Αυτό το άρθρο αφορά τον όρο που χρησιμοποιείται στο λογισμό.Γιαμια λιγότερο τεχνική επισκόπηση του θέματος, δείτε διαφορικός λογισμός. Για άλλες χρήσεις, δείτε Παράγωγος (αποσαφήνιση).
Τογράφημα μιας συνάρτησης, με μαύρο χρώμα, καιηεφαπτομένη της συνάρτησης, με κόκκινο χρώμα. Ηκλίση της εφαπτόμενης γραμμής είναι ίση μετην παράγωγο της συνάρτησης στο υποδεικνυόμενο σημείο.
Ηπαράγωγος μιας συνάρτησης με πραγματική μεταβλητή είναι ένα μέτρο που εκφράζει τη μεταβολή της τιμής της συνάρτησης (μια συνάρτηση ή εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία προσδιορίζεται από μια άλλη ποσότητα (ηανεξάρτητη μεταβλητή). Είναι ένα θεμελιώδες εργαλείο τουλογισμού. Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ενός κινητού αντικειμένου σε σχέση μετο χρόνο είναι η ταχύτητα του αντικειμένου: η οποία μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η θέση του αντικειμένου όταν ο χρόνος προχωρήσει. Η παράγωγος μετρά τονστιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης, όπως διακρίνεται από τονμέσο ρυθμό μεταβολής, και ορίζεται ως τοόριοτου ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης όπου το μήκος του διαστήματος που ορίζεται ο μέσος όρος τείνει στο μηδέν.
Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται παραγώγιση. Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται αντιπαραγώγιση. ΤοΘεμελιώδες Θεώρημα του λογισμού αναφέρει ότι η αντιπαραγώγιση είναι το ίδιο μετοολοκλήρωμα. Παραγώγιση και ολοκλήρωση αποτελούν δυο βασικές λειτουργίες στο λογισμό.[1]
Ηπαραγώγιση είναι η μέθοδος γιατον υπολογισμό της παραγώγου. Η παράγωγος μιας συνάρτησηςf(x)με μεταβλητή x είναι ένα μέγεθος βαθμού μετο οποίο η τιμή της συνάρτησης αλλάζει σε σχέση μετη μεταβολή της μεταβλητής. Αυτό ονομάζεται παράγωγος της fστοx. Αντοx καιτοy είναι πραγματικοί αριθμοί, καιαν σχεδιαστεί ηγραφική παράσταση της f συναρτήσει τουx, η παράγωγος είναι ηκλίσητου γραφήματος σε κάθε σημείο.
Η απλούστερη περίπτωση, εκτός από την περίπτωση της σταθερής συνάρτησης, είναι όταν το y είναι γραμμική συνάρτησητουx, που σημαίνει ότι το γράφημα τουy συναρτήσει τουx είναι ευθεία γραμμή. Στην περίπτωση αυτή, y=f(x)=mx + b, για πραγματικούς αριθμούς mκαιb, καιη κλίση m δίνεται από τη σχέση
όπου το σύμβολο Δ (Δέλτα) είναι συντομογραφία της "μεταβολής". Ο τύπος αυτός ισχύει αφού
y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + b = mx + mΔx + b = y + mΔx.
και από αυτό έχουμε ότι Δy=m Δx.
Αυτό δίνει ακριβή τιμή γιατην κλίση μιας γραμμής. Ανη συνάρτηση fδεν είναι γραμμική (δηλαδή η γραφική της παράσταση δεν είναι ευθεία) τότε η αλλαγή του yσε σχέση μετην αλλαγή τουx ποικίλει: η παραγώγιση είναι μια μέθοδος της ακριβούς τιμής του βαθμού αλλαγής για οποιαδήποτε δοθείσα τιμή του x.
Η ιδέα που απεικονίζεται στα Σχήματα 1 έως 3, είναι να υπολογιστεί ο βαθμός της μεταβολής ως η οριακή τιμή του λόγου Δy/Δx καθώς τοΔx γίνεται άπειρα μικρό.
συμβολίζοντας τον λόγο τωνδυο απειροελάχιστα μικρών ποσοτήτων.(Η παραπάνω έκφραση διαβάζεται ως "η παράγωγος του y σε συνάρτηση μετο x", "dy από dx", ή "dy πέρα dx". Η προφορική μορφή "dy dx" συχνά χρησιμοποιείται conversationally, αλλά μπορεί να οδηγήσει σε σύγχυση.)
Στησημειογραφία του Lagrange, η παράγωγος της συνάρτησης f(x)σε συνάρτηση μετο x συμβολίζεται f '(x) (διαβάζεται "f τόνος του x") ή fx'(x) (διαβάζεται "f τόνος x του x"), σε περίπτωση ασάφειας συνεπάγεται η παράγωγος της μεταβλητής. Η σημειογραφία του Lagrange μερικές φορές αποδίδεται λανθασμένα στονNewton.
Σχήμα 1. Ηεφαπτόμενη γραμμήστο (x, f(x))Σχήμα 2. Ητέμνουσα της καμπύλης y= f(x) που ορίζεται από τα σημεία (x,f(x)) και (x+h,f(x+h)).Σχήμα 3. Η εφαπτομένη ως το όριο τεμνουσών.
Μια κινούμενη εικόνα που δίνει μια διαισθητική ιδέα γιατο παράγωγο, καθώς η "ταλάντευση" μιας συνάρτησης αλλάζει όταν αλλάζει το επιχείρημα.
Ηπιο συνηθισμένη προσέγγιση γιατον σαφή ορισμό αυτής της διαισθητικής ιδέας, είναι να ορίσουμε την παράγωγο ως τοόριο της διαφοράς πηλίκου των πραγματικών αριθμών.[2] Αυτή η προσέγγιση περιγράφεται παρακάτω.
Έστω μια πραγματική συνάρτηση f συναρτήσει ενός πραγματικού αριθμού a που ορίζεται σε ένα ανοιχτό διάστημα.Στην κλασική γεωμετρία, η εφαπτομένη γραμμή του γραφήματος της συνάρτησης f στοa είναι η μοναδική γραμμή που περνά από το σημείο (a,f(a))καιδεν συναντά το γράφημα της fεγκάρσια, που σημαίνει ότι η γραμμή δεν περνά μέσα από το γράφημα. Η παράγωγος του y σε σχέση μετο x στο σημείο a, γεωμετρικά είναι η κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα της fστο σημείο (a,f(a)).Η κλίση της εφαπτομένης είναι πολύ κοντά στην κλίση της γραμμής που περνάει από το(a,f(a))και από ένα κοντινό σημείο σε αυτό (δηλαδή στο(a,f(a))) του γραφήματος, για παράδειγμα το(a+h,f(a+h)). Αυτή η γραμμή ονομάζεται τέμνουσα. Όσο η τιμή τουh είναι πιο κοντά στο μηδέν δίνει καλύτερη προσέγγιση στην κλίση της εφαπτόμενης γραμμής, καιοι μικρότερες τιμές (κατά απόλυτη τιμή) τουh, γενικά, δίνουν καλύτερη προσέγγιση. Η κλίση m της τέμνουσας είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της y διαιρούμενη μετη διαφορά των τιμών του x, δηλαδή,
Αυτή η έκφραση είναι ηδιηρημένη διαφορά του Newton. Η μετάβαση από μια προσέγγιση σεμια ακριβή απάντηση επιτυγχάνεται μετη χρήση τουορίου. Γεωμετρικά το όριο της τέμνουσας είναι η εφαπτομένη. Ως εκ τούτου, το όριο της διηρημένης διαφοράς ως προς το h το οποίο τείνει στο μηδέν, αν υπάρχει, πρέπει να αντιπροσωπεύει την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο (a,f(a)).Το όριο αυτό ορίζεται να είναι η παράγωγος της f στοa:
Όταν το όριο υπάρχει, ηf ονομάζεται παραγωγίσιμηστοa. Εδώ τοf '(a) είναι ένας από τους κοινούς συμβολισμούς γιατην παράγωγο.
Ισοδύναμα, η παράγωγος ικανοποιεί την ιδιότητα
η οποία έχει την ερμηνεία (δείτε Σχήμα 1) ότι η εφαπτομένη της f στο a δίνει την καλύτερη γραμμικήπροσέγγιση.
της fστο a (π.χ. για μικρές τιμές του h). Η ερμηνεία αυτή είναι ηπιο εύκολη για γενίκευση.
Αντικαθιστώντας με 0 τοhστη διηρημένη διαφορά θα είχαμε διαίρεση μετο μηδέν, έτσι η κλίση της εφαπτομένης δε μπορεί να βρεθεί άμεσα χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο. Αντί αυτού, ορίζεται ηQ(h) ως η διηρημένη διαφορά συναρτήσει τουh:
.
Q(h) είναι η κλίση της τέμνουσας μεταξύ (a,f(a))και(a+h,f(a+h)). Αν f είναι συνεχής συνάρτηση,πράγμα που σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση δεν διακόπτεται καιδεν έχει κενά, τότε καιηQ είναι συνεχής συνάρτηση μακριά από τοh=0. Αντο όριο υπάρχει, που σημαίνει ότι υπάρχει τρόπος επιλογής τιμής γιατοQ(0) επομένως Q είναι συνεχής συνάρτηση, τότε η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο a καιη παράγωγός της ισούται μετοQ(0).
Στην πράξη, η ύπαρξη μιας συνεχούς επέκτασης της διηρημένης διαφοράς Q(h) στοh=0 προκύπτει από την αλλαγή του αριθμητή ώστε να απαλειφθεί τοh του παρονομαστή. Τέτοιοι χειρισμοί μπορεί να κάνουν την οριακή τιμή της Q ξεκάθαρη για μικρές τιμές του h ακόμη καιανηQδεν ορίζεται στο h=0. Αυτή η διαδικασία μπορεί να είναι τεράστια και κουραστική για πολύπλοκες συναρτήσεις, και γίνονται πολλές συντομεύσεις γιανα απλοποιηθεί η διαδικασία.
Η συνάρτηση τετραγωνισμού f(x)=x2 είναι παραγωγίσιμη στοx=3, καιη παράγωγός της (στο x=3) είναι ίση με 6. Το αποτέλεσμα αυτό βγαίνει μετον υπολογισμό του ορίου, μετοhνα τείνει στο μηδέν της διαφοράς πηλίκο f(3):
Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η διηρημένη διαφορά ισούται με6 + h όταν τοh είναι διάφορο του μηδενός και είναι απροσδιόριστο όταν h=0, λόγω του ορισμού της διηρημένης διαφοράς. Ωστόσο ο ορισμός του ορίου επισημαίνει ότι η διηρημένη διαφορά δε χρειάζεται να προσδιοριστεί όταν h=0.Το όριο είναι το αποτέλεσμα καθώς το h τείνει στο 0, που σημαίνει ότι η τιμή είναι 6 + h καθώς τοh τείνει να γίνει αρκετά μικρό:
Η κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης τετραγωνισμού στο σημείο (3,9) είναι 6, κι έτσι η παράγωγός της στο x=3 είναι f '(3)=6.
Γενικότερα, με παρόμοιο τρόπο υπολογισμού έχουμε ότι η παράγωγος της τετραγωνικής συνάρτησης στοx=a είναι f′(a) = 2a.
Αυτή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο μαρκαρισμένο σημείο αλλά ούτε και παραγωγίσιμη.
Ανy=f(x) είναι παραγωγίσιμηστοa, τότε ηf πρέπει να είναι συνεχήςστο a. Για παράδειγμα, επιλέγουμε ένα σημείο aκαιf μιαδίκλαδη συνάρτησηπου επιστρέφει την τιμή, ας πούμε 1, για όλα ταx μικρότερα τουa, και επιστρέφει μια διαφορετική τιμή, ας πούμε 10, για όλα εκείνα ταxπου είναι μεγαλύτερα ή ίσα μετο a. Ηfδεν έχει παράγωγο στοa.Αντοh είναι αρνητικό, τότε τοa + h είναι στο χαμηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από το a στοa + h είναι απότομη, καιαντοh τείνει στο μηδέν η κλίση τείνει στο άπειρο. Αντοh είναι θετικό, τότε τοa + h είναι στο υψηλό τμήμα του σταδίου, κι έτσι η τέμνουσα γραμμή από τοaστοa + h έχει μηδενική κλίση.Κατά συνέπεια οι τέμνουσες ευθείες δεν απευθύνονται σε οποιαδήποτε κλίση, καθώς το όριο της διηρημένης διαφοράς δεν υπάρχει.[3]
Ωστόσο, ακόμη καιανμια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο, μπορεί ναμην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτηση της απολύτου τιμής συναρτήσει του x είναι συνεχής στοx=0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί. Αντοh είναι θετικό, η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στοh είναι ένα, ενώ αντο h είναι αρνητικό, τότε η κλίση της τέμνουσας γραμμής από το 0 στοh είναι μείον ένα. Αυτό γραφικά δείχνει μια απότομη στροφή στο σημείο x=0. Ακόμα μια συνάρτηση με ομαλή γραφική παράσταση δεν είναι παραγωγίσιμη σε σημείο όπου ηεφαπτομένη είναι κατακόρυφη: Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = x1/3δεν είναι παραγωγίσιμη στοx=0.
Συνοπτικά: προκειμένου μια συνάρτηση f να έχει παράγωγο είναι αναγκαίογιατην συνάρτηση f να είναι συνεχής, αλλά η συνέχεια από μόνη της δεν είναι επαρκής.
Οι περισσότερες συναρτήσεις που εμφανίζονται στην πράξη έχουν παράγωγο σε όλα τα σημεία ή σχεδόν σε όλατα σημεία. Στηνιστορία του λογισμού, πολλοί μαθηματικοί υπέθεταν ότι οι συνεχείς συναρτήσεις ήταν παραγωγίσιμες στα περισσότερα σημεία. Κάτω από συνθήκες, για παράδειγμα ανη συνάρτηση είναι μονότονη ή συνάρτηση Lipschitz, αυτό αληθεύει. Ωστόσο, το 1872 ο Weierstrass βρήκε το πρώτο παράδειγμα συνάρτησης η οποία είναι συνεχής οπουδήποτε αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Αυτό το παράδειγμα είναι τώρα γνωστό ως συνάρτηση Weierstrass. Το 1931, οStefan Banach απέδειξε ότι το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάποιο σημείο είναι ένα σύνολο πρώτης κατηγορίας στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων.[4] Αυτό σημαίνει ότι σχεδόν καμία συνεχής συνάρτηση έχει παράγωγο σε κάθε σημείο.
Η συνάρτησης της απολύτου τιμής είναι συνεχής παντού, αλλά όχι παραγωγίσιμη στοx = 0, οι εφαπτόμενες δε δίνουν την ίδια τιμή αριστερά και δεξιά.
Έστω fμια συνάρτηση που έχει παράγωγο σε κάθε σημείο τουπεδίου ορισμού της. Επειδή κάθε σημείο a έχει μια παράγωγο, υπάρχει μια συνάρτηση που αντιστοιχεί το σημείο aμετην παράγωγο της fστοa. Αυτή η συνάρτηση συμβολίζεται f'(x)και ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση ή παράγωγος της f. Η παράγωγος της f "μαζεύει" όλες τις παραγώγους της fσε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της f.
Μερικές φορές, ηf έχει παράγωγο στα περισσότερα αλλά όχι σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της. Η παράγωγος της οποίας η τιμή στοa είναι ίση μεf'(a) όταν τοf'(a) ορίζεται και οπουδήποτε αλλού δεν ορίζεται, καλείται επίσης παράγωγος της f. Συνεχίζει να είναι συνάρτηση, αλλά το πεδίο ορισμού της είναι γνήσια μικρότερο από το πεδίο ορισμού της f.
Χρησιμοποιώντας αυτή την ιδέα, η παραγώγιση μετατρέπεται σεμια συνάρτηση συναρτήσεων. Η παράγωγος είναι ένας τελεστήςτου οποίου το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων που έχουν παράγωγο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους καιτοπεδίο τιμώντου είναι ένα σύνολο συναρτήσεων. Αν συμβολίσουμε αυτόν τον τελεστή D , τότε τοD(f) είναι η συνάρτηση f′(x). Από την στιγμή πουτοD(f) αποτελεί συνάρτηση, μπορεί να πάρει τιμή στο σημείο a. Από τον ορισμό της παραγώγου ως συνάρτηση: D(f)(a) = f′(a).
Για σύγκριση, θεωρήστε την συνάρτηση f(x) = 2x. Ηf είναι μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, που σημαίνει ότι δέχεται σαν είσοδο πραγματικούς αριθμούς και βγάζει σαν έξοδο πραγματικούς αριθμούς.
Ο τελεστής D, όμως, δεν ορίζεται για συγκεκριμένους αριθμούς, αλλά μόνο για συναρτήσεις:
Επειδή η έξοδος τουD είναι συνάρτηση, αυτή μπορεί να πάρει τιμή σε κάποιο σημείο. Για παράδειγμα, όταν τοD εφαρμόζεται στην τετραγωνική συνάρτηση,
τότε βγάζει για έξοδο την συνάρτηση
την οποία ονομάζουμε f(x). Αυτή η συνάρτηση της εξόδου, μπορεί να πάρει τιμές f(1)=2 , f(2)=4κ.ο.κ.
Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση καιf′(x)η παράγωγός της. Η παράγωγος της f′(x) (αν υπάρχει) γράφεται f′′(x)και ονομάζεται Δίτονο της f. Όμοια, η παράγωγος της δεύτερης παραγώγου, αν υπάρχει, γράφεται f′′′(x)και καλείται τρίτη παράγωγος της f. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, μπορεί κανείς να ορίσει την-οστή παράγωγο αν υπάρχει η(ν-1)-οστή παράγωγος.Αυτές οι επαναλαμβανόμενες παράγωγοι ονομάζονται παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης. Ην-οστή παράγωγος καλείται παράγωγος τάξης ν.
Ανx(t) παριστά τη θέση ενός αντικειμένου κατά το χρόνο t, τότε οι παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης τουx έχουν φυσικές ερμηνείες. Η δεύτερη παράγωγος τουx είναι η παράγωγος τουx'(t), η ταχύτητα, και (η δεύτερη παράγωγος) είναι ηεπιτάχυνσητου αντικειμένου. Η τρίτη παράγωγος του x ορίζεται να είναι τοτράνταγμα, καιη τέταρτη παράγωγος ορίζεται να είναι τοτίναγμα.
Μια συνάρτηση fδεν έχει παράγωγο,για παράδειγμα, ανδεν είναι συνεχής. Κατά τον ίδιο τρόπο, ακόμα κιανηf έχει παράγωγο, μπορεί ναμην έχει δεύτερη παράγωγο. Για παράδειγμα, έστω
.
Με βασικούς υπολογισμούς, διαπιστώνεται ότι ηf είναι παραγωγίσιμη (ή διαφορίσιμη), της οποίας η παράγωγος είναι
.
Ηf'(x) είναι το διπλάσιο της απόλυτης τιμής τουx, καιδεν έχει παράγωγο στο 0. Παρόμοια παραδείγματα δείχνουν ότι μια συνάρτηση μπορεί να έχεικ παραγώγους (όπου κ ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός), αλλά όχι κ+1 τάξης παράγωγο. Μια συνάρτηση που έχει κ παραγώγους, καλείται κ φορές διαφορίσιμη. Επιπλέον, ανηκ-οστή παράγωγος της f είναι συνεχής, τότε ηf είναι διαφορικής κλάσηςCκ. (Αυτή είναι μια δυνατότερη συνθήκη από τανα έχει κ παραγώγους. Για παραδείγματα, δείτε τάξη διαφορισιμότητας). Μια συνάρτηση που έχει άπειρα πολλές παραγώγους, λέγεται απείρως παραγωγίσιμη/διαφορίσιμη ή ομαλή.
Στην γραμμή των πραγματικών αριθμών, κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι απείρως παραγωγίσιμη. Από τους κανόνες της παραγώγισης, προκύπτει ότι αν ένα πολυώνυμο βαθμού n παραγωγιστεί n φορές, τότε καταλήγει σεσταθερή συνάρτηση. Όλες οι υπόλοιπες υπακόλουθες παράγωγοι είναι μηδενικές, δηλαδή υπάρχουν. Έτσι, τα πολυώνυμα είναι ομαλές συναρτήσεις.
Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f σ'ένα σημείο x παρέχουν πολυωνυμικές προσεγγίσεις της συνάρτησης αυτής κοντά στο x. Για παράδειγμα, ανη f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε
μετο σκεπτικό ότι
Ανη f είναι απείρως παραγωγίσιμη, τότε αυτή είναι η αρχή της σειράς Taylorγιατην f.
Ένα σημείο στο οποίο η δεύτερη παράγωγος έχει διαφορετικό πρόσημο ονομάζεται σημείο καμπής.[5]Σε ένα σημείο καμπής, η δεύτερη παράγωγος μπορεί να είναι μηδενική, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x3, ή μπορεί να αποτύχει να υπάρχει, όπως στην περίπτωση του σημείου καμπής x=0 της συνάρτησης y=x1/3 . Σε ένα σημείο καμπής, η συνάρτηση αλλάζει κυρτότητα από κοίλησεκυρτή ή αντίστροφα.
Σημειογραφία και συμβολισμός του διαφορικού λογισμού
Η σημειογραφία για τις παραγώγους που παρουσιάστηκε από τονGottfried Leibniz είναι μία από τις πρώτες. Χρησιμοποιείται ακόμα ευρέως όταν η εξίσωση y=f(x) εκλαμβάνεται ως μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών. Τότε, η πρώτη παράγωγος συμβολίζεται με
Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης εκφράζονται:
γιατην n-οστή παράγωγο της y=f(x).
Μετην σημειογραφία του Leibniz μπορούμε να εκφράσουμε την παράγωγο της f στο x=αμε δύο διαφορετικούς τρόπους:
Στον συμβολισμό του Leibniz γίνεται σαφές ως προς πια μεταβλητή γίνεται η παραγώγιση (στον παρονομαστή). Αυτό σχετίζεται ιδιαίτερα μετην μερική διαφόριση. Επίσης, με αυτήν την σημειογραφία γίνεται ευκολομνημόνευτος οκανόνας της αλυσίδας:[6]
Ένας από τους πιο κοινούς σύγχρονους συμβολισμούς γιατην διαφόριση,και μερικές φορές καλείται ως τονική διαφόριση[7], οφείλεται στονΖοζέφ Λουί Λαγκράνζκαι χρησιμοποιεί τον τόνο έτσι, ώστε η παράγωγος μια συνάρτησης f(x) συμβολίζεται με f'(x) ή απλούστερα f'. Όμοια, η δεύτερη καιη τρίτη παράγωγος συμβολίζονται
και
Εκτός από τον τόνο, μερικοί χρησιμοποιούν τους ρωμαϊκούς αριθμούς, όπως
καθώς άλλοι τοποθετούν τον αριθμό της τάξης της παραγώγου σε παρένθεση, όπως για παράδειγμα γιατην τέταρτη παράγωγο
Ο τελευταίος συμβολισμός γενικεύεται δίνοντας το σύμβολο f(n)γιατην n-οστή παράγωγο της f. Αυτή η σημειογραφία είναι πιο χρήσιμη όταν αναφερόμαστε στην παράγωγο όντας μια συνάρτηση από μόνη της, κάτι γιατο οποίο η σημειογραφία του Leibniz γίνεται περίπλοκη.
Κατά τον συμβολισμό τουΝεύτωναγιατην παραγώγιση, τοποθετείται μια τελίτσα πάνω από την συνάρτηση που παριστάνει την παράγωγο. Αν y=f(t), τότε τα
and
παριστάνουν, αντίστοιχα, την πρώτη καιτην δεύτερη παράγωγο της y σε σχέση μετην μεταβλητή t. Αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά γιαχρονικές παραγώγους, μετην έννοια ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης εκφράζει τονχρόνο. Είναι κάτι κοινό στηνΦυσικήκαισε τομείς των Μαθηματικών που συνδέονται μετην Φυσική, όπως οιδιαφορικές εξισώσεις. Καθώς ο συμβολισμός αυτός γίνεται πολύ δύσχρηστος για μεγάλες τάξεις παραγώγων, πρακτικά χρειάζονται αρκετά μικρές παράγωγοι.
Ο Newton προσπάθησε να εξηγήσει το λογισμό με βάση την έννοια του διαφορικού και της παραγώγου ως προς τον χρόνο,που ακολουθούσαν τις δικές του μαθηματικές εφευρέσεις.Είπε ότι ο ρυθμός παραγωγής είναι η παράγωγος ως προς τον χρόνο ενός στοιχείου,η οποία συμβολίζεται από μια μεταβλητή μεμια τελεία από πάνω.Όμοια ο ρυθμός της δεύτερης παραγώγου ως προς τον χρόνο συμβολίζεται με δύο τελείες από πάνω. Αυτοί οι παράγωγοι τείνουν πολύ κοντά στο μηδέν αλλαδεν είναι μηδέν. Αλλά όταν πολλαπλασσιάζουμε δύο παραγώγους της ίδιας τάξης,το αποτέλεσμα αυτό είναι πολύ κοντά στο μηδέν καιτο θεωρούμε ως μηδέν.Έτσι ο Newton πήρε τις παραγώγους και αντικατέστησε τις μεταβλητές του x μεκαι όλες τις μεταβλητές του y μεκαι μετά χρησιμοποίησε τους κανόνες της παραγώγισης γιανα πάρει την παράγωγο καιναβρει ένα αποτέλεσμα γιατο[8]. Για παράδειγμα ,
χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι μπορούμε να δούμε και έτσι .
Ο Νεύτων περιέγραψε μαθηματικές ποσότητες σαννα είναι σε συνεχή κίνηση. Αυτή η κίνηση,είπε,μπορεί να θεωρηθεί ισάξια ενός σημείου που διατρέχει μια καμπύλη. Προσδιόρισε αυτή την ποσότητα καιτην ονόμασε ''διαφορικό''. Αυτή η ιδέα γιατο όνομα του γεννήθηκε από τον ρυθμό μετον οποίο αυτές οι ποσότητες αλλάζουν. Ο Newton το ονόμασε στη τελική '' Διαφορικά και παράγωγοι ως προς τον χρόνο'' καιτο παρουσίασε. Έτσι, αν ένα διαφορικό παριστάνεται από το x, το ονομάζει παράγωγο τουχκαι όμοια την δεύτερη παράγωγο και συνεχίζει και τους υπόλοιπους συμβολισμούς. Αυτό μπορεί να συσχετιστεί μετον νεότερο συμβολισμό της παραγώγου. Στην σημερινή εποχή, η παράγωγος της μεταβλητής x έχει σχέση μεμια ανεξάρτητη μεταβλητή του χρόνου,την t η οποία συμβολίζει το διάνυσμα της ταχύτητας και συμβολίζεται μεdx/dt. Με άλλα λόγια η παράγωγος της f(x) ως προς τον χρόνο t είναι dx/dt.
Ο Νεύτων καλεί οτη στιγμή ενός διαφορικού. Η στιγμή ενός διαφορικού παριστάνει το απείρως μικρό κομμάτι στο οποίο ένα στοιχείο αυξάνεται σε ένα μικρό χρονικό διάστημα. Κάποτε επέτρεψε στον εαυτό τουνα κάνει μια διάρεση μέσω τουο ( παρόλα αυτά τοοδεν μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν διότι αυτό θα καθιστούσε την διαίρεση αδύνατη). Ο Newton αποφάσισε ότι είναι δικαιολογημένο να απαλείψει όλους τους όρους που περιέχουν το o.
Στην σημειογραφία του Όιλερ χρησιμοποιείται ένας διαφορικός τελεστής D, ο οποίος εφαρμόζεται σεμια συνάρτηση f δίνοντας την πρώτη παράγωγο Df. Η δεύτερη παράγωγος συμβολίζεται με D2f καιη n-οστή παράγωγος με Dnf.
Αν y=f(x) είναι μια εξαρτημένη μεταβλητή, τότε ο δείκτης x γράφεται μαζί μετο D διευκρινίζοντας την ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έτσι, ο συμβολισμός του Euler είναι
ή ,
ανκαι αυτός ο δείκτης συχνά παραλείπεται όταν εννοείται, για παράδειγμα όταν αυτή είναι η μόνη μεταβλητή που υπάρχει σεμια έκφραση.
Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί, κατά κανόνα, να υπολογιστεί μέσω του ορισμού θεωρώντας τις διηρημένες διαφορές και υπολογίζοντας τα όριά τους. Πρακτικά, από την στιγμή πουοι παράγωγοι απλών συναρτήσεων είναι γνωστές, οι παράγωγοι άλλων συναρτήσεων είναι πιο εύκολα υπολογίσιμοι χρησιμοποιώντας κανόνεςγιατην εύρεση της παραγώγου σύνθετων συναρτήσεων μέσω απλούστερων.
Τις περισσότερες φορές, ο υπολογισμός μιας παραγώγου απαιτεί την παραγώγιση μερικών κοινών συναρτήσεων. Η παρακάτω μη ολοκληρωμένη λίστα δίνει κάποιες από τις συχνότερα χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις και τις παραγώγους τους.
Σε πολλές περιπτώσεις, περίπλοκοι υπολογισμοί ορίων μετην άμεση εφαρμογή των διηρημένων διαφορών του Νεύτωνα μπορούν να αποφευχθούν με τους κανόνες παραγώγισης. Κάποιοι από τους βασικότερους είναι οι ακόλουθοι.
Κανόνας σταθερής συνάρτησης: ανη f(x) = α είναι σταθερή συνάρτηση καια είναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε
.
Κανόνας αθροίσματος:
, για κάθε συνάρτηση f και g καιγια κάθε πραγματικό αριθμό ακαιβ.
Το ίδιο ισχύει καιγια περισσότερες από δύο συναρτήσεις.
Κανόνας γινομένου:
, για κάθε συνάρτηση f και g.
Το ίδιο ισχύει καιγια περισσότερες από δύο συναρτήσεις.
Εδώ, ο δεύτερος όρος υπολογίστηκε μετον κανόνα της αλυσίδας καιο τρίτος μετον κανόνα του γινομένου. Χρησιμοποιήθηκαν επίσης οι γνωστές παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων x2, x4, sin(x), ln(x) and exp(x) = ex
Ηδιανυσματική συνάρτησηy(t) μιας πραγματικής μεταβλητής στέλνει πραγματικούς αριθμούς σε διανύσματα στονδιανυσματικό χώρο. Μια διανυσματική συνάρτηση y(t)=(y1(t), y2(t), y3(t),...,yn(t)) μπορεί να διασπαστεί στις συνιστώσες συναρτήσεις της y1(t),...,yn(t). Αυτό περιλαμβάνει, για παράδειγμα, παραμετρικές καμπύλεςστο ή . Οι συνιστώσες συναρτήσεις είναι πραγματικές συναρτήσεις και έτσι ο παραπάνω ορισμός της παραγώγισης μπορεί να εφαρμοστεί σ'αυτές. Η παράγωγος της y(t) ορίζεται να είναι ένα διάνυσμα,το οποίο λέγεται εφαπτομενικό διάνυσμα, του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών συναρτήσεων. Δηλαδή,
Ισοδύναμα,
αντο όριο υπάρχει. Η διαφορά στον αριθμητή είναι διαφορά διανυσμάτων, όχι βαθμωτών. Ανη παράγωγος της y υπάρχει για κάθε τιμή του t, τότε ηy′ είναι μια άλλη διανυσματική συνάρτηση.
Αν {e1, e2, e3,...,en} αποτελεί μια βάση του, τότε ηy(t) μπορεί επίσης να γραφτεί y1(t)e1, y2(t)e2, y3(t)e3,...,yn(t)en. Αν θεωρήσουμε ότι η παράγωγος μια διανυσματικής συνάρτησης διατηρεί τηνγραμμικότητα, τότε η παράγωγος της y(t) είναι
γιατί κάθε ένα από τα διανύσματα της βάσης είναι σταθερές.
Αυτή η γενίκευση είναι χρήσιμη αν, για παράδειγμα, ηy(t) είναι το διάνυσμα θέσης ενός αντικειμένου στην στιγμή t. Τότε η παράγωγος y′(t) εκφράζει τηνταχύτητατου αντικειμένου την στιγμή t.
Υποθέστε ότι η f είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από παραπάνω από μία μεταβλητές. Για παράδειγμα,
Η f μπορεί να αναθεωρηθεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής με δείκτες τις άλλες μεταβλητές:
Με άλλα λόγια, κάθε τιμή του x «επιλέγει» μια συνάρτηση, που συμβολίζεται fxκαι είναι συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής[9]. Έτσι,
Από την στιγμή που έχει επιλεγεί μια τιμή γιατο x, έστω α, τότε η f(x,y) καθορίζει την fαπου «στέλνει» το y στοα2+αy+y2.
Σ'αυτήν την παράσταση, τοα είναι σταθερά, και όχι μεταβλητή, έτσι η fα είναι συνάρτηση μόνο μίας πραγματικής μεταβλητής. Συνεπώς, ο ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής μπορεί να εφαρμοστεί:
Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να γίνει για οποιαδήποτε τιμή τουα. Μαζεύοντας τις παραγώγους σε μία συνάρτηση το αποτέλεσμα θα ήταν μια συνάρτηση που εκφράζει την αλλαγή της f στην κατεύθυνση του y:
Αυτή είναι η μερική παράγωγος της f σε σχέση μετο y. Εδώ, το ∂ είναι τοσύμβολο της μερικής παραγώγου.Γιανατο ξεχωρίσουμε από το γράμμα d,το ∂ μερικές φορές προφέρεται "der","del" ή "μερική" αντί του "dee".
Γενικά, η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης f(x1, x2,...,xn) στην κατεύθυνση του xiστο σημείο (α1, α2,...,αn) ορίζεται ως:
Στην παραπάνω διηρημένη διαφορά, όλες οι μεταβλητές εκτός της xi διατηρούνται σταθερές. Αυτή η επιλογή σταθερών τιμών προσδιορίζει μια συνάρτηση μίας μεταβλητής
καιεξ'ορισμού
Με άλλα λόγια, οι διαφορετικές επιλογές της τιμής τουα, δίνουν μια οικογένεια συναρτήσεων μίας μεταβλητής, ακριβώς όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Αυτή η έκφραση δείχνει επίσης ότι ο υπολογισμός της μερικής παραγώγου περιορίζεται στον υπολογισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής.
Ένα σημαντικό παράδειγμα συνάρτησης πολλών μεταβλητών είναι η περίπτωση της βαθμωτής συνάρτησης f(x1,...xn) σε ένα πεδίο ορισμού στον Ευκλείδιο χώρο (π.χ. ή ). Σ'αυτήν την περίπτωση, η f έχει μια μερική παράγωγο ∂f/∂xjσε σχέση με κάθε μεταβλητή xj. Στο σημείο α, αυτές οι μερικές παράγωγοι ορίζουν το διάνυσμα:
Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται ανάδελτα της f στοα. Ανη f είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο στο πεδίο ορισμού της, τότε το ανάδελτα είναι μια διανυσματική συνάρτηση ∇f που αντιστοιχεί το σημείο αστο διάνυσμα ∇f(α). Κατά συνέπεια, το ανάδελτα προσδιορίζει ένα διανυσματικό πεδίο.
Ανη f είναι μια πραγματική συνάρτηση στο, τότε η μερική παράγωγος της f εκφράζει ένα μέτρο αλλαγής της στον άξονα της συνισταμένης. Για παράδειγμα, ανη f είναι μια συνάρτηση του x καιτου y, τότε οι μερικές της παράγωγοι μετράνε την αλλαγή της f στην κατεύθυνση x καιστην κατεύθυνση y. Ωστόσο, δεν μετράνε άμεσα την αλλαγή της f σε κάποια άλλη κατεύθυνση, όπως πάνω στην διχοτόμο y=x. Αυτές μετρούνται μετην βοήθεια των διανυσματικών παραγώγων. Επιλέξτε ένα διάνυσμα
Ηδιανυσματική παράγωγος της f στην κατεύθυνση τουvστο σημείο x είναι το όριο
Σε μερικές περιπτώσεις ίσως είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε ή να εκτιμήσουμε την διανυσματική παράγωγο αν αλλάξουμε το μέγεθος του διανύσματος. Συχνά αυτό πραγματοποιείται γιανα μετατραπεί το πρόβλημα στον υπολογισμό μιας διανυσματικής παραγώγου στην κατεύθυνση ενός μοναδιαίου διανύσματος. Γιανα δούμε πώς δουλεύει αυτό, υποθέτουμε ότι v = λu. Αντικαθιστούμε τοh = k/λστη διαφορά πηλίκο . Το πηλίκο διαφορών γίνεται:
Έστω λ πραγματικός αριθμός. Η αντικατάσταση του h με h/λ αλλάζει την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης λvσελ φορές την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης v. Συνεπώς, η διανυσματική παράγωγος στην κατεύθυνση λv είναι ίση μελ φορές την διανυσματική παράγωγο στην κατεύθυνση v. Λόγω αυτού, οι διανυσματικές παράγωγοι συνήθως λαμβάνονται μόνο για μοναδιαία διανύσματα v.
Αν όλες οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεχείς στοx, τότε προσδιορίζουν την διανυσματική παράγωγο της f στην κατεύθυνση vμετον τύπο:
Αυτή είναι μια συνέπεια του ορισμού της ολικής παραγώγου. Ακολούθως, η διανυσματική παράγωγος είναι γραμμική στοv.
Ο ίδιος ορισμός χρησιμοποιείται επίσης όταν η f είναι μια συνάρτηση που λαμβάνει τιμές στο. Απλά, εφαρμόζουμε τον παραπάνω ορισμό σε κάθε στοιχείο του διανύσματος. Σ'αυτήν την περίπτωση, η διανυσματική παράγωγος είναι ένα διάνυσμα στο.
Ολική παράγωγος, ολικό ή τέλειο διαφορικό και Ιακωβιανός πίνακας
Όταν ηf είναι μία συνάρτηση ενός ανοικτού υποσυνόλου από τοRnστοRm, τότε η διανυσματική παράγωγος της fστη διεύθυνση που έχουμε επιλέξει είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της fστο σημείο αυτό καιστη διεύθυνση αυτή. Αλλά όταν n > 1, η διανυσματική παράγωγος μπορεί να δώσει μια ολοκληρωμένη εικόνα γιατην συμπεριφορά της f. Η ολική παράγωγος, ονομάζεται και (ολικό) διαφορικό, και δίνει μια ολοκληρωμένη εικόνα παρατηρώντας όλες τις κατευθύνσεις ταυτόχρονα. Αυτός είναι, για κάθε διάνυσμα vμε αρχή τοa, ο τύπος που αναμένεται γιατη γραμμική προσέγγιση:
Ακριβώς όπως η παράγωγος μιας μεταβλητής, ηf ′(a) έχει επιλεχθεί έτσι ώστε το λάθος σε αυτήν την προσέγγιση να είναι όσο πιο μικρό γίνεται.
Ανnκαιm είναι καιταδυο ένα, τότε η παράγωγος f ′(a) είναι ένας αριθμός καιη έκφραση f ′(a)v είναι το γινόμενο δυο αριθμών. Αλλά σε μεγαλύτερες διαστάσεις, είναι αδύνατον τοf ′(a)να είναι αριθμός. Αν ήταν αριθμός, τότε τοf ′(a)vθα μπορούσε να ήταν ένα διάνυσμα τουRn ενώ οι άλλοι όροι θα μπορούσαν να ήταν διανύσματα τουRm, και συνεπώς ο τύπος δεθα είχε νόημα. Γιανα έχει νόημα ο τύπος της γραμμικής προσέγγισης, τοf ′(a) πρέπει να είναι μια συνάρτηση που στέλνει διανύσματα τουRnσε διανύσματα τουRm, καιτοf ′(a)v πρέπει να δηλώνει αυτή τη συνάρτηση εκτιμώντας τοv.
Γιανα προσδιορίσετε τι είδους συνάρτηση είναι, παρατηρείστε ότι ο τύπος της γραμμικής προσέγγισης μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής
Σημειώστε ότι αν επιλέξουμε άλλο διάνυσμα w, τότε αυτή η προσεγγιστική εξίσωση προσδιορίζει άλλη προσεγγιστική εξίσωση αντικαθιστώντας τοvμεw. Προσδιορίζει μια τρίτη προσεγγιστική εξίσωση αντικαθιστώντας καισταδυοvμεwκαιτοaμεa + v. Αφαιρώντας αυτές τις δυο νέες εξισώσεις, παίρνουμε
Αν υποθέσουμε ότι τοv είναι μικρό και ότι η παράγωγος τείνει συνεχώς στοa, τότε τοf ′(a + v) είναι κατά προσέγγιση ίσο μετοf ′(a), και συνεπώς το δεξιό μέλος είναι κατά προσέγγιση μηδέν. Το αριστερό μέλος μπορεί να ξανά γραφτεί με ένα διαφορετικό τρόπο χρησιμοποιώντας τον τύπο της γραμμικής προσέγγισης και αντικαθιστώντας τοvμεv + w. Ο τύπος της γραμμικής προσέγγισης συνεπάγεται:
Αυτό υποδηλώνει ότι τοf ′(a) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός από το διανυσματικό χώρο Rn στον διανυσματικό χώρο Rm . Στην πραγματικότητα, είναι πιθανό να κάνετε αυτήν την ακριβή παραγώγιση μετρώντας το λάθος στις προσεγγίσεις. Υποθέστε ότι το λάθος στον τύπο αυτών των γραμμικών προσεγγίσεων φράσεται από ένα σταθερό χρόνο ||v||, όπου η σταθερότητα είναι ανεξάρτητη από τοv αλλά εξαρτάται συνεχώς από τοa. Τότε, αφού προσθέσουμε έναν κατάλληλο όρο γιατο λάθος, όλες οι άνω προσεγγιστικές ισότητες μπορούν να αναδιατυπωθούν ως ανισότητες. Συγκεκριμένα,τοf ′(a) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός πάνω σε ένα μικρό λανθασμένο όρο. Στο όριο όπου ταvκαιw τείνουν στο μηδέν, πρέπει συνεπώς να είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Από τότε που ορίσαμε την ολική παράγωγο παίρνοντας ένα όριο όπως τοvνα πηγαίνει στο μηδέν, τοf ′(a) πρέπει να είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός.
Σεμια μεταβλητή,το γεγονός ότι η παράγωγος είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση γίνεται αντιληπτό από το γεγονός ότι είναι το όριο στα πηλίκα διαφορών. Παρόλα αυτά, τα συνηθισμένα πηλίκα διαφορών δεν ορίζονται σε μεγαλύτερες διαστάσεις διότι συνήθως δεν είναι εύκολο να διαιρέσουμε διανύσματα. Συγκεκριμένα, ο αριθμητής καιο παρανομαστής των πηλίκων διαφορών δεν ανήκουν στον ίδιο διανυσματικό χώρο: Ο αριθμητής βρίσκεται στον χώρο Rm ενώ ο παρανομαστής βρίσκεται στονRn. Επιπλέον, η παράγωγος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, που σημαίνει οτι υπάρχει διαφορετικός τύπος γιατην μεταβλητή που βρίσκεται τόσο στον αριθμητή όσο καιστον παρανομαστή.Γιανα καταστήσουμε ακριβής την έννοια ότι ηf ′(a) είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση, είναι απαραίτητο να υιοθετήσουμε μια διαφορετική μεθοδολογία γιατην πρώτης τάξεως παράγωγο γιανα δούμε σε ποία από αυτά τα προβλήματα απαλείφεται. Άν f : R → R, τότε ο συνηθισμένος προσδιορισμός της παραγώγου χρησιμοποιείται γιανα προκύψει ότι ηγ παράγωγος της f στοa είναι ο μοναδικός αριθμός f ′(a) τέτοιος ώστε
Αυτό ισοδυναμεί με
επειδή το όριο της συνάρτησης τείνει στο μηδέν ανκαι μόνο αντο όριο της απόλυτης συνάρτησης τείνει στο μηδέν. Ο τελευταίος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περισσότερες απομια μεταβλητές αντικαθιστώντας τις απόλυτες τιμές με τις νόρμες.
Ο προσδιορισμός της ολικής παραγώγου της f στο a προσδιορίζεται κατά μοναδικό τρόπο αποτον γραμμικό μετασχηματισμό f ′(a) : Rn → Rm τέτοιος ώστε
Εδώ το h είναι ένα διάνυσμα στονRn, έτσι η νόρμα στον παρανομαστή ορίζεται στονRn. Παρόλα αυτά f′(a)h είναι ένα διάνυσμα στονRm καιη νόρμα στον αριθμητή ορίζεται στονRm . Άν v είναι ένα διάνυσμα που έχει ως αρχή τουτο a τότε τοf ′(a)v καλείται διαφορικό του v αποτο f και μερικές φορές συμβολίζεται ως f∗v.
Ανη ολική παράγωγος υπάρχει στοa, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι καιοι κατευθυνόμενες παράγωγοι της f υπάρχουν στοa, καιγια όλα ταv, τοf ′(a)v είναι η κατευθυνόμενη παράγωγος της fστην κατεύθυνση τουv. Αν γράψουμε τηνf χρησιμοποιώντας συντεταγμένες συναρτήσεις, έτσι ώστε f = (f1, f2, ..., fm), τότε η ολική παράγωγος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μερικές παραγώγους σε έναν πίνακα. Αυτός ο πίνακας ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας της f στοa:
Η ύπαρξη της ολικής παραγώγου f′(a) είναι αυστηρά πιο ισχυρή από την ύπαρξη όλων των μερικών παραγώγων, αλλά ανοι μερικές παράγωγοι υπάρχουν και είναι συνεχείς, τότε η ολική παράγωγος υπάρχει, δίνεται από την Ιακωβιανή, και εξαρτάται διαρκώς από τοa.
Ο ορισμός της ολικής παραγώγου περιλαμβάνει τον ορισμό της παραγώγου μιας μεταβλητής. Αυτό είναι, ανηf είναι μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, τότε η ολική παράγωγος υπάρχει ανκαι μόνον ανη κοινή παράγωγος υπάρχει. Ο Ιακωβιανός πίνακας περιορίζεται σε έναν 1×1 πίνακα του οποίου η μόνη είσοδος είναι η παράγωγος f′(x). Αυτός ο 1×1 πίνακας ικανοποιεί την ιδιότητα ότι f(a + h) − f(a) − f ′(a)h είναι κατά προσέγγιση μηδέν, με άλλα λόγια
Εξαρτάται από την αλλαγή των μεταβλητών, αυτή είναι η διατύπωση ότι η συνάρτηση είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της fστοa.
Η ολική παράγωγος μιας συνάρτησης δε δίνει άλλη συνάρτηση μετον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση της μιας μεταβλητής. Αυτό συμβαίνει επειδή η ολική παράγωγος της πολυμεταβλητής συνάρτησης έχει να καταχωρήσει πολύ περισσότερες πληροφορίες από την παράγωγο της συνάρτησης μιας μεταβλητής. Αντ' αυτού, η ολική παράγωγος δίνει μια συνάρτηση από τηδέσμη εφαπτομένης της πηγής στη δέσμη εφαπτομένη του σκοπού.
Η φυσική αντιστοιχία της δεύτερης, τρίτης,και ανώτερης-τάξης των μερικών παραγώγων δεν είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός, δεν είναι μια συνάρτηση στην εφαπτόμενη δέσμη, καιδεν παράγεται παίρνοντας επανειλημμένως την ολική παράγωγο. Η αντιστοιχία μιας ανώτερης-τάξης παραγώγισης, καλείται ως πίδακας, δεν μπορεί να είναι γραμμικός μετασχηματισμός επειδή οι ανώτερες-τάξεις των παραγώγων εκφράζουν διακριτή γεωμετρική πληροφορία, όπως η κοίλη επιφάνεια, η οποία δεν μπορεί να περιγραφεί με όρους των γραμμικών δεδομένων όπως τα διανύσματα. Δεν μπορεί να είναι μια συνάρτηση στη δέσμη εφαπτομένης επειδή η δέσμη εφαπτομένης έχει μόνο χώρο γιατη βάση του χώρου καιγια τις κατευθυνόμενες παραγώγους. Επειδή οι πίδακες αποθηκεύουν ανώτερης-τάξης πληροφορία, παίρνουν ως επιχείρημα επιπλέον συντεταγμένες απεικονίζοντας ανώτερη-τάξη αλλαγών στην κατεύθυνση. Ο χώρος προσδιορίζεται από αυτές τις επιπλέον συντεταγμένες που ονομάζονται δέσμη πίδακα. Η σχέση μεταξύ της ολικής παραγώγου καιτων μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης είναι παρόμοια μετη σχέση μεταξύ της k-οστής τάξης πίδακα μιας συνάρτησης καιτων μερικών του παραγώγων σε τάξη μικρότεροη ή ίση τουk.
Κατ' επανάληψη αν πάρουμε την ολική παράγωγο, αποκτά ανώτερες εκδοχές της παραγώγου Fréchet , ειδικά στονRp. Ηk-οστή τάξη της ολικής παραγώγου ίσως ερμηνευτεί σανμια απεικόνιση
στην οποία παίρνοντας ένα σημείο xστοRnκαι ορίζοντάς τοσε έναν παράγοντα του χώρου τωνk-γραμμικών απεικονίσεων από τονRnστονRm – η "καλύτερη" (με σιγουριά ακριβή έννοια) k-γραμμική προσέγγιση της fσε αυτό το σημείο. Αντην γράψουμε ως διαγώνια απεικόνισηΔ, x → (x, x), μία γενικευμένη σειρά Τέιλορ ίσως
προκύψει ως εξής
όπου η f(a) εξισώνεται μεμια σταθερή συνάρτηση, (x − a)i είναι οι συνιστώσες του διανύσματος x − a, και(D f)iκαι(D2f)j k είναι οι συνιστώσες τωνD fκαιD2fσαν γραμμικοί μετασχηματισμοί.
Η έννοια μιας παραγώγου μπορεί να επεκταθεί σε πολλές άλλες λειτουργίες . Το κοινό νήμα είναι ότι η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο χρησιμεύει ως μιαγραμμική προσέγγιση της συνάρτησης στο σημείο αυτό.
Μια σημαντική γενίκευση της παραγώγου έχει να κάνει μεσύνθετες συναρτήσειςτωνσύνθετων μεταβλητών, όπως λειτουργίες από (έναν τομέα) των σύνθετων αριθμών C έως C. Η έννοια της παραγώγου μιας τέτοιας συνάρτησης επιτυγχάνεται μετην αντικατάσταση πραγματικών μεταβλητών με σύνθετων μεταβλητών στον ορισμό . Ανο C ταυτίζεται μετο R2 γράφοντας ένα μιγαδικό αριθμό z ως x + iy, τότε μια διαφορική συνάρτηση από C σε C είναι σίγουρα διαφορική ως μία συνάρτηση από τα R2 έως R2 (μετην έννοια ότι οι όλες μερικές παραγωγοί του υπάρχουν ), αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά: η σύνθετη παράγωγος υπάρχει μόνον όταν η πραγματική παράγωγος είναι σύνθετη γραμμική και αυτό επιβάλλει σχέσεις μεταξύ των επιμέρους παραγώγων που ονομάζονται εξισώσεις Cauchy Riemann - βλέπε αναλυτικές συναρτήσεις.
Μια άλλη γενίκευση αφορά συναρτήσεις μεταξύ διαφορικών ή ομαλών πολλαπλών. Διαισθητικά μιλώντας, μια τέτοια πολλαπλότητα M είναι ένας χώρος που μπορεί να προσεγγιστεί κοντά σε κάθε σημείο x από ένα διανυσματικό χώροπου ονομάζεται εφαπτόμενος χώρος του: ως πρωτότυπο παράδειγμα είναι μιαομαλή επιφάνειαστο R3. Η παράγωγος (ή διαφορικό) ενός (διαφορικού) χάρτης f: M → N μεταξύ πολλαπλών, σε ένα σημείο x στο M, τότε είναι ένας γραμμικός χάρτης από το χώρο εφαπτομένης του M στο x στο χώρο εφαπτομένης Νστο f (x ). Η παραγωγίσιμη συνάρτηση γίνεται χάρτης μεταξύ των δεσμών εφαπτομένης των M και N. Αυτός ο ορισμός είναι θεμελιώδης στηδιαφορική γεωμετρίακαι έχει πολλές χρήσεις - βλέπε pushforward (διαφορικό)καιpullback (διαφορική γεωμετρία).
Μια ανεπάρκεια της κλασικής παραγώγου είναι ότι δεν είναι πάρα πολλές συναρτήσεις διαφορικές. Παρ 'όλα αυτά, υπάρχει ένας τρόπος επέκτασης της έννοιας της παραγώγου έτσι ώστε όλοι οισυνεχείς συναρτήσεις και πολλές άλλες συναρτήσεις μπορούν να διαφοροποιηθούν χρησιμοποιώντας μια έννοια που είναι γνωστή ως ηαδύναμη παράγωγος. Η ιδέα είναι να ενσωματωθούν οι συνεχείς συναρτήσεις σε ένα μεγαλύτερο χώρο που λέγεται χώρος τωνδιανομώνκαιτο μόνο που απαιτείται ότι μια συνάρτηση είνα διαφορικήι «κατά μέσο όρο».
Οι ιδιότητες της παραγώγου έχουν εμπνεύσει την εισαγωγή και μελέτη πολλών παρόμοιων αντικειμένων στην άλγεβρα καιτην τοπολογία - βλέπε, για παράδειγμα, διαφορική άλγεβρα.
Το διακριτό ισοδύναμο της διαφοροποίησης είναι οιπεπερασμένες διαφορές. Η μελέτη του διαφορικού λογισμού είναι ενωμένη μετον λογισμό των πεπερασμένων διαφορών στολογισμό κλίμακας χρόνου.
Η δημιουργία του Λογισμού ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του 1600, αλλά ο εφευρέτης του λογισμού αμφισβητείται ευρέως: Ήταν οΙσαάκ ΝεύτωνκαιοΓκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς; Ο Νεύτων καιο Λάιμπνιτς διατύπωσαν αρχικά τον διαφορικό λογισμό που ουσιαστικά κάνει χρήση της έννοιας τουαπειροελάχιστου, το οποίο αναφέρεται ως ένας απείρως μικρός αριθμός. Εκείνη την εποχή πριν από τηνμη-τυπική ανάλυση, η έννοια των απειροστών ήταν πολύ ασαφής και ενόχλησε πολλούς μαθηματικούς. Ωστόσο, η έννοια των απειροστών ήταν απαραίτητη γιατην ανάπτυξη του διαφορικού λογισμού.[10]
Η μέθοδος του Νεύτωνα αφορούσε τη λήψη αναλογιών απειροστών. Οι όροι γιατην αναλογία η οποία είχε ένα απειροελάχιστο ως παράγοντα αντιμετωπίστηκαν ως μηδέν και έτσι το προϊόν των απειροστών είναι ίσο με μηδέν. Ο ίδιος εξήγησε, «οι όροι που έχουν [ένα απειροελάχιστο] ως παράγοντα θα είναι ισοδύναμοι με τίποτα σε σχέση με τους άλλους. Ως εκ τούτου, τα απαλοίφω ... " Τελικά οι Κωσύ, Weierstrass και Riemann, αναδιαμόρφωσαν το λογισμό όσον αφορά τα όρια και όχι τα απειροστά. Ως εκ τούτου, η ανάγκη για αυτές τις απείρως μικρές (και ανύπαρκτες) ποσότητες εξαλείφθηκε και αντικαταστάθηκε από μια έννοια των ποσοτήτων που είναι «κοντά» σε άλλες. Έτσι, η παράγωγος όσο καιτο ολοκλήρωμα πρέπει να επαναδιατυπωθούν όσον αφορά τα όρια.[11]
Στο δέκατο ένατο αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Καρλ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) εισήγαγε τη διαδικασία έψιλον-δέλτα, η οποία προέβλεπε μια αυστηρή βάση γιατο λογισμό και αποθάρρυνε τους μαθητές να χρησιμοποιούν την ιδέα των απειροστών. Στη συνέχεια, το 1960 οΈιμπραχαμ Ρόμπινσον (Abraham Robinson) βρήκε έναν τρόπο γιανα παράσχει μια βάση γιατα απειροστά και έτσι τα απειροστά έγιναν αποδεκτά. Ο Ρόμπινσον ονόμασε τη διαμόρφωση τουμη τυπική ανάλυση . Ο σκοπός αυτού του υλικού είναι να εξηγήσει, να δείξει καινα δικαιολογήσει τηνμη-τυπική σύνθεση ανάλυση των απειροστών.[12]
↑Ο Διαφορικός Λογισμός,όπως αναφέρεται σε αυτό το άρθρο,είναι μια έννοια με πολύ χρήσιμη ιδιότητα και υπάρχουν πολλές πηγές.Σχεδόν όλο το υλικό για αυτό το άρθρο βρέθηκε από τα in Apostol 1967, Apostol 1969, και Spivak 1994
↑Παρόλα αυτά, είναι πιθανόν να εκλάβουμε την παράγωγο ως κατανομή.Το αποτέλεσμα είναι εννιά φορές τομέτρο του Dirac κεντράροντας το a.
↑Banach, S. (1931), "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen",''Studia. Math.'' (3): 174–179.. Cited by Hewitt, E and Stromberg, K (1963), ''Real and abstract analysis'', Springer-Verlag, Theorem 17.8
↑Στη επεξεργασία του Λογισμού στην έννοια των ορίων , το ''du'' σύμβολο έχει καταχωρηθεί με πολλές διαφορετικές έννοιες από πολλούς συγγραφείς. Μερικοί συγγραφείς δεν καταχωρούν ένα νόημα στο du συγκεκριμένα, αλλά μόνο σε συνδυασμό ως σύμβολο du/dx. Άλλοι καθορίζουν το dx ως μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και προσδιορίζουν το ''du'' από το du =dx·f'(x). Στηνανάλυσητο du καθορίζεται ως απειροελάχιστο. Επίσης ερμηνεύεται ως εξωτερικό παράγωγο μια συνάρτησης u. Βλέπε διαφορικές(απειροελάχιστο)για περισσότερες πληροφορίες.
Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th έκδοση), New York: Wiley, ISBN978-0-471-47244-5
Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (2nd έκδοση), Wiley, ISBN978-0-471-00007-5
Courant, Richard; John, Fritz (December 22, 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, ISBN978-3-540-65058-4
Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th έκδοση), Brooks Cole, ISBN978-0-03-029558-4
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th έκδοση), Houghton Mifflin Company, ISBN978-0-618-60624-5