Παράγωγος

Αυτό τたうοおみくろん άρθρο αφορά τたうοおみくろんνにゅー όρο πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιείται σしぐまτたうοおみくろん λογισμό.Γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ λιγότερο τεχνική επισκόπηση τたうοおみくろんυうぷしろん θέματος, δείτε διαφορικός λογισμός. Γがんまιいおたαあるふぁ άλλες χρήσεις, δείτε Παράγωγος (αποσαφήνιση).

Τたうοおみくろん γράφημα μιας συνάρτησης, μみゅーεいぷしろん μαύρο χρώμα, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた εφαπτομένη της συνάρτησης, μみゅーεいぷしろん κόκκινο χρώμα. Ηいーた κλίση της εφαπτόμενης γραμμής είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー παράγωγο της συνάρτησης σしぐまτたうοおみくろん υποδεικνυόμενο σημείο.

Ηいーた παράγωγος μιας συνάρτησης μみゅーεいぷしろん πραγματική μεταβλητή είναι ένα μέτρο πぱいοおみくろんυうぷしろん εκφράζει τたうηいーた μεταβολή της τιμής της συνάρτησης (μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση ή εξαρτημένη μεταβλητή) ηいーた οποία προσδιορίζεται από μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη ποσότητα (ηいーた ανεξάρτητη μεταβλητή). Είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο τたうοおみくろんυうぷしろん λογισμού. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた παράγωγος της θέσης ενός κινητού αντικειμένου σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん χρόνο είναι ηいーた ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん αντικειμένου: ηいーた οποία μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει ηいーた θέση τたうοおみくろんυうぷしろん αντικειμένου όταν οおみくろん χρόνος προχωρήσει. Ηいーた παράγωγος μετρά τたうοおみくろんνにゅー στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, όπως διακρίνεται από τたうοおみくろんνにゅー μέσο ρυθμό μεταβολής, κかっぱαあるふぁιいおた ορίζεται ως τたうοおみくろん όριο τたうοおみくろんυうぷしろん ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης όπου τたうοおみくろん μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん διαστήματος πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται οおみくろん μέσος όρος τείνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν.

Ηいーた παράγωγος μιας συνάρτησης μみゅーεいぷしろん επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει τたうηいーたνにゅー καλύτερη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σしぐまεいぷしろん αυτή τιμή εισόδου.Ηいーた παράγωγος σしぐまεいぷしろん ένα σημείο της συνάρτησης μιας μεταβλητής είναι ηいーた κλίση της εφαπτόμενης γραμμής σしぐまτたうηいーたνにゅー γραφική παράσταση της συνάρτησης σしぐまτたうοおみくろん σημείο αυτό.

Ηいーた έννοια της παραγώγου μπορεί νにゅーαあるふぁ γενικευθεί σしぐまεいぷしろん συναρτήσεις πολλών πραγματικών μεταβλητών. Ηいーた παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται διαφορικός πίνακας. Ηいーた αναπαράσταση τたうοおみくろんυうぷしろん πίνακα είναι ένας Ιακωβιανός πίνακας, οおみくろん οποίος μειώνει τたうηいーたνにゅー κλίση τたうοおみくろんυうぷしろん διανύσματος στην περίπτωση πραγματικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Ηいーた διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται παραγώγιση. Ηいーた αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται αντιπαραγώγιση. Τたうοおみくろん Θεμελιώδες Θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん λογισμού αναφέρει ότι ηいーた αντιπαραγώγιση είναι τたうοおみくろん ίδιο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ολοκλήρωμα. Παραγώγιση κかっぱαあるふぁιいおた ολοκλήρωση αποτελούν δでるたυうぷしろんοおみくろん βασικές λειτουργίες σしぐまτたうοおみくろん λογισμό.

Παραγώγιση κかっぱαあるふぁιいおた παράγωγος

Ηいーた παραγώγιση είναι ηいーた μέθοδος γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό της παραγώγου. Ηいーた παράγωγος μιας συνάρτησης f(x) μみゅーεいぷしろん μεταβλητή x είναι ένα μέγεθος βαθμού μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん οποίο ηいーた τιμή της συνάρτησης αλλάζει σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μεταβολή της μεταβλητής. Αυτό ονομάζεται παράγωγος της f σしぐまτたうοおみくろん x. Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん x κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん y είναι πραγματικοί αριθμοί, κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー σχεδιαστεί ηいーた γραφική παράσταση της f συναρτήσει τたうοおみくろんυうぷしろん x, ηいーた παράγωγος είναι ηいーた κλίση τたうοおみくろんυうぷしろん γραφήματος σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο.

Ηいーた απλούστερη περίπτωση, εκτός από τたうηいーたνにゅー περίπτωση της σταθερής συνάρτησης, είναι όταν τたうοおみくろん y είναι γραμμική συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん x, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι τたうοおみくろん γράφημα τたうοおみくろんυうぷしろん y συναρτήσει τたうοおみくろんυうぷしろん x είναι ευθεία γραμμή. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση αυτή, y=f(x)=mx + b, γがんまιいおたαあるふぁ πραγματικούς αριθμούς m κかっぱαあるふぁιいおた b, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた κλίση m δίνεται από τたうηいーた σχέση

$m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},$

όπου τたうοおみくろん σύμβολο Δでるた (Δέλτα) είναι συντομογραφία της "μεταβολής". Οおみくろん τύπος αυτός ισχύει αφού

y + Δでるたy = f(x + Δでるたx) = m (x + Δでるたx) + b = m x + m Δでるたx + b = y + m Δでるたx.

κかっぱαあるふぁιいおた από αυτό έχουμε ότι Δでるたy=m Δでるたx.

Αυτό δίνει ακριβή τιμή γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κλίση μιας γραμμής. Αあるふぁνにゅー ηいーた συνάρτηση f δでるたεいぷしろんνにゅー είναι γραμμική (δηλαδή ηいーた γραφική της παράσταση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ευθεία) τότε ηいーた αλλαγή τたうοおみくろんυうぷしろん y σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー αλλαγή τたうοおみくろんυうぷしろん x ποικίλει: ηいーた παραγώγιση είναι μみゅーιいおたαあるふぁ μέθοδος της ακριβούς τιμής τたうοおみくろんυうぷしろん βαθμού αλλαγής γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε δοθείσα τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん x.

Ηいーた ιδέα πぱいοおみくろんυうぷしろん απεικονίζεται σしぐまτたうαあるふぁ Σχήματα 1 έως 3, είναι νにゅーαあるふぁ υπολογιστεί οおみくろん βαθμός της μεταβολής ως ηいーた οριακή τιμή του λόγου Δでるたy/Δでるたx καθώς τたうοおみくろん Δでるたx γίνεται άπειρα μικρό.

Σημειογραφία

Δでるたυうぷしろんοおみくろん ξεχωριστές σημειογραφίες πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιούνται συνήθως γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー παράγωγο, ηいーた μみゅーιいおたαあるふぁ απορρέει από τたうοおみくろんνにゅー Leibniz κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた άλλη από τたうοおみくろんνにゅー Joseph Louis Lagrange.

Σしぐまτたうηいーた σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Leibniz, μみゅーιいおたαあるふぁ απειροελάχιστη αλλαγή σしぐまτたうοおみくろん x συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん dx, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた παράγωγος τたうοおみくろんυうぷしろん y σしぐまεいぷしろん συνάρτηση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん x γράφεται

${\frac {dy}{dx}}\,\!$

συμβολίζοντας τたうοおみくろんνにゅー λόγο τたうωおめがνにゅー δでるたυうぷしろんοおみくろん απειροελάχιστα μικρών ποσοτήτων.(Ηいーた παραπάνω έκφραση διαβάζεται ως "ηいーた παράγωγος τたうοおみくろんυうぷしろん y σしぐまεいぷしろん συνάρτηση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん x", "dy από dx", ή "dy πέρα dx". Ηいーた προφορική μορφή "dy dx" συχνά χρησιμοποιείται conversationally, αλλά μπορεί νにゅーαあるふぁ οδηγήσει σしぐまεいぷしろん σύγχυση.)

Σしぐまτたうηいーた σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Lagrange, ηいーた παράγωγος της συνάρτησης f(x) σしぐまεいぷしろん συνάρτηση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん x συμβολίζεται f '(x) (διαβάζεται "f τόνος τたうοおみくろんυうぷしろん x") ή f_x'(x) (διαβάζεται "f τόνος x τたうοおみくろんυうぷしろん x"), σしぐまεいぷしろん περίπτωση ασάφειας συνεπάγεται ηいーた παράγωγος της μεταβλητής. Ηいーた σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Lagrange μερικές φορές αποδίδεται λανθασμένα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Newton.

Σχήμα 1. Ηいーた εφαπτόμενη γραμμή σしぐまτたうοおみくろん (x, f(x))

Σχήμα 2. Ηいーた τέμνουσα της καμπύλης y= f(x) πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται από τたうαあるふぁ σημεία (x,f(x)) κかっぱαあるふぁιいおた (x+h,f(x+h)).

Σχήμα 3. Ηいーた εφαπτομένη ως τたうοおみくろん όριο τεμνουσών.

Ορισμός μέσω διηρημένων διαφορών

Μみゅーιいおたαあるふぁ κινούμενη εικόνα πぱいοおみくろんυうぷしろん δίνει μみゅーιいおたαあるふぁ διαισθητική ιδέα γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん παράγωγο, καθώς ηいーた "ταλάντευση" μιας συνάρτησης αλλάζει όταν αλλάζει τたうοおみくろん επιχείρημα.

Ηいーた πぱいιいおたοおみくろん συνηθισμένη προσέγγιση γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー σαφή ορισμό αυτής της διαισθητικής ιδέας, είναι νにゅーαあるふぁ ορίσουμε τたうηいーたνにゅー παράγωγο ως τたうοおみくろん όριο της διαφοράς πηλίκου τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών. Αυτή ηいーた προσέγγιση περιγράφεται παρακάτω.

Έστω μみゅーιいおたαあるふぁ πραγματική συνάρτηση f συναρτήσει ενός πραγματικού αριθμού a πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται σしぐまεいぷしろん ένα ανοιχτό διάστημα.Σしぐまτたうηいーたνにゅー κλασική γεωμετρία, ηいーた εφαπτομένη γραμμή τたうοおみくろんυうぷしろん γραφήματος της συνάρτησης f σしぐまτたうοおみくろん a είναι ηいーた μοναδική γραμμή πぱいοおみくろんυうぷしろん περνά από τたうοおみくろん σημείο (a,f(a)) κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー συναντά τたうοおみくろん γράφημα της f εγκάρσια, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι ηいーた γραμμή δでるたεいぷしろんνにゅー περνά μέσα από τたうοおみくろん γράφημα. Ηいーた παράγωγος τたうοおみくろんυうぷしろん y σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん x σしぐまτたうοおみくろん σημείο a, γεωμετρικά είναι ηいーた κλίση της εφαπτόμενης γραμμής σしぐまτたうοおみくろん γράφημα της f σしぐまτたうοおみくろん σημείο (a,f(a)).Ηいーた κλίση της εφαπτομένης είναι πολύ κοντά σしぐまτたうηいーたνにゅー κλίση της γραμμής πぱいοおみくろんυうぷしろん περνάει από τたうοおみくろん (a,f(a)) κかっぱαあるふぁιいおた από ένα κοντινό σημείο σしぐまεいぷしろん αυτό (δηλαδή σしぐまτたうοおみくろん(a,f(a))) τたうοおみくろんυうぷしろん γραφήματος, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα τたうοおみくろん (a+h,f(a+h)). Αυτή ηいーた γραμμή ονομάζεται τέμνουσα. Όσο ηいーた τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん h είναι πぱいιいおたοおみくろん κοντά σしぐまτたうοおみくろん μηδέν δίνει καλύτερη προσέγγιση σしぐまτたうηいーたνにゅー κλίση της εφαπτόμενης γραμμής, κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた μικρότερες τιμές (κατά απόλυτη τιμή) τたうοおみくろんυうぷしろん h, γενικά, δίνουν καλύτερη προσέγγιση. Ηいーた κλίση m της τέμνουσας είναι ηいーた διαφορά μεταξύ τたうωおめがνにゅー τιμών της y διαιρούμενη μみゅーεいぷしろん τたうηいーた διαφορά τたうωおめがνにゅー τιμών τたうοおみくろんυうぷしろん x, δηλαδή,

$m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Αυτή ηいーた έκφραση είναι ηいーた διηρημένη διαφορά του Newton. Ηいーた μετάβαση από μみゅーιいおたαあるふぁ προσέγγιση σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ ακριβή απάντηση επιτυγχάνεται μみゅーεいぷしろん τたうηいーた χρήση τたうοおみくろんυうぷしろん ορίου. Γεωμετρικά τたうοおみくろん όριο της τέμνουσας είναι ηいーた εφαπτομένη. Ως εいぷしろんκかっぱ τούτου, τたうοおみくろん όριο της διηρημένης διαφοράς ως προς τたうοおみくろん h τたうοおみくろん οποίο τείνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν, αあるふぁνにゅー υπάρχει, πρέπει νにゅーαあるふぁ αντιπροσωπεύει τたうηいーたνにゅー κλίση της εφαπτομένης σしぐまτたうοおみくろん σημείο (a,f(a)).Τたうοおみくろん όριο αυτό ορίζεται νにゅーαあるふぁ είναι ηいーた παράγωγος της f σしぐまτたうοおみくろん a:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

Όταν τたうοおみくろん όριο υπάρχει, ηいーた f ονομάζεται παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん a. Εδώ τたうοおみくろん f '(a) είναι ένας από τους κοινούς συμβολισμούς γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー παράγωγο.

Ισοδύναμα, ηいーた παράγωγος ικανοποιεί τたうηいーたνにゅー ιδιότητα

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a)-f'(a)\cdot h \over h}=0,$

ηいーた οποία έχει τたうηいーたνにゅー ερμηνεία (δείτε Σχήμα 1) ότι ηいーた εφαπτομένη της f σしぐまτたうοおみくろん a δίνει τたうηいーたνにゅー καλύτερη γραμμικήπροσέγγιση.

$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$

της f σしぐまτたうοおみくろん a (πぱい.χかい. γがんまιいおたαあるふぁ μικρές τιμές τたうοおみくろんυうぷしろん h). Ηいーた ερμηνεία αυτή είναι ηいーた πぱいιいおたοおみくろん εύκολη γがんまιいおたαあるふぁ γενίκευση.

Αντικαθιστώντας με 0 τたうοおみくろん h σしぐまτたうηいーた διηρημένη διαφορά θしーたαあるふぁ είχαμε διαίρεση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μηδέν, έτσι ηいーた κλίση της εφαπτομένης δでるたεいぷしろん μπορεί νにゅーαあるふぁ βρεθεί άμεσα χρησιμοποιώντας αυτή τたうηいーた μέθοδο. Αντί αυτού, ορίζεται ηいーた Q(h) ως ηいーた διηρημένη διαφορά συναρτήσει τたうοおみくろんυうぷしろん h:

$Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Q(h) είναι ηいーた κλίση της τέμνουσας μεταξύ (a,f(a)) κかっぱαあるふぁιいおた (a+h,f(a+h)). Αあるふぁνにゅー f είναι συνεχής συνάρτηση,πράγμα πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι ηいーた γραφική της παράσταση δでるたεいぷしろんνにゅー διακόπτεται κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー έχει κενά, τότε κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた Q είναι συνεχής συνάρτηση μακριά από τたうοおみくろん h=0. Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん όριο $\textstyle \lim _{h\to 0}Q(h)$ υπάρχει, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι υπάρχει τρόπος επιλογής τιμής γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん Q(0) επομένως Q είναι συνεχής συνάρτηση, τότε ηいーた συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん a κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた παράγωγός της ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん Q(0).

Σしぐまτたうηいーたνにゅー πράξη, ηいーた ύπαρξη μιας συνεχούς επέκτασης της διηρημένης διαφοράς Q(h) σしぐまτたうοおみくろん h=0 προκύπτει από τたうηいーたνにゅー αλλαγή τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμητή ώστε νにゅーαあるふぁ απαλειφθεί τたうοおみくろん h τたうοおみくろんυうぷしろん παρονομαστή. Τέτοιοι χειρισμοί μπορεί νにゅーαあるふぁ κάνουν τたうηいーたνにゅー οριακή τιμή της Q ξεκάθαρη γがんまιいおたαあるふぁ μικρές τιμές τたうοおみくろんυうぷしろん h ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー ηいーた Q δでるたεいぷしろんνにゅー ορίζεται σしぐまτたうοおみくろん h=0. Αυτή ηいーた διαδικασία μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι τεράστια κかっぱαあるふぁιいおた κουραστική γがんまιいおたαあるふぁ πολύπλοκες συναρτήσεις, κかっぱαあるふぁιいおた γίνονται πολλές συντομεύσεις γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ απλοποιηθεί ηいーた διαδικασία.

Παράδειγμα

Ηいーた συνάρτηση τετραγωνισμού f(x)=x² είναι παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん x=3, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた παράγωγός της (σしぐまτたうοおみくろん x=3) είναι ίση μみゅーεいぷしろん 6. Τたうοおみくろん αποτέλεσμα αυτό βγαίνει μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό τたうοおみくろんυうぷしろん ορίου, μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん h νにゅーαあるふぁ τείνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν της διαφοράς πηλίκο f(3):$f'(3)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.$

Ηいーた τελευταία σχέση δείχνει ότι ηいーた διηρημένη διαφορά ισούται μみゅーεいぷしろん 6 + h όταν τたうοおみくろん h είναι διάφορο τたうοおみくろんυうぷしろん μηδενός κかっぱαあるふぁιいおた είναι απροσδιόριστο όταν h=0, λόγω τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού της διηρημένης διαφοράς. Ωστόσο οおみくろん ορισμός τたうοおみくろんυうぷしろん ορίου επισημαίνει ότι ηいーた διηρημένη διαφορά δでるたεいぷしろん χρειάζεται νにゅーαあるふぁ προσδιοριστεί όταν h=0.Τたうοおみくろん όριο είναι τたうοおみくろん αποτέλεσμα καθώς τたうοおみくろん h τείνει σしぐまτたうοおみくろん 0, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι ηいーた τιμή είναι 6 + h καθώς τたうοおみくろん h τείνει νにゅーαあるふぁ γίνει αρκετά μικρό:

$\lim _{h\to 0}(6+h)=6+0=6.$

Ηいーた κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης τετραγωνισμού σしぐまτたうοおみくろん σημείο (3,9) είναι 6, κかっぱιいおた έτσι ηいーた παράγωγός της σしぐまτたうοおみくろん x=3 είναι f '(3)=6.

Γενικότερα, μみゅーεいぷしろん παρόμοιο τρόπο υπολογισμού έχουμε ότι ηいーた παράγωγος της τετραγωνικής συνάρτησης σしぐまτたうοおみくろん x=a είναι f′(a) = 2a.

Συνέχεια κかっぱαあるふぁιいおた παραγωγισιμότητα

Αυτή ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι συνεχής σしぐまτたうοおみくろん μαρκαρισμένο σημείο αλλά ούτε κかっぱαあるふぁιいおた παραγωγίσιμη.

Αあるふぁνにゅー y=f(x) είναι παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん a, τότε ηいーた f πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι συνεχής σしぐまτたうοおみくろん a. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, επιλέγουμε ένα σημείο a κかっぱαあるふぁιいおた f μみゅーιいおたαあるふぁ δίκλαδη συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん επιστρέφει τたうηいーたνにゅー τιμή, ας πούμε 1, γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ x μικρότερα τたうοおみくろんυうぷしろん a, κかっぱαあるふぁιいおた επιστρέφει μみゅーιいおたαあるふぁ διαφορετική τιμή, ας πούμε 10, γがんまιいおたαあるふぁ όλα εκείνα τたうαあるふぁ x πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μεγαλύτερα ή ίσα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん a. Ηいーた f δでるたεいぷしろんνにゅー έχει παράγωγο σしぐまτたうοおみくろん a. Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん h είναι αρνητικό, τότε τたうοおみくろん a + h είναι σしぐまτたうοおみくろん χαμηλό τμήμα τたうοおみくろんυうぷしろん σταδίου, κかっぱιいおた έτσι ηいーた τέμνουσα γραμμή από τたうοおみくろん a σしぐまτたうοおみくろん a + h είναι απότομη, κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん h τείνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν ηいーた κλίση τείνει σしぐまτたうοおみくろん άπειρο. Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん h είναι θετικό, τότε τたうοおみくろん a + h είναι σしぐまτたうοおみくろん υψηλό τμήμα τたうοおみくろんυうぷしろん σταδίου, κかっぱιいおた έτσι ηいーた τέμνουσα γραμμή από τたうοおみくろん a σしぐまτたうοおみくろん a + h έχει μηδενική κλίση.Κατά συνέπεια οおみくろんιいおた τέμνουσες ευθείες δでるたεいぷしろんνにゅー απευθύνονται σしぐまεいぷしろん οποιαδήποτε κλίση, καθώς τたうοおみくろん όριο της διηρημένης διαφοράς δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει.

Ωστόσο, ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση είναι συνεχής σしぐまεいぷしろん ένα σημείο, μπορεί νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー είναι παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん σημείο αυτό. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた συνάρτηση της απολύτου τιμής συναρτήσει τたうοおみくろんυうぷしろん x είναι συνεχής σしぐまτたうοおみくろん x=0, αλλά δでるたεいぷしろんνにゅー είναι παραγωγίσιμη εκεί. Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん h είναι θετικό, ηいーた κλίση της τέμνουσας γραμμής από τたうοおみくろん 0 σしぐまτたうοおみくろん h είναι ένα, ενώ αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん h είναι αρνητικό, τότε ηいーた κλίση της τέμνουσας γραμμής από τたうοおみくろん 0 σしぐまτたうοおみくろん h είναι μείον ένα. Αυτό γραφικά δείχνει μみゅーιいおたαあるふぁ απότομη στροφή σしぐまτたうοおみくろん σημείο x=0. Ακόμα μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση μみゅーεいぷしろん ομαλή γραφική παράσταση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι παραγωγίσιμη σしぐまεいぷしろん σημείο όπου ηいーた εφαπτομένη είναι κατακόρυφη: Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた συνάρτηση  y = x^1/3 δでるたεいぷしろんνにゅー είναι παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん x=0.

Συνοπτικά: προκειμένου μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f νにゅーαあるふぁ έχει παράγωγο είναι αναγκαίο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー συνάρτηση f νにゅーαあるふぁ είναι συνεχής, αλλά ηいーた συνέχεια από μόνη της δでるたεいぷしろんνにゅー είναι επαρκής.

Οおみくろんιいおた περισσότερες συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん εμφανίζονται σしぐまτたうηいーたνにゅー πράξη έχουν παράγωγο σしぐまεいぷしろん όλα τたうαあるふぁ σημεία ή σχεδόν σしぐまεいぷしろん όλα τたうαあるふぁ σημεία. Σしぐまτたうηいーたνにゅー ιστορία τたうοおみくろんυうぷしろん λογισμού, πολλοί μαθηματικοί υπέθεταν ότι οおみくろんιいおた συνεχείς συναρτήσεις ήταν παραγωγίσιμες σしぐまτたうαあるふぁ περισσότερα σημεία. Κάτω από συνθήκες, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα αあるふぁνにゅー ηいーた συνάρτηση είναι μονότονη ή συνάρτηση Lipschitz, αυτό αληθεύει. Ωστόσο, τたうοおみくろん 1872 οおみくろん Weierstrass βρήκε τたうοおみくろん πρώτο παράδειγμα συνάρτησης ηいーた οποία είναι συνεχής οπουδήποτε αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Αυτό τたうοおみくろん παράδειγμα είναι τώρα γνωστό ως συνάρτηση Weierstrass. Τたうοおみくろん 1931, οおみくろん Stefan Banach απέδειξε ότι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν παράγωγο σしぐまεいぷしろん κάποιο σημείο είναι ένα σύνολο πρώτης κατηγορίας στον χώρο τたうωおめがνにゅー συνεχών συναρτήσεων. Αυτό σημαίνει ότι σχεδόν καμία συνεχής συνάρτηση έχει παράγωγο σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο.

Ηいーた συνάρτησης της απολύτου τιμής είναι συνεχής παντού, αλλά όχι παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん x = 0, οおみくろんιいおた εφαπτόμενες δでるたεいぷしろん δίνουν τたうηいーたνにゅー ίδια τιμή αριστερά κかっぱαあるふぁιいおた δεξιά.

Ηいーた παράγωγος ως συνάρτηση

Έστω f μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει παράγωγο σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού της. Επειδή κάθε σημείο a έχει μみゅーιいおたαあるふぁ παράγωγο, υπάρχει μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχεί τたうοおみくろん σημείο a μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー παράγωγο της f σしぐまτたうοおみくろん a. Αυτή ηいーた συνάρτηση συμβολίζεται f'(x) κかっぱαあるふぁιいおた ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση ή παράγωγος της f. Ηいーた παράγωγος της f "μαζεύει" όλες τις παραγώγους της f σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού της f.

Μερικές φορές, ηいーた f έχει παράγωγο σしぐまτたうαあるふぁ περισσότερα αλλά όχι σしぐまεいぷしろん όλα τたうαあるふぁ σημεία τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού της. Ηいーた παράγωγος της οποίας ηいーた τιμή σしぐまτたうοおみくろん a είναι ίση μみゅーεいぷしろん f'(a) όταν τたうοおみくろん f'(a) ορίζεται κかっぱαあるふぁιいおた οπουδήποτε αλλού δでるたεいぷしろんνにゅー ορίζεται, καλείται επίσης παράγωγος της f. Συνεχίζει νにゅーαあるふぁ είναι συνάρτηση, αλλά τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της είναι γνήσια μικρότερο από τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της f.

Χρησιμοποιώντας αυτή τたうηいーたνにゅー ιδέα, ηいーた παραγώγιση μετατρέπεται σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση συναρτήσεων. Ηいーた παράγωγος είναι ένας τελεστής τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου τたうοおみくろん πεδίο ορισμού είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν παράγωγο σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού τους κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん πεδίο τιμών τたうοおみくろんυうぷしろん είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. Αあるふぁνにゅー συμβολίσουμε αυτόν τたうοおみくろんνにゅー τελεστή D , τότε τたうοおみくろん D(f) είναι ηいーた συνάρτηση f′(x). Από τたうηいーたνにゅー στιγμή πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろん D(f) αποτελεί συνάρτηση, μπορεί νにゅーαあるふぁ πάρει τιμή σしぐまτたうοおみくろん σημείο a. Από τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της παραγώγου ως συνάρτηση: D(f)(a) = f′(a).

Γがんまιいおたαあるふぁ σύγκριση, θεωρήστε τたうηいーたνにゅー συνάρτηση f(x) = 2x. Ηいーた f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι δέχεται σしぐまαあるふぁνにゅー είσοδο πραγματικούς αριθμούς κかっぱαあるふぁιいおた βγάζει σしぐまαあるふぁνにゅー έξοδο πραγματικούς αριθμούς.

${\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}$

Οおみくろん τελεστής D, όμως, δでるたεいぷしろんνにゅー ορίζεται γがんまιいおたαあるふぁ συγκεκριμένους αριθμούς, αλλά μόνο γがんまιいおたαあるふぁ συναρτήσεις:

${\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}$

Επειδή ηいーた έξοδος τたうοおみくろんυうぷしろん D είναι συνάρτηση, αυτή μπορεί νにゅーαあるふぁ πάρει τιμή σしぐまεいぷしろん κάποιο σημείο. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, όταν τたうοおみくろん D εφαρμόζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー τετραγωνική συνάρτηση,

$x\mapsto x^{2},$

τότε βγάζει γがんまιいおたαあるふぁ έξοδο τたうηいーたνにゅー συνάρτηση

$x\mapsto 2x,$

τたうηいーたνにゅー οποία ονομάζουμε f(x). Αυτή ηいーた συνάρτηση της εξόδου, μπορεί νにゅーαあるふぁ πάρει τιμές f(1)=2 , f(2)=4 κかっぱ.οおみくろん.κかっぱ.

Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης

Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた f′(x) ηいーた παράγωγός της. Ηいーた παράγωγος της f′(x) (αあるふぁνにゅー υπάρχει) γράφεται f′′(x) κかっぱαあるふぁιいおた ονομάζεται Δίτονο της f. Όμοια, ηいーた παράγωγος της δεύτερης παραγώγου, αあるふぁνにゅー υπάρχει, γράφεται f′′′(x) κかっぱαあるふぁιいおた καλείται τρίτη παράγωγος της f. Συνεχίζοντας αυτή τたうηいーた διαδικασία, μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ ορίσει τたうηいーた νにゅー-οστή παράγωγο αあるふぁνにゅー υπάρχει ηいーた (νにゅー-1)-οστή παράγωγος.Αυτές οおみくろんιいおた επαναλαμβανόμενες παράγωγοι ονομάζονται παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης. Ηいーた νにゅー-οστή παράγωγος καλείται παράγωγος τάξης νにゅー.

Αあるふぁνにゅー x(t) παριστά τたうηいーた θέση ενός αντικειμένου κατά τたうοおみくろん χρόνο t, τότε οおみくろんιいおた παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης τたうοおみくろんυうぷしろん x έχουν φυσικές ερμηνείες. Ηいーた δεύτερη παράγωγος τたうοおみくろんυうぷしろん x είναι ηいーた παράγωγος τたうοおみくろんυうぷしろん x'(t), ηいーた ταχύτητα, κかっぱαあるふぁιいおた (ηいーた δεύτερη παράγωγος) είναι ηいーた επιτάχυνση τたうοおみくろんυうぷしろん αντικειμένου. Ηいーた τρίτη παράγωγος τたうοおみくろんυうぷしろん x ορίζεται νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん τράνταγμα, κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた τέταρτη παράγωγος ορίζεται νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん τίναγμα.

Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f δでるたεいぷしろんνにゅー έχει παράγωγο,γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー δでるたεいぷしろんνにゅー είναι συνεχής. Κατά τたうοおみくろんνにゅー ίδιο τρόπο, ακόμα κかっぱιいおた αあるふぁνにゅー ηいーた f έχει παράγωγο, μπορεί νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー έχει δεύτερη παράγωγο. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, έστω

$f(x)={\begin{cases}x^{2},&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$.

Μみゅーεいぷしろん βασικούς υπολογισμούς, διαπιστώνεται ότι ηいーた f είναι παραγωγίσιμη (ή διαφορίσιμη), της οποίας ηいーた παράγωγος είναι

$f'(x)={\begin{cases}2x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-2x,&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$.

Ηいーた f'(x) είναι τたうοおみくろん διπλάσιο της απόλυτης τιμής τたうοおみくろんυうぷしろん x, κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー έχει παράγωγο σしぐまτたうοおみくろん 0. Παρόμοια παραδείγματα δείχνουν ότι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση μπορεί νにゅーαあるふぁ έχει κかっぱ παραγώγους (όπου κかっぱ ένας μみゅーηいーた αρνητικός ακέραιος αριθμός), αλλά όχι κかっぱ+1 τάξης παράγωγο. Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει κかっぱ παραγώγους, καλείται κかっぱ φορές διαφορίσιμη. Επιπλέον, αあるふぁνにゅー ηいーた κかっぱ-οστή παράγωγος της f είναι συνεχής, τότε ηいーた f είναι διαφορικής κλάσης C^κかっぱ. (Αυτή είναι μみゅーιいおたαあるふぁ δυνατότερη συνθήκη από τたうαあるふぁ νにゅーαあるふぁ έχει κかっぱ παραγώγους. Γがんまιいおたαあるふぁ παραδείγματα, δείτε τάξη διαφορισιμότητας). Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει άπειρα πολλές παραγώγους, λέγεται απείρως παραγωγίσιμη/διαφορίσιμη ή ομαλή.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー γραμμή τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών, κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι απείρως παραγωγίσιμη. Από τους κανόνες της παραγώγισης, προκύπτει ότι αあるふぁνにゅー ένα πολυώνυμο βαθμού n παραγωγιστεί n φορές, τότε καταλήγει σしぐまεいぷしろん σταθερή συνάρτηση. Όλες οおみくろんιいおた υπόλοιπες υπακόλουθες παράγωγοι είναι μηδενικές, δηλαδή υπάρχουν. Έτσι, τたうαあるふぁ πολυώνυμα είναι ομαλές συναρτήσεις.

Οおみくろんιいおた παράγωγοι μιας συνάρτησης f σしぐま'ένα σημείο x παρέχουν πολυωνυμικές προσεγγίσεις της συνάρτησης αυτής κοντά σしぐまτたうοおみくろん x. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}$

μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん σκεπτικό ότι

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.$

Αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι απείρως παραγωγίσιμη, τότε αυτή είναι ηいーた αρχή της σειράς Taylor γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー f.

Σημείο καμπής

Κύριο άρθρο: σημείο καμπής

Ένα σημείο σしぐまτたうοおみくろん οποίο ηいーた δεύτερη παράγωγος έχει διαφορετικό πρόσημο ονομάζεται σημείο καμπής. Σしぐまεいぷしろん ένα σημείο καμπής, ηいーた δεύτερη παράγωγος μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι μηδενική, όπως σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση τたうοおみくろんυうぷしろん σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x³, ή μπορεί νにゅーαあるふぁ αποτύχει νにゅーαあるふぁ υπάρχει, όπως σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση τたうοおみくろんυうぷしろん σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x^1/3 . Σしぐまεいぷしろん ένα σημείο καμπής, ηいーた συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα από κοίλη σしぐまεいぷしろん κυρτή ή αντίστροφα.

Σημειογραφία κかっぱαあるふぁιいおた συμβολισμός τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού λογισμού

Κύριο άρθρο : Σημειογραφία κかっぱαあるふぁιいおた συμβολισμός τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού λογισμού

Σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Leibniz

Κύριο άρθρο : Σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Leibniz

Ηいーた σημειογραφία γがんまιいおたαあるふぁ τις παραγώγους πぱいοおみくろんυうぷしろん παρουσιάστηκε από τたうοおみくろんνにゅー Gottfried Leibniz είναι μία από τις πρώτες. Χρησιμοποιείται ακόμα ευρέως όταν ηいーた εξίσωση y=f(x) εκλαμβάνεται ως μみゅーιいおたαあるふぁ συναρτησιακή σχέση μεταξύ εξαρτημένων κかっぱαあるふぁιいおた ανεξάρτητων μεταβλητών. Τότε, ηいーた πρώτη παράγωγος συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x).$

Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης εκφράζονται:

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$

γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー n-οστή παράγωγο της y=f(x).

Μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Leibniz μπορούμε νにゅーαあるふぁ εκφράσουμε τたうηいーたνにゅー παράγωγο της f σしぐまτたうοおみくろん x=αあるふぁ μみゅーεいぷしろん δύο διαφορετικούς τρόπους:

${\frac {dy}{dx}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$

Σしぐまτたうοおみくろんνにゅー συμβολισμό τたうοおみくろんυうぷしろん Leibniz γίνεται σαφές ως προς πぱいιいおたαあるふぁ μεταβλητή γίνεται ηいーた παραγώγιση (σしぐまτたうοおみくろんνにゅー παρονομαστή). Αυτό σχετίζεται ιδιαίτερα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー μερική διαφόριση. Επίσης, μみゅーεいぷしろん αυτήν τたうηいーたνにゅー σημειογραφία γίνεται ευκολομνημόνευτος οおみくろん κανόνας της αλυσίδας:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$.

Σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Lagrange

Ένας από τους πぱいιいおたοおみくろん κοινούς σύγχρονους συμβολισμούς γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー διαφόριση,κかっぱαあるふぁιいおた μερικές φορές καλείται ως τονική διαφόριση, οφείλεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ κかっぱαあるふぁιいおた χρησιμοποιεί τたうοおみくろんνにゅー τόνο έτσι, ώστε ηいーた παράγωγος μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτησης f(x) συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん f'(x) ή απλούστερα f'. Όμοια, ηいーた δεύτερη κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた τρίτη παράγωγος συμβολίζονται

$(f')'=f''\,$   κかっぱαあるふぁιいおた   $(f'')'=f'''\,.$

Εκτός από τたうοおみくろんνにゅー τόνο, μερικοί χρησιμοποιούν τους ρωμαϊκούς αριθμούς, όπως

$f^{\mathrm {iv} }\,$

καθώς άλλοι τοποθετούν τたうοおみくろんνにゅー αριθμό της τάξης της παραγώγου σしぐまεいぷしろん παρένθεση, όπως γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー τέταρτη παράγωγο

$f^{(4)}\,$

Οおみくろん τελευταίος συμβολισμός γενικεύεται δίνοντας τたうοおみくろん σύμβολο f⁽ⁿ⁾ γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー n-οστή παράγωγο της f. Αυτή ηいーた σημειογραφία είναι πぱいιいおたοおみくろん χρήσιμη όταν αναφερόμαστε σしぐまτたうηいーたνにゅー παράγωγο όντας μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση από μόνη της, κάτι γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん οποίο ηいーた σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Leibniz γίνεται περίπλοκη.

Σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Νεύτωνα

Κατά τたうοおみくろんνにゅー συμβολισμό τたうοおみくろんυうぷしろん Νεύτωνα γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー παραγώγιση, τοποθετείται μみゅーιいおたαあるふぁ τελίτσα πάνω από τたうηいーたνにゅー συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん παριστάνει τたうηいーたνにゅー παράγωγο. Αあるふぁνにゅー y=f(t), τότε τたうαあるふぁ

${\dot {y}}$   and   ${\ddot {y}}$

παριστάνουν, αντίστοιχα, τたうηいーたνにゅー πρώτη κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー δεύτερη παράγωγο της y σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー μεταβλητή t. Αυτός οおみくろん συμβολισμός χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά γがんまιいおたαあるふぁ χρονικές παραγώγους, μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー έννοια ότι ηいーた ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης εκφράζει τたうοおみくろんνにゅー χρόνο. Είναι κάτι κοινό σしぐまτたうηいーたνにゅー Φυσική κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん τομείς τたうωおめがνにゅー Μαθηματικών πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέονται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー Φυσική, όπως οおみくろんιいおた διαφορικές εξισώσεις. Καθώς οおみくろん συμβολισμός αυτός γίνεται πολύ δύσχρηστος γがんまιいおたαあるふぁ μεγάλες τάξεις παραγώγων, πρακτικά χρειάζονται αρκετά μικρές παράγωγοι.

Διαφορικό κかっぱαあるふぁιいおた Παράγωγος σしぐまτたうοおみくろん χρόνο

Οおみくろん Newton προσπάθησε νにゅーαあるふぁ εξηγήσει τたうοおみくろん λογισμό μみゅーεいぷしろん βάση τたうηいーたνにゅー έννοια τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού κかっぱαあるふぁιいおた της παραγώγου ως προς τたうοおみくろんνにゅー χρόνο,πぱいοおみくろんυうぷしろん ακολουθούσαν τις δικές τたうοおみくろんυうぷしろん μαθηματικές εφευρέσεις.Είπε ότι οおみくろん ρυθμός παραγωγής είναι ηいーた παράγωγος ως προς τたうοおみくろんνにゅー χρόνο ενός στοιχείου,ηいーた οποία συμβολίζεται από μみゅーιいおたαあるふぁ μεταβλητή μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ τελεία από πάνω.Όμοια οおみくろん ρυθμός της δεύτερης παραγώγου ως προς τたうοおみくろんνにゅー χρόνο συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん δύο τελείες από πάνω. Αυτοί οおみくろんιいおた παράγωγοι τείνουν πολύ κοντά σしぐまτたうοおみくろん μηδέν αあるふぁλらむだλらむだαあるふぁ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι μηδέν. Αλλά όταν πολλαπλασσιάζουμε δύο παραγώγους της ίδιας τάξης,τたうοおみくろん αποτέλεσμα αυτό είναι πολύ κοντά σしぐまτたうοおみくろん μηδέν κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん θεωρούμε ως μηδέν.Έτσι οおみくろん Newton πήρε τις παραγώγους κかっぱαあるふぁιいおた αντικατέστησε τις μεταβλητές τたうοおみくろんυうぷしろん x μみゅーεいぷしろん $x+{\dot {x}}$ κかっぱαあるふぁιいおた όλες τις μεταβλητές τたうοおみくろんυうぷしろん y μみゅーεいぷしろん $y+{\dot {y}}$ κかっぱαあるふぁιいおた μετά χρησιμοποίησε τους κανόνες της παραγώγισης γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ πάρει τたうηいーたνにゅー παράγωγο κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ βべーたρろーεいぷしろんιいおた ένα αποτέλεσμα γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん ${\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\,.$ . Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ,

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}=1\\(x+{\dot {x}})^{2}+(y+{\dot {y}})^{2}=1\\x^{2}+2x{\dot {x}}+{\dot {x}}^{2}+y^{2}+2y{\dot {y}}+{\dot {y}}^{2}=1\\x^{2}+2x{\dot {x}}+y^{2}+2y{\dot {y}}=1\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας τたうοおみくろん γεγονός ότι $x^{2}+y^{2}=1$ μπορούμε νにゅーαあるふぁ δούμε $2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}=-{\frac {2x}{2y}}$ έτσι ${\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}=-{\frac {x}{y}}$.

Οおみくろん Νεύτων περιέγραψε μαθηματικές ποσότητες σしぐまαあるふぁνにゅー νにゅーαあるふぁ είναι σしぐまεいぷしろん συνεχή κίνηση. Αυτή ηいーた κίνηση,είπε,μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ισάξια ενός σημείου πぱいοおみくろんυうぷしろん διατρέχει μみゅーιいおたαあるふぁ καμπύλη. Προσδιόρισε αυτή τたうηいーたνにゅー ποσότητα κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー ονόμασε ''διαφορικό''. Αυτή ηいーた ιδέα γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん όνομα τたうοおみくろんυうぷしろん γεννήθηκε από τたうοおみくろんνにゅー ρυθμό μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー οποίο αυτές οおみくろんιいおた ποσότητες αλλάζουν. Οおみくろん Newton τたうοおみくろん ονόμασε σしぐまτたうηいーた τελική '' Διαφορικά κかっぱαあるふぁιいおた παράγωγοι ως προς τたうοおみくろんνにゅー χρόνο'' κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん παρουσίασε. Έτσι, αあるふぁνにゅー ένα διαφορικό παριστάνεται από τたうοおみくろん x, τたうοおみくろん ονομάζει παράγωγο τたうοおみくろんυうぷしろん χかい κかっぱαあるふぁιいおた όμοια τたうηいーたνにゅー δεύτερη παράγωγο κかっぱαあるふぁιいおた συνεχίζει κかっぱαあるふぁιいおた τους υπόλοιπους συμβολισμούς. Αυτό μπορεί νにゅーαあるふぁ συσχετιστεί μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー νεότερο συμβολισμό της παραγώγου. Σしぐまτたうηいーたνにゅー σημερινή εποχή, ηいーた παράγωγος της μεταβλητής x έχει σχέση μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ ανεξάρτητη μεταβλητή τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου,τたうηいーたνにゅー t ηいーた οποία συμβολίζει τたうοおみくろん διάνυσμα της ταχύτητας κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん dx/dt. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια ηいーた παράγωγος της f(x) ως προς τたうοおみくろんνにゅー χρόνο t είναι dx/dt.

Ηいーた στιγμή τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού

Οおみくろん Νεύτων καλεί οおみくろん τたうηいーた στιγμή ενός διαφορικού. Ηいーた στιγμή ενός διαφορικού παριστάνει τたうοおみくろん απείρως μικρό κομμάτι σしぐまτたうοおみくろん οποίο ένα στοιχείο αυξάνεται σしぐまεいぷしろん ένα μικρό χρονικό διάστημα. Κάποτε επέτρεψε σしぐまτたうοおみくろんνにゅー εαυτό τたうοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ κάνει μみゅーιいおたαあるふぁ διάρεση μέσω τたうοおみくろんυうぷしろん οおみくろん ( παρόλα αυτά τたうοおみくろん οおみくろん δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως μηδέν διότι αυτό θしーたαあるふぁ καθιστούσε τたうηいーたνにゅー διαίρεση αδύνατη). Οおみくろん Newton αποφάσισε ότι είναι δικαιολογημένο νにゅーαあるふぁ απαλείψει όλους τους όρους πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχουν τたうοおみくろん o.

Σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Euler

Σしぐまτたうηいーたνにゅー σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ χρησιμοποιείται ένας διαφορικός τελεστής D, οおみくろん οποίος εφαρμόζεται σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f δίνοντας τたうηいーたνにゅー πρώτη παράγωγο Df. Ηいーた δεύτερη παράγωγος συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん D²f κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた n-οστή παράγωγος μみゅーεいぷしろん Dⁿf.

Αあるふぁνにゅー y=f(x) είναι μみゅーιいおたαあるふぁ εξαρτημένη μεταβλητή, τότε οおみくろん δείκτης x γράφεται μαζί μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん D διευκρινίζοντας τたうηいーたνにゅー ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έτσι, οおみくろん συμβολισμός τたうοおみくろんυうぷしろん Euler είναι

$D_{x}y\,$   ή   $D_{x}f(x)\,$,

αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた αυτός οおみくろん δείκτης συχνά παραλείπεται όταν εννοείται, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα όταν αυτή είναι ηいーた μόνη μεταβλητή πぱいοおみくろんυうぷしろん υπάρχει σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ έκφραση.

Ηいーた σημειογραφία τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ είναι χρήσιμη σしぐまτたうηいーたνにゅー δήλωση κかっぱαあるふぁιいおた επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Υπολογίζοντας τたうηいーたνにゅー παράγωγο

Ηいーた παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί, κατά κανόνα, νにゅーαあるふぁ υπολογιστεί μέσω τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού θεωρώντας τις διηρημένες διαφορές κかっぱαあるふぁιいおた υπολογίζοντας τたうαあるふぁ όριά τους. Πρακτικά, από τたうηいーたνにゅー στιγμή πぱいοおみくろんυうぷしろん οおみくろんιいおた παράγωγοι απλών συναρτήσεων είναι γνωστές, οおみくろんιいおた παράγωγοι άλλων συναρτήσεων είναι πぱいιいおたοおみくろん εύκολα υπολογίσιμοι χρησιμοποιώντας κανόνες γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εύρεση της παραγώγου σύνθετων συναρτήσεων μέσω απλούστερων.

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

Κύριο άρθρο : Πίνακας τたうωおめがνにゅー παραγώγων

Τις περισσότερες φορές, οおみくろん υπολογισμός μιας παραγώγου απαιτεί τたうηいーたνにゅー παραγώγιση μερικών κοινών συναρτήσεων. Ηいーた παρακάτω μみゅーηいーた ολοκληρωμένη λίστα δίνει κάποιες από τις συχνότερα χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις κかっぱαあるふぁιいおた τις παραγώγους τους.

• Παράγωγοι δυνάμεων: Αあるふぁνにゅー

$f(x)=x^{a}\,$,

όπου αあるふぁ σταθερός πραγματικός αριθμός, τότε

$f'(x)=ax^{a-1}\,$

σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο όπου ορίζεται ηいーた συνάρτηση. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー αあるふぁ=1/2, τότε

$f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$,

κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた συνάρτηση ορίζεται μόνο γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーηいーた αρνητικά x. Όταν x=0, αυτός οおみくろん κανόνας περικλείει τたうοおみくろんνにゅー κανόνα παραγώγισης σταθερής συνάρτησης.

• Εκθετικές κかっぱαあるふぁιいおた λογαριθμικές συναρτήσεις:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

${\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)=1/x,\qquad x>0$

${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}$

• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).$

${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).$

${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x).$

• Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

${\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

${\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

${\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.$

Κανόνες παραγώγισης

Κύριο άρθρο : Κανόνες Παραγώγισης

Σしぐまεいぷしろん πολλές περιπτώσεις, περίπλοκοι υπολογισμοί ορίων μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー άμεση εφαρμογή τたうωおめがνにゅー διηρημένων διαφορών τたうοおみくろんυうぷしろん Νεύτωνα μπορούν νにゅーαあるふぁ αποφευχθούν μみゅーεいぷしろん τους κανόνες παραγώγισης. Κάποιοι από τους βασικότερους είναι οおみくろんιいおた ακόλουθοι.

• Κανόνας σταθερής συνάρτησης: αあるふぁνにゅー ηいーた f(x) = αあるふぁ είναι σταθερή συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁ είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε

$f'(x)=(a)'=0\,$.

• Κανόνας αθροίσματος:

$(af(x)+\beta g(x))'=af'(x)+\beta g'(x)\,$, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε συνάρτηση f κかっぱαあるふぁιいおた g κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ κάθε πραγματικό αριθμό αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた βべーた.

Τたうοおみくろん ίδιο ισχύει κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

• Κανόνας γινομένου:

$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\,$, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε συνάρτηση f κかっぱαあるふぁιいおた g.

Τたうοおみくろん ίδιο ισχύει κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ περισσότερες από δύο συναρτήσεις.

• Κανόνας πηλίκου:

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε συνάρτηση f κかっぱαあるふぁιいおた g, όπου $g(x)\neq 0$.

• Κανόνας αλυσίδας: εάν f(x) = h(g(x))

$f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\,$.

Παράδειγμα υπολογισμού

Ηいーた παράγωγος της

$f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,$

είναι

${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}$

Εδώ, οおみくろん δεύτερος όρος υπολογίστηκε μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー κανόνα της αλυσίδας κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん τρίτος μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー κανόνα τたうοおみくろんυうぷしろん γινομένου. Χρησιμοποιήθηκαν επίσης οおみくろんιいおた γνωστές παράγωγοι τたうωおめがνにゅー στοιχειωδών συναρτήσεων x², x⁴, sin(x), ln(x) and exp(x) = e^x

Παράγωγος σしぐまεいぷしろん περισσότερες διαστάσεις

Δείτε επίσης:Διανυσματική συνάρτησηκかっぱαあるふぁιいおた Συναρτήσεις μみゅーεいぷしろん πολλές μεταβλητές

Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης

Ηいーた διανυσματική συνάρτηση y(t) μιας πραγματικής μεταβλητής στέλνει πραγματικούς αριθμούς σしぐまεいぷしろん διανύσματα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー διανυσματικό χώρο $\mathbb {R} ^{n}$. Μみゅーιいおたαあるふぁ διανυσματική συνάρτηση y(t)=(y₁(t), y₂(t), y₃(t),...,y_n(t)) μπορεί νにゅーαあるふぁ διασπαστεί στις συνιστώσες συναρτήσεις της y₁(t),...,y_n(t). Αυτό περιλαμβάνει, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, παραμετρικές καμπύλες σしぐまτたうοおみくろん $\mathbb {R} ^{2}$ ή $\mathbb {R} ^{3}$. Οおみくろんιいおた συνιστώσες συναρτήσεις είναι πραγματικές συναρτήσεις κかっぱαあるふぁιいおた έτσι οおみくろん παραπάνω ορισμός της παραγώγισης μπορεί νにゅーαあるふぁ εφαρμοστεί σしぐま'αυτές. Ηいーた παράγωγος της y(t) ορίζεται νにゅーαあるふぁ είναι ένα διάνυσμα,τたうοおみくろん οποίο λέγεται εφαπτομενικό διάνυσμα, τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου οおみくろんιいおた συντεταγμένες είναι οおみくろんιいおた παράγωγοι τたうωおめがνにゅー συνιστωσών συναρτήσεων. Δηλαδή,

$\mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).$

Ισοδύναμα,

$\mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},$

αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん όριο υπάρχει. Ηいーた διαφορά σしぐまτたうοおみくろんνにゅー αριθμητή είναι διαφορά διανυσμάτων, όχι βαθμωτών. Αあるふぁνにゅー ηいーた παράγωγος της y υπάρχει γがんまιいおたαあるふぁ κάθε τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん t, τότε ηいーた y′ είναι μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη διανυσματική συνάρτηση.

Αあるふぁνにゅー {e₁, e₂, e₃,...,e_n} αποτελεί μみゅーιいおたαあるふぁ βάση τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathbb {R} ^{n}$, τότε ηいーた y(t) μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ γραφτεί y₁(t)e₁, y₂(t)e₂, y₃(t)e₃,...,y_n(t)e_n. Αあるふぁνにゅー θεωρήσουμε ότι ηいーた παράγωγος μみゅーιいおたαあるふぁ διανυσματικής συνάρτησης διατηρεί τたうηいーたνにゅー γραμμικότητα, τότε ηいーた παράγωγος της y(t) είναι

$y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}$

γιατί κάθε ένα από τたうαあるふぁ διανύσματα της βάσης είναι σταθερές.

Αυτή ηいーた γενίκευση είναι χρήσιμη αあるふぁνにゅー, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた y(t) είναι τたうοおみくろん διάνυσμα θέσης ενός αντικειμένου σしぐまτたうηいーたνにゅー στιγμή t. Τότε ηいーた παράγωγος y′(t) εκφράζει τたうηいーたνにゅー ταχύτητα τたうοおみくろんυうぷしろん αντικειμένου τたうηいーたνにゅー στιγμή t.

Μερικές παράγωγοι

Κύριο άρθρο: Μερική παράγωγος

Υποθέστε ότι ηいーた f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん εξαρτάται από παραπάνω από μία μεταβλητές. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα,

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,.$

Ηいーた f μπορεί νにゅーαあるふぁ αναθεωρηθεί ως μみゅーιいおたαあるふぁ οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής μみゅーεいぷしろん δείκτες τις άλλες μεταβλητές:

$f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}\,.$

Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, κάθε τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん x «επιλέγει» μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση, πぱいοおみくろんυうぷしろん συμβολίζεται f_x κかっぱαあるふぁιいおた είναι συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής. Έτσι,

$x\mapsto f_{x},\,$

$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,$

Από τたうηいーたνにゅー στιγμή πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει επιλεγεί μみゅーιいおたαあるふぁ τιμή γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん x, έστω αあるふぁ, τότε ηいーた f(x,y) καθορίζει τたうηいーたνにゅー f_{αあるふぁ} πぱいοおみくろんυうぷしろん «στέλνει» τたうοおみくろん y σしぐまτたうοおみくろん αあるふぁ²+αあるふぁy+y².

$f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}\,.$

Σしぐま'αυτήν τたうηいーたνにゅー παράσταση, τたうοおみくろん αあるふぁ είναι σταθερά, κかっぱαあるふぁιいおた όχι μεταβλητή, έτσι ηいーた f_{αあるふぁ} είναι συνάρτηση μόνο μίας πραγματικής μεταβλητής. Συνεπώς, οおみくろん ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής μπορεί νにゅーαあるふぁ εφαρμοστεί:

$f_{a}'(y)=a+2y.\,$

Ηいーた παραπάνω διαδικασία μπορεί νにゅーαあるふぁ γίνει γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん αあるふぁ. Μαζεύοντας τις παραγώγους σしぐまεいぷしろん μία συνάρτηση τたうοおみくろん αποτέλεσμα θしーたαあるふぁ ήταν μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん εκφράζει τたうηいーたνにゅー αλλαγή της f σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση τたうοおみくろんυうぷしろん y:

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.$

Αυτή είναι ηいーた μερική παράγωγος της f σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん y. Εδώ, τたうοおみくろん ∂ είναι τたうοおみくろん σύμβολο της μερικής παραγώγου.Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ τたうοおみくろん ξεχωρίσουμε από τたうοおみくろん γράμμα d,τたうοおみくろん ∂ μερικές φορές προφέρεται "der","del" ή "μερική" αντί τたうοおみくろんυうぷしろん "dee".

Γενικά, ηいーた μερική παράγωγος μιας συνάρτησης f(x₁, x₂,...,x_n) σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση τたうοおみくろんυうぷしろん x_i σしぐまτたうοおみくろん σημείο (αあるふぁ₁, αあるふぁ₂,...,αあるふぁ_n) ορίζεται ως:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}.$

Σしぐまτたうηいーたνにゅー παραπάνω διηρημένη διαφορά, όλες οおみくろんιいおた μεταβλητές εκτός της x_i διατηρούνται σταθερές. Αυτή ηいーた επιλογή σταθερών τιμών προσδιορίζει μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση μίας μεταβλητής

$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})$

κかっぱαあるふぁιいおた εいぷしろんξくしー'ορισμού

${\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, οおみくろんιいおた διαφορετικές επιλογές της τιμής τたうοおみくろんυうぷしろん αあるふぁ, δίνουν μみゅーιいおたαあるふぁ οικογένεια συναρτήσεων μίας μεταβλητής, ακριβώς όπως σしぐまτたうοおみくろん παραπάνω παράδειγμα. Αυτή ηいーた έκφραση δείχνει επίσης ότι οおみくろん υπολογισμός της μερικής παραγώγου περιορίζεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής.

Ένα σημαντικό παράδειγμα συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι ηいーた περίπτωση της βαθμωτής συνάρτησης f(x₁,...x_n) σしぐまεいぷしろん ένα πεδίο ορισμού σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Ευκλείδιο χώρο $\mathbb {R} ^{n}$ (πぱい.χかい. $\mathbb {R} ^{2}$ ή $\mathbb {R} ^{3}$). Σしぐま'αυτήν τたうηいーたνにゅー περίπτωση, ηいーた f έχει μみゅーιいおたαあるふぁ μερική παράγωγο ∂f/∂x_j σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん κάθε μεταβλητή x_j. Σしぐまτたうοおみくろん σημείο αあるふぁ, αυτές οおみくろんιいおた μερικές παράγωγοι ορίζουν τたうοおみくろん διάνυσμα:

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

Αυτό τたうοおみくろん διάνυσμα ονομάζεται ανάδελτα της f σしぐまτたうοおみくろん αあるふぁ. Αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι διαφορίσιμη σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο σしぐまτたうοおみくろん πεδίο ορισμού της, τότε τたうοおみくろん ανάδελτα είναι μみゅーιいおたαあるふぁ διανυσματική συνάρτηση ∇f πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχεί τたうοおみくろん σημείο αあるふぁ σしぐまτたうοおみくろん διάνυσμα ∇f(αあるふぁ). Κατά συνέπεια, τたうοおみくろん ανάδελτα προσδιορίζει ένα διανυσματικό πεδίο.

Διανυσματική παράγωγος

Κύριο άρθρο:Διανυσματική παράγωγος

Αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ πραγματική συνάρτηση σしぐまτたうοおみくろん $\mathbb {R} ^{n}$, τότε ηいーた μερική παράγωγος της f εκφράζει ένα μέτρο αλλαγής της σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα της συνισταμένης. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん x κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん y, τότε οおみくろんιいおた μερικές της παράγωγοι μετράνε τたうηいーたνにゅー αλλαγή της f σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση x κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση y. Ωστόσο, δでるたεいぷしろんνにゅー μετράνε άμεσα τたうηいーたνにゅー αλλαγή της f σしぐまεいぷしろん κάποια άλλη κατεύθυνση, όπως πάνω σしぐまτたうηいーたνにゅー διχοτόμο y=x. Αυτές μετρούνται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー βοήθεια τたうωおめがνにゅー διανυσματικών παραγώγων. Επιλέξτε ένα διάνυσμα

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

Ηいーた διανυσματική παράγωγος της f σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση τたうοおみくろんυうぷしろん v σしぐまτたうοおみくろん σημείο x είναι τたうοおみくろん όριο

$D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}+h\mathbf {v} )-f({\boldsymbol {x}})}{h}}.$

Σしぐまεいぷしろん μερικές περιπτώσεις ίσως είναι πぱいιいおたοおみくろん εύκολο νにゅーαあるふぁ υπολογίσουμε ή νにゅーαあるふぁ εκτιμήσουμε τたうηいーたνにゅー διανυσματική παράγωγο αあるふぁνにゅー αλλάξουμε τたうοおみくろん μέγεθος τたうοおみくろんυうぷしろん διανύσματος. Συχνά αυτό πραγματοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ μετατραπεί τたうοおみくろん πρόβλημα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό μιας διανυσματικής παραγώγου σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση ενός μοναδιαίου διανύσματος. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ δούμε πώς δουλεύει αυτό, υποθέτουμε ότι v = λらむだu. Αντικαθιστούμε τたうοおみくろん h = k/λらむだ σしぐまτたうηいーた διαφορά πηλίκο . Τたうοおみくろん πηλίκο διαφορών γίνεται:

${\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.$

Έστω λらむだ πραγματικός αριθμός. Ηいーた αντικατάσταση τたうοおみくろんυうぷしろん h μみゅーεいぷしろん h/λらむだ αλλάζει τたうηいーたνにゅー διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης λらむだv σしぐまεいぷしろん λらむだ φορές τたうηいーたνにゅー διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης v. Συνεπώς, ηいーた διανυσματική παράγωγος σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση λらむだv είναι ίση μみゅーεいぷしろん λらむだ φορές τたうηいーたνにゅー διανυσματική παράγωγο σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση v. Λόγω αυτού, οおみくろんιいおた διανυσματικές παράγωγοι συνήθως λαμβάνονται μόνο γがんまιいおたαあるふぁ μοναδιαία διανύσματα v.

Αあるふぁνにゅー όλες οおみくろんιいおた μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν κかっぱαあるふぁιいおた είναι συνεχείς σしぐまτたうοおみくろん x, τότε προσδιορίζουν τたうηいーたνにゅー διανυσματική παράγωγο της f σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση v μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー τύπο:

$D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$

Αυτή είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνέπεια τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού της ολικής παραγώγου. Ακολούθως, ηいーた διανυσματική παράγωγος είναι γραμμική σしぐまτたうοおみくろん v.

Οおみくろん ίδιος ορισμός χρησιμοποιείται επίσης όταν ηいーた f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん λαμβάνει τιμές σしぐまτたうοおみくろん $\mathbb {R} ^{m}$. Απλά, εφαρμόζουμε τたうοおみくろんνにゅー παραπάνω ορισμό σしぐまεいぷしろん κάθε στοιχείο τたうοおみくろんυうぷしろん διανύσματος. Σしぐま'αυτήν τたうηいーたνにゅー περίπτωση, ηいーた διανυσματική παράγωγος είναι ένα διάνυσμα σしぐまτたうοおみくろん $\mathbb {R} ^{m}$.

Ολική παράγωγος, ολικό ή τέλειο διαφορικό κかっぱαあるふぁιいおた Ιακωβιανός πίνακας

Κύριο άρθρο:Ολική παράγωγος.

Όταν ηいーた f είναι μία συνάρτηση ενός ανοικτού υποσυνόλου από τたうοおみくろん Rⁿ σしぐまτたうοおみくろん R^m, τότε ηいーた διανυσματική παράγωγος της f σしぐまτたうηいーた διεύθυνση πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουμε επιλέξει είναι ηいーた καλύτερη γραμμική προσέγγιση της f σしぐまτたうοおみくろん σημείο αυτό κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーた διεύθυνση αυτή. Αλλά όταν n > 1, ηいーた διανυσματική παράγωγος μπορεί νにゅーαあるふぁ δώσει μみゅーιいおたαあるふぁ ολοκληρωμένη εικόνα γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー συμπεριφορά της f. Ηいーた ολική παράγωγος, ονομάζεται κかっぱαあるふぁιいおた (ολικό) διαφορικό, κかっぱαあるふぁιいおた δίνει μみゅーιいおたαあるふぁ ολοκληρωμένη εικόνα παρατηρώντας όλες τις κατευθύνσεις ταυτόχρονα. Αυτός είναι, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε διάνυσμα v μみゅーεいぷしろん αρχή τたうοおみくろん a, οおみくろん τύπος πぱいοおみくろんυうぷしろん αναμένεται γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた γραμμική προσέγγιση:

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .$

Ακριβώς όπως ηいーた παράγωγος μιας μεταβλητής, ηいーた f ′(a) έχει επιλεχθεί έτσι ώστε τたうοおみくろん λάθος σしぐまεいぷしろん αυτήν τたうηいーたνにゅー προσέγγιση νにゅーαあるふぁ είναι όσο πぱいιいおたοおみくろん μικρό γίνεται.

Αあるふぁνにゅー n κかっぱαあるふぁιいおた m είναι κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ δでるたυうぷしろんοおみくろん ένα, τότε ηいーた παράγωγος f ′(a) είναι ένας αριθμός κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた έκφραση f ′(a)v είναι τたうοおみくろん γινόμενο δでるたυうぷしろんοおみくろん αριθμών. Αλλά σしぐまεいぷしろん μεγαλύτερες διαστάσεις, είναι αδύνατον τたうοおみくろん f ′(a) νにゅーαあるふぁ είναι αριθμός. Αあるふぁνにゅー ήταν αριθμός, τότε τたうοおみくろん f ′(a)v θしーたαあるふぁ μπορούσε νにゅーαあるふぁ ήταν ένα διάνυσμα τたうοおみくろんυうぷしろん Rⁿ ενώ οおみくろんιいおた άλλοι όροι θしーたαあるふぁ μπορούσαν νにゅーαあるふぁ ήταν διανύσματα τたうοおみくろんυうぷしろん R^m, κかっぱαあるふぁιいおた συνεπώς οおみくろん τύπος δでるたεいぷしろん θしーたαあるふぁ είχε νόημα. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ έχει νόημα οおみくろん τύπος της γραμμικής προσέγγισης, τたうοおみくろん f ′(a) πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん στέλνει διανύσματα τたうοおみくろんυうぷしろん Rⁿ σしぐまεいぷしろん διανύσματα τたうοおみくろんυうぷしろん R^m, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん f ′(a)v πρέπει νにゅーαあるふぁ δηλώνει αυτή τたうηいーた συνάρτηση εκτιμώντας τたうοおみくろん v.

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ προσδιορίσετε τたうιいおた είδους συνάρτηση είναι, παρατηρείστε ότι οおみくろん τύπος της γραμμικής προσέγγισης μπορεί νにゅーαあるふぁ ξαναγραφτεί ως εξής

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .$

Σημειώστε ότι αあるふぁνにゅー επιλέξουμε άλλο διάνυσμα w, τότε αυτή ηいーた προσεγγιστική εξίσωση προσδιορίζει άλλη προσεγγιστική εξίσωση αντικαθιστώντας τたうοおみくろん v μみゅーεいぷしろん w. Προσδιορίζει μみゅーιいおたαあるふぁ τρίτη προσεγγιστική εξίσωση αντικαθιστώντας κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうαあるふぁ δでるたυうぷしろんοおみくろん v μみゅーεいぷしろん w κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん a μみゅーεいぷしろん a + v. Αφαιρώντας αυτές τις δでるたυうぷしろんοおみくろん νέες εξισώσεις, παίρνουμε

$f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\mathbf {w} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .$

Αあるふぁνにゅー υποθέσουμε ότι τたうοおみくろん v είναι μικρό κかっぱαあるふぁιいおた ότι ηいーた παράγωγος τείνει συνεχώς σしぐまτたうοおみくろん a, τότε τたうοおみくろん f ′(a + v) είναι κατά προσέγγιση ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん f ′(a), κかっぱαあるふぁιいおた συνεπώς τたうοおみくろん δεξιό μέλος είναι κατά προσέγγιση μηδέν. Τたうοおみくろん αριστερό μέλος μπορεί νにゅーαあるふぁ ξανά γραφτεί μみゅーεいぷしろん ένα διαφορετικό τρόπο χρησιμοποιώντας τたうοおみくろんνにゅー τύπο της γραμμικής προσέγγισης κかっぱαあるふぁιいおた αντικαθιστώντας τたうοおみくろん v μみゅーεいぷしろん v + w. Οおみくろん τύπος της γραμμικής προσέγγισης συνεπάγεται:

${\begin{aligned}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))\\&\approx f'(\mathbf {a} )(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{aligned}}$

Αυτό υποδηλώνει ότι τたうοおみくろん f ′(a) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός από τたうοおみくろん διανυσματικό χώρο Rⁿ σしぐまτたうοおみくろんνにゅー διανυσματικό χώρο R^m . Σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα, είναι πιθανό νにゅーαあるふぁ κάνετε αυτήν τたうηいーたνにゅー ακριβή παραγώγιση μετρώντας τたうοおみくろん λάθος στις προσεγγίσεις. Υποθέστε ότι τたうοおみくろん λάθος σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τύπο αυτών τたうωおめがνにゅー γραμμικών προσεγγίσεων φράσεται από ένα σταθερό χρόνο ||v||, όπου ηいーた σταθερότητα είναι ανεξάρτητη από τたうοおみくろん v αλλά εξαρτάται συνεχώς από τたうοおみくろん a. Τότε, αφού προσθέσουμε έναν κατάλληλο όρο γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん λάθος, όλες οおみくろんιいおた άνω προσεγγιστικές ισότητες μπορούν νにゅーαあるふぁ αναδιατυπωθούν ως ανισότητες. Συγκεκριμένα,τたうοおみくろん f ′(a) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός πάνω σしぐまεいぷしろん ένα μικρό λανθασμένο όρο. Σしぐまτたうοおみくろん όριο όπου τたうαあるふぁ v κかっぱαあるふぁιいおた w τείνουν σしぐまτたうοおみくろん μηδέν, πρέπει συνεπώς νにゅーαあるふぁ είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Από τότε πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίσαμε τたうηいーたνにゅー ολική παράγωγο παίρνοντας ένα όριο όπως τたうοおみくろん v νにゅーαあるふぁ πηγαίνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν, τたうοおみくろん f ′(a) πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός.

Σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ μεταβλητή,τたうοおみくろん γεγονός ότι ηいーた παράγωγος είναι ηいーた καλύτερη γραμμική προσέγγιση γίνεται αντιληπτό από τたうοおみくろん γεγονός ότι είναι τたうοおみくろん όριο σしぐまτたうαあるふぁ πηλίκα διαφορών. Παρόλα αυτά, τたうαあるふぁ συνηθισμένα πηλίκα διαφορών δでるたεいぷしろんνにゅー ορίζονται σしぐまεいぷしろん μεγαλύτερες διαστάσεις διότι συνήθως δでるたεいぷしろんνにゅー είναι εύκολο νにゅーαあるふぁ διαιρέσουμε διανύσματα. Συγκεκριμένα, οおみくろん αριθμητής κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん παρανομαστής τたうωおめがνにゅー πηλίκων διαφορών δでるたεいぷしろんνにゅー ανήκουν σしぐまτたうοおみくろんνにゅー ίδιο διανυσματικό χώρο: Οおみくろん αριθμητής βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー χώρο R^m  ενώ οおみくろん παρανομαστής βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー  Rⁿ. Επιπλέον, ηいーた παράγωγος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει οおみくろんτたうιいおた υπάρχει διαφορετικός τύπος γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー μεταβλητή πぱいοおみくろんυうぷしろん βρίσκεται τόσο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー αριθμητή όσο κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろんνにゅー παρανομαστή.Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ καταστήσουμε ακριβής τたうηいーたνにゅー έννοια ότι ηいーた f ′(a) είναι ηいーた καλύτερη γραμμική προσέγγιση, είναι απαραίτητο νにゅーαあるふぁ υιοθετήσουμε μみゅーιいおたαあるふぁ διαφορετική μεθοδολογία γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー πρώτης τάξεως παράγωγο γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ δούμε σしぐまεいぷしろん ποία από αυτά τたうαあるふぁ προβλήματα απαλείφεται. Άν f : R → R, τότε οおみくろん συνηθισμένος προσδιορισμός της παραγώγου χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ προκύψει ότι ηいーたγがんま παράγωγος της  f σしぐまτたうοおみくろん a είναι οおみくろん μοναδικός αριθμός f ′(a) τέτοιος ώστε

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}}=0.$

Αυτό ισοδυναμεί μみゅーεいぷしろん

$\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0$

επειδή τたうοおみくろん όριο της συνάρτησης τείνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん όριο της απόλυτης συνάρτησης τείνει σしぐまτたうοおみくろん μηδέν. Οおみくろん τελευταίος τύπος μπορεί νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ περισσότερες αあるふぁπぱいοおみくろん μみゅーιいおたαあるふぁ μεταβλητές αντικαθιστώντας τις απόλυτες τιμές μみゅーεいぷしろん τις νόρμες.

Οおみくろん προσδιορισμός της ολικής παραγώγου της f σしぐまτたうοおみくろん a προσδιορίζεται κατά μοναδικό τρόπο αあるふぁπぱいοおみくろん τたうοおみくろんνにゅー γραμμικό μετασχηματισμό f ′(a) : Rⁿ → R^m  τέτοιος ώστε

$\lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.$

Εδώ τたうοおみくろん h είναι ένα διάνυσμα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Rⁿ, έτσι ηいーた νόρμα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー παρανομαστή ορίζεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー  Rⁿ. Παρόλα αυτά f′(a)h είναι ένα διάνυσμα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー R^m  κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた νόρμα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー αριθμητή ορίζεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー R^{m .} Άν v είναι ένα διάνυσμα πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει ως αρχή τたうοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろん a τότε τたうοおみくろん  f ′(a)v καλείται διαφορικό τたうοおみくろんυうぷしろん v αあるふぁπぱいοおみくろん τたうοおみくろん f κかっぱαあるふぁιいおた μερικές φορές συμβολίζεται ως  f_∗v.

Αあるふぁνにゅー ηいーた ολική παράγωγος υπάρχει σしぐまτたうοおみくろん a, τότε όλες οおみくろんιいおた μερικές παράγωγοι κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた κατευθυνόμενες παράγωγοι της f υπάρχουν σしぐまτたうοおみくろん a, κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ v, τたうοおみくろん f ′(a)v είναι ηいーた κατευθυνόμενη παράγωγος της f σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση τたうοおみくろんυうぷしろん v. Αあるふぁνにゅー γράψουμε τたうηいーたνにゅー f χρησιμοποιώντας συντεταγμένες συναρτήσεις, έτσι ώστε f = (f₁, f₂, ..., f_m), τότε ηいーた ολική παράγωγος μπορεί νにゅーαあるふぁ εκφραστεί χρησιμοποιώντας μερικές παραγώγους σしぐまεいぷしろん έναν πίνακα. Αυτός οおみくろん πίνακας ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας της f σしぐまτたうοおみくろん a:

$f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.$

Ηいーた ύπαρξη της ολικής παραγώγου f′(a) είναι αυστηρά πぱいιいおたοおみくろん ισχυρή από τたうηいーたνにゅー ύπαρξη όλων τたうωおめがνにゅー μερικών παραγώγων, αλλά αあるふぁνにゅー οおみくろんιいおた μερικές παράγωγοι υπάρχουν κかっぱαあるふぁιいおた είναι συνεχείς, τότε ηいーた ολική παράγωγος υπάρχει, δίνεται από τたうηいーたνにゅー Ιακωβιανή, κかっぱαあるふぁιいおた εξαρτάται διαρκώς από τたうοおみくろん a.

Οおみくろん ορισμός της ολικής παραγώγου περιλαμβάνει τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της παραγώγου μιας μεταβλητής. Αυτό είναι, αあるふぁνにゅー ηいーた f είναι μみゅーιいおたαあるふぁ πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, τότε ηいーた ολική παράγωγος υπάρχει αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνον αあるふぁνにゅー ηいーた κοινή παράγωγος υπάρχει. Οおみくろん Ιακωβιανός πίνακας περιορίζεται σしぐまεいぷしろん έναν 1×1 πίνακα τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου ηいーた μόνη είσοδος είναι ηいーた παράγωγος f′(x). Αυτός οおみくろん 1×1 πίνακας ικανοποιεί τたうηいーたνにゅー ιδιότητα ότι f(a + h) − f(a) − f ′(a)h είναι κατά προσέγγιση μηδέν, μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.$

Εξαρτάται από τたうηいーたνにゅー αλλαγή τたうωおめがνにゅー μεταβλητών, αυτή είναι ηいーた διατύπωση ότι ηいーた συνάρτηση $x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)$ είναι ηいーた καλύτερη γραμμική προσέγγιση της f σしぐまτたうοおみくろん a.

Ηいーた ολική παράγωγος μιας συνάρτησης δでるたεいぷしろん δίνει άλλη συνάρτηση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー ίδιο τρόπο όπως σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση της μιας μεταβλητής. Αυτό συμβαίνει επειδή ηいーた ολική παράγωγος της πολυμεταβλητής συνάρτησης έχει νにゅーαあるふぁ καταχωρήσει πολύ περισσότερες πληροφορίες από τたうηいーたνにゅー παράγωγο της συνάρτησης μιας μεταβλητής. Αあるふぁνにゅーτたう' αυτού, ηいーた ολική παράγωγος δίνει μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση από τたうηいーた δέσμη εφαπτομένης της πηγής σしぐまτたうηいーた δέσμη εφαπτομένη τたうοおみくろんυうぷしろん σκοπού.

Ηいーた φυσική αντιστοιχία της δεύτερης, τρίτης,κかっぱαあるふぁιいおた ανώτερης-τάξης τたうωおめがνにゅー μερικών παραγώγων δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, δでるたεいぷしろんνにゅー είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση σしぐまτたうηいーたνにゅー εφαπτόμενη δέσμη, κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー παράγεται παίρνοντας επανειλημμένως τたうηいーたνにゅー ολική παράγωγο. Ηいーた αντιστοιχία μιας ανώτερης-τάξης παραγώγισης, καλείται ως πίδακας, δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι γραμμικός μετασχηματισμός επειδή οおみくろんιいおた ανώτερες-τάξεις τたうωおめがνにゅー παραγώγων εκφράζουν διακριτή γεωμετρική πληροφορία, όπως ηいーた κοίλη επιφάνεια, ηいーた οποία δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ περιγραφεί μみゅーεいぷしろん όρους τたうωおめがνにゅー γραμμικών δεδομένων όπως τたうαあるふぁ διανύσματα. Δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση σしぐまτたうηいーた δέσμη εφαπτομένης επειδή ηいーた δέσμη εφαπτομένης έχει μόνο χώρο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた βάση τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ τις κατευθυνόμενες παραγώγους. Επειδή οおみくろんιいおた πίδακες αποθηκεύουν ανώτερης-τάξης πληροφορία, παίρνουν ως επιχείρημα επιπλέον συντεταγμένες απεικονίζοντας ανώτερη-τάξη αλλαγών σしぐまτたうηいーたνにゅー κατεύθυνση. Οおみくろん χώρος προσδιορίζεται από αυτές τις επιπλέον συντεταγμένες πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζονται δέσμη πίδακα. Ηいーた σχέση μεταξύ της ολικής παραγώγου κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης είναι παρόμοια μみゅーεいぷしろん τたうηいーた σχέση μεταξύ της k-οστής τάξης πίδακα μιας συνάρτησης κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー μερικών τたうοおみくろんυうぷしろん παραγώγων σしぐまεいぷしろん τάξη μικρότεροη ή ίση τたうοおみくろんυうぷしろん k.

Κかっぱαあるふぁτたう' επανάληψη αあるふぁνにゅー πάρουμε τたうηいーたνにゅー ολική παράγωγο, αποκτά ανώτερες εκδοχές της παραγώγου Fréchet , ειδικά σしぐまτたうοおみくろんνにゅー R^p. Ηいーた k-οστή τάξη της ολικής παραγώγου ίσως ερμηνευτεί σしぐまαあるふぁνにゅー μみゅーιいおたαあるふぁ απεικόνιση

$D^{k}f:\mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})$

σしぐまτたうηいーたνにゅー οποία παίρνοντας ένα σημείο x σしぐまτたうοおみくろん Rⁿ κかっぱαあるふぁιいおた ορίζοντάς τたうοおみくろん σしぐまεいぷしろん έναν παράγοντα τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου τたうωおめがνにゅー k-γραμμικών απεικονίσεων από τたうοおみくろんνにゅー Rⁿ σしぐまτたうοおみくろんνにゅー R^m – ηいーた "καλύτερη" (μみゅーεいぷしろん σιγουριά ακριβή έννοια) k-γραμμική προσέγγιση της f σしぐまεいぷしろん αυτό τたうοおみくろん σημείο. Αあるふぁνにゅー τたうηいーたνにゅー γράψουμε ως διαγώνια απεικόνιση Δでるた, x → (x, x), μία γενικευμένη σειρά Τέιλορ ίσως

προκύψει ως εξής

${\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x} )+(D^{2}f)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+(D^{2}f)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(\mathbf {x-a} )^{i}+\sum _{j,k}(D^{2}f)_{jk}(\mathbf {x-a} )^{j}(\mathbf {x-a} )^{k}+\cdots \end{aligned}}$

όπου ηいーた f(a) εξισώνεται μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ σταθερή συνάρτηση, (x − a)ⁱ είναι οおみくろんιいおた συνιστώσες τたうοおみくろんυうぷしろん διανύσματος x − a, κかっぱαあるふぁιいおた (D f)_i κかっぱαあるふぁιいおた (D² f)_{j k} είναι οおみくろんιいおた συνιστώσες τたうωおめがνにゅー D f κかっぱαあるふぁιいおた D² f σしぐまαあるふぁνにゅー γραμμικοί μετασχηματισμοί.

Γενικεύσεις

Κύριο άρθρο: Παράγωγος (γενίκευση)

Ηいーた έννοια μιας παραγώγου μπορεί νにゅーαあるふぁ επεκταθεί σしぐまεいぷしろん πολλές άλλες λειτουργίες . Τたうοおみくろん κοινό νήμα είναι ότι ηいーた παράγωγος της συνάρτησης σしぐまεいぷしろん ένα σημείο χρησιμεύει ως μみゅーιいおたαあるふぁ γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης σしぐまτたうοおみくろん σημείο αυτό.

• Μみゅーιいおたαあるふぁ σημαντική γενίκευση της παραγώγου έχει νにゅーαあるふぁ κάνει μみゅーεいぷしろん σύνθετες συναρτήσεις τたうωおめがνにゅー σύνθετων μεταβλητών, όπως λειτουργίες από (έναν τομέα) τたうωおめがνにゅー σύνθετων αριθμών C έως C. Ηいーた έννοια της παραγώγου μιας τέτοιας συνάρτησης επιτυγχάνεται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー αντικατάσταση πραγματικών μεταβλητών μみゅーεいぷしろん σύνθετων μεταβλητών σしぐまτたうοおみくろんνにゅー ορισμό . Αあるふぁνにゅー οおみくろん C ταυτίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん R² γράφοντας ένα μιγαδικό αριθμό z ως x + iy, τότε μみゅーιいおたαあるふぁ διαφορική συνάρτηση από C σしぐまεいぷしろん C είναι σίγουρα διαφορική ως μία συνάρτηση από τたうαあるふぁ R² έως R² (μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー έννοια ότι οおみくろんιいおた όλες μερικές παραγωγοί τたうοおみくろんυうぷしろん υπάρχουν ), αλλά τたうοおみくろん αντίστροφο δでるたεいぷしろんνにゅー ισχύει γενικά: ηいーた σύνθετη παράγωγος υπάρχει μόνον όταν ηいーた πραγματική παράγωγος είναι σύνθετη γραμμική κかっぱαあるふぁιいおた αυτό επιβάλλει σχέσεις μεταξύ τたうωおめがνにゅー επιμέρους παραγώγων πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζονται εξισώσεις Cauchy Riemann - βλέπε αναλυτικές συναρτήσεις.
• Μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη γενίκευση αφορά συναρτήσεις μεταξύ διαφορικών ή ομαλών πολλαπλών. Διαισθητικά μιλώντας, μみゅーιいおたαあるふぁ τέτοια πολλαπλότητα M είναι ένας χώρος πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορεί νにゅーαあるふぁ προσεγγιστεί κοντά σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο x από ένα διανυσματικό χώρο πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται εφαπτόμενος χώρος τたうοおみくろんυうぷしろん: ως πρωτότυπο παράδειγμα είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ομαλή επιφάνεια σしぐまτたうοおみくろん R³. Ηいーた παράγωγος (ή διαφορικό) ενός (διαφορικού) χάρτης f: M → N μεταξύ πολλαπλών, σしぐまεいぷしろん ένα σημείο x σしぐまτたうοおみくろん M, τότε είναι ένας γραμμικός χάρτης από τたうοおみくろん χώρο εφαπτομένης τたうοおみくろんυうぷしろん M σしぐまτたうοおみくろん x σしぐまτたうοおみくろん χώρο εφαπτομένης Νにゅー σしぐまτたうοおみくろん f (x ). Ηいーた παραγωγίσιμη συνάρτηση γίνεται χάρτης μεταξύ τたうωおめがνにゅー δεσμών εφαπτομένης τたうωおめがνにゅー M κかっぱαあるふぁιいおた N. Αυτός οおみくろん ορισμός είναι θεμελιώδης σしぐまτたうηいーた διαφορική γεωμετρία κかっぱαあるふぁιいおた έχει πολλές χρήσεις - βλέπε pushforward (διαφορικό) κかっぱαあるふぁιいおた pullback (διαφορική γεωμετρία).
• Ηいーた διαφοροποίηση μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ οριστεί γがんまιいおたαあるふぁ τους χάρτες μεταξύ απειροδιάστατων διανυσματικών χώρων, όπως Banach χώρους κかっぱαあるふぁιいおた χώρους Fréchet. Υπάρχει μみゅーιいおたαあるふぁ γενίκευση τόσο της κατευθυντήριας παραγώγου, πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται ηいーた παράγωγος Gâteaux, όσο κかっぱαあるふぁιいおた της διαφορικής, πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται παράγωγος Fréchet.
• Μみゅーιいおたαあるふぁ ανεπάρκεια της κλασικής παραγώγου είναι ότι δでるたεいぷしろんνにゅー είναι πάρα πολλές συναρτήσεις διαφορικές. Πぱいαあるふぁρろー 'όλα αυτά, υπάρχει ένας τρόπος επέκτασης της έννοιας της παραγώγου έτσι ώστε όλοι οおみくろんιいおた συνεχείς συναρτήσεις κかっぱαあるふぁιいおた πολλές άλλες συναρτήσεις μπορούν νにゅーαあるふぁ διαφοροποιηθούν χρησιμοποιώντας μみゅーιいおたαあるふぁ έννοια πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι γνωστή ως ηいーた αδύναμη παράγωγος. Ηいーた ιδέα είναι νにゅーαあるふぁ ενσωματωθούν οおみくろんιいおた συνεχείς συναρτήσεις σしぐまεいぷしろん ένα μεγαλύτερο χώρο πぱいοおみくろんυうぷしろん λέγεται χώρος τたうωおめがνにゅー διανομών κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん μόνο πぱいοおみくろんυうぷしろん απαιτείται ότι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση είνα διαφορικήι «κατά μέσο όρο».
• Οおみくろんιいおた ιδιότητες της παραγώγου έχουν εμπνεύσει τたうηいーたνにゅー εισαγωγή κかっぱαあるふぁιいおた μελέτη πολλών παρόμοιων αντικειμένων σしぐまτたうηいーたνにゅー άλγεβρα κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー τοπολογία - βλέπε, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, διαφορική άλγεβρα.
• Τたうοおみくろん διακριτό ισοδύναμο της διαφοροποίησης είναι οおみくろんιいおた πεπερασμένες διαφορές. Ηいーた μελέτη τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού λογισμού είναι ενωμένη μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー λογισμό τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων διαφορών σしぐまτたうοおみくろん λογισμό κλίμακας χρόνου.
• Επίσης, δείτε αριθμητική παράγωγο.

Ιστορία

Κύριο άρθρο:Ιστορία τたうοおみくろんυうぷしろん Λογισμού

Ηいーた δημιουργία τたうοおみくろんυうぷしろん Λογισμού ήταν ένα από τたうαあるふぁ μεγαλύτερα επιτεύγματα τたうοおみくろんυうぷしろん 1600, αλλά οおみくろん εφευρέτης τたうοおみくろんυうぷしろん λογισμού αμφισβητείται ευρέως: Ήταν οおみくろん Ισαάκ Νεύτων κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς; Οおみくろん Νεύτων κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Λάιμπνιτς διατύπωσαν αρχικά τたうοおみくろんνにゅー διαφορικό λογισμό πぱいοおみくろんυうぷしろん ουσιαστικά κάνει χρήση της έννοιας τたうοおみくろんυうぷしろん απειροελάχιστου, τたうοおみくろん οποίο αναφέρεται ως ένας απείρως μικρός αριθμός. Εκείνη τたうηいーたνにゅー εποχή πぱいρろーιいおたνにゅー από τたうηいーたνにゅー μみゅーηいーた-τυπική ανάλυση, ηいーた έννοια τたうωおめがνにゅー απειροστών ήταν πολύ ασαφής κかっぱαあるふぁιいおた ενόχλησε πολλούς μαθηματικούς. Ωστόσο, ηいーた έννοια τたうωおめがνにゅー απειροστών ήταν απαραίτητη γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ανάπτυξη τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού λογισμού.

Ηいーた μέθοδος τたうοおみくろんυうぷしろん Νεύτωνα αφορούσε τたうηいーた λήψη αναλογιών απειροστών. Οおみくろんιいおた όροι γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αναλογία ηいーた οποία είχε ένα απειροελάχιστο ως παράγοντα αντιμετωπίστηκαν ως μηδέν κかっぱαあるふぁιいおた έτσι τたうοおみくろん προϊόν τたうωおめがνにゅー απειροστών είναι ίσο μみゅーεいぷしろん μηδέν. Οおみくろん ίδιος εξήγησε, «οおみくろんιいおた όροι πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν [ένα απειροελάχιστο] ως παράγοντα θしーたαあるふぁ είναι ισοδύναμοι μみゅーεいぷしろん τίποτα σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τους άλλους. Ως εいぷしろんκかっぱ τούτου, τたうαあるふぁ απαλοίφω ... " Τελικά οおみくろんιいおた Κωσύ, Weierstrass κかっぱαあるふぁιいおた Riemann, αναδιαμόρφωσαν τたうοおみくろん λογισμό όσον αφορά τたうαあるふぁ όρια κかっぱαあるふぁιいおた όχι τたうαあるふぁ απειροστά. Ως εいぷしろんκかっぱ τούτου, ηいーた ανάγκη γがんまιいおたαあるふぁ αυτές τις απείρως μικρές (κかっぱαあるふぁιいおた ανύπαρκτες) ποσότητες εξαλείφθηκε κかっぱαあるふぁιいおた αντικαταστάθηκε από μみゅーιいおたαあるふぁ έννοια τたうωおめがνにゅー ποσοτήτων πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι «κοντά» σしぐまεいぷしろん άλλες. Έτσι, ηいーた παράγωγος όσο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん ολοκλήρωμα πρέπει νにゅーαあるふぁ επαναδιατυπωθούν όσον αφορά τたうαあるふぁ όρια.

Σしぐまτたうοおみくろん δέκατο ένατο αιώνα, οおみくろん Γερμανός μαθηματικός Κかっぱαあるふぁρろーλらむだ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) εισήγαγε τたうηいーた διαδικασία έψιλον-δέλτα, ηいーた οποία προέβλεπε μみゅーιいおたαあるふぁ αυστηρή βάση γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん λογισμό κかっぱαあるふぁιいおた αποθάρρυνε τους μαθητές νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιούν τたうηいーたνにゅー ιδέα τたうωおめがνにゅー απειροστών. Σしぐまτたうηいーた συνέχεια, τたうοおみくろん 1960 οおみくろん Έιμπραχαμ Ρόμπινσον (Abraham Robinson) βρήκε έναν τρόπο γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ παράσχει μみゅーιいおたαあるふぁ βάση γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ απειροστά κかっぱαあるふぁιいおた έτσι τたうαあるふぁ απειροστά έγιναν αποδεκτά. Οおみくろん Ρόμπινσον ονόμασε τたうηいーた διαμόρφωση τたうοおみくろんυうぷしろん μみゅーηいーた τυπική ανάλυση . Οおみくろん σκοπός αυτού τたうοおみくろんυうぷしろん υλικού είναι νにゅーαあるふぁ εξηγήσει, νにゅーαあるふぁ δείξει κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ δικαιολογήσει τたうηいーたνにゅー μみゅーηいーた-τυπική σύνθεση ανάλυση τたうωおめがνにゅー απειροστών.

Δείτε επίσης

• Εφαρμογές τたうωおめがνにゅー παραγώγων
• Αυτόματη διαφοροποίηση
• Τάξη Διαφορισιμότητας
• Κανόνες διαφοροποίησης
• Διαφορικό ολοκλήρωμα
• Παράγωγος φράκταλ
• Γενικεύσεις της παραγώγου
• Παράγωγος Hasse
• Ολοκλήρωμα
• Γραμμικοποίηση
• Πολλαπλασιαστικός αντίστροφος
• Αριθμητική παραγώγιση
• Radon-Nikodym θεώρημα
• Συμμετρική παράγωγος

Παραπομπές

Εκδόσεις

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th έκδοση), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, https://archive.org/details/calculus01apos 
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 
• Courant, Richard; John, Fritz (December 22, 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4 
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th έκδοση), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th έκδοση), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd έκδοση), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th έκδοση), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded έκδοση), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0, https://archive.org/details/calculusmadeeasy00thom_0 

Βιβλία σしぐまτたうοおみくろん Ίντερνετ

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus, http://www.lightandmatter.com/calc/ 
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus, University of Minnesota, http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ 
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus, http://www.understandingcalculus.com/ 
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html 
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations, http://synechism.org/drupal/de2de/ 
• Strang, Gilbert (1991), Calculus, http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, http://homepage.math.uiowa.edu/~stroyan/Site/Infinitesimals.html 
• Wikibooks, Calculus, http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Derivative», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/d031260 
• Khan Academy: Derivative lesson 1
• Weisstein, Eric W. "Derivative." From MathWorld
• Derivatives of Trigonometric functions Αρχειοθετήθηκε 2016-07-24 σしぐまτたうοおみくろん Wayback Machine., UBC
• Video σしぐまτたうοおみくろん youtube γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー παραγώγιση συνάρτησης (Παραγώγιση).