體ごうたい對たい於質心こころ$G$的てき慣性かんせい張はり量りょう$\mathbf {I} _{G}\,\!$，而質心こころ$G$的てき位置いち是ぜ$({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!$，則のり剛體ごうたい對たい於原點てん$O$的てき慣性かんせい張はり量りょう$\mathbf {I} \,\!$，依よ照あきら平行へいこう軸じく定理ていり，可か以表述じゅつ為ため

$I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!$，

$I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!$，（5）

$I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!$，

$I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!$，

$I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!$，（6）

$I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!$。

證明しょうめい：

圖ずB

a)參考さんこう圖ずB，讓ゆずる$(x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!$、$(x,\ y,\ z)\,\!$分別ふんべつ為ため微小びしょう質量しつりょう$dm\,\!$對質たいしつ心しん$G$與原よはら點てん$O$的てき相對そうたい位置いち：

$y=y\,'+{\bar {y}}\,\!$，$z=z\,'+{\bar {z}}\,\!$。

依よ照あきら方程式ほうていしき（2），

$I_{G,xx}=\int \ (y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2})\ dm\,\!$

$I_{xx}=\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!$。

所以ゆえん，

${\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ [(y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}]\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!$

相似そうじ地ち，可か以求得とく$I_{yy}\,\!$、$I_{zz}\,\!$的てき方程式ほうていしき。

b)依よ照あきら方程式ほうていしき（3），

$I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!$。

$I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!$。

因よし為ため$x=x\,'+{\bar {x}}\,\!$，$y=y\,'+{\bar {y}}\,\!$，所以ゆえん

${\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!$

相似そうじ地ち，可か以求得とく對たい於點$O$的てき其他慣量積せき方程式ほうていしき。

對たい於任意にんい軸じく的てき轉てん動どう慣量

圖ずC

參まいり視し圖ずC，設定せってい點てん$O$為ため直角ちょっかく座標ざひょう系けい的てき原點げんてん，點てん$Q$為ため三さん維空間あいだ裏うら任意にんい一いち點てん，$Q$不等ふとう於$O$。思考しこう一いち個こ剛體ごうたい，對たい於$OQ$-軸じく的てき轉てん動どう慣量是ぜ

$I_{OQ}\ =\int \ \rho ^{2}\ dm\ =\ \int \ \left|{\boldsymbol {\eta }}\times \mathbf {r} \right|^{2}\ dm\,\!$。

這裏，$\rho \,\!$是ぜ微小びしょう質量しつりょう$dm\,\!$離はなれ$OQ$-軸じく的てき垂直すいちょく距離きょり，${\boldsymbol {\eta }}\,\!$是ぜ沿著$OQ$-軸じく的てき單位たんい向むこう量りょう，$\mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!$是ぜ微小びしょう質量しつりょう$dm\,\!$的てき位置いち。

展開てんかい叉また積せき，

$I_{OQ}=\int \ [(\eta _{y}z-\eta _{z}y)^{2}+(\eta _{x}z-\eta _{z}x)^{2}+(\eta _{x}y-\eta _{y}x)^{2}]\ dm\,\!$。

稍やや微ほろ加か以編排はい，

${\begin{aligned}I_{OQ}=&\eta _{x}^{2}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{y}^{2}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{z}^{2}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\\&-2\eta _{x}\eta _{y}\int \ xy\ dm-2\eta _{x}\eta _{z}\int \ xz\ dm-2\eta _{y}\eta _{z}\int \ yz\ dm\ .\\\end{aligned}}\,\!$

特別とくべつ注意ちゅうい，從したがえ方程式ほうていしき（2）、（3），這些積分せきぶん項目こうもく，分別ふんべつ是ぜ剛體ごうたい對たい於$x$-軸じく、$y$-軸じく、$z$-軸じく的てき轉てん動どう慣量與あずか慣量積せき。因よし此，

$I_{OQ}=\eta _{x}^{2}I_{xx}+\eta _{y}^{2}I_{yy}+\eta _{z}^{2}I_{zz}+2\eta _{x}\eta _{y}I_{xy}+2\eta _{x}\eta _{z}I_{xz}+2\eta _{y}\eta _{z}I_{yz}\,\!$。（7）

如果已やめ經けい知道ともみち，剛體ごうたい對たい於直角かく座標ざひょう系けい的てき三さん個こ座標軸ざひょうじく，$x$-軸じく、$y$-軸じく、$z$-軸じく的てき轉てん動どう慣量。那な麼，對たい於$OQ$-軸じく的てき轉てん動どう慣量，可か以用此方こちら程ほど式しき求もとめ得う。

主しゅ轉てん動どう慣量

因いん為ため慣性かんせい張はり量りょう$\mathbf {I} \,\!$是これ個こ實じつ值的てき三さん階かい對稱たいしょう矩のり陣じん，我わが們可以用對角線たいかくせん化か，將はた慣量積せき變へん為ため零れい，使つかい慣性かんせい張はり量りょう成なり為ため一いち個こ對たい角かく矩のり陣じん。我わが們可以證明しょうめい得え到いた的てき三さん個こ特徵とくちょう值必為正せい實數じっすう，而且三さん個こ特徵とくちょう向むこう量りょう必定ひつじょう互相正せい交。

換かわ另外一いち種しゅ方法ほうほう，我わが們需要よう解析かいせき特徵とくちょう方程式ほうていしき

$\mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}=\lambda \;{\boldsymbol {\omega }}\,\!$。（8）

也就是ぜ以下いか行列ぎょうれつ式しき等とう於零的てき三さん次じ方程式ほうていしき：

$\det {(\mathbf {I} -\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]\lambda )}={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!=0$ 。

這方程式ほうていしき的てき三さん個こ根ね$\lambda _{1}\,\!$、$\lambda _{2}\,\!$、$\lambda _{3}\,\!$都と是正ぜせい實み的てき特徵とくちょう值。將はた特徵とくちょう值代入だいにゅう方程式ほうていしき（8），再さい加か上じょう方向ほうこう餘弦よげん方程式ほうていしき，

$\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2}=1\,\!$，

我わが們可以求到いた特徵とくちょう向むこう量りょう${\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\,\!$、${\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\,\!$、${\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{3}\,\!$。這些特徵とくちょう向むこう量りょう都と是ぜ剛體ごうたい的てき慣量主軸しゅじく；而這些特徵ちょう值則分別ふんべつ是ぜ剛體ごうたい對たい於慣量りょう主軸しゅじく的てき主しゅ轉てん動どう慣量。

假設かせつ$x$-軸じく、$y$-軸じく、$z$-軸じく分別ふんべつ為ため一いち個こ剛體ごうたい的てき慣量主軸しゅじく，這剛體ごうたい的てき主しゅ轉てん動どう慣量分別ふんべつ為ため$I_{x}\,\!$、$I_{y}\,\!$、$I_{z}\,\!$，角速度かくそくど是ぜ${\boldsymbol {\omega }}\,\!$。那な麼，角かく動どう量りょう為ため

$\mathbf {L} =(I_{x}\omega _{x}\;,\;I_{y}\omega _{y}\;,\;I_{z}\omega _{z})\,\!$。

動どう能のう

剛體ごうたい的てき動どう能のう$K\,\!$可か以定義ていぎ為ため

$K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int \ v^{2}\ dm\,\!$，

這裏，${\bar {v}}\,\!$是ぜ剛體ごうたい質しつ心的しんてき速度そくど，$v\,\!$是ぜ微小びしょう質量しつりょう$dm\,\!$相對そうたい於質心しん的てき速度そくど。在ざい方程式ほうていしき裏うら，等號とうごう右邊うへん第だい一いち個こ項目こうもく是ぜ剛體ごうたい平ひら移うつり運動うんどう的てき動どう能のう，第だい二に個こ項目こうもく是ぜ剛體ごうたい旋轉せんてん運動うんどう的てき動どう能のう$K\,\!'\,\!$。由よし於這旋轉せんてん運動うんどう是ぜ繞にょう著ちょ質しつ心こころ轉うたて動的どうてき，

$K\,\!'={\frac {1}{2}}\int \ ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!$。

這裏，${\boldsymbol {\omega }}\,\!$是ぜ微小びしょう質量しつりょう$dm\,\!$繞にょう著ちょ質しつ心的しんてき角速度かくそくど，$\mathbf {r} \,\!$是これ$dm\,\!$對たい於質心しん的てき相對そうたい位置いち。

應用おうよう向むかい量りょう恆等こうとう式しき，可か以得到いた

$K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} \,\!$。

或ある者もの，用よう矩のり陣じん來らい表ひょう達たち，

$K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\operatorname {T} }\ \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}\,\!$。

所以ゆえん，剛體ごうたい的てき動どう能のう為ため

$K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{xx}{\omega _{x}}^{2}+I_{yy}{\omega _{y}}^{2}+I_{zz}{\omega _{z}}^{2}+2I_{xy}\omega _{x}\omega _{y}+2I_{xz}\omega _{x}\omega _{z}+2I_{yz}\omega _{y}\omega _{z})\,\!$。（9）

假設かせつ$x$-軸じく、$y$-軸じく、$z$-軸じく分別ふんべつ為ため一いち個こ剛體ごうたい的てき慣量主軸しゅじく，這剛體ごうたい的てき主しゅ轉てん動どう慣量分別ふんべつ為ため$I_{x}\,\!$、$I_{y}\,\!$、$I_{z}\,\!$，角速度かくそくど是ぜ${\boldsymbol {\omega }}\,\!$。那な麼，剛體ごうたい的てき動どう能のう為ため

$K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{x}{\omega _{x}}^{2}+I_{y}{\omega _{y}}^{2}+I_{z}{\omega _{z}}^{2})\,\!$。（10）

計算けいさん範はん例れい

主しゅ条目じょうもく：转动惯量列れつ表ひょう

細長ほそなが棒ぼう子こ的てき轉てん动惯量りょう是ぜ${\begin{smallmatrix}{\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}$

當とう自轉じてん軸じく移うつり到いた末端まったん，轉てん动惯量りょう是ぜ${\begin{smallmatrix}{\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}$

利用りよう線せん密度みつど${\begin{smallmatrix}\lambda ={\frac {m}{\ell }}\end{smallmatrix}}$可か輕易けいい計けい算出さんしゅつ細長ほそなが棒ぼう子こ沿質しつ心こころ（CM）自轉じてん的てき转动惯量。

${\begin{smallmatrix}m=\lambda x\end{smallmatrix}}$

${\begin{smallmatrix}dm=\lambda dx\end{smallmatrix}}$

$I_{\text{CM}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{-\ell /2}^{\ell /2}x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ \left({\frac {1}{3}}x^{3}\right){\bigg |}_{-\ell /2}^{\ell /2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}$

當とう自轉じてん軸じく移うつり到いた末端まったん，轉てん动惯量りょう變成へんせい：

$I_{\text{end}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{0}^{\ell }x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ \left({\frac {1}{3}}x^{3}\right){\bigg |}_{0}^{\ell }={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}$

$I_{\text{end}}=I_{\text{CM}}+MD^{2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}+m\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}$

相關そうかん條目じょうもく

• 橫よこ截面的てき慣性かんせい矩のり：截面二に次じ軸じく矩のり
• 星ほし球だま质量分布ぶんぷ指ゆび标：无量纲转动惯量りょう
• 转动惯量列れつ表ひょう
• 角すみ動どう量りょう
• 飛ひ輪わ矩のり

參考さんこう文獻ぶんけん

• Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-230492-3

外部がいぶ連結れんけつ

• 轉うたて動どうJava模擬もぎ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• 平衡へいこう垂直すいちょく棒ぼう子こJava模擬もぎ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• 教育きょういく部ぶ進しん修おさむ網もう站，慣性かんせい矩のり