Τριγωνομετρική συνάρτηση

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf {y} =f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d$ Ρητή συνάρτηση $y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$ Άρρητη συνάρτηση $y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $y=a^{x}$ Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _{a}(x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο $y=\sin x$ Συνημίτονο $y=\cos x$ Εφαπτομένη $y=\tan x$

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις γωνιών, δηλαδή συναρτήσεις τたうωおめがνにゅー οποίων τたうοおみくろん όρισμα είναι γωνία. Πολλές φορές τたうοおみくろん όρισμα τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων δでるたεいぷしろんνにゅー είναι άμεσα αντιληπτό ως γωνία, οπότε ονομάζεται (φάση). Είναι σημαντικές σしぐまτたうηいーた μελέτη τριγώνων κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー μοντελοποίηση περιοδικών φαινομένων, μεταξύ άλλων. Οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται συνήθως ως λόγος τたうωおめがνにゅー δでるたυうぷしろんοおみくろん πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει τたうηいーた δεδομένη γωνία, κかっぱαあるふぁιいおた μπορούν ισοδύναμα νにゅーαあるふぁ οριστούν ως τたうοおみくろん μήκος διαφόρων ευθύγραμμων τμημάτων σしぐまεいぷしろん ένα μοναδιαίο κύκλο. Νεότεροι ορισμοί εκφράζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως εκθετικές συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών. Επιπλέον, οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν νにゅーαあるふぁ εκφρασθούν κかっぱαあるふぁιいおた ως αθροίσματα απειροσειρών πぱいοおみくろんυうぷしろん επιτρέπουν τたうοおみくろんνにゅー αριθμητικό υπολογισμό της τιμής τους.

Σしぐまτたうηいーた σύγχρονη τριγωνομετρία, υπάρχουν έξι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πぱいοおみくろんυうぷしろん παρουσιάζονται εδώ μαζί μみゅーεいぷしろん τις εξισώσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん τις συσχετίζουν μεταξύ τους. Ειδικά σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση τたうωおめがνにゅー τελευταίων τεσσάρων, αυτές οおみくろんιいおた σχέσεις συχνά δίνονται ως ορισμοί τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων αυτών, αλλά μπορούν νにゅーαあるふぁ οριστούν εξίσου καλά γεωμετρικά ή μみゅーεいぷしろん άλλα μέσα, κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーた συνέχεια νにゅーαあるふぁ αποδειχθούν οおみくろんιいおた σχέσεις αυτές.

Σしぐまεいぷしろん ορισμένα βιβλία μαθηματικών σしぐまτたうηいーたνにゅー Ελλάδα κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー Κύπρο (όπως σしぐまτたうαあるふぁ σχολικά βιβλία μαθηματικών Γυμνασίου-Λυκείου) χρησιμοποιούνται οおみくろんιいおた συμβολισμοί:

• $\eta \mu ~\theta$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん $\sin \theta$
• $\sigma \upsilon \nu ~\theta$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん $\cos \theta$
• $\epsilon \phi ~\theta$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん $\tan \theta$
• $\sigma \phi ~\theta$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん $\cot \theta$
• $\sigma \tau \epsilon \mu ~\theta$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん $\csc \theta$
• $\tau \epsilon \mu ~\theta$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん $\sec \theta$

Οおみくろんιいおた τριγωνομετρικοί αριθμοί κかっぱαあるふぁιいおた τριγωνομετρία

Ορθογώνιο τρίγωνο

Χρησιμοποιώντας τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορούν νにゅーαあるふぁ οριστούν οおみくろんιいおた τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ηいーた εφαπτομένη, τたうοおみくろん ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συνημίτονο. Επιπλέον μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた συνεφαπτομένη. Αυτές οおみくろんιいおた συναρτήσεις ορίζονται ως προς μみゅーιいおたαあるふぁ οξεία γωνία $\theta$ τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου. Ηいーた $\theta$ συνήθως μετριέται σしぐまεいぷしろん ακτίνια ή μοίρες. Αあるふぁνにゅー ηいーた γωνία δでるたεいぷしろん μετριέται σしぐまεいぷしろん ακτίνια, τότε ηいーた γωνία γράφεται μαζί μみゅーεいぷしろん τις μονάδες μέτρησης.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει δύο κάθετες μεταξύ τους πλευρές κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーιいおたαあるふぁ υποτείνουσα. Οおみくろんιいおた κάθετες είναι αυτές πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία, ενώ ηいーた υποτείνουσα είναι ηいーた τρίτη πλευρά πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζει οξείες γωνίες μみゅーεいぷしろん τις υπόλοιπες δύο πλευρές. Σしぐまτたうοおみくろん σχήμα αριστερά, οおみくろんιいおた κάθετες είναι οおみくろんιいおた πλευρές μみゅーεいぷしろん μήκος 3 και 4, ενώ ηいーた υποτείνουσα έχει μήκος 5.

Μみゅーεいぷしろん βάση μみゅーιいおたαあるふぁ οξεία γωνία σしぐまεいぷしろん ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ορίζουμε ως προσκείμενη (κάθετη) πλευρά τたうηいーたνにゅー πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι ταυτόχρονα κかっぱαあるふぁιいおた πλευρά της γωνίας. Επιπλέον, ως απέναντι (κάθετη) πλευρά της γωνίας ορίζουμε τたうηいーたνにゅー άλλη κάθετη πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου. Σしぐまτたうοおみくろん συγκεκριμένο σχήμα προσκείμενη πλευρά είναι ηいーた 4, κかっぱαあるふぁιいおた απέναντι πλευρά ηいーた 3.

Οおみくろんιいおた τρεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως συναρτήσεις μόνο της γωνίας $\theta$, γιατί αποδεικνύεται ότι ηいーた τιμή τους δでるたεいぷしろんνにゅー εξαρτάται από τたうοおみくろん μήκος τたうωおめがνにゅー πλευρών, αλλά μόνο από τたうηいーた γωνία $\theta$. Τたうοおみくろん πεδίο ορισμού τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων όπως ορίζονται μみゅーεいぷしろん βάση ορθογώνιο τρίγωνο είναι από μηδέν μέχρι $\pi /2$ ακτίνια, δηλαδή ηいーた γωνία $\theta$ πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι οξεία.

Εφαπτομένη

Σしぐまεいぷしろん ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου τたうοおみくろん πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς διά τたうηいーたνにゅー προσκείμενη κάθετη πλευρά. Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\epsilon \phi ~\theta$, σしぐまτたうαあるふぁ ελληνικά ή $\tan \theta$ διεθνώς:

$\tan \theta ={\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}}$.

Ηいーた εφαπτομένη, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί νにゅーαあるふぁ πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη τたうοおみくろんυうぷしろん μηδενός

Ημίτονο

Σしぐまεいぷしろん ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως ημίτονο της γωνίας $\theta$ τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου τたうοおみくろん πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς διά τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα. Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\eta \mu ~\theta$, σしぐまτたうαあるふぁ ελληνικά ή $\sin \theta$ διεθνώς:

$\sin \theta ={\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}$.

Τたうοおみくろん ημίτονο, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί νにゅーαあるふぁ πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη τたうοおみくろんυうぷしろん μηδενός κかっぱαあるふぁιいおた μικρότερη τたうοおみくろんυうぷしろん ενός. Ηいーた απέναντι πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα τたうοおみくろん κλάσμα πάντα μικρότερο τたうοおみくろんυうぷしろん ενός. Τたうοおみくろん όνομα της συνάρτησης οφείλεται σしぐまεいぷしろん ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο τρίγωνο, τたうοおみくろん ορθογώνιο τρίγωνο μみゅーεいぷしろん γωνίες $90$, $60$ κかっぱαあるふぁιいおた $30$ μοιρών στις γωνίες. Τたうοおみくろん ημίτονο τたうωおめがνにゅー $30$ μοιρών είναι $1/2$, δηλαδή ηいーた απέναντι πλευρά είναι τたうοおみくろん μισό τたうοおみくろんυうぷしろん τόνου, όπου μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー όρο τόνος εννοείται τたうοおみくろん μήκος της υποτείνουσας.

Συνημίτονο

Σしぐまεいぷしろん ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνημίτονο της γωνίας $\theta$ τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου, τたうοおみくろん πηλίκο της προσκείμενης κάθετης πλευράς διά τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα. Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん ${\displaystyle {\text{$σしぐまυうぷしろんνにゅー}}~\theta } , σしぐまτたうαあるふぁ ελληνικά ή $\cos \theta$ διεθνώς:

$\cos \theta ={\frac {\text{προσκείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}$.

Τたうοおみくろん συνημίτονο, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί νにゅーαあるふぁ πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη τたうοおみくろんυうぷしろん μηδενός κかっぱαあるふぁιいおた μικρότερη τたうοおみくろんυうぷしろん ενός. Ηいーた προσκείμενη πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα τたうοおみくろん κλάσμα πάντα μικρότερο τたうοおみくろんυうぷしろん ενός. Τたうοおみくろん όνομά τたうοおみくろんυうぷしろん οφείλεται σしぐまτたうοおみくろん όνομα τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου, συνημίτονο είναι οおみくろん τριγωνομετρικός αριθμός πぱいοおみくろんυうぷしろん συνοδεύει τたうοおみくろん ημίτονο. Γενικά κάθε τριγωνομετρικός αριθμός συνοδεύεται από κάποιον άλλον, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん όνομά τたうοおみくろんυうぷしろん προκύπτει από τたうηいーたνにゅー προσθήκη τたうοおみくろんυうぷしろん προθέματος σしぐまυうぷしろんνにゅー πぱいρろーιいおたνにゅー από τたうοおみくろん όνομά τたうοおみくろんυうぷしろん.

Συνεφαπτομένη

Σしぐまεいぷしろん ένα ορθογώνιο τρίγωνο ορίζεται ως συνεφαπτομένη της γωνίας $\theta$ τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου τたうοおみくろん πηλίκο της προσκείμενης πλευράς δでるたιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー απέναντι πλευρά. Συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん ${\displaystyle {\text{$σしぐまφふぁい}}~\theta } , σしぐまτたうαあるふぁ ελληνικά ή $\cot \theta$ διεθνώς. Ηいーた συνεφαπτομένη, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί νにゅーαあるふぁ πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη τたうοおみくろんυうぷしろん μηδενός.

Επιπλέον ορίζονται κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた εξής τριγωνομετρικοί αριθμοί:

• Τέμνουσα ($\sec$): Τたうοおみくろん κλάσμα $1/\cos \theta$.
• Συντέμνουσα ($\csc$): Τたうοおみくろん κλάσμα $1/\sin \theta$.

Παρατηρούμε ότι δεδομένου τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた συνημίτονο. Αあるふぁνにゅー ορίσουμε έναν άλλο τριγωνομετρικό αριθμό μみゅーεいぷしろん μία σχέση πぱいοおみくろんυうぷしろん περιλαμβάνει ημίτονα κかっぱαあるふぁιいおた συνημίτονα, οおみくろん αντίστοιχος σしぐまυうぷしろんνにゅー- τριγωνομετρικός αριθμός προκύπτει, αあるふぁνにゅー σしぐまτたうηいーた σχέση αντιμεταθέσουμε τたうαあるふぁ ημίτονα κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ συνημίτονα.

Από τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα σしぐまτたうοおみくろん ορθογώνιο τρίγωνο προκύπτει ηいーた βασική τριγωνομετρική ταυτότητα ότι

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$.

Γενίκευση τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους πραγματικούς αριθμούς)

Τριγωνομετρικός κύκλος

Οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν νにゅーαあるふぁ γενικευθούν μέσω τたうοおみくろんυうぷしろん καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων κかっぱαあるふぁιいおた πάνω σしぐまεいぷしろん αυτό μοναδιαίος κύκλος μみゅーεいぷしろん κέντρο τたうηいーたνにゅー αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων. Θεωρούμε τたうηいーた γωνία $\theta$ ως τたうηいーた γωνία τたうοおみくろんυうぷしろん θετικού ημιάξονα $x'x$ κかっぱαあるふぁιいおた της θέσης πぱいοおみくろんυうぷしろん θしーたαあるふぁ λάβει οおみくろん θετικός ημιάξονας $x'x$, αあるふぁνにゅー περιστραφεί κατά τたうηいーた θετική φορά, γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ διαγράψει γωνία $\theta$. Ως θετική φορά θεωρείται ηいーた φορά κατά τたうηいーたνにゅー οποία ηいーた μεταβλητή πλευρά αρχίζει τたうηいーたνにゅー πορεία της σしぐまτたうοおみくろん πρώτο τεταρτημόριο, δηλαδή κατά τたうηいーたνにゅー αντίθετη φορά τたうωおめがνにゅー δεικτών τたうοおみくろんυうぷしろん ρολογιού. Τότε ηいーた μεταβλητή πλευρά της γωνίας τέμνει τたうοおみくろん μοναδιαίο κύκλο σしぐまεいぷしろん ένα σημείο. Έστω οおみくろんιいおた συντεταγμένες τたうοおみくろんυうぷしろん $x$ κかっぱαあるふぁιいおた $y$. Τたうοおみくろん τόξο πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχεί σしぐまτたうηいーた γωνία προφανώς είναι τたうοおみくろんυうぷしろん ίδιου μεγέθους μみゅーεいぷしろん τたうηいーた γωνία. Επειδή οおみくろん κύκλος είναι μοναδιαίος, δηλαδή έχει ακτίνα ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μονάδα, τたうοおみくろん μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん τόξου ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μέτρο της γωνίας (σしぐまεいぷしろん ακτίνια).

Τότε μπορούμε νにゅーαあるふぁ ορίσουμε εいぷしろんκかっぱ νέου τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, ώστε σしぐまαあるふぁνにゅー πεδίο ορισμού νにゅーαあるふぁ δέχονται οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, δηλαδή ηいーた γωνία $\theta$ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ανάγκη πλέον νにゅーαあるふぁ είναι οξεία, μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι οποιαδήποτε. Αあるふぁνにゅー ηいーた γωνία $\theta$ είναι μεγαλύτερη από μία πλήρη γωνία, τότε ηいーた μεταβλητή πλευρά εκτελεί μみゅーιいおたαあるふぁ πλήρη περιστροφή κかっぱαあるふぁιいおた συνεχίζει. Αあるふぁνにゅー ηいーた γωνία $\theta$ είναι αρνητική, τότε ηいーた περιστροφή θεωρείται κατά τたうηいーたνにゅー αρνητική φορά. Μみゅーεいぷしろん αυτήν τたうηいーた γενίκευση οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητή οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό κかっぱαあるふぁιいおた όχι υποχρεωτικά γωνία. Γがんまιいおた' αυτό ηいーた ανεξάρτητη μεταβλητή τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων ονομάζεται φάση.

Ορισμός τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ορίζουμε ως ημίτονο τたうηいーたνにゅー τεταγμένη $y$ τたうοおみくろんυうぷしろん σημείου κかっぱαあるふぁιいおた ως συνημίτονο τたうηいーたνにゅー τετμημένη $x$. Έτσι, οおみくろんιいおた συναρτήσεις αυτές πλέον μπορούν νにゅーαあるふぁ λάβουν οποιαδήποτε τιμή μεταξύ τたうοおみくろんυうぷしろん ένα κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん πぱいλらむだηいーたνにゅー ένα.

Γがんまιいおたαあるふぁ τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς χρησιμοποιούμε τたうηいーた σχέση τους μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συνημίτονο. Έτσι:

• $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$
• $\cot \theta =\cos \theta /\sin \theta$
• $\sec \theta =1/\cos \theta$
• $\csc \theta =1/\sin \theta$

Γεωμετρική ερμηνεία τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών αριθμών

Γεωμετρικά σしぐまτたうοおみくろん καρτεσιανό επίπεδο αυτοί οおみくろんιいおた αριθμοί αντιστοιχούν σしぐまεいぷしろん ευθύγραμμα τμήματα, ενώ ηいーた τιμή τους είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μήκος τους (κατά απόλυτη τιμή). Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα:

• Τたうοおみくろん ημίτονο ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー απόσταση σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα $y'y$.
• Τたうοおみくろん συνημίτονο ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー απόσταση σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα $x'x$.
• Ηいーた εφαπτομένη ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τεταγμένη της τομής της μεταβλητής πλευράς μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうωおめがνにゅー εφαπτόμενων. Οおみくろん άξονας αυτός προκύπτει από τたうηいーた μετατόπιση τたうοおみくろんυうぷしろん άξονα $y'y$ κατά μία μονάδα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα $x'x$. Εφάπτεται σしぐまτたうοおみくろん μοναδιαίο κύκλο σしぐまτたうοおみくろん σημείο $(1,0)$.
• Ηいーた συνεφαπτομένη ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τετμημένη της τομής της μεταβλητής πλευράς μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうωおめがνにゅー συνεφαπτόμενων. Οおみくろん άξονας αυτός προκύπτει από τたうηいーた μετατόπιση τたうοおみくろんυうぷしろん άξονα $x'x$ κατά μία μονάδα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα $y'y$. Εφάπτεται σしぐまτたうοおみくろん μοναδιαίο κύκλο σしぐまτたうοおみくろん σημείο $(0,1)$.

Θεωρούμε τたうηいーたνにゅー εφαπτομένη ευθεία σしぐまτたうοおみくろん μοναδιαίο κύκλο σしぐまτたうοおみくろん σημείο τομής τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μεταβλητή πλευρά. Τότε αυτή έχει σημείο τομής μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー άξονα $x'x$ (άξονας τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων) κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー άξονα $y'y$ (άξονας τたうωおめがνにゅー ημιτόνων).

• Ηいーた τέμνουσα ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τετμημένη τたうοおみくろんυうぷしろん σημείου τομής μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων.
• Ηいーた συντέμνουσα ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τεταγμένη τたうοおみくろんυうぷしろん σημείου τομής μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー άξονα τたうωおめがνにゅー ημιτόνων.

Θεωρήσουμε τたうοおみくろん ορθογώνιο τρίγωνο, πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει από τたうηいーた γωνία $\theta$, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん κάθετο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα $x'x$ ευθύγραμμο τμήμα από τたうοおみくろん σημείο τομής της μεταβλητής πλευράς μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αあるふぁνにゅー ηいーた γωνία $\theta$ είναι οξεία, μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμούς τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου σしぐまτたうοおみくろん ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι $\sin \theta ={\tfrac {y}{1-y}}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\cos \theta ={\tfrac {x}{1-x}}$. Έτσι, αποδείχθηκε ότι οおみくろんιいおた τριγωνομετρικοί αριθμοί πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίστηκαν μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろんνにゅー τριγωνομετρικό κύκλο είναι γενίκευση τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίστηκαν μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん ορθογώνιο τρίγωνο.

Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες

Συνάρτηση	Συμβολισμός	Ταυτότητες
Ημίτονο	sin	$\sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}\,$
Συνημίτονο	cos	$\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,$
Εφαπτομένη	tan (ή tg)	$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}\,$
Συνεφαπτομένη	cot (ή ctg ή ctn)	$\cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}\,$
Συντέμνουσα	csc (or cosec)	$\csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}\,$
Τέμνουσα	sec	$\sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}\,$

Άλλες σημαντικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Ηいーた βασική ταυτότητα της τριγωνομετρίας είναι ηいーた εξής: $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$.

Από αυτήν προκύπτουν κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた ακόλουθες σχέσεις:

$1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta$,

$1-\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta$,

${1 \over 1+\tan ^{2}\theta }=\cos ^{2}\theta$,

${\tan ^{2}\theta \over 1+\tan ^{2}\theta }=\sin ^{2}\theta$.

Μελέτη τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οおみくろんιいおた τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής. Ηいーた φάση είναι πραγματικός αριθμός, αντιστοιχίζεται πρώτα σしぐまτたうηいーたνにゅー αντίστοιχη γωνία μみゅーεいぷしろん μέτρο τたうηいーたνにゅー ανεξάρτητη μεταβλητή σしぐまεいぷしろん ακτίνια κかっぱαあるふぁιいおた έπειτα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, $\sin 5=\sin(5\mathrm {rad} )$. Από τたうηいーた μελέτη τους ως συναρτήσεις προκύπτουν τたうαあるふぁ παρακάτω:

Ημίτονο

Ηいーた δημιουργία της γραφικής παράστασης τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου. Χρησιμοποιείται οおみくろん ακόμη πぱいιいおたοおみくろん γενικευμένος ορισμός μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μιγαδικό εψιλοτικό μετασχηματισμό.

Ηいーた γραφική παράσταση τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου.

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης ημίτονο είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο $[-1,1]$, ενώ ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, μみゅーεいぷしろん περίοδο $T=2\pi$. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\sin x)'=\cos x$. Σしぐまεいぷしろん διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τたうοおみくろん διάστημα $[0,2\pi )$ ως αντιπροσωπευτικό) ηいーた συνάρτηση ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[0,\pi /2]$, γνησίως φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[\pi /2,\pi ]$, γνησίως φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[\pi ,3\pi /2]$, γνησίως αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[3\pi /2,2\pi )$. Παρουσιάζει μέγιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $1$ σしぐまτたうοおみくろん $\pi /2$, ελάχιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $-1$ σしぐまτたうοおみくろん $3\pi /2$ κかっぱαあるふぁιいおた δύο σημεία καμπής, ένα σしぐまτたうοおみくろん $0$ κかっぱαあるふぁιいおた ένα σしぐまτたうοおみくろん $\pi$.

Συνημίτονο

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνημίτονο είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο $[-1,1]$, ενώ ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, μみゅーεいぷしろん περίοδο $T=2\pi$. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\cos x)'=-\sin x$. Σしぐまεいぷしろん διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τたうοおみくろん διάστημα $[0,2\pi )$ ως αντιπροσωπευτικό) ηいーた συνάρτηση συνημίτονο είναι γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[0,\pi /2]$, γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[\pi /2,\pi ]$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[\pi ,3\pi /2]$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[3\pi /2,2\pi )$. Παρουσιάζει μέγιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $1$ σしぐまτたうοおみくろん $0$, ελάχιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $-1$ σしぐまτたうοおみくろん $\pi$ κかっぱαあるふぁιいおた δύο σημεία καμπής, ένα σしぐまτたうοおみくろん $\pi /2$ κかっぱαあるふぁιいおた ένα σしぐまτたうοおみくろん $3\pi /2$.

Εφαπτομένη

Ηいーた γραφική παράσταση της συνάρτησης της εφαπτομένης φαίνεται παρακάτω. (προσοχή ηいーた γωνία μετριέται σしぐまεいぷしろん μοίρες!)

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφαπτομένη είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών πぱいοおみくろんυうぷしろん μηδενίζουν τたうηいーた συνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή τたうωおめがνにゅー αριθμών της μορφής $x=\kappa \pi +\pi /2$, όπου $\kappa$ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο όλοι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί, ενώ ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, μみゅーεいぷしろん περίοδο $T=\pi$. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\tan x)'={\tfrac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$. Σしぐまεいぷしろん διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τたうοおみくろん διάστημα $(-\pi /2,\pi /2)$ ως αντιπροσωπευτικό) ηいーた συνάρτηση εφαπτομένη είναι γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $(-\pi /2,0]$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[0,\pi /2)$. Παρουσιάζει σημείο καμπής σしぐまτたうοおみくろん μηδέν κかっぱαあるふぁιいおた κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες $x=-\pi /2$, $x=\pi /2$.

Γεωμετρικά, όταν ηいーた φάση είναι μηδέν, ηいーた γωνία $\theta$ είναι μηδενική, τότε προφανώς κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた εφαπτομένη της \$\theta$ θしーたαあるふぁ είναι μηδενική, αφού ηいーた υποτείνουσα τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου θしーたαあるふぁ είναι παράλληλη σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα $x'x$, δηλαδή θしーたαあるふぁ έχει μηδενική κλίση κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた απέναντι κάθετη πλευρά θしーたαあるふぁ είναι κかっぱιいおた αυτή μηδενική, δηλαδή $\Delta y=0$. Ηいーた εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ απειρίζεται όταν $\theta =90^{o}$, αφού σしぐま'αυτήν τたうηいーたνにゅー περίπτωση, ηいーた απόσταση $\Delta y$ είναι άπειρη κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた κλίση της υποτείνουσας είναι κάθετη προς τたうοおみくろんνにゅー άξονα $x'x$.

Συνεφαπτομένη

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνεφαπτομένη είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών πぱいοおみくろんυうぷしろん μηδενίζουν τたうηいーた συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή τたうωおめがνにゅー αριθμών της μορφής $x=\kappa \pi$, όπου $\kappa$ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο όλοι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί, ενώ ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, μみゅーεいぷしろん περίοδο $T=\pi$. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\cot x)'=-{\tfrac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x$. Σしぐまεいぷしろん διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τたうοおみくろん διάστημα $(0,\pi )$ ως αντιπροσωπευτικό) ηいーた συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $(0,\pi /2]$, γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[\pi /2,\pi )$. Παρουσιάζει σημείο καμπής σしぐまτたうοおみくろん $\pi /2$ κかっぱαあるふぁιいおた κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες $x=0$, $x=\pi$.

Τέμνουσα

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης τέμνουσα είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών πぱいοおみくろんυうぷしろん μηδενίζουν τたうηいーた συνάρτηση συνημίτονο, δηλαδή τたうωおめがνにゅー αριθμών της μορφής $x=\kappa \pi +pi/2$, όπου $\kappa$ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου τたうοおみくろんυうぷしろん τμήματος $(-1,1)$, ενώ ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένα προς ένα καθότι περιοδική, μみゅーεいぷしろん περίοδο $T=2\pi$. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\sec x)'={\tfrac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\tfrac {\tan x}{\cos x}}$. Σしぐまεいぷしろん διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τたうοおみくろん διάστημα $(-\pi /2,\pi /2)U(\pi /2,3\pi /2)$ ως αντιπροσωπευτικό) ηいーた συνάρτηση τέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $(-\pi /2,0]$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[0,\pi /2)$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $(\pi /2,\pi ]$, γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[\pi ,3\pi /2)$. Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο μみゅーεいぷしろん τιμή $1$ σしぐまτたうοおみくろん $0$, τοπικό μέγιστο μみゅーεいぷしろん τιμή $-1$ σしぐまτたうοおみくろん $\pi$ κかっぱαあるふぁιいおた κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες $y=\pi /2$, $y=3\pi /2$.

Συντέμνουσα

Γραφική παράσταση της συντέμνουσας

Πεδίο ορισμού της συνάρτησης συντέμνουσα είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί, εξαιρουμένων αυτών πぱいοおみくろんυうぷしろん μηδενίζουν τたうηいーた συνάρτηση ημίτονο, δηλαδή τたうωおめがνにゅー αριθμών της μορφής $x=\kappa \pi$, όπου $\kappa$ ακέραιος αριθμός. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών εξαιρουμένου τたうοおみくろんυうぷしろん τμήματος $(-1,1)$, ενώ ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, μみゅーεいぷしろん περίοδο $T=2\pi$. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\csc x)'=-{\tfrac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\tfrac {\cot x}{\sin x}}$. Σしぐまεいぷしろん διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τたうοおみくろん διάστημα $(0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )$ ως αντιπροσωπευτικό) ηいーた συνάρτηση συντέμνουσα είναι γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $(0,\pi /2]$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[\pi /2,\pi )$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $(\pi ,3\pi /2]$, γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[3\pi /2,2\pi )$. Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο μみゅーεいぷしろん τιμή $1$ σしぐまτたうοおみくろん $\pi /2$, τοπικό μέγιστο μみゅーεいぷしろん τιμή $-1$ σしぐまτたうοおみくろん $3\pi /2$ κかっぱαあるふぁιいおた κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες $y=0$, $y=\pi$.

Αρμονική συνάρτηση

Οおみくろんιいおた συναρτήσεις ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた συνημίτονο είναι οおみくろんιいおた ίδιες συναρτήσεις, ηいーた μία είναι αποτέλεσμα της μετατόπισης της άλλης.

Παρατηρήθηκε ότι ισχύει $\cos x=\sin(x+\pi /2)$. Επιπλέον, σしぐまτたうηいーた μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων, όπως ηいーた απλή αρμονική ταλάντωση εμφανίζονται συναρτήσεις της μορφής $\sin(x+\alpha )$, όπου $\alpha$ μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι οποιαδήποτε γωνία (σしぐまεいぷしろん ακτίνια). Έτσι, μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί μみゅーιいおたαあるふぁ τριγωνομετρική συνάρτηση, ηいーた αρμονική συνάρτηση, ηいーた οποία είναι της παραμετρικής μορφής $\sin(x+\alpha )$. Ουσιαστικά ηいーた αρμονική συνάρτηση είναι ηいーた συνάρτηση ημίτονο μετατοπισμένη σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα $x'x$ κατά $-\alpha$ μονάδες.

Πεδίο ορισμού της αρμονικής συνάρτησης είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο $[-1,1]$, ενώ ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ένα προς ένα, ως περιοδική, μみゅーεいぷしろん περίοδο $T=2\pi$. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\sin(x+\alpha ))'=\sin(x+\alpha +\pi /2)$, δηλαδή ηいーた παράγωγός της αρμονικής συνάρτησης είναι αρμονική συνάρτηση. Σしぐまεいぷしろん διάστημα μιας περιόδου (θεωρείται τたうοおみくろん διάστημα $[-\alpha ,2\pi -\alpha )$ ως αντιπροσωπευτικό) ηいーた συνάρτηση ημίτονο είναι γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[-\alpha ,\pi /2-\alpha ]$, γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[\pi /2-\alpha ,\pi -\alpha ]$, γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[\pi -\alpha ,3\pi /2-\alpha ]$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[3\pi /2-\alpha ,2\pi -\alpha )$. Παρουσιάζει μέγιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $1$ σしぐまτたうοおみくろん $\pi /2-\alpha$, ελάχιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $-1$ σしぐまτたうοおみくろん $3\pi /2-\alpha$ κかっぱαあるふぁιいおた δύο σημεία καμπής, ένα σしぐまτたうοおみくろん $-\alpha$ κかっぱαあるふぁιいおた ένα σしぐまτたうοおみくろん $\pi -\alpha$.

Ηいーた αρμονική συνάρτηση έχει άπειρα σημεία συμμετρίας, όλες τις ρίζες της. Επιπλέον έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας, όλες τις κατακόρυφες ευθείες πぱいοおみくろんυうぷしろん διέρχονται από τたうαあるふぁ μέγιστα κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ ελάχιστά της.

Μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της αρμονικής συνάρτησης προκύπτει ότι οおみくろんιいおた συναρτήσεις $\sin x$, $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$, είναι περιπτώσεις της αρμονικής συνάρτησης. Επιπλέον, ηいーた αρμονική συνάρτηση μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί ως $\cos(x+\alpha )$. Ανεξάρτητα πぱいοおみくろんιいおたαあるふぁ τριγωνομετρική συνάρτηση θしーたαあるふぁ χρησιμοποιηθεί ως βάση γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー ορισμό της τたうοおみくろん νόημα είναι ότι οおみくろんιいおた συναρτήσεις ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた συνημίτονο, όπως κかっぱαあるふぁιいおた άλλες παρόμοιες συναρτήσεις, είναι παραμετρικές μορφές της ίδιας συνάρτησης.

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση ορίζεται αντίστοιχη αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση. Οおみくろんιいおた αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ορίζονται μみゅーεいぷしろん βάση τμήμα τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών, σしぐまτたうοおみくろん οποίο αυτές είναι ένα προς ένα. Προφανώς αυτό τたうοおみくろん τμήμα είναι τμήμα περιόδου. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた συνάρτηση ημίτονο είναι ένα προς ένα σしぐまτたうοおみくろん $[-\pi /2,\pi /2]$, κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん βάση αυτό ορίζεται ηいーた αντίστροφη της. Ονομάζονται κかっぱαあるふぁιいおた τόξο της τριγωνομετρικής συνάρτησης πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχούν, γιατί αντιστοιχούν τたうοおみくろん δοσμένο τριγωνομετρικό αριθμό σしぐまεいぷしろん αντίστοιχη γωνία, άρα κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろん μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστοιχου τόξου τたうοおみくろんυうぷしろん μοναδιαίου κύκλου. Ηいーた γωνία σしぐまτたうηいーたνにゅー οποία αντιστοιχούν οおみくろんιいおた αντίστροφες πάντα εντός μιας πλήρης περιστροφής. Συνήθως οおみくろんιいおた αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σしぐまεいぷしろん θετικές γωνίες, εκτός αあるふぁνにゅー προκύπτει ασυνεχής ηいーた αντίστροφη συνάρτηση, ή δでるたεいぷしろんνにゅー είναι δυνατό νにゅーαあるふぁ οριστεί πλήρως ηいーた αντίστροφη, οπότε αντιστοιχούν κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん αρνητικές γωνίες.

Αντίστροφη συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου

Γραφική παράσταση τたうοおみくろんυうぷしろん τόξου ημιτόνου

Θεωρούμε τたうηいーた συνάρτηση ημίτονο σしぐまτたうοおみくろん $[-\pi /2,\pi /2]$, όπου είναι ένα προς ένα. Ηいーた αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο ημιτόνου κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\arcsin x$.

Πεδίο ορισμού τたうοおみくろんυうぷしろん τόξου ημιτόνου είναι τたうοおみくろん $[-1,1]$. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο $[-\pi /2,\pi /2]$, ενώ ηいーた συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\arcsin(x))'={\tfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$. Ηいーた συνάρτηση τόξο ημιτόνου είναι γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[-1,0]$, γνήσια αύξουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[0,1]$. Παρουσιάζει μέγιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $\pi /2$ σしぐまτたうοおみくろん $1$, ελάχιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $-\pi /2$ σしぐまτたうοおみくろん $-1$ κかっぱαあるふぁιいおた σημείο καμπής σしぐまτたうοおみくろん $0$.

Αντίστροφη συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου

Θεωρούμε τたうηいーた συνάρτηση συνημίτονο σしぐまτたうοおみくろん $[0,\pi ]$, όπου είναι ένα προς ένα. Ηいーた αντίστροφη συνάρτηση ονομάζεται τόξο συνημιτόνου κかっぱαあるふぁιいおた συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\arccos x$.

Πεδίο ορισμού τたうοおみくろんυうぷしろん τόξου συνημιτόνου είναι τたうοおみくろん $[-1,1]$. Σύνολο τιμών είναι τたうοおみくろん σύνολο $[0,\pi ]$, ενώ ηいーた συνάρτηση είναι ένα προς ένα, ως αντίστροφη. Είναι παραγωγίσιμη μみゅーεいぷしろん $(\arccos(x))'=-{\tfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$. Ηいーた συνάρτηση τόξο συνημιτόνου είναι γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κυρτή σしぐまτたうοおみくろん $[-1,0]$, γνήσια φθίνουσα κかっぱαあるふぁιいおた κοίλη σしぐまτたうοおみくろん $[0,1]$. Παρουσιάζει μέγιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $\pi$ σしぐまτたうοおみくろん $-1$, ελάχιστο τたうηいーたνにゅー τιμή $0$ σしぐまτたうοおみくろん $1$ κかっぱαあるふぁιいおた σημείο καμπής σしぐまτたうοおみくろん $0$.

Υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ορισμός υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Ορίζονται μみゅーεいぷしろん βάση τたうηいーたνにゅー εκθετική συνάρτηση e^x. Ουσιαστικά είναι ηいーた περιττή κかっぱαあるふぁιいおた άρτια συνάρτηση τたうωおめがνにゅー οποίων τたうοおみくろん άθροισμα ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーた συνάρτηση e^x. Ορίζεται:

• Υπερβολικό ημίτονο

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

• Υπερβολικό συνημίτονο

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

• Υπερβολική εφαπτομένη

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!$

• Υπερβολική συνεφαπτομένη

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!$

• Υπερβολική τέμνουσα

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!$

• υπερβολική συντέμνουσα

$\operatorname {cosech} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

Σύγκριση υπερβολικών (τριγωνομετρικών) συναρτήσεων κかっぱαあるふぁιいおた (κυκλικών) τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σύγκριση κυκλικών κかっぱαあるふぁιいおた υπερβολικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Προσέξτε ότι ηいーた ανεξάρτητη μεταβλητή είναι τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん γραμμοσκιασμένου χωρίου.

Παρατηρούμε ότι οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν άμεση σχέση μみゅーεいぷしろん τις κωνικές τομές. Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα οおみくろんιいおた απλές ή κυκλικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σしぐまεいぷしろん κύκλο (κかっぱαあるふぁιいおた κかっぱαあるふぁτたう' επέκταση σしぐまεいぷしろん έλλειψη), ενώ οおみくろんιいおた υπερβολικές συναρτήσεις σしぐまτたうηいーたνにゅー ισοσκελή υπερβολή (κかっぱαあるふぁιいおた κかっぱαあるふぁτたう' επέκταση στις υπερβολές). Αυτό γίνεται αντιληπτό από τις βασικές σχέσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέουν τたうαあるふぁ ημίτονα κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ συνημίτονα:

• cos²x+sin²x=1 Συνδέουν τたうαあるふぁ ημίτονα κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ συνημίτονα στις απλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τたうοおみくろん σημείο (cos²x,sin²x) ανήκει σしぐまεいぷしろん κύκλο ακτίνας 1. Είναι οおみくろん μοναδιαίος κύκλος.
• cosh²x-sinh²x=1 Συνδέουν τたうαあるふぁ ημίτονα κかっぱαあるふぁιいおた συνημίτονα στις υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τたうοおみくろん σημείο (cosh²x,sinh²x) ανήκει σしぐまτたうοおみくろん δεξιό κλάδο ισοσκελούς υπερβολής.

Σしぐまτたうοおみくろん καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ένα μοναδιαίο κύκλο κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーιいおたαあるふぁ ισοσκελής υπερβολή μみゅーεいぷしろん εξισώσεις x²+y²=1 και x²-y²=1 αντίστοιχα. Θεωρούμε κかっぱαあるふぁιいおた έναν μεταβλητό ημιάξονα Οおみくろんz. Έστω τたうοおみくろん εμβαδόν πぱいοおみくろんυうぷしろん περικλείεται από τたうοおみくろんνにゅー ημιάξονα, τたうοおみくろんνにゅー άξονα x'x κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん μοναδιαίο κύκλο Εいぷしろん_c, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σημείο τομής τたうοおみくろんυうぷしろん ημιάξονα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー κύκλο Μみゅー_c. Έστω, επίσης, τたうοおみくろん εμβαδόν πぱいοおみくろんυうぷしろん περικλείεται από τたうοおみくろんνにゅー ημιάξονα, τたうοおみくろんνにゅー άξονα x'x κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー υπερβολή E_h κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σημείο Μみゅー_h. Αποδεικνύεται ότι όταν τたうοおみくろん εμβαδόν Εいぷしろん είναι θしーた/2, τότε τたうοおみくろん σημείο Μみゅー έχει συντεταγμένες (συνημίτονο,ημίτονο). Δηλαδή ηいーた ανεξάρτητη μεταβλητή τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι τたうοおみくろん εμβαδόν (γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ακρίβεια είναι ολοκλήρωμα).

Όμως στις κυκλικες τριγωνομετρικές συναρτήσεις οおみくろんιいおた ορισμοί βασίζονται σしぐまτたうηいーた γωνία κかっぱαあるふぁιいおた όχι τたうοおみくろん εμβαδόν. Τたうοおみくろん φαινομενικό παράδοξο λύνεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο Εいぷしろん=θしーた/2, πぱいοおみくろんυうぷしろん δίνει τたうοおみくろん εμβαδόν κυκλικού τομέα συναρτήσει της γωνίας θしーた (μετρημένη σしぐまεいぷしろん ακτίνια.

Γενίκευση τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων (στους μιγαδικούς αριθμούς)

Ηいーた γενίκευση αυτή δでるたεいぷしろん μπορεί νにゅーαあるふぁ γίνει άμεσα, επειδή δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχουν (αντιληπτές) μιγαδικές γωνίες ή εμβαδά. Αρχικά, αποδείχθηκαν ποιες σειρές Taylor αντιστοιχούν σしぐまτたうοおみくろん ημίτονο, τたうοおみくろん συνημίτονο, τたうοおみくろん υπερβολικό ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん υπερβολικό συνημίτονο. Επαναθεωρώντας τους ορισμούς τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου, μπορούμε νにゅーαあるふぁ τたうαあるふぁ ορίσουμε ως σειρές Taylor, δηλαδή ως πολυώνυμα άπειρων όρων. Έτσι, μπορούμε νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιήσουμε ως ανεξάρτητη μεταβλητή οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό. Επίσης, αποδείχθηκαν μみゅーεいぷしろん βάση αυτές τις σειρές κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた εξής σχέσεις:

Ηいーた δημιουργία της γραφικής παράστασης τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου. Χρησιμοποιείται οおみくろん ακόμη πぱいιいおたοおみくろん γενικευμένος ορισμός μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μιγαδικό εψιλοτικό μετασχηματισμό.

• $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
• $e^{i\pi }+1=0$ (Ταυτότητα τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ)
• $\sin \theta ={\frac {1}{2i}}\cdot (e^{ix}-e^{-ix})$
• $\cos \theta ={\frac {1}{2}}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})$

Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση της πρώτης εξίσωσης, αあるふぁνにゅー θεωρήσουμε τたうηいーたνにゅー ανεξάρτητη μεταβλητή σしぐまτたうοおみくろんνにゅー πραγματικό άξονα κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー εξαρτημένη σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο, τότε ηいーた τρισδιάστατη γραφική παράσταση είναι έλικας.

Κατηγοριοποίηση τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων

• Κυκλικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις
  • Βασικές:
    • ημίτονο ($\sin \theta$)
    • συνημίτονο ($\cos \theta$) κかっぱαあるふぁιいおた
    • εφαπτομένη ($\tan \theta$)
  • Δευτερεύουσες:
    • συνεφαπτομένη ($\cot \theta$)
    • τέμνουσα ($\sec \theta$)
    • συντέμνουσα ($\csc \theta$)

• Αντίστροφες κυκλικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων
  • τόξο ημιτόνου ($\arcsin \theta$)
  • τόξο συνημιτόνου ($\arccos \theta$)
  • τόξο εφαπτομένης ($\arctan \theta$)
  • τόξο συνεφαπτομένης ($\operatorname {arccot} \theta$)
  • τόξο τέμνουσας ($\operatorname {arcsec} \theta$)
  • τόξο συντέμνουσας ($\operatorname {arccsc} \theta$)

• Υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις
  • υπερβολικό ημίτονο ($\sinh x$)
  • υπερβολικό συνημίτονο ($\cosh x$)
  • υπερβολική εφαπτομένη ($\tanh x$)
  • υπερβολική συνεφαπτομένη ($\coth x$)
  • υπερβολική τέμνουσα ($\operatorname {sech} x$)
  • υπερβολική συντέμνουσα ($\operatorname {csch} x$)

• Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις
  • αντίστροφη υπερβολικού ημιτόνου ($\sinh ^{-1}x$)
  • αντίστροφη υπερβολικού συνημιτόνου ($\cosh ^{-1}x$)
  • αντίστροφη υπερβολικής εφαπτομένης ($\tanh ^{-1}x$)
  • αντίστροφη υπερβολικής συνεφαπτομένης ($\coth ^{-1}x$)
  • αντίστροφη υπερβολικής τέμνουσας ($\operatorname {sech} ^{-1}x$)
  • αντίστροφη υπερβολικής συντέμνουσας ($\operatorname {csch} ^{-1}x$)

Χρησιμότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν οριστεί τουλάχιστον τρεις φορές, ενώ υπάρχουν τουλάχιστον είκοσι τέσσερις διαφορετικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (υπάρχουν κかっぱαあるふぁιいおた μερικές πぱいοおみくろんυうぷしろん συναντώνται σπάνια κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー αναφέρονται σしぐまτたうοおみくろん άρθρο). Οおみくろん λόγος της μεγάλης ανάπτυξης της μελέτης τους είναι ηいーた χρησιμότητά τους σしぐまτたうηいーた μηχανική, τたうηいーた φυσική κかっぱαあるふぁιいおた άλλες επιστήμες. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

• Συνδέουν τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー πλευρών τたうωおめがνにゅー τριγώνων μみゅーεいぷしろん τις γωνίες τους.
• Αυτές οおみくろんιいおた συναρτήσεις χρησιμοποιούνται σしぐまτたうηいーた μοντελοποίηση περιοδικών φαινομένων, όπως ηいーた ταλάντωση, τたうοおみくろん κύμα, τたうοおみくろん ηλεκτρικό ρεύμα, τις τηλεπικοινωνίες κかっぱαあるふぁιいおた άλλα.
• Εμφανίζονται πολλές φορές σしぐまτたうηいーた επίλυση τたうωおめがνにゅー διαφορικών εξισώσεων.
• Χρησιμοποιούνται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー απειροστικό λογισμό, συνήθως σしぐまτたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό ολοκληρωμάτων.
• Συνδέουν τたうοおみくろん ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん πολικό σύστημα συντεταγμένων.
• Μみゅーεいぷしろん βάση αυτές εκφράζονται οおみくろんιいおた παραμετρικές εξισώσεις τたうωおめがνにゅー κωνικών τομών.
• Συνδέουν τις εκθετικές εκφράσεις μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο.

Δείτε επίσης

• Ορθογώνιο τρίγωνο
• Τριγωνομετρία
• Υπερβολικές συναρτήσεις
• Ανάλυση Φουριέ