Πυθαγόρειο θεώρημα

Σしぐまτたうηいーたνにゅー Ευκλείδεια γεωμετρία, τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα (ή θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγόρα) είναι τたうοおみくろん θεώρημα πぱいοおみくろんυうぷしろん συσχετίζει τたうαあるふぁ τετράγωνα τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα, σしぐまεいぷしろん ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー $\mathrm {A}$ ορθή, ισχύει ότι

\gamma ^{2}+\beta ^{2}=\alpha ^{2}

,

όπου $\beta =\mathrm {A\Gamma }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\gamma =\mathrm {AB}$ τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー δύο κάθετων πλευρών κかっぱαあるふぁιいおた $\alpha =\mathrm {B\Gamma }$ τたうοおみくろん μήκος της υποτείνουσας.

O Ευκλείδης σしぐまτたうοおみくろん πρώτο βιβλίο τたうωおめがνにゅー Στοιχείων Γεωμετρίας τたうοおみくろんυうぷしろん (47ηいーた πρόταση) δίνει τたうηいーたνにゅー εξής διατύπωση^[1]:

«ἐνにゅー τたうοおみくろんῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τたうὸ ἀπぱいὸ τたうῆς τたうὴνにゅー ὀρろーθしーたὴνにゅー γωνίαν ὑποτεινούσης πぱいλらむだεいぷしろんυうぷしろんρろーᾶς τετράγωνον ἴσしぐまοおみくろんνにゅー ἐσしぐまτたうὶ τたうοおみくろんῖς ἀπぱいὸ τたうῶνにゅー τたうὴνにゅー ὀρろーθしーたὴνにゅー γωνίαν περιεχουσῶνにゅー πλευρῶνにゅー τετραγώνοις.».

Δηλαδή:

«τたうοおみくろん τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー τετραγώνων τたうωおめがνにゅー δύο καθέτων πλευρών».

Σしぐまτたうοおみくろん ίδιο βιβλίο, οおみくろん Ευκλείδης παραθέτει τたうηいーた σχετική απόδειξη πぱいοおみくろんυうぷしろん κατά παράδοση οφείλεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρα, οおみくろん οποίος κかっぱαあるふぁτたう' άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά τたうηいーたνにゅー ανακάλυψή τたうοおみくろんυうぷしろん αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γがんまιいおた' αυτό κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».

Αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん θεώρημα σήμερα φέρει τたうοおみくろん όνομα τたうοおみくろんυうぷしろん Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 πぱい.Χかい.- 495 πぱい.Χかい.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί κかっぱαあるふぁιいおた νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση). Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τたうοおみくろんνにゅー τρόπο λειτουργίας τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι τたうοおみくろん χρησιμοποίησαν σしぐまεいぷしろん μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από τたうηいーた Μεσοποταμία, τたうηいーたνにゅー Ινδία κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー Κίνα είναι επίσης γνωστοί γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん ότι είχαν ανακαλύψει τたうοおみくろん αποτέλεσμα τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος αποδεικνύοντας τたうοおみくろん επιπλέον, σしぐまεいぷしろん συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Τたうοおみくろん θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οおみくろんιいおた αποδείξεις είναι ευθείες κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο κかっぱαあるふぁιいおた αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πぱいρろーιいおたνにゅー. Τたうοおみくろん θεώρημα μπορεί νにゅーαあるふぁ γενικευτεί μみゅーεいぷしろん πολλούς τρόπους, σしぐまεいぷしろん χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σしぐまεいぷしろん μみゅーηいーた ευκλείδειους χώρους, σしぐまεいぷしろん μみゅーηいーた ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん νにゅー-διάστατα στερεά.

Ισχύει κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αあるふぁνにゅー ισχύει ηいーた παραπάνω σχέση μεταξύ τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός τριγώνου, τότε τたうοおみくろん τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Ιστορικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει μία διαφωνία γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん κατά πόσο τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα ανακαλύφθηκε μία φορά ή πολλές φορές σしぐまεいぷしろん διαφορετικά μέρη.

Ηいーた ιστορία τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγορείου θεωρήματος μπορεί νにゅーαあるふぁ διαιρεθεί σしぐまεいぷしろん τέσσερα μέρη: ανακάλυψη τたうωおめがνにゅー πυθαγόρειων τριάδων, ανακάλυψη της σχέσης μεταξύ τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, ανακάλυψη τたうωおめがνにゅー σχέσεων μεταξύ ομοίων τριγώνων κかっぱαあるふぁιいおた αποδείξεις τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος σしぐまτたうαあるふぁ πλαίσια κάποιου επαγωγικού συστήματος.

Οおみくろん Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) υπέθεσε ότι πυθαγόρειες τριάδες ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά από τους Βαβυλώνιους. Γραμμένος μεταξύ τたうοおみくろんυうぷしろん 200 και τたうοおみくろんυうぷしろん 1786 πぱい.Χかい., τたうηいーたνにゅー περίοδο τたうοおみくろんυうぷしろん Μέσου Βασιλείου της Αιγύπτου, οおみくろん αιγυπτιακός πάπυρος τたうοおみくろんυうぷしろん Βερολίνου 6619 συμπεριλαμβάνει ένα πρόβλημα τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου ηいーた λύση είναι ηいーた πυθαγόρεια τριάδα 6,8,10, σしぐまτたうοおみくろん οποίο όμως δでるたεいぷしろんνにゅー γίνεται αναφορά σしぐまεいぷしろん ορθογώνιο τρίγωνο. Οおみくろん πίνακας Plimpton 322, γραμμένος σしぐまτたうηいーた Μεσοποταμία μεταξύ τたうοおみくろんυうぷしろん 1790 και τたうοおみくろんυうぷしろん 1750 πぱい.Χかい. κατά τたうηいーた διάρκεια της βασιλείας τたうοおみくろんυうぷしろん Χαμουραμπί, περιέχει πολλές αναφορές σχετικές μみゅーεいぷしろん πυθαγόρειες τριάδες. Από αιγυπτιακά μεγαλιθικά μνημεία τたうωおめがνにゅー οποίων οおみくろんιいおた πλευρές είναι ακέραια πολλαπλάσια, φαίνεται ότι οおみくろんιいおた ιδιότητες τたうωおめがνにゅー ορθογωνίων τριγώνων κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた σχέσεις τたうωおめがνにゅー πλευρών τους, ήταν γνωστές από πολύ παλιά.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー Ινδία, τたうοおみくろん βιβλίο Baudhayana Sulba Sutra (οδηγίες γがんまιいおたαあるふぁ κατασκευή ναών), τたうοおみくろん οποίο χρονολογείται μεταξύ τたうοおみくろんυうぷしろん 8οおみくろんυうぷしろん κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん 2οおみくろんυうぷしろん αιώνα πぱい.Χかい., περιέχει μία λίστα από πυθαγόρειες τριάδες πぱいοおみくろんυうぷしろん ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά, μία διατύπωση τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγορείου θεωρήματος κかっぱαあるふぁιいおた μία γεωμετρική απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος γがんまιいおたαあるふぁ ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο (Τたうοおみくろん σχοινί πぱいοおみくろんυうぷしろん εκτείνεται κατά μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου, παράγει επιφάνεια ίδια μみゅーεいぷしろん αυτή της κάθετης κかっぱαあるふぁιいおた της οριζόντιας πλευράς). Τたうοおみくろん Apastamba Sulba Sutra (600 πぱい.Χかい.) περιέχει μία γενική αριθμητική απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος, χρησιμοποιώντας τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό ενός εμβαδού. Οおみくろん Van der Waerden πίστευε ότι σίγουρα βασιζόταν σしぐまεいぷしろん παλαιότερες παραδόσεις. Οおみくろん Boyer (1991) υποστηρίζει ότι στοιχεία πぱいοおみくろんυうぷしろん βρέθηκαν σしぐまτたうοおみくろん Sulba Sutra προέρχονται από λαούς της Μεσοποταμίας.

Μみゅーεいぷしろん περιεχόμενο γνωστό πολύ νωρίτερα αλλά διασωθέν σしぐまεいぷしろん κείμενα πぱいοおみくろんυうぷしろん χρονολογούνται τたうοおみくろんνにゅー 1οおみくろん αιώνα πぱい.Χかい., τたうοおみくろん κινέζικο κείμενο Zhou Bi Suan Jing δίνει μία αιτιολόγηση τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγορείου θεωρήματος γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー τριάδα 3,4,5- στην Ινδία είναι γνωστό κかっぱαあるふぁιいおた ως "θεώρημα Gougu". Κατά τたうηいーた διάρκεια της δυναστείας Χかいαあるふぁνにゅー (202 πぱい.Χかい.-220 μみゅー.Χかい.), οおみくろんιいおた πυθαγόρειες τριάδες εμφανίζονται σしぐまτたうοおみくろん "Εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης" μαζί μみゅーεいぷしろん μία αναφορά σしぐまεいぷしろん ορθογώνια τρίγωνα. Πολλοί πιστεύουν ότι τたうοおみくろん θεώρημα πρώτα ανακαλύφθηκε σしぐまτたうηいーたνにゅー Κίνα, όπου ονομάζεται κかっぱαあるふぁιいおた Θεώρημα Shang Gao, από τたうοおみくろん όνομα τたうοおみくろんυうぷしろん αστρονόμου κかっぱαあるふぁιいおた μαθηματικού δούκα τたうοおみくろんυうぷしろん Zhou, τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου τたうοおみくろん έργο συνιστά τたうοおみくろん μεγαλύτερο μέρος τたうοおみくろんυうぷしろん Zhou Bi Suan Jing.

Οおみくろん Πυθαγόρας χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ κατασκευάσει πυθαγόρειες τριάδες, σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん σχολιασμό τたうοおみくろんυうぷしろん Πρόκλου σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Ευκλείδη. Οおみくろん Πρόκλος όμως, έγραψε μεταξύ τたうοおみくろんυうぷしろん 410 και 485 μみゅー.Χかい. Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー Thomas L. Heath (1861–1940), δでるたεいぷしろんνにゅー επιβιώνει καμία συγκεκριμένη απόδοση τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρα σしぐまτたうηいーたνにゅー ελληνική λογοτεχνία τους 5 αιώνες αφότου εκείνος έζησε. Πぱいαあるふぁρろー'όλα αυτά, όταν συγγραφείς όπως οおみくろん Ευκλείδης κかっぱαあるふぁιいおた Κικέρων, τたうοおみくろん έκαναν μみゅーεいぷしろん τρόπο πぱいοおみくろんυうぷしろん υποδήλωνε ότι τたうοおみくろん γεγονός ήταν ευρέως γνωστό κかっぱαあるふぁιいおた αναμφισβήτητο. Είτε τたうοおみくろん ηいーた ανακάλυψη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος αποδίδεται προσωπικά σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρα είτε όχι, τたうοおみくろん σίγουρο είναι ότι σしぐまεいぷしろん κάθε περίπτωση, ηいーた ανακάλυψη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος χρονολογείται τたうηいーたνにゅー εποχή τたうωおめがνにゅー πυθαγόρειων μαθηματικών.

Γύρω σしぐまτたうοおみくろん 400 πぱい.Χかい., σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー Πρόκλο, οおみくろん Πλάτωνας έδωσε μία μέθοδο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εύρεση πυθαγόρειων τριάδων πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδυάζει άλγεβρα κかっぱαあるふぁιいおた γεωμετρία. Γύρω σしぐまτたうαあるふぁ 300 πぱい.Χかい., σしぐまτたうαあるふぁ Στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη παρουσιάζεται ηいーた πρώτη εκτενής αξιωματική απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος.

Πυθαγόρεια απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πぱいρろーιいおたνにゅー τたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρα, αλλά φαίνεται νにゅーαあるふぁ είναι αυτός οおみくろん πρώτος πぱいοおみくろんυうぷしろん κατάφερε νにゅーαあるふぁ τたうοおみくろん αποδείξει. Σしぐまεいぷしろん κάθε περίπτωση, ηいーた απόδειξη πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろんυうぷしろん αποδίδεται είναι πολύ απλή κかっぱαあるふぁιいおた ονομάζεται απόδειξη μみゅーεいぷしろん ανακατανομή.

Καθένα από τたうαあるふぁ δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα όμοια τρίγωνα κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた μόνη διαφορά τους είναι ότι τたうαあるふぁ τρίγωνα κατανέμονται διαφορετικά. Γがんまιいおたαあるふぁ αυτό τたうοおみくろん λόγο, ηいーた λευκή περιοχή τたうωおめがνにゅー δύο τετραγώνων πρέπει νにゅーαあるふぁ έχει ίσο εμβαδόν. Οおみくろん υπολογισμός τたうωおめがνにゅー εμβαδών τたうωおめがνにゅー λευκών περιοχών, οδηγεί σしぐまτたうοおみくろん πυθαγόρεια θεώρημα κかっぱαあるふぁιいおた αποδεικνύει τたうοおみくろん ζητούμενο.

Τたうοおみくろん γεγονός ότι αυτή ηいーた πολύ απλή απόδειξη αποδίδεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρα, συχνά αναφέρεται σしぐまεいぷしろん συγγράμματα τたうοおみくろんυうぷしろん μεταγενέστερου Έλληνα φιλόσοφου κかっぱαあるふぁιいおた μαθηματικού, Πρόκλου. Αρκετές ακόμα αποδείξεις τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος περιγράφοντα παρακάτω, αλλά αυτή είναι γνωστή σしぐまαあるふぁνにゅー πυθαγόρεια απόδειξη.

Άλλες μορφές τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως ειπώθηκε κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー εισαγωγή, αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん γがんま αντιπροσωπεύει τたうοおみくろん μήκος της υποτείνουσας κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ αあるふぁ, βべーた τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー δύο κάθετων πλευρών, τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί νにゅーαあるふぁ εκφραστεί μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μορφή της πυθαγόρειας εξίσωσης:

{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}={\gamma }^{2}

Αあるふぁνにゅー τたうαあるふぁ μήκη αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた βべーた είναι γνωστά, τότε τたうοおみくろん γがんま μπορεί νにゅーαあるふぁ υπολογιστεί ως εξής:

{\gamma }={\sqrt {{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}}

Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん μήκος της υποτείνουσας (γがんま) κかっぱαあるふぁιいおた της μίας κάθετης πλευράς (αあるふぁ ή βべーた) είναι γνωστά, τότε τたうοおみくろん μήκος της άλλης κάθετης πλευρά υπολογίζεται μみゅーεいぷしろん τις ακόλουθες εξισώσεις:

{\alpha }={\sqrt {{\gamma }^{2}-{\beta }^{2}}}

ή

{\beta }={\sqrt {{\gamma }^{2}-{\alpha }^{2}}}

Ηいーた πυθαγόρεια εξίσωση συσχετίζει τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου μみゅーεいぷしろん απλό τρόπο, έτσι ώστε αあるふぁνにゅー είναι γνωστά τたうαあるふぁ μήκη δύο πλευρών νにゅーαあるふぁ μπορεί νにゅーαあるふぁ υπολογισθεί τたうοおみくろん μήκος της τρίτης. Μία άλλη συνέπεια τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος είναι ότι σしぐまεいぷしろん οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, ηいーた υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά αλλά μικρότερη από τたうοおみくろん άθροισμα τους.

Μία γενίκευση τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος είναι οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων, πぱいοおみくろんυうぷしろん επιτρέπει τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό τたうοおみくろんυうぷしろん μήκους κάθε πλευράς σしぐまεいぷしろん οποιοδήποτε τρίγωνο, εάν είναι γνωστά τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー δύο άλλων πλευρών κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた γωνία πぱいοおみくろんυうぷしろん αυτές σχηματίζουν. Αあるふぁνにゅー ηいーた γωνία τたうωおめがνにゅー δύο αυτών πλευρών είναι ορθή, οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων ταυτίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα.

Άλλες αποδείξεις τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα ίσως έχει περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο (μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας νにゅーαあるふぁ είναι επίσης υποψήφιο γがんまιいおたαあるふぁ αυτή τたうηいーた διάκριση): τたうοおみくろん βιβλίο Ηいーた πυθαγόρεια πρόταση περιέχει 370 αποδείξεις.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん ομοιότητα τριγώνων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ηいーた απόδειξη βασίζεται σしぐまτたうοおみくろん γεγονός ότι οおみくろん λόγος δύο οποιονδήποτε αντιστοίχων πλευρών ομοίων τριγώνων, είναι σταθερός, ανεξάρτητα από τたうοおみくろん μέγεθος τたうωおめがνにゅー τριγώνων.

Έστω τたうοおみくろん ορθογώνιο τρίγωνο ΑあるふぁΒべーたΓがんま, μみゅーεいぷしろん ορθή γωνία τたうηいーた Γがんま όπως φαίνεται κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろん σχήμα. Φέρω τたうοおみくろん ύψος από τたうηいーた γωνία Γがんま κかっぱαあるふぁιいおた ονομάζω Ηいーた τたうοおみくろん σημείο τομής τたうοおみくろんυうぷしろん μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ΑあるふぁΒべーた. Τたうοおみくろん σημείο Ηいーた χωρίζει τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα σしぐまεいぷしろん δύο ευθύγραμμα τμήματα μみゅーεいぷしろん μήκη δでるた κかっぱαあるふぁιいおた εいぷしろん. Τたうοおみくろん καινούριο τρίγωνο ΑあるふぁΓがんまΗいーた είναι όμοιο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん τρίγωνο ΑあるふぁΒべーたΓがんま, αφού κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ δύο είναι ορθογώνια (λόγω τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού τたうοおみくろんυうぷしろん ύψους) κかっぱαあるふぁιいおた έχουν κοινή τたうηいーた γωνία Αあるふぁ, πράγμα πぱいοおみくろんυうぷしろん σημαίνει ότι ηいーた τρίτη γωνία είναι επίσης ίση σしぐまτたうαあるふぁ δύο τρίγωνα (σしぐまτたうοおみくろん σχήμα συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん θしーた). Ομοίως, τたうοおみくろん τρίγωνο ΓがんまΒべーたΗいーた είναι επίσης όμοιο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ΑあるふぁΒべーたΓがんま. Ηいーた ομοιότητα τたうωおめがνにゅー τριγώνων οδηγεί σしぐまτたうηいーたνにゅー ισότητα τたうωおめがνにゅー λόγων τたうωおめがνにゅー αντίστοιχων πλευρών

{\frac {\mathrm {B} \Gamma }{\mathrm {A} \mathrm {B} }}={\frac {\mathrm {B} \mathrm {H} }{\mathrm {B} \Gamma }}

κかっぱαあるふぁιいおた

{\frac {\mathrm {A} \Gamma }{\mathrm {A} \mathrm {B} }}={\frac {\mathrm {A} \mathrm {H} }{\mathrm {A} \Gamma }}

Τたうοおみくろん πρώτο κλάσμα ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん συνημίτονο της γωνίας θしーた κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん δεύτερο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ημίτονο.

Οおみくろんιいおた παραπάνω λόγοι μπορούν νにゅーαあるふぁ γραφτούν κかっぱαあるふぁιいおた ως εξής:

{\mathrm {B} \Gamma }^{2}={\mathrm {A} \mathrm {B} }\times {\mathrm {B} \mathrm {H} }

κかっぱαあるふぁιいおた

{\mathrm {A} \Gamma }^{2}={\mathrm {A} \mathrm {B} }\times {\mathrm {A} \mathrm {H} }

Προσθέτοντας τις δύο ισότητες, καταλήγουμε:

{\mathrm {B} \Gamma }^{2}+{\mathrm {A} \Gamma }^{2}={\mathrm {A} \mathrm {B} }\times {\mathrm {B} \mathrm {H} }+{\mathrm {A} \mathrm {B} }\times {\mathrm {A} \mathrm {H} }={\mathrm {A} \mathrm {B} }\times ({\mathrm {A} \mathrm {H} }+{\mathrm {B} \mathrm {H} })={\mathrm {A} \mathrm {B} }^{2}

Οおみくろん ρόλος αυτής της απόδειξης σしぐまτたうηいーたνにゅー ιστορία είναι ένα θέμα γがんまιいおたαあるふぁ πολλή σκέψη. Τたうοおみくろん ερώτημα πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει είναι γιατί οおみくろん Ευκλείδης δでるたεいぷしろんνにゅー χρησιμοποίησε αυτήν τたうηいーたνにゅー απόδειξη, αλλά εφηύρε άλλη. Μία υπόθεση είναι ότι ηいーた απόδειξη μみゅーεいぷしろん όμοια τρίγωνα συμπεριλαμβάνει μία θεωρία αναλογιών, ηいーた οποία δでるたεいぷしろんνにゅー εμφανίζεται παρά μόνο αργότερα σしぐまτたうαあるふぁ Στοιχεία κかっぱαあるふぁιいおた εκείνη τたうηいーたνにゅー εποχή χρειαζόταν πολύ περισσότερη ανάπτυξη.

Απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σしぐまεいぷしろん γενικές γραμμές ηいーた απόδειξη σしぐまτたうαあるふぁ Στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη αναπτύσσεται ως εξής: Τたうοおみくろん μεγάλο τετράγωνο χωρίζεται σしぐまεいぷしろん δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Κατασκευάζεται ένα τρίγωνο πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει τたうοおみくろん μισό εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん αριστερού ορθογωνίου. Σしぐまτたうηいーた συνέχεια κατασκευάζεται ένα άλλο τρίγωνο πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει τたうοおみくろん μισό εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου πάνω αριστερά. Τたうαあるふぁ δύο αυτά τρίγωνα συμπίπτουν, αποδεικνύοντας ότι τたうοおみくろん αριστερό τετράγωνο έχει ίσο εμβαδόν μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん αριστερό ορθογώνιο. Ομοίως τたうοおみくろん δεξί τετράγωνο έχει ίσο εμβαδόν μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん δεξί ορθογώνιο. Σχηματίζοντας τたうοおみくろん αρχικό τετράγωνο σしぐまτたうηいーたνにゅー υποτείνουσα, παρατηρείται ότι τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー εμβαδών τたうωおめがνにゅー δύο άλλων τετραγώνων. Ακολουθούν λεπτομέρειες.

Έστω A,B,C οおみくろんιいおた κορυφές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μみゅーεいぷしろん ορθή τたうηいーた γωνία Αあるふぁ. Φέρνω μία κάθετη ευθεία από τたうοおみくろん Αあるふぁ σしぐまτたうηいーたνにゅー πλευρά απέναντι από τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα,σしぐま τたうοおみくろん τετράγωνο της υποτείνουσας. Ηいーた ευθεία αυτή χωρίζει τたうοおみくろん τετράγωνο σしぐまεいぷしろん δύο ορθογώνια, πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろん καθένα έχει ίσο εμβαδόν μみゅーεいぷしろん ένα από τたうαあるふぁ τετράγωνα τたうωおめがνにゅー δύο άλλων πλευρών.

Γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー επίσημη απόδειξη, απαιτούνται τέσσερα βασικά λήμματα:

Αあるふぁνにゅー δύο τρίγωνα έχουν από δύο πλευρές τους ίσες μみゅーιいおたαあるふぁ προς μία κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー περιεχόμενη γωνία ίση, ταυτίζονται (πλευρά-γωνία-πλευρά)
Τたうοおみくろん εμβαδόν ενός τριγώνου είναι τたうοおみくろん μισό από τたうοおみくろん εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ίδια βάση κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん ίδιο ύψος
Τたうοおみくろん εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών τたうοおみくろんυうぷしろん.
Τたうοおみくろん εμβαδόν ενός τετραγώνου ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん γινόμενο δύο πλευρών τたうοおみくろんυうぷしろん.

Σしぐまτたうηいーた συνέχεια, κάθε ένα από τたうαあるふぁ τετράγωνα τたうωおめがνにゅー κάθετων πλευρών σχετίζεται μみゅーεいぷしろん ένα τρίγωνο τたうοおみくろん οποίο ταυτίζεται μみゅーεいぷしろん ένα σχετιζόμενο μみゅーεいぷしろん ένα από τたうαあるふぁ δύο ορθογώνια τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου της υποτείνουσας τρίγωνο

Ηいーた απόδειξη έχει ως εξής:

Έστω ΑあるふぁΒべーたC ένα ορθογώνιο τρίγωνο μみゅーεいぷしろん ορθή τたうηいーた γωνία CΑあるふぁΒべーた.
Σしぐまεいぷしろん καθεμία από τις πλευρές ΒべーたC, ΑあるふぁΒべーた κかっぱαあるふぁιいおた CΑあるふぁ σχεδιάζονται τたうαあるふぁ τετράγωνα CBDE, BAGF κかっぱαあるふぁιいおた ACIH αντίστοιχα. Ηいーた κατασκευή τたうωおめがνにゅー τετραγώνων βασίζεται σしぐまτたうοおみくろん αξίωμα της παραλληλίας.
Από τたうοおみくろん Αあるふぁ, φέρω παράλληλη στις BD κかっぱαあるふぁιいおた CE. Αυτή θしーたαあるふぁ τμήσει κάθετα τις BC κかっぱαあるふぁιいおた DE σしぐまτたうαあるふぁ σημεία Κかっぱ κかっぱαあるふぁιいおた L αντίστοιχα.
Φέρω τις CF κかっぱαあるふぁιいおた AD γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ σχηματιστούν τたうαあるふぁ τρίγωνα BCF κかっぱαあるふぁιいおた BDA
Οおみくろんιいおた γωνίες CAB κかっぱαあるふぁιいおた BAG είναι κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた δύο ορθές. Έτσι τたうαあるふぁ σημεία C, A κかっぱαあるふぁιいおた G είναι συγγραμικά. Ομοίως τたうαあるふぁ B, A κかっぱαあるふぁιいおた Ηいーた.
Οおみくろんιいおた γωνίες CBD κかっぱαあるふぁιいおた FBA είναι κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた δύο ορθές. Επομένως ηいーた γωνία ABD ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーた γωνία FBC, αφού κかっぱαあるふぁιいおた oi δύο είναι ίσες μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん άθροισμα της ABC κかっぱαあるふぁιいおた μίας ορθής.
Αφού AB=BF κかっぱαあるふぁιいおた BD=BC τたうαあるふぁ τρίγωνα ABD κかっぱαあるふぁιいおた FBC ταυτίζονται.
Αφού ηいーた A-K-L είναι ευθεία παράλληλη σしぐまτたうηいーたνにゅー BD, τたうοおみくろん ορθογώνιο BDLK έχει διπλάσιο εμβαδόν από τたうοおみくろん τρίγωνο ABD αφού έχουν κοινή βάση τたうηいーたνにゅー BD κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん ίδιο ύψος BK
Αφού τたうοおみくろん C είναι συγγραμμικό μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ A κかっぱαあるふぁιいおた G, σしぐまτたうοおみくろん τετράγωνο BAGF πρέπει νにゅーαあるふぁ έχει διπλάσιο εμβαδόν από τたうοおみくろん τρίγωνο FBC.
Έτσι τたうοおみくろん ορθογώνιο BDLK πρέπει νにゅーαあるふぁ έχει τたうοおみくろん ίδιο εμβαδόν μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん τετράγωνο ABFG=AB²
Ομοίως τたうοおみくろん ορθογώνιο CKLE έχει τたうοおみくろん ίδιο εμβαδόν μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん τετράγωνο ACIH=AC²
Προσθέτοντας τたうαあるふぁ δύο αποτελέσματα, ${AB}^{2}+{AC}^{2}={BD}\times {BK}+{KL}\times {KC}$
Αφού BD=KL, ${BD}\times {BK}+{KL}\times {KC}={BD}(BK+KC)={BD}\times {BC}$
Έτσι ${AB}^{2}+{AC}^{2}={BC}^{2}$ , αφού CBDE τετράγωνο.

Ηいーた απόδειξη αυτή, πぱいοおみくろんυうぷしろん εμφανίζεται σしぐまτたうαあるふぁ Στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη, υποδεικνύει ότι τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου της υποτείνουσας ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー τετραγώνων τたうωおめがνにゅー δύο κάθετων πλευρών. Αυτό είναι ξεκάθαρο κかっぱαあるふぁιいおた από τたうηいーたνにゅー απόδειξη μみゅーεいぷしろん όμοια τρίγωνα πぱいοおみくろんυうぷしろん φημολογείται ότι χρησιμοποιούσε οおみくろん Πυθαγόρας.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん ανακατανομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έχει γίνει ήδη αναφορά σしぐまτたうηいーたνにゅー πυθαγόρεια απόδειξη, ηいーた οποία είναι απόδειξη μみゅーεいぷしろん ανακατανομή. Ηいーた ίδια ιδέα εκφράζεται από τたうηいーたνにゅー κινούμενη εικόνα, ηいーた οποία αποτελείται από ένα μεγάλο τετράγωνο, πλευράς a+b, πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει τέσσερα όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Τたうαあるふぁ τρίγωνα εμφανίζοντα σしぐまεいぷしろん δύο κατανομές, ηいーた πρώτη από τις οποίες αφήνει ακάλυπτη μία περιοχή πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από δύο τετράγωνα, πλευράς a κかっぱαあるふぁιいおた b κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた δεύτερη ένα τετράγωνο πλευράς c. Τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん εξωτερικού τετραγώνου δでるたεいぷしろんνにゅー αλλάζει, όπως κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん εμβαδόν τたうωおめがνにゅー τεσσάρων τριγώνων, επομένως προκύπτει ότι a² + b² = c².

Μία δεύτερη απόδειξη ανακατανομής δίνεται σしぐまτたうηいーたνにゅー δεύτερη κινούμενη εικόνα. Σχηματίζεται ένα μεγάλο τετράγωνο πλευράς c, από τέσσερα πανομοιότυπα ορθογώνια τρίγωνα πλευράς a,b κかっぱαあるふぁιいおた c, γύρω από ένα μικρό κεντρικό τετράγωνο. Σしぐまτたうηいーた συνέχεια σχηματίζονται δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα πλευράς a κかっぱαあるふぁιいおた b μみゅーεいぷしろん μετακίνηση τたうωおめがνにゅー τριγώνων. Οおみくろん συνδυασμός τたうοおみくろんυうぷしろん μικρού τετραγώνου μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ δύο παραλληλόγραμμα παράγει δύο τετράγωνα μみゅーεいぷしろん εμβαδά a² κかっぱαあるふぁιいおた b², τたうαあるふぁ οποία έχουν ίσο εμβαδόν μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん αρχικό μεγάλο τετράγωνο.

Ηいーた τρίτη κινούμενη απόδειξη δίνει ακόμα μία απόδειξη. Τたうαあるふぁ πάνω τετράγωνα χωρίζονται όπως φαίνεται σしぐまτたうηいーたνにゅー εικόνα μみゅーεいぷしろん μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん κかっぱαあるふぁιいおた πράσινη σκιαγράφηση, σしぐまεいぷしろん κομμάτια τたうαあるふぁ οποία αあるふぁνにゅー επανατοποθετηθούν μπορούν νにゅーαあるふぁ σχηματίσουν τたうοおみくろん τετράγωνο της υποτείνουσας- ή αντίστροφα τたうοおみくろん μεγάλο τετράγωνο μπορεί νにゅーαあるふぁ χωριστεί σしぐまεいぷしろん κομμάτια πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζουν τたうαあるふぁ δύο άλλα. Αυτό αποδεικνύει ότι τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん μεγάλου τετραγώνου ισούται μみゅーεいぷしろん αυτό τたうωおめがνにゅー άλλων δύο.

Αλγεβρικές αποδείξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τたうοおみくろん θεώρημα μπορεί νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί αλγεβρικά χρησιμοποιώντας τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα μみゅーεいぷしろん πλευρές a,b κかっぱαあるふぁιいおた c, τοποθετημένες μέσα σしぐまεいぷしろん ένα τετράγωνο πλευράς c όπως σしぐまτたうοおみくろん πάνω σχήμα. Τたうαあるふぁ τρίγωνα είναι ίδια μみゅーεいぷしろん εμβαδόν ${\frac {1}{2}}ab$ , ενώ τたうοおみくろん μικρό τετράγωνο έχει πλευρά b-a κかっぱαあるふぁιいおた εμβαδόν $({b-a})^{2}$ . Επομένως τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん μεγάλου τετραγώνου είναι:

({b-a})^{2}+4{\frac {ab}{2}}=({b-a})^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}

Αλλά είναι τετράγωνο πλευράς c κかっぱαあるふぁιいおた εμβαδού c², οπότε

c^{2}=a^{2}+b^{2}

Μία παρόμοια απόδειξη χρησιμοποιεί τέσσερα ίδια τρίγωνα τοποθετημένα συμμετρικά γύρω από ένα τετράγωνο πλευράς c. Έτσι δημιουργείται ένα μεγαλύτερο τετράγωνο μみゅーεいぷしろん πλευρά a+b κかっぱαあるふぁιいおた εμβαδόν (a + b)². Τたうαあるふぁ τέσσερα τρίγωνα κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん τετράγωνο πλευράς c πρέπει νにゅーαあるふぁ έχουν ίσο εμβαδόν μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μεγαλύτερο τετράγωνο,

({b+a})^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab

επομένως

c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.

Μία σχετική απόδειξη είχε εκδώσει οおみくろん μετέπειτα πρόεδρος τたうωおめがνにゅー ΗいーたΠぱいΑあるふぁ, James Abram Garfield. Αντί γがんまιいおたαあるふぁ τετράγωνο, χρησιμοποίησε ένα τραπέζιο, τたうοおみくろん οποίο μπορεί νにゅーαあるふぁ κατασκευαστεί από τたうοおみくろん τετράγωνο της δεύτερης από τις παραπάνω αποδείξεις, φέρνοντας μία διαγώνιο τたうοおみくろんυうぷしろん εσωτερικού τετραγώνου, ώστε νにゅーαあるふぁ κατασκευαστεί τたうοおみくろん τραπέζιο πぱいοおみくろんυうぷしろん φαίνεται σしぐまτたうοおみくろん σχήμα. Τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん τραπεζίου είναι τたうοおみくろん μισό από αυτό τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου κかっぱαあるふぁιいおた υπολογίζεται από τたうηいーた σχέση

{\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.

Ηいーた απόδειξη είναι όμοια μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー προηγούμενη, εκτός από τたうηいーたνにゅー εμφάνιση τたうοおみくろんυうぷしろん παράγοντα ${\frac {1}{2}}$ πぱいοおみくろんυうぷしろん απαλείφεται αあるふぁνにゅー πολλαπλασιάσω τたうαあるふぁ δύο μέλη μみゅーεいぷしろん 2.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん χρήση διαφορικών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ καταλήξει σしぐまτたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα μελετώντας πώς αλλαγές σしぐまεいぷしろん μία πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου επηρεάζουν τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα, κかっぱαあるふぁιいおた εμπλέκοντας τたうοおみくろん λογισμό.

Τたうοおみくろん τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο όπως φαίνεται σしぐまτたうοおみくろん σχήμα, μみゅーεいぷしろん υποτείνουσα τたうηいーたνにゅー BC. Ηいーた υποτείνουσα έχει μήκος y, ηいーた πλευρά AC έχει μήκος x κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた AB μήκος a.

Όσο αυξάνεται τたうοおみくろん x κατά μία μικρή ποσότητα dx, επεκτείνοντας ελαφρώς τたうηいーたνにゅー AC προς τたうοおみくろん D, αυξάνεται κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん y κατά μία ποσότητα dy. Σχηματίζονται έτσι δύο πλευρές ενός τριγώνου CDE (μみゅーεいぷしろん Εいぷしろん τέτοιο ώστε ηいーた CE νにゅーαあるふぁ είναι κάθετη σしぐまτたうηいーたνにゅー υποτείνουσα), τたうοおみくろん οποίο είναι ορθογώνια κかっぱαあるふぁιいおた προσεγγιστικά πανομοιότυπο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ABC. Επομένως οおみくろん λόγος τたうωおめがνにゅー πλευρών τους πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι σταθερός

{\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}

ή

y\cdot {dy}-x\cdot {dx}=0

Ηいーた λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης είναι:

y^{2}-x^{2}=C

Γがんまιいおたαあるふぁ x=0 y=a,

y^{2}=x^{2}+a^{2}

Ηいーた παραπάνω απόδειξη δでるたεいぷしろんνにゅー είναι επίσημη.

Αντίστροφο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ισχύει κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος:

Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε θετικούς αριθμούς αあるふぁ,βべーた κかっぱαあるふぁιいおた γがんま τέτοιους ώστε αあるふぁ²+βべーた²=γがんま², υπάρχει τρίγωνο μみゅーεいぷしろん πλευρές αあるふぁ,βべーた κかっぱαあるふぁιいおた γがんま, κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん κάθε τέτοια τρίγωνο ηいーた γωνία πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζουν οおみくろんιいおた πλευρές αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた βべーた είναι ορθή.
Τたうοおみくろん αντίστροφο εμφανίζεται κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη:
"Αあるふぁνにゅー σしぐまεいぷしろん ένα τρίγωνο τたうοおみくろん τετράγωνο της μίας πλευράς ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー τετραγώνων τたうωおめがνにゅー δύο άλλων πλευρών, τότε ηいーた γωνία πぱいοおみくろんυうぷしろん αυτές σχηματίζουν είναι ορθή"
Αποδεικνύεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん νόμο τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων ή ως εξής:
Έστω ΑあるふぁΒべーたΓがんま, τρίγωνο μみゅーεいぷしろん πλευρές αあるふぁ,βべーた,γがんま κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁ²+βべーた²=γがんま². Κατασκευάζω ένα δεύτερο τρίγωνο μみゅーεいぷしろん πλευρές μήκους αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた βべーた πぱいοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ σχηματίζουν ορθή γωνία. Τότε λόγω τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος, γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα αυτού τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ισχύει:
${\gamma }={\sqrt {{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}}$ , πぱいοおみくろんυうぷしろん ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα τたうοおみくろんυうぷしろん πρώτου τριγώνου. Αφού τたうαあるふぁ τρίγωνα έχουν ίσα μήκη πλευρών, τたうαあるふぁ τρίγωνα ταυτίζονται κかっぱαあるふぁιいおた πρέπει νにゅーαあるふぁ έχουν ίσες γωνίες. Επομένως, ηいーた γωνία μεταξύ τたうωおめがνにゅー πλευρών αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた βべーた σしぐまτたうοおみくろん αρχικό τρίγωνο είναι ορθή.
Ηいーた παραπάνω απόδειξη χρησιμοποιεί τたうοおみくろん ίδιο τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα. Τたうοおみくろん αντίστροφο μπορεί νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί κかっぱαあるふぁιいおた χωρίς χρήση τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος.
Τたうοおみくろん αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγορείου θεωρήματος έχει επίσης οδηγήσει σしぐまεいぷしろん έναν απλό τρόπο διαπίστωσης εάν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο. Έστω γがんま ηいーた μεγαλύτερη πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁ+βべーた>γがんま (τριγωνική ανισότητα)

Αあるふぁνにゅー αあるふぁ²+βべーた²=γがんま², τότε τたうοおみくろん τρίγωνο είναι ορθογώνιο
Αあるふぁνにゅー αあるふぁ²+βべーた²<γがんま², τότε τたうοおみくろん τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο
Αあるふぁνにゅー αあるふぁ²+βべーた²>γがんま², τότε τたうοおみくろん τρίγωνο είναι οξυγώνιο

Συνέπειες κかっぱαあるふぁιいおた χρήσεις τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγορείου θεωρήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πυθαγόρειες τριάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς αあるふぁ,βべーた,γがんま τέτοιους ώστε αあるふぁ²+βべーた²=γがんま² . Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια μία αντιπροσωπεύει τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν αυτά είναι ακέραιοι αριθμοί. Στοιχεία από μεγαλιθικά μνημεία της Βόρειας Ευρώπης δείχνουν ότι τέτοιες τριάδες ήταν γνωστές πολύ πぱいρろーιいおたνにゅー τたうηいーたνにゅー ανακάλυψη της γραφής.Τέτοιες τριάδες γράφονται συνήθως (αあるふぁ,βべーた,γがんま). Οおみくろんιいおた γνωστότερες είναι (3,4,5) κかっぱαあるふぁιいおた (5,12,13).

Μία αρχέγονη πυθαγόρεια τριάδα είναι αυτή γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー οποία οおみくろんιいおた αあるふぁ,βべーた,γがんま είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή οおみくろん μέγιστος κοινός διαιρέτης τたうωおめがνにゅー αあるふぁ,βべーた,γがんま είναι 1).

Παρακάτω είναι μία λίστα μみゅーεいぷしろん αρχέγονες πυθαγόρειες τριάδες μみゅーεいぷしろん αριθμούς μικρότερους τたうοおみくろんυうぷしろん 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16,63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Μみゅーηいーた μετρήσιμα μήκη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία από τις συνέπειες τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγορείου θεωρήματος είναι ότι ευθύγραμμα τμήματα τたうωおめがνにゅー οποίων τたうαあるふぁ μήκη είναι μみゅーηいーた μετρήσιμα (όπως οおみくろんιいおた ρίζες), μπορούν νにゅーαあるふぁ κατασκευαστούν μみゅーεいぷしろん χάρακα κかっぱαあるふぁιいおた διαβήτη. Τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγόρα επιτρέπει τたうηいーたνにゅー κατασκευή μみゅーηいーた μετρήσιμων μηκών εいぷしろんξくしー'αιτίας τたうοおみくろんυうぷしろん ότι συσχετίζονται τたうαあるふぁ τετράγωνα της υποτείνουσας κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー δύο κάθετων πλευρών.

Τたうοおみくろん σχέδιο δεξιά δείχνει πως κατασκευάζονται ευθύγραμμα τμήματα μみゅーεいぷしろん μήκη τετραγωνικές ρίζες οποιωνδήποτε θετικών ακεραίων. Κάθε τρίγωνο έχει μία πλευρά (συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん "1") πぱいοおみくろんυうぷしろん θεωρείται μοναδιαία γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた μέτρηση. Σしぐまεいぷしろん κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα συσχετίζει τたうοおみくろん μήκος της υποτείνουσας μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πλευρά πぱいοおみくろんυうぷしろん θεωρείται μοναδιαία, κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー οおみくろんιいおた πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου είναι ρίζες μみゅーηいーた τέλειων τετραγώνων, κατασκευάζονται έτσι μみゅーηいーた μετρήσιμα μήκη.

Τたうαあるふぁ μみゅーηいーた μετρήσιμα μήκη έρχεται σしぐまεいぷしろん αντιπαράθεση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー θεώρηση τたうωおめがνにゅー αριθμών από τたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρα πぱいοおみくろんυうぷしろん συμπεριλαμβάνει μόνο ακέραιους αριθμούς. Οおみくろん Πυθαγόρας, ασχολήθηκε μみゅーεいぷしろん αναλογίες συγκρίνοντας τたうαあるふぁ κλάσματα μみゅーεいぷしろん άλλα όπου οおみくろん αριθμητής ήταν ακέραιο πολλαπλάσιο τたうοおみくろんυうぷしろん κοινού παρονομαστή.

Μιγαδικοί αριθμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε μιγαδικό αριθμό

z=x+iy,\,

τたうοおみくろん μέτρο δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο

r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,

Οπότε οおみくろんιいおた τρεις ποσότητες, r, x κかっぱαあるふぁιいおた y συσχετίζονται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πυθαγόρεια εξίσωση,

r^{2}=x^{2}+y^{2}.\,

Τたうοおみくろん r ορίζεται ως ένα μみゅーηいーた αρνητικός αριθμός αλλά δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει περιορισμός γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ x κかっぱαあるふぁιいおた y. Γεωμετρικά τたうοおみくろん r είναι ηいーた απόσταση τたうοおみくろんυうぷしろん z από τたうηいーたνにゅー αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο.

Αυτό μπορεί νにゅーαあるふぁ γενικευτεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ βρεθεί ηいーた απόσταση δύο σημείων z₁ κかっぱαあるふぁιいおた z₂. Ηいーた απόσταση αυτή δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο

|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},\,

κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた σχέση αυτή παίρνει επίσης τたうηいーた μορφή της πυθαγόρειας εξίσωσης,

|z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.\,

Ευκλείδεια απόσταση σしぐまεいぷしろん διάφορα συστήματα συντεταγμένων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οおみくろん τύπος της απόστασης σしぐまτたうοおみくろん καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων βασίζεται σしぐまτたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα. Αあるふぁνにゅー (x₁, y₁) κかっぱαあるふぁιいおた (x₂, y₂) είναι σημεία τたうοおみくろんυうぷしろん επιπέδου, τότε ηいーた απόσταση μεταξύ τους, πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται κかっぱαあるふぁιいおた ευκλείδεια απόσταση, δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο:

{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.

Πぱいιいおたοおみくろん γενικά, σしぐまτたうοおみくろんυうぷしろん ευκλείδειους νにゅー-διάστατους χώρους, ηいーた απόσταση μεταξύ δύο σημείων $A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ and $B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ , ορί

Αあるふぁνにゅー αντί γがんまιいおたαあるふぁ καρτεσιανές χρησιμοποιούνται άλλες συντεταγμένες, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα πολικές, οおみくろんιいおた τύποι της απόστασης είναι πぱいιいおたοおみくろん πολύπλοκοι αλλά πάλι βασίζονται σしぐまτたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろんιいおた πολικές συντεταγμένες (r, θしーた) μπορούν σしぐまτたうοおみくろん καρτεσιανό επίπεδο νにゅーαあるふぁ γραφούν ως:

x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .\,

Τότε ηいーた απόσταση s μεταξύ δύο σημείων μみゅーεいぷしろん συντεταγμένες (r₁, θしーた₁) κかっぱαあるふぁιいおた (r₂, θしーた₂) είναι:

s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.\,

Έτσι ηいーた απόσταση σしぐまεいぷしろん πολικές συντεταγμένες δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο:

{\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta \end{aligned}}\ ,

Οおみくろん τύπος αυτός είναι οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων, πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται κかっぱαあるふぁιいおた γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα. Σしぐまεいぷしろん περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん ηいーた γωνία είναι ορθή, δηλαδή Δでるたθしーた = πぱい/2, επανερχόμαστε σしぐまτたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα: $s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.\,$ Επομένως, τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα πぱいοおみくろんυうぷしろん ισχύει μόνο γがんまιいおたαあるふぁ ορθές γωνίες, είναι μία υποπερίπτωση τたうοおみくろんυうぷしろん γενικότερου νόμου τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων πぱいοおみくろんυうぷしろん ισχύει γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε γωνία.

Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σしぐまεいぷしろん ένα ορθογώνιο τρίγωνο μみゅーεいぷしろん πλευρές a, b κかっぱαあるふぁιいおた υποτείνουσα c, ηいーた τριγωνομετρία ορίζει ότι τたうοおみくろん ημίτονο (sin) κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συνημίτονο (cos) της γωνίας θしーた μεταξύ της πλευράς a κかっぱαあるふぁιいおた της υποτείνουσας είναι:

\sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.

Έτσι:

{\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,

όπου εφαρμόζεται τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα. Ηいーた σχέση αυτή μεταξύ ημιτόνου κかっぱαあるふぁιいおた συνημιτόνου ονομάζεται θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα. Σしぐまτたうαあるふぁ όμοια τρίγωνα οおみくろん λόγος τたうωおめがνにゅー πλευρών δでるたεいぷしろんνにゅー εξαρτάται από τたうοおみくろん μέγεθος τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου αλλά από τις γωνίες. Σしぐまτたうοおみくろん σχήμα, sτたうοおみくろん τρίγωνο μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μοναδιαία υποτείνουσα, ηいーた γωνία θしーた έχει απέναντι πλευρά τたうηいーたνにゅー sin θしーた κかっぱαあるふぁιいおた προσκείμενη πλευρά τたうηいーたνにゅー cos θしーた

Σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん εξωτερικό γινόμενο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα συσχετίζει τたうοおみくろん εξωτερικό κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー τύπο:

\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}\,

Μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ εξωτερικό κかっぱαあるふぁιいおた εσωτερικό γινόμενο νにゅーαあるふぁ ορίζονται ως εξής:

{\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta }\end{aligned}}

μみゅーεいぷしろん n ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο σしぐまτたうαあるふぁ a κかっぱαあるふぁιいおた b. Ηいーた παραπάνω σχέση προκύπτει τους ορισμούς κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα.

Μみゅーεいぷしろん ανακατανομή της παραπάνω σχέσης, προκύπτει:

\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\,

Ηいーた σχέση αυτή μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως προϋπόθεση τたうοおみくろんυうぷしろん εξωτερικού γινομένου κかっぱαあるふぁιいおた άρα μέρος τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού τたうοおみくろんυうぷしろん.

Οおみくろんιいおた γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παρόμοια στοιχεία στις τρεις πλευρές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία γενίκευση τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγορείου θεωρήματος πぱいοおみくろんυうぷしろん επεκτείνεται πέρα από τους τομείς τたうωおめがνにゅー τετραγώνων στις τρεις πλευρές σしぐまεいぷしろん παρόμοια στοιχεία έγινε γνωστή από τたうοおみくろんνにゅー Ιπποκράτη της Χίου τたうοおみくろんνにゅー πέμπτο αιώνα πぱい.Χかい., κかっぱαあるふぁιいおた συγκαταλέχθηκε από τたうοおみくろんνにゅー Ευκλείδη σしぐまτたうαあるふぁ Στοιχεία :
Αあるふぁνにゅー κάποιος ορθώνει παρόμοια στοιχεία (βλέπε Ευκλείδεια γεωμετρία) μみゅーεいぷしろん αντίστοιχες πλευρές στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー εμβαδών τたうωおめがνにゅー δύο μικρότερων πλευρών ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん εμβαδόν της μεγαλύτερης πλευράς.
Ηいーた επέκταση αυτή προϋποθέτει ότι οおみくろんιいおた πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん αρχικού τριγώνου είναι οおみくろんιいおた αντίστοιχες πλευρές τたうωおめがνにゅー τριών συγκεκλιμένων στοιχείων (έτσι ώστε οおみくろんιいおた κοινές αναλογίες τたうωおめがνにゅー πλευρών μεταξύ τたうοおみくろんνにゅー όμοιων στοιχείων είναι a:b:c).Κかっぱαあるふぁιいおた ενώ ηいーた απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη εφαρμόζεται μόνο σしぐまεいぷしろん κυρτά πολύγωνα, τたうοおみくろん θεώρημα ισχύει κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ κοίλα πολύγωνα ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん παρόμοια στοιχεία πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν καμπύλα όρια (αλλά ακόμη μみゅーεいぷしろん μέρος τたうοおみくろんυうぷしろん ορίου ενός στοιχείου νにゅーαあるふぁ παραμένει πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん αρχικού τριγώνου).

Ηいーた βασική ιδέα πίσω από τις γενικεύσεις είναι ότι τたうοおみくろん εμβαδόν ενός επίπεδου στοιχείου είναι ανάλογο τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου της κάθε γραμμικής διάστασης, κかっぱαあるふぁιいおた συγκεκριμένα είναι ανάλογο τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου τたうοおみくろんυうぷしろん μήκους της κάθε πλευράς. Έτσι, αあるふぁνにゅー παρόμοια στοιχεία μみゅーεいぷしろん εμβαδά A,B κかっぱαあるふぁιいおた C ανεγερθούν σしぐまεいぷしろん πλευρές μみゅーεいぷしろん αντίστοιχα μήκη a,b κかっぱαあるふぁιいおた c τότε:
${{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}}$ , ${\Rightarrow \ A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C}$ .

Αλλά, σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα, ${a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ,έτσι A + B = C.

Αντίστροφα, αあるふぁνにゅー αποδείξουμε ότι Αあるふぁ + Βべーた = C γがんまιいおたαあるふぁ τρία παρόμοια στοιχεία χωρίς νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιήσουμε τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα, τότε μπορούμε νにゅーαあるふぁ δουλέψουμε ανάποδα γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ κατασκευάσουμε μία απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, τたうοおみくろん αρχικό τρίγωνο μπορεί νにゅーαあるふぁ αντιγραφεί κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί ως ένα τρίγωνο C σしぐまτたうηいーたνにゅー υποτείνουσά τたうοおみくろんυうぷしろん, κかっぱαあるふぁιいおた δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα (Αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた Βべーた) κατασκευασμένα στις άλλες δύο πλευρές, σχεδιασμένα από τたうοおみくろん διαχωρισμό τたうοおみくろんυうぷしろん αρχικού τριγώνου μみゅーεいぷしろん βάση τたうαあるふぁ ύψη τたうοおみくろんυうぷしろん. Ως εいぷしろんκかっぱ τούτου, τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー εμβαδών τたうωおめがνにゅー δύο μικρότερων τριγώνων είναι αυτό τたうοおみくろんυうぷしろん τρίτου, έτσι Αあるふぁ + Βべーた = C κかっぱαあるふぁιいおた αντιστρέφοντας τたうηいーたνにゅー παραπάνω λογική οδηγούμαστε σしぐまτたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα είναι μία ειδική περίπτωση ενός γενικευμένου θεωρήματος τたうοおみくろん οποίο σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー πλευρών οποιουδήποτε τριγώνου, κかっぱαあるふぁιいおた πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι γνωστό ως οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων. Σしぐまεいぷしろん έναν τρίγωνο μみゅーεいぷしろん πλευρές $a$ , $b$ κかっぱαあるふぁιいおた $c$ , ισχύει ότι

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta

,

όπου $\theta$ είναι ηいーた γωνία μεταξύ τたうωおめがνにゅー πλευρών $a$ κかっぱαあるふぁιいおた $b$ .

Όταν ηいーた γωνία $\theta$ είναι $90$ μοίρες, τότε $\cos \theta =0$ κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん τύπος δίνει τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα.

Διανυσματικός χώρος μみゅーεいぷしろん εσωτερικό γινόμενο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σしぐまεいぷしろん οποιονδήποτε διανυσματικό χώρο $V$ μみゅーεいぷしろん εσωτερικό γινόμενο $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα γενικεύεται ως εξής. Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε δύο διανύσματα $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι κάθετα μεταξύ τους, δηλαδή $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$ , ισχύει ότι^[2]^:66^[3]^:32

\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}

,

όπου $\textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}$ .

Ηいーた απόδειξη έπεται από τις ιδιότητες τたうοおみくろんυうぷしろん εσωτερικού γινομένου:

\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}.

Σしぐまτたうηいーた λαϊκή κουλτούρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έκθεμα τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγορείου θεωρήματος σしぐまτたうοおみくろん Universum μουσείο της Πόλης τたうοおみくろんυうぷしろん Μεξικού.

Τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα έχει επικρατήσει σしぐまτたうοおみくろんνにゅー δημοφιλή πολιτισμό μみゅーεいぷしろん διάφορους τρόπους.

Οおみくろん Hans Christian Andersen έγραψε τたうοおみくろん 1831 ένα ποίημα σχετικό μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα: Formens Evige Magie (Et poetisk Spilfægteri).
Μία εκδοχή τたうοおみくろんυうぷしろん Major-General's Song σしぐまτたうηいーたνにゅー κωμική όπερα The Pirates of Penzance τたうωおめがνにゅー Gilbert κかっぱαあるふぁιいおた Sullivan, "Σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん διωνυμικό θεώρημα είμαι γεμάτος μみゅーεいぷしろん πολλές ειδήσεις, μみゅーεいぷしろん πολλά χαρούμενα γεγονότα σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん τετράγωνο της υποτείνουσας", κάνει μία πλάγια αναφορά σしぐまτたうοおみくろん θεώρημα.
Οおみくろん Scarecrow σしぐまτたうηいーたνにゅー ταινία Οおみくろん μάγος τたうοおみくろんυうぷしろん Οおみくろんζぜーた κάνει μία πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένη αναφορά σしぐまτたうοおみくろん θεώρημα. Μετά τたうηいーた λήψη τたうοおみくろんυうぷしろん διπλώματός τたうοおみくろんυうぷしろん από τたうοおみくろんνにゅー Μάγο, επιδεικνύει τις "γνώσεις" τたうοおみくろんυうぷしろん απαγγέλοντας μία εσφαλμένη κかっぱαあるふぁιいおた παραμορφωμένη εκδοχή τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος: "Τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー τετραγωνικών ριζών οποιωνδήποτε πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τετραγωνική ρίζα της εναπομείνασας πλευράς. Ωおめが,χαρά!Ωおめが,έκσταση! Έχω μυαλό!".
Τたうοおみくろん 2000, σしぐまτたうηいーたνにゅー Ουγκάντα κυκλοφόρησε ένα νόμισμα μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μορφή ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Ηいーた μία πλαυρά τたうοおみくろんυうぷしろん νομίσματος έχει τたうηいーたνにゅー εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγόρα κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー εξίσωση ${a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ , συνοδευόμενα από τたうηいーたνにゅー αναφορά "ΧΙΛΙΕΤΙΑ ΤたうΟおみくろんΥうぷしろん ΠΥΘΑΓΟΡΑ".
Σしぐまτたうηいーたνにゅー Ελλάδα, τたうηいーたνにゅー Ιαπωνία, τたうοおみくろん Σしぐまαあるふぁνにゅー Μαρίνο, τたうηいーた Σιέρα Λεόνε κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん Σουρινάμ έχουν κυκλοφορήσει γραμματόσημα πぱいοおみくろんυうぷしろん απεικονίζουν τたうοおみくろんνにゅー Πυθαγόρα κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα.
Σしぐまτたうοおみくろんυうぷしろん Neal Stephenson τたうηいーた θεωρητική μυθιστοριματική Anathem, τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα αναφέρεται ως 'the Adrakhonic theorem'. Μία γεωμετρική απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος εκτίθεται σしぐまτたうηいーたνにゅー πλευρά ενός εξωγήινου σκάφους γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ προβάλει τたうηいーたνにゅー κατανόηση τたうωおめがνにゅー μαθηματικών από τους εξωγήινους.

Όλο τたうοおみくろん θεώρημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

ἐνにゅー τたうοおみくろんῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τたうὸ ἀπぱいὸ τたうῆς τたうὴνにゅー ὀρろーθしーたὴνにゅー γωνίαν ὑποτεινούσης πぱいλらむだεいぷしろんυうぷしろんρろーᾶς τετράγωνον ἴσしぐまοおみくろんνにゅー ἐσしぐまτたうὶ τたうοおみくろんῖς ἀπぱいὸ τたうῶνにゅー τたうὴνにゅー ὀρろーθしーたὴνにゅー γωνίαν περιεχουσῶνにゅー πλευρῶνにゅー τετραγώνοις. ἔσしぐまτたうωおめが τρίγωνον ὀρθογώνιον τたうὸ ΑΒΓ ὀρろーθしーたὴνにゅー ἔχかいοおみくろんνにゅー τたうὴνにゅー ὑπぱいὸ ΒべーたΑあるふぁΓがんま γωνίαν· λέγω, ὅτたうιいおた τたうὸ ἀπぱいὸ τたうῆς ΒべーたΓがんま τετράγωνον ἴσしぐまοおみくろんνにゅー ἐσしぐまτたうὶ τたうοおみくろんῖς ἀπぱいὸ τたうῶνにゅー ΒべーたΑあるふぁ, ΑあるふぁΓがんま τετραγώνοις.^[4]^[1]^[5]

ἀναγεγράφθω γがんまὰρろー ἀπぱいὸ μみゅーὲνにゅー τたうῆς ΒべーたΓがんま τετράγωνον τたうὸ ΒΔΕΓ, ἀπぱいὸ δでるたὲ τたうῶνにゅー ΒべーたΑあるふぁ, ΑあるふぁΓがんま τたうὰ ΗいーたΒべーた, ΘしーたΓがんま, κかっぱαあるふぁὶ δでるたιいおたὰ τたうοおみくろんῦ Αあるふぁ ὁποτέρᾳ τたうῶνにゅー ΒべーたΔでるた, ΓがんまΕいぷしろん παράλληλος ἤχθω ἡ ΑあるふぁΛらむだ· κかっぱαあるふぁὶ ἐπεζεύχθωσαν αあるふぁἱ ΑあるふぁΔでるた, ΖぜーたΓがんま. κかっぱαあるふぁὶ ἐπぱいεいぷしろんὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τたうῶνにゅー ὑπぱいὸ ΒべーたΑあるふぁΓがんま, ΒべーたΑあるふぁΗいーた γがんまωおめがνにゅーιいおたῶνにゅー, πぱいρろーὸς δή τたうιいおたνにゅーιいおた εいぷしろんὐθείᾳ τたうῇ ΒべーたΑあるふぁ κかっぱαあるふぁὶ τたうῷ πぱいρろーὸς αあるふぁὐτたうῇ σημείῳ τたうῷ Αあるふぁ δύο εいぷしろんὐθしーたεいぷしろんῖαあるふぁιいおた αあるふぁἱ ΑあるふぁΓがんま, ΑあるふぁΗいーた μみゅーὴ ἐπぱいὶ τたうὰ αあるふぁὐτたうὰ μέρη κείμεναι τたうὰς ἐφεξῆς γωνίας δでるたυうぷしろんσしぐまὶνにゅー ὀρθαῖς ἴσας πぱいοおみくろんιいおたοおみくろんῦσしぐまιいおたνにゅー· ἐπぱい᾽ εいぷしろんὐθείας ἄρろーαあるふぁ ἐσしぐまτたうὶνにゅー ἡ ΓがんまΑあるふぁ τたうῇ ΑあるふぁΗいーた. δでるたιいおたὰ τたうὰ αあるふぁὐτたうὰ δでるたὴ κかっぱαあるふぁὶ ἡ ΒべーたΑあるふぁ τたうῇ ΑあるふぁΘしーた ἐστιν ἐπぱい᾽ εいぷしろんὐθείας. κかっぱαあるふぁὶ ἐπぱいεいぷしろんὶ ἴσしぐまηいーた ἐσしぐまτたうὶνにゅー ἡ ὑπぱいὸ ΔでるたΒべーたΓがんま γωνία τたうῇ ὑπぱいὸ ΖぜーたΒべーたΑあるふぁ —ὀρろーθしーたὴ γがんまὰρろー ἑκατέρα— κかっぱοおみくろんιいおたνにゅーὴ προσκείσθω ἡ ὑπぱいὸ ΑあるふぁΒべーたΓがんま· ὅλらむだηいーた ἄρろーαあるふぁ ἡ ὑπぱいὸ ΔΒΑ ὅλらむだῃ τたうῇ ὑπぱいὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴσしぐまηいーた. κかっぱαあるふぁὶ ἐπぱいεいぷしろんὶ ἴσしぐまηいーた ἐσしぐまτたうὶνにゅー ἡ μみゅーὲνにゅー ΔでるたΒべーた τたうῇ ΒべーたΓがんま, ἡ δでるたὲ ΖぜーたΒべーた τたうῇ ΒべーたΑあるふぁ, δύο δでるたὴ αあるふぁἱ ΔでるたΒべーた, ΒべーたΑあるふぁ δύο τたうαあるふぁῖς ΖぜーたΒべーた, ΒべーたΓがんま ἴσしぐまαあるふぁιいおた εいぷしろんἰσしぐまὶνにゅー ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· κかっぱαあるふぁὶ γωνία ἡ ὑπぱいὸ ΔでるたΒべーたΑあるふぁ γωνίᾳ τたうῇ ὑπぱいὸ ΖΒΓ ἴσしぐまηいーた· βάσις ἄρろーαあるふぁ ἡ ΑあるふぁΔでるた βάσει τたうῇ ΖぜーたΓがんま {ἐσしぐまτたうιいおたνにゅー} ἴσしぐまηいーた, κかっぱαあるふぁὶ τたうὸ ΑあるふぁΒべーたΔでるた τρίγωνον τたうῷ ΖぜーたΒべーたΓがんま τριγώνῳ ἐσしぐまτたうὶνにゅー ἴσしぐまοおみくろんνにゅー· κかっぱαあるふぁὶ {ἐσしぐまτたうιいおた} τたうοおみくろんῦ μみゅーὲνにゅー ΑあるふぁΒべーたΔでるた τριγώνου διπλάσιον τたうὸ ΒべーたΛらむだ παραλληλόγραμμον· βάσιν τたうεいぷしろん γがんまὰρろー τたうὴνにゅー αあるふぁὐτたうὴνにゅー ἔχουσι τたうὴνにゅー ΒべーたΔでるた κかっぱαあるふぁὶ ἐνにゅー τたうαあるふぁῖς αあるふぁὐτたうαあるふぁῖς εいぷしろんἰσしぐまιいおた παραλλήλοις τたうαあるふぁῖς ΒべーたΔでるた, ΑあるふぁΛらむだ· τたうοおみくろんῦ δでるたὲ ΖぜーたΒべーたΓがんま τριγώνου διπλάσιον τたうὸ ΗいーたΒべーた τετράγωνον· βάσιν τたうεいぷしろん γがんまὰρろー πάλιν τたうὴνにゅー αあるふぁὐτたうὴνにゅー ἔχουσι τたうὴνにゅー ΖぜーたΒべーた κかっぱαあるふぁὶ ἐνにゅー τたうαあるふぁῖς αあるふぁὐτたうαあるふぁῖς εいぷしろんἰσしぐまιいおた παραλλήλοις τたうαあるふぁῖς ΖぜーたΒべーた, ΗいーたΓがんま. {τたうὰ δでるたὲ τたうῶνにゅー ἴσしぐまωおめがνにゅー διπλάσια ἴσしぐまαあるふぁ ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσしぐまοおみくろんνにゅー ἄρろーαあるふぁ ἐσしぐまτたうὶ κかっぱαあるふぁὶ τたうὸ ΒべーたΛらむだ παραλληλόγραμμον τたうῷ ΗいーたΒべーた τετραγώνῳ. ὁμοίως δでるたὴ ἐπιζευγνυμένων τたうῶνにゅー ΑあるふぁΕいぷしろん, ΒべーたΚかっぱ δειχθήσεται κかっぱαあるふぁὶ τたうὸ ΓがんまΛらむだ παραλληλόγραμμον ἴσしぐまοおみくろんνにゅー τたうῷ ΘしーたΓがんま τετραγώνῳ· ὅλらむだοおみくろんνにゅー ἄρろーαあるふぁ τたうὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δでるたυうぷしろんσしぐまὶ τたうοおみくろんῖς ΗいーたΒべーた, ΘしーたΓがんま τετραγώνοις ἴσしぐまοおみくろんνにゅー ἐστίν. καί ἐσしぐまτたうιいおた τたうὸ μみゅーὲνにゅー ΒべーたΔでるたΕいぷしろんΓがんま τετράγωνον ἀπぱいὸ τたうῆς ΒべーたΓがんま ἀναγραφέν, τたうὰ δでるたὲ ΗいーたΒべーた, ΘしーたΓがんま ἀπぱいὸ τたうῶνにゅー ΒべーたΑあるふぁ, ΑあるふぁΓがんま. τたうὸ ἄρろーαあるふぁ ἀπぱいὸ τたうῆς ΒべーたΓがんま πλευρᾶς τετράγωνον ἴσしぐまοおみくろんνにゅー ἐσしぐまτたうὶ τたうοおみくろんῖς ἀπぱいὸ τたうῶνにゅー ΒべーたΑあるふぁ, ΑあるふぁΓがんま πλευρῶνにゅー τετραγώνοις. ἐνにゅー ἄρろーαあるふぁ τたうοおみくろんῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τたうὸ ἀπぱいὸ τたうῆς τたうὴνにゅー ὀρろーθしーたὴνにゅー γωνίαν ὑποτεινούσης πぱいλらむだεいぷしろんυうぷしろんρろーᾶς τετράγωνον ἴσしぐまοおみくろんνにゅー ἐσしぐまτたうὶ τたうοおみくろんῖς ἀπぱいὸ τたうῶνにゅー τたうὴνにゅー ὀρろーθしーたὴνにゅー {γωνίαν} περιεχουσῶνにゅー πλευρῶνにゅー τετραγώνοις· ὅπερ ἔδでるたεいぷしろんιいおた δでるたεいぷしろんῖξくしーαあるふぁιいおた.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 Gök. EUCLID'S ELEMENTS OF GEOMETRY.
↑ Αναστόπουλος, Χάρις. «Κβαντική Θεωρία» (PDF). Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ Κολουντζάκης, Μみゅー.· Παπαχριστόδουλος, Χかい. (2015). Ανάλυση Fourier. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-360-5.
↑ «Τたうοおみくろん Πυθαγόρειο Θώρημα». pythagoras.samos.aegean.gr. Ανακτήθηκε στις 19 Σεπτεμβρίου 2023.
↑ «Euclid's Elements - Book 1 Postulate - Original Greek Text». www.physics.ntua.gr. Ανακτήθηκε στις 19 Σεπτεμβρίου 2023.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994. ISBN 3-86025-669-6
Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2
Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für Jedermann. Ullstein, Berlin 1954 (Zitate Proklos nach S. 103, 118).
Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1982. ISBN 3-499-16692-5
Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C.H. Beck, München 1990. ISBN 3-406-02535-8
Wilhelm Capelle (Hrsg.): Die Vorsokratiker. Alfred Kröner, Stuttgart 1963. (Zitat Plutarch nach S. 102). ISBN 3-520-11908-0
Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000. ISBN 3-7643-6189-1
Simon Singh: Fermats letzter Satz. dtv, München 2000. ISBN 3-423-33052-X
Σωτήρης Χかい. Γκουντουβάς, "Γεωμετρικές Διαδρομές", Αθήνα 2015
Τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα δでるたεいぷしろんνにゅー είναι τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγόρα τελικά... (Διαβάστε Άρθρο)
Elisha Scott Loomis - The Pythagorean Proposition, Classics in Mathematics Education Series | Second Edition, 1940 (256 Proofs of Pythagorean Theorem)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo

Τたうαあるふぁ Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θέμα
Πυθαγόρειο θεώρημα

[:0-1] 1,0 ^1,1 Gök. EUCLID'S ELEMENTS OF GEOMETRY.

[2] Αναστόπουλος, Χάρις. «Κβαντική Θεωρία» (PDF). Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.

[3] Κολουντζάκης, Μみゅー.· Παπαχριστόδουλος, Χかい. (2015). Ανάλυση Fourier. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-360-5.

[4] «Τたうοおみくろん Πυθαγόρειο Θώρημα». pythagoras.samos.aegean.gr. Ανακτήθηκε στις 19 Σεπτεμβρίου 2023.

[5] «Euclid's Elements - Book 1 Postulate - Original Greek Text». www.physics.ntua.gr. Ανακτήθηκε στις 19 Σεπτεμβρίου 2023.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]