Τελεστής (μαθηματικά)

Οおみくろん τελεστής σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたρろーαあるふぁ πάνω σしぐまεいぷしろん κάποια άλλη συνάρτηση, μετασχηματίζοντάς τたうηいーたνにゅー κατά ένα καθορισμένο τρόπο. Μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης, καθώς οおみくろんιいおた συναρτήσεις δでるたρろーοおみくろんυうぷしろんνにゅー συνήθως πάνω σしぐまεいぷしろん μεμονωμένα «αντικείμενα», ενώ ένας τελεστής μπορεί νにゅーαあるふぁ δράσει πάνω σしぐまτたうηいーた «μορφή» μιας συνάρτησης ως σύνολο κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ δώσει μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη συνάρτηση.

Ένας τελεστής παριστάνεται συνήθως μみゅーεいぷしろん ένα σύμβολο τたうοおみくろん οποίο τίθεται μπροστά από μία συνάρτηση (μみゅーεいぷしろん τたうηいーた γενική έννοια) κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー αλλάζει σしぐまεいぷしろん κάποια άλλη συνάρτηση τたうωおめがνにゅー ίδιων μεταβλητών. Οおみくろんιいおた τελεστές συμβολίζονται συνήθως μみゅーεいぷしろん ένα κεφαλαίο γράμμα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん σύμβολο ^ πάνω τたうοおみくろんυうぷしろん, πぱい.χかい.: ${\hat {A}}$.

Ένα παράδειγμα τελεστή είναι αυτός της παραγώγισης ${\hat {D}}$, οおみくろん οποίος γがんまιいおたαあるふぁ μονοδιάστατη συνάρτηση μεταβλητής $x$, έχει τたうηいーた μορφή: ${\hat {D}}={\frac {d}{dx}}$. Γενικά μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ ορίσει μέσω τελεστή οποιονδήποτε μετασχηματισμό. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた «πράξη» της μετατόπισης τたうοおみくろんυうぷしろん γραφήματος μιας συνάρτησης κατά 5 μονάδες προς τたうαあるふぁ δεξιά θしーたαあるふぁ συμβολιζόταν ως ${\hat {T}}f(x)=f(x-5)$, όπου ${\hat {T}}$ οおみくろん τελεστής της συγκεκριμένης πράξης κかっぱαあるふぁιいおた $f(x)$ τυχούσα συνάρτηση επί της οποίας δでるたρろーαあるふぁ.

Ένας πぱいιいおたοおみくろん πλήρης ορισμός τたうοおみくろんυうぷしろん τελεστή χρησιμοποιεί τたうηいーたνにゅー έννοια τたうοおみくろんυうぷしろん γραμμικού διανυσματικού χώρου: «Δοθέντων δύο γραμμικών διανυσματικών χώρων $V_{1}$ κかっぱαあるふぁιいおた $V_{2}$, καλούμε τελεστή ή μετασχηματισμό τたうηいーた μονότιμη διανυσματική συνάρτηση, δηλαδή τたうηいーたνにゅー απεικόνιση Αあるふぁ πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたρろーαあるふぁ ως εξής:»

$V_{1}\supseteq D_{A}\ni {\vec {\psi }}\longrightarrow {\vec {\phi }}\in R_{A}\subseteq V_{2}$

δηλαδή, σしぐまεいぷしろん κάθε διάνυσμα ${\vec {\psi }}$ τたうοおみくろんυうぷしろん υποσυνόλου $D_{A}$ (πεδίο ορισμού) τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου $V_{1}$, ηいーた Αあるふぁ αντιστοιχεί ένα κかっぱαあるふぁιいおた μόνο ένα διάνυσμα${\vec {\phi }}$ τたうοおみくろんυうぷしろん υποσυνόλου $R_{A}$ (πεδίο τιμών) τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου $V_{2}$.

Συμβολικά γράφουμε: ${\hat {A}}{\vec {\psi }}={\vec {\phi }}$, όπου τたうαあるふぁ βέλη μπορούν νにゅーαあるふぁ παραλείπονται χάριν απλότητας. Ηいーた ίδια σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん συμβολισμό τたうοおみくろんυうぷしろん Ντιράκ (Dirac) πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιείται ευρέως σしぐまεいぷしろん προβλήματα κβαντομηχανικής γράφεται: ${\hat {A}}\mid \psi >\ =\mid \phi >\$. (Ένα σύνολο συναρτήσεων, υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, μπορούν νにゅーαあるふぁ θεωρηθούν διανύσματα πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκουν σしぐまεいぷしろん έναν αφηρημένο διανυσματικό χώρο μみゅーεいぷしろん άπειρη διάσταση. Οおみくろんιいおた τιμές της συνάρτησης αντιστοιχούν τότε στις «συνιστώσες»« τたうοおみくろんυうぷしろん διανύσματος).

Γενικά

Ηいーた χρήση της λέξης τελεστής σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά προϋποθέτει τたうηいーた χρήση συναρτήσεων: ένας τελεστής μπορεί νにゅーαあるふぁ ληφθεί ως μία ειδική συνάρτηση, πぱいοおみくろんυうぷしろん εφαρμόζεται σしぐまεいぷしろん κάποια άλλη συνάρτηση. Ένας τελεστής μπορεί νにゅーαあるふぁ έχει τたうαあるふぁ ακόλουθα χαρακτηριστικά:

• Νにゅーαあるふぁ υποστηρίζει υπερφόρτωση, κατά τたうηいーたνにゅー οποία οおみくろん ίδιος τελεστής μπορεί νにゅーαあるふぁ επιδρά σしぐまεいぷしろん αριθμούς, διανύσματα, μήτρες κかっぱ.οおみくろん.κかっぱ. μみゅーεいぷしろん παρόμοια δράση.
• Νにゅーαあるふぁ αποτελεί γενικά μία μερική συνάρτηση, πράγμα πぱいοおみくろんυうぷしろん συνηθίζεται σしぐまτたうηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー διαφορικών εξισώσεων, αφού δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει εいぷしろんξくしー αρχής εγγύηση γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ύπαρξη παραγώγων.
• Νにゅーαあるふぁ εφαρμόζεται τελεστής σしぐまεいぷしろん τελεστές.

Ένας τελεστής μπορεί νにゅーαあるふぁ δでるたρろーαあるふぁ πάνω σしぐまεいぷしろん περισσότερα από ένα αντικείμενα. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん τελεστής της πρόσθεσης, +, είναι ένας δυαδικός τελεστής - σしぐまεいぷしろん κάθε ζεύγος αντικειμένων (αあるふぁ,βべーた) αντιστοιχεί ένα τρίτο αντικείμενο, τたうοおみくろん αあるふぁ+βべーた. Τたうαあるふぁ αντικείμενα μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι αριθμοί, μήτρες, διανύσματα, συναρτήσεις κかっぱ.οおみくろん.κかっぱ. Ένα άλλο παράδειγμα δυαδικού τελεστή είναι ηいーた σύνθεση συναρτήσεων πぱいοおみくろんυうぷしろん συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん «$\circ$» κかっぱαあるふぁιいおた ορίζεται ως εξής: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Οおみくろんιいおた δυαδικοί τελεστές κατά τたうοおみくろん συμβολισμό τοποθετούνται συνήθως ανάμεσα σしぐまτたうαあるふぁ αντικείμενα σしぐまτたうαあるふぁ οποία δでるたρろーοおみくろんυうぷしろんνにゅー.

Οおみくろんιいおた τελεστές χρησιμοποιούνται σしぐまεいぷしろん επιστήμες όπως τたうαあるふぁ μαθηματικά, ηいーた επιστήμη τたうωおめがνにゅー υπολογιστών κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた φυσική (μみゅーεいぷしろん εκτεταμένη χρήση σしぐまτたうηいーたνにゅー κβαντομηχανική).