动能

車くるま子こ在ざい斜はす坡上的てき位置いち不同ふどう，其動能のう與あずか势能（位い能のう）亦また不ふ相あい同どう。

动能 （英語えいご：Kinetic energy）是ぜ物ぶつ质运动时所得しょとく到いた的てき能のう量りょう。它通常つうじょう被ひ定てい义成使し某ぼう物体ぶったい从静止せいし状じょう态至运动状じょう态所做的功こう。由よし于运动是相しょう对的，动能也是相しょう对于某ぼう参照さんしょう系けい而言。同どう一物体在不同的参照系会有不同的速はや率りつ，也就是ぜ有ゆう不同ふどう的てき动能。动能的てき国こく际单位い是ぜ焦こげ耳みみ（J），以基本きほん单位表示ひょうじ是ぜ千せん克かつ米べい平方へいほう每秒まいびょう平方へいほう（kg·m²·s^-2）。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

经典力学りきがく

在ざい经典力学りきがく，一いち个质点（一いち个很小しょう的てき物体ぶったい，它的大小だいしょう基本きほん可か以忽略りゃく）或ある者もの一个没有自转的刚体的てき动能、速はや率りつ与あずか质量的てき关系是ぜ：

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

其中$E_{k}$代表だいひょう动能，$m$代表だいひょう质量，$v$代表だいひょう速はや率りつ。

而当一个物体的质量不变，一いち个物体ぶったい平ひら移うつり的てき动能、速はや率りつ与あずか质量的てき关系亦また同上どうじょう。

一个物体的动能与動どう量りょう的てき关系为：

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

其中$E_{k}$代表だいひょう动能，$p$代表だいひょう动量的てき数すう值及$m$代表だいひょう质量。

推导与あずか定てい义

我わが们可选择任意にんい一いち个惯性参考さんこう系けい来らい考こう虑动能のう。一个物体原来静止せいし，在ざい受到作用さよう力りょく之の后きさき便びん加速かそく。它所得しょとく到いた的てき动能是ぜ总共的てき作用さよう力りょく对它所しょ做的功こう。

$W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$

其中$W$代表だいひょう功こう，${\vec {F}}$代表だいひょう物体ぶったい所しょ受到的てき总共的てき作用さよう力りょく，${\vec {s}}$代表だいひょう物体ぶったい的てき位い移うつり。

根ね据すえ牛うし顿第二に定律ていりつ，

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

其中${\vec {F}}$代表だいひょう力ちから，${\vec {p}}$代表だいひょう动量，$t$代表だいひょう时间。

动量、速度そくど与あずか质量的てき关系为：

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

其中${\vec {p}}$代表だいひょう动量，$m$代表だいひょう质量，${\vec {v}}$代表だいひょう速はや率りつ。

在ざい牛うし顿力学がく中ちゅう，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

$W=\int {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}={\frac {1}{2}}\int md({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})={\frac {1}{2}}mv^{2}+C_{0}$

其中$W$代表だいひょう功こう，${\vec {p}}$代表だいひょう动量，$t$代表だいひょう时间，${\vec {v}}$代表だいひょう速度そくど，$v$代表だいひょう速はや率りつ，$m$代表だいひょう质量，$C_{0}$代表だいひょう不定ふてい常数じょうすう。当とう物体ぶったい的てき速そく率りつ为零时，其动能のう亦また为零。因よし此，

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

其中$E_{k}$代表だいひょう动能，$m$代表だいひょう质量及$v$代表だいひょう速そく率りつ。

自じ转的物体ぶったい

如果一个物体自转，它便有ゆう自じ转动能のう。自じ转动能のう是ぜ它的每ごと一いち质点的てき平たいら移うつり动能的てき和わ。

$E_{r}={\frac {1}{2}}\int v^{2}dm={\frac {1}{2}}\int r^{2}\omega ^{2}dm={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\int r^{2}dm={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

其中$E_{r}$代表だいひょう自じ转动能のう，$v$代表だいひょう速はや率りつ，$\omega$代表だいひょう角速度かくそくど，$m$代表だいひょう质量及$r$代表だいひょう质点到いた旋转轴间的てき距离。

相あい对论

在ざい狭せま义相对论中なか，我わが们必须改变线性せい动量的てき表ひょう达式。

使用しよう$m$表示ひょうじ静止せいし质量，$\mathbf {v}$和わ$v$分ぶん别表示ひょうじ物体ぶったい的てき速度そくど和わ速そく率りつ， 而$c$表示ひょうじ真ま空中くうちゅう的てき光速こうそく，我わが们假设线性せい动量$\mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v}$， 其中$\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

分部わけべ积分得え到いた

$E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})$

回かい忆$\gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!$，我わが们得到いた：

${\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}\end{aligned}}$

其中$E_{0}$作さく为积分ぶん常数じょうすう。 于是:

${\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\\&=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}$

通つう过观察$\mathbf {v} =0,\ \gamma =1\!$ 且 $E_{\text{k}}=0\!$，得え到いた积分常数じょうすう$E_{0}$应为

$E_{0}=mc^{2}\,$

并给出で通常つうじょう的てき公式こうしき

$E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$

極限きょくげん

$\lim _{v\rightarrow c}E_{\text{k}}=\infty$

當とう速度そくど趋向光速こうそく，動どう能のう趋向無限むげん，因いん此限制せい了りょう速度そくど的てき上限じょうげん為ため光速こうそく，體現たいげん了りょう相對そうたい論ろん的てき自じ恰性。

利用りよう泰たい勒公式しき：

${\begin{aligned}E_{\text{k}}&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\\&=mc^{2}(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\cdots )-mc^{2}\\&=mc^{2}+{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+\cdots -mc^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}$

低速ていそく情況じょうきょう下か，相對そうたい論ろん中ちゅう的てき表ひょう達たち式しき趨向すうこう於經典きょうてん力學りきがく中ちゅう的てき表ひょう達たち式しき。

參まいり見み

• 势能（又また称たたえ“位い能のう”）
• 机つくえ械能
• 能のう量りょう
• 相あい对论
• 牛うし顿运动定律ていりつ