Κινητική ενέργεια

Κινητική ενέργεια (Εいぷしろん_K, ΚかっぱΕいぷしろん, Κかっぱ, ή ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた Τたう) είναι ηいーた ενέργεια πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει ένα σώμα όταν κινείται κかっぱαあるふぁιいおた αναφέρεται σしぐまτたうηいーたνにゅー ικανότητά τたうοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ παράγει έργο. Ως κινητική ενέργεια ενός σώματος ορίζεται ηいーた συνολική ενέργεια πぱいοおみくろんυうぷしろん χρειάζεται νにゅーαあるふぁ απορροφήσει ένα σώμα προκειμένου νにゅーαあるふぁ αποκτήσει ορισμένη μεταφορική ταχύτητα ή/κかっぱαあるふぁιいおた γωνιακή ταχύτητα ξεκινώντας από τたうηいーたνにゅー ακινησία. Υπάρχουν δύο ανεξάρτητα είδη κινήσεων γがんまιいおたαあるふぁ ένα μηχανικό σώμα, ηいーた μεταφορική κίνηση κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた περιστροφή, οおみくろんιいおた οποίες χαρακτηρίζονται από τたうηいーたνにゅー ταχύτητα κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーた γωνιακή ταχύτητα αντίστοιχα. Έτσι, ορίζονται δύο ειδών κινητικές ενέργειες, ηいーた μεταφορική κινητική ενέργεια κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた περιστροφική κινητική ενέργεια, οおみくろんιいおた οποίες συμβολίζονται μみゅーεいぷしろん Κかっぱ_μみゅー κかっぱαあるふぁιいおた Κかっぱ_πぱい αντίστοιχα. Γがんまιいおたαあるふぁ ταχύτητες μικρές σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん φωτός σしぐまτたうοおみくろん κενό, ηいーた μεταφορική κινητική ενέργεια ισούται κατά προσέγγιση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ήμισυ τたうοおみくろんυうぷしろん γινομένου της μάζας τたうοおみくろんυうぷしろん σώματος επί τたうοおみくろん τετράγωνο της ταχύτητάς τたうοおみくろんυうぷしろん, ενώ ηいーた περιστροφική κινητική ενέργεια ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ήμισυ τたうοおみくろんυうぷしろん γινομένου της ροπής αδράνειας επί τたうοおみくろん τετράγωνο της γωνιακής ταχύτητας όπως.

$K=K_{\mu }+K_{\pi }={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

Όπου m ηいーた μάζα σώματος κかっぱαあるふぁιいおた v ηいーた ταχύτητά τたうοおみくろんυうぷしろん.

Συνεπώς κινητική ενέργεια έχουν τたうαあるふぁ σώματα πぱいοおみくろんυうぷしろん εκτελούν κίνηση ή περιστροφή ή ταλάντωση. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα τたうοおみくろん βλήμα ή οおみくろん πύραυλος πぱいοおみくろんυうぷしろん εκτοξεύεται έχει κινητική ενέργεια λόγω της ταχύτητάς τたうοおみくろんυうぷしろん. Όταν ένα όχημα επιβραδύνεται χάνει σταδιακά τたうηいーたνにゅー κινητική τたうοおみくろんυうぷしろん ενέργεια.

Κλασική Μηχανική

Μεταφορική Κινητική Ενέργεια

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποκτήσει ένα σώμα ταχύτητα από τたうηいーたνにゅー ηρεμία πρέπει νにゅーαあるふぁ τたうοおみくろんυうぷしろん ασκηθεί κάποια δύναμη, έστω F αυτή. Γがんまιいおたαあるふぁ σχετικά μικρές ταχύτητες σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん φωτός ισχύει μみゅーεいぷしろん πολύ καλή προσέγγιση ότι

$\mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ δύο μέλη της εξίσωσης μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん διαφορικό dr,

$\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot d\mathbf {r} \Leftrightarrow \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =m\left(d\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)$

όπου ηいーた παράγωγος dv/dt της ταχύτητας χειρίσθηκε ως κλάσμα. Ηいーた ποσότητα dr/dt όμως είναι (εいぷしろんξくしー ορισμού) ηいーた ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん σώματος. Συνεπώς,

$\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =m\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v}$

Ηいーた (μεταφορική) κινητική ενέργεια ορίζεται ως τたうοおみくろん έργο πぱいοおみくろんυうぷしろん απαιτείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ μεταφέρουμε ένα σώμα από αρχική ταχύτητα 0 (σしぐまεいぷしろん θέση r₀) σしぐまεいぷしろん τελική ταχύτητα v (σしぐまεいぷしろん θέση r), συνεπώς

$K_{\mu }=\int _{\mathbf {r_{0}} }^{\mathbf {r} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} '=m\int _{0}^{\mathbf {v} }\mathbf {v} '\cdot d\mathbf {v} '=m\left[{\frac {1}{2}}v'^{2}\right]_{0}^{v}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Ηいーた φυσική σημασία της παραπάνω εξίσωσης είναι ότι τたうοおみくろん έργο πぱいοおみくろんυうぷしろん απαιτείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποκτήσει ένα σώμα μάζας m ταχύτητα v ξεκινώντας από τたうηいーたνにゅー ηρεμία ισούται μみゅーεいぷしろん (1/2)mv². Εいぷしろんξくしー' ορισμού λοιπόν ηいーた μεταφορική κινητική ενέργεια ενός σώματος σしぐまτたうηいーた Κλασική Μηχανική ισούται μみゅーεいぷしろん:

$K_{\mu }={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Ηいーた κινητική ενέργεια, όπως υπολογίζεται, έχει σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん σύστημα αναφοράς πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιούμε, γιατί από αυτό εξαρτάται ηいーた ταχύτητα.

Σχετικότητα

Σしぐまτたうηいーたνにゅー Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, ηいーた κινητική ενέργεια υπόκειται σしぐまεいぷしろん ορισμένες διορθώσεις σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん ένα σώμα (ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς) κινείται μみゅーεいぷしろん ταχύτητα κοντά σしぐまεいぷしろん εκείνη τたうοおみくろんυうぷしろん φωτός. Συγκεκριμένα, σしぐまτたうηいーた σχετικότητα ηいーた μάζα εξαρτάται από τたうηいーた ταχύτητα βάσει της σχέσης m=γがんまm₀ (όπου γがんま οおみくろん παράγοντας τたうοおみくろんυうぷしろん Λόρεντς κかっぱαあるふぁιいおた m₀ ηいーた μάζα ηρεμίας τたうοおみくろんυうぷしろん σώματος), συνεπώς από τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της κινητικής ενέργειας —όπως κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーた κλασική περίπτωση— ως έργο πぱいοおみくろんυうぷしろん απαιτείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ φέρουμε ένα σώμα από μみゅーιいおたαあるふぁ κατάσταση ηρεμίας (μηδενική ταχύτητα) σしぐまεいぷしろん ταχύτητα v ισχύει ότι:

$K=\int _{0}^{\mathbf {r} }{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot d\mathbf {r} '=\int _{0}^{\mathbf {p} }d\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} '=\int _{0}^{\gamma m_{0}\mathbf {v} }\mathbf {v} '\cdot d(\gamma m_{0}\mathbf {v} ')=\left[\gamma m_{0}v'^{2}\right]_{0}^{v}-m_{0}\int _{0}^{v}\gamma v'dv'=\gamma m_{0}v^{2}-m_{0}\int _{0}^{v}{\frac {v'dv'}{\sqrt {1-(v'/c)^{2}}}}$

Τたうοおみくろん τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικά κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん τελικό αποτέλεσμα είναι ότι:

$K={\frac {m_{0}v^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}-m_{0}c^{2}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-m_{0}c^{2}=(m-m_{0})c^{2}$

Ηいーた κινητική ενέργεια ενός σώματος σしぐまτたうηいーた Σχετικότητα εξαρτάται λοιπόν από τたうηいーた σχετική διαφορά (m-m₀) μεταξύ της σχετικιστικής μάζας κかっぱαあるふぁιいおた της μάζας ηρεμίας τたうοおみくろんυうぷしろん. Είναι προφανές από τたうηいーた προηγούμενη σχέση ότι σしぐまτたうοおみくろん όριο v→c, Κかっぱ→∞. Ηいーた φυσική σημασία αυτής της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς είναι ότι τたうοおみくろん έργο πぱいοおみくろんυうぷしろん απαιτείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ φέρουμε ένα σώμα μみゅーηいーた μηδενικής μάζας από ταχύτητα v=0 σしぐまεいぷしろん v=c είναι άπειρο.

Αντίθετα, σしぐまτたうοおみくろん όριο τたうωおめがνにゅー χαμηλών ταχυτήτων (v/c<<1), θしーたαあるふぁ περίμενε κανείς νにゅーαあるふぁ βべーたρろーεいぷしろんιいおた τたうηいーたνにゅー κλασική έκφραση της κινητικής ενέργειας σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー Νεύτωνα. Πράγματι, αφού γがんまιいおたαあるふぁ μικρές τιμές τたうοおみくろんυうぷしろん x ηいーた συνάρτηση (1-x²)^-1/2 προσεγγίζεται πολύ καλά από τたうηいーたνにゅー έκφραση 1+(1/2)x², τότε γがんまιいおたαあるふぁ x=v/c ηいーた σχετικιστική έκφραση της κινητικής ενέργειας θしーたαあるふぁ προσεγγίζεται πολύ καλά από τたうηいーた σχέση

$K\approx m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}(v/c)^{2}\right]-m_{0}c^{2}=m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$

πぱいοおみくろんυうぷしろん ταυτίζεται απόλυτα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー κλασικό τύπο της κινητικής ενέργειας. Ηいーた αναπαραγωγή τたうωおめがνにゅー κλασικών αποτελεσμάτων σしぐまτたうοおみくろん όριο τたうωおめがνにゅー χαμηλών ταχυτήτων είναι ένα γενικότερο χαρακτηριστικό της Σχετικιστικής Μηχανικής.

Κβαντομηχανική

Σしぐまτたうηいーたνにゅー Κβαντομηχανική, ηいーた κινητική ενέργεια (όπως κかっぱαあるふぁιいおた όλες οおみくろんιいおた μετρούμενες φυσικές ποσότητες) περιγράφεται από έναν ερμιτιανό τελεστή. Σしぐまτたうηいーた μみゅーηいーた-σχετικιστική κβαντομηχανική, οおみくろん τελεστής της κινητικής ενέργειας ισούται μみゅーεいぷしろん

${\hat {K}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}$

Οおみくろん τελεστής της κινητικής ενέργειας μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー τελεστή της ορμής μετατίθενται γがんまιいおたαあるふぁ ένα ελεύθερα κινούμενο σωμάτιο ([K,p]=0), τたうοおみくろん οποίο σημαίνει πως οおみくろんιいおた δύο τελεστές έχουν τις ίδιες ιδιοσυναρτήσεις. Επίσης, σしぐまτたうοおみくろんνにゅー χώρο τたうωおめがνにゅー θέσεων ηいーた κυματοσυνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφει ένα σωματίδιο απόλυτα εντοπισμένης ορμής p (γがんまιいおたαあるふぁ ευκολία θしーたαあるふぁ θεωρήσουμε κίνηση σしぐまεいぷしろん μία διάσταση) είναι ηいーた

$\psi _{p}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{ipx/\hbar }$

Ηいーた μεταθετικότητα τたうωおめがνにゅー τελεστών K κかっぱαあるふぁιいおた p σημαίνει ότι ένα σωματίδιο μみゅーεいぷしろん απόλυτα καθορισμένη κινητική ενέργεια p²/2m θしーたαあるふぁ περιγράφεται επίσης από τたうηいーたνにゅー ίδια ιδιοσυνάρτηση:

$\psi _{K}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{ipx/\hbar }$

Μみゅーιいおたαあるふぁ τέτοια κυματοσυνάρτηση, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた αποτελεί λύση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, περιγράφει μία αφύσικη κατάσταση μみゅーεいぷしろん απολύτως εντοπισμένη ορμή (Δでるたp=0) κかっぱαあるふぁιいおた άπειρη αβεβαιότητα σしぐまτたうηいーた θέση τたうοおみくろんυうぷしろん (Δでるたx=∞).

Τたうοおみくろん ίδιο επιχείρημα μπορεί νにゅーαあるふぁ γενικευθεί κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τρισδιάστατο χώρο, μόνο πぱいοおみくろんυうぷしろん οおみくろんιいおた τελεστές ορμής κかっぱαあるふぁιいおた κινητικής ενέργειας θしーたαあるふぁ δίνονται πλέον από τους τύπους

${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }},\ \ \ {\hat {K}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$

όπου ∇ οおみくろん τελεστής ανάδελτα κかっぱαあるふぁιいおた ∇² οおみくろん Τελεστής Λαπλάς.

Δείτε επίσης

• Κινητική ενέργεια ανέμων

Βιβλιογραφία

• Beiser, A. (2002). Σύγχρονη Φυσική. Ελληνική μετάφραση. Εκδόσεις τυπωθήτω, Αθήνα.
• Τραχανάς, Σしぐま. (2009). Κβαντομηχανική Ιいおた. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
• Αντωνίου Νにゅー., Δημητριάδης Πぱい., Καμπούρης Κかっぱ., Παπαμιχάλης Κかっぱ., Παπατσίμπα Λらむだ. (2004). Φυσική Βべーた' Γυμνασίου. Εκδόσεις ΟおみくろんΕいぷしろんΔでるたΒべーた, Αθήνα.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θέμα Kinetic energy σしぐまτたうοおみくろん Wikimedia Commons