Τραπέζιο
A
B
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }
μ みゅー ε いぷしろん βάσεις τις
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }
.
Ο おみくろん ι いおた
A
Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
B
Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } }
είναι διαγώνιοι
τ たう ο おみくろん υ うぷしろん .
Τ たう ο おみくろん ύψος
u
{\displaystyle u}
τ たう ο おみくろん υ うぷしろん τραπεζίου
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた η いーた διάμεσος
M
1
M
2
{\displaystyle \mathrm {M_{1}M_{2}} }
.
Σ しぐま τ たう η いーた ν にゅー ευκλείδεια γεωμετρία , τραπέζιο είναι τ たう ο おみくろん κυρτό τετράπλευρο π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん παράλληλες . Ο おみくろん ι いおた βάσεις κ かっぱ α あるふぁ ι いおた η いーた ύψος τ たう ο おみくろん υ うぷしろん τ たう ο おみくろん ευθύγραμμο τμήμα π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん τ たう α あるふぁ τ たう ω おめが ν にゅー μ みゅー η いーた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん διάμεσος τ たう ο おみくろん υ うぷしろん γ がんま ι いおた α あるふぁ τ たう ο おみくろん μεσοπαράλληλης τ たう ω おめが ν にゅー π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん ο おみくろん ι いおた μ みゅー η いーた
Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι τ たう ο おみくろん παραλληλόγραμμο , τ たう ο おみくろん ισοσκελές τραπέζιο κ かっぱ α あるふぁ ι いおた τ たう ο おみくろん ορθογώνιο τραπέζιο .
Η いーた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん κ かっぱ α あるふぁ ι いおた μ みゅー ε いぷしろん τ たう ο おみくろん Η いーた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん κ かっぱ α あるふぁ ι いおた μ みゅー ε いぷしろん τ たう ο おみくろん [1] [2] :103-107 Απόδειξη : Έστω
A
B
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }
μ みゅー ε いぷしろん
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
A
Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }
η いーた τ たう ο おみくろん
M
1
{\displaystyle \mathrm {M} _{1}}
A
Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {A\Delta } }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
τ たう η いーた ν にゅー
Δ でるた Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {\Delta \Gamma } }
Σ しぐま τ たう ο おみくろん
A
Δ でるた Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }
η いーた
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
τ たう ο おみくろん
A
Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {A\Delta } }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた σ しぐま τ たう η いーた ν にゅー
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }
τ たう ο おみくろん
A
Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }
τ たう ο おみくろん
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた τ たう α あるふぁ
M
1
E
{\displaystyle \mathrm {M_{1}E} }
Γ がんま Δ でるた
/
2
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } /2}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた σ しぐま τ たう ο おみくろん
A
B
Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
τ たう ο おみくろん
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
A
Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた η いーた
E
M
2
{\displaystyle \mathrm {EM_{2}} }
σ しぐま τ たう η いーた ν にゅー
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
τ たう ο おみくろん
M
2
{\displaystyle \mathrm {M} _{2}}
θ しーた α あるふぁ τ たう ο おみくろん κ かっぱ α あるふぁ ι いおた τ たう α あるふぁ
M
2
E
{\displaystyle \mathrm {M_{2}E} }
A
B
/
2
{\displaystyle \mathrm {AB} /2}
ε いぷしろん ι いおた ν にゅー α あるふぁ ι いおた κ かっぱ α あるふぁ ι いおた η いーた
M
1
M
2
{\displaystyle \mathrm {M_{1}M_{2}} }
θ しーた α あるふぁ η いーた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん κ かっぱ α あるふぁ ι いおた θ しーた α あるふぁ
M
1
M
2
=
M
1
E
+
E
M
2
∥=
Γ がんま Δ でるた
+
A
B
2
{\displaystyle \mathrm {M_{1}M_{2}} =\mathrm {M_{1}E} +\mathrm {EM_{2}} \parallel ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}}
Η いーた τ たう α あるふぁ τ たう ω おめが ν にゅー κ かっぱ α あるふぁ ι いおた μ みゅー ε いぷしろん τ たう η いーた ν にゅー τ たう ω おめが ν にゅー Η いーた τ たう α あるふぁ τ たう ω おめが ν にゅー τ たう ο おみくろん υ うぷしろん κ かっぱ α あるふぁ ι いおた τ たう ο おみくろん π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん μ みゅー ε いぷしろん τ たう η いーた ν にゅー τ たう ω おめが ν にゅー Απόδειξη : Γ がんま ι いおた α あるふぁ σ しぐま τ たう η いーた ν にゅー τ たう ο おみくろん
Z
{\displaystyle \mathrm {Z} }
τ たう ο おみくろん
B
Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } }
E
Z
=
M
1
E
−
M
1
Z
=
Γ がんま Δ でるた
−
A
B
2
{\displaystyle \mathrm {EZ} =\mathrm {M_{1}E} -\mathrm {M_{1}Z} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } -\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } }{2}}}
Τ たう ο おみくろん
E
Z
{\displaystyle \mathrm {EZ} }
μ みゅー ε いぷしろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
◻
{\displaystyle \square }
Τ たう ο おみくろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん μ みゅー ε いぷしろん τ たう ο おみくろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん τ たう ω おめが ν にゅー τ たう ο おみくろん υ うぷしろん τ たう ο おみくろん [1] : 164-169 [2] : 240-241
E
=
1
2
⋅
(
A
B
+
Γ がんま Δ でるた
)
⋅
A
H
.
{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AH} .}
Καμιά φορά γράφεται ως
E
=
(
B
+
β べーた )
⋅
u
2
{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot u}{2}}}
Η いーた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
A
B
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }
τ たう ο おみくろん σ しぐま ε いぷしろん μ みゅー ε いぷしろん Απόδειξη: Θ しーた α あるふぁ τ たう ο おみくろん ν にゅー γ がんま ι いおた α あるふぁ τ たう ο おみくろん
1
2
⋅
(
βάση
)
⋅
(
ύψος
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})}
Τ たう ο おみくろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん μ みゅー ε いぷしろん τ たう ο おみくろん τ たう ω おめが ν にゅー τ たう ω おめが ν にゅー
A
B
Γ がんま
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
Γ がんま Δ でるた A
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta A} }
E
=
(
A
B
Γ がんま
)
+
(
Γ がんま Δ でるた A
)
=
1
2
⋅
A
B
⋅
Γ がんま
H
Γ がんま
+
1
2
⋅
Γ がんま Δ でるた
⋅
A
H
A
=
1
2
⋅
A
B
⋅
u
+
1
2
⋅
Γ がんま Δ でるた
⋅
u
=
1
2
⋅
(
A
B
+
Γ がんま Δ でるた
)
⋅
u
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} &=(\mathrm {AB\Gamma } )+(\mathrm {\Gamma \Delta A} )={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH_{\mathrm {A} }} ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot u+{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot u\\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot u,\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι
A
H
A
=
Γ がんま
H
Γ がんま
=
u
{\displaystyle \mathrm {AH_{\mathrm {A} }} =\mathrm {\Gamma H_{\mathrm {\Gamma } }} =u}
◻
{\displaystyle \square }
Από τ たう ο おみくろん ν にゅー γ がんま ι いおた α あるふぁ τ たう ο おみくろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん ο おみくろん γ がんま ι いおた α あるふぁ τ たう ο おみくろん τ たう ω おめが ν にゅー
1
2
⋅
(
α あるふぁ +
γ がんま )
⋅
β べーた
2
−
1
4
⋅
(
(
γ がんま −
α あるふぁ )
−
β べーた
2
−
δ でるた
2
γ がんま −
α あるふぁ
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (\alpha +\gamma )\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.}
Τ たう ο おみくろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん μ みゅー ε いぷしろん τ たう ο おみくろん μ みゅー η いーた κ かっぱ α あるふぁ ι いおた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん τ たう η いーた ν にゅー
Τ たう ο おみくろん μ みゅー ε いぷしろん
α あるふぁ <
γ がんま
{\displaystyle \alpha <\gamma }
u
=
1
2
⋅
1
γ がんま −
α あるふぁ
⋅
(
−
α あるふぁ +
β べーた +
γ がんま +
δ でるた )
⋅
(
α あるふぁ +
β べーた −
γ がんま +
δ でるた )
⋅
(
−
α あるふぁ −
β べーた +
γ がんま +
δ でるた )
⋅
(
−
α あるふぁ +
β べーた +
γ がんま −
δ でるた )
=
β べーた
2
−
1
4
⋅
(
(
γ がんま −
α あるふぁ )
−
β べーた
2
−
δ でるた
2
γ がんま −
α あるふぁ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {(-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (-\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma -\delta )}}\\&={\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.\end{aligned}}}
Ο おみくろん ι いおた
B
Δ でるた
2
=
1
γ がんま −
α あるふぁ
⋅
α あるふぁ
β べーた
2
−
α あるふぁ
γ がんま
2
+
γ がんま
α あるふぁ
2
−
γ がんま
δ でるた
2
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \beta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \delta ^{2}}}\quad }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
A
Γ がんま
2
=
1
γ がんま −
α あるふぁ
⋅
α あるふぁ
δ でるた
2
−
α あるふぁ
γ がんま
2
+
γ がんま
α あるふぁ
2
−
γ がんま
β べーた
2
.
{\displaystyle \quad \mathrm {A\Gamma } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \delta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \beta ^{2}}}.}
Απόδειξη
Από τ たう ο おみくろん ν にゅー νόμο συνημιτόνων σ しぐま τ たう α あるふぁ
A
B
Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
B
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma \Delta } }
δ でるた
2
=
B
Δ でるた
2
+
α あるふぁ
2
−
2
α あるふぁ ⋅
B
Δ でるた
⋅
cos
ϕ
β べーた
2
=
B
Δ でるた
2
+
γ がんま
2
−
2
γ がんま ⋅
B
Δ でるた
⋅
cos
ϕ
}
⇒
2
⋅
B
Δ でるた
⋅
cos
ϕ
=
1
α あるふぁ
⋅
(
B
Δ でるた
2
+
α あるふぁ
2
−
δ でるた
2
)
2
⋅
B
Δ でるた
⋅
cos
ϕ
=
1
γ がんま
⋅
(
B
Δ でるた
2
+
α あるふぁ
2
−
β べーた
2
)
}
.
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\delta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-2\alpha \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi \\\beta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-2\gamma \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{aligned}2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi &={\tfrac {1}{\alpha }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\delta ^{2})\\2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi &={\tfrac {1}{\gamma }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2})\end{aligned}}\right\}.}
Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις κ かっぱ α あるふぁ ι いおた τ たう η いーた
Σ しぐま ε いぷしろん
A
B
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }
μ みゅー ε いぷしろん
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }
[3] :78 [1] : 89-90 [2] : 103-107
|
B
Δ でるた
−
A
Γ がんま
|
<
A
B
−
Γ がんま Δ でるた
<
B
Δ でるた
+
A
Γ がんま
.
{\displaystyle |\mathrm {B\Delta } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } <\mathrm {B\Delta } +\mathrm {A\Gamma } .}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
|
A
B
−
Γ がんま Δ でるた
|
<
B
Γ がんま
+
A
Δ でるた
.
{\displaystyle |\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } |<\mathrm {B\Gamma } +\mathrm {A\Delta } .}
Ισοσκελές τραπέζιο μ みゅー ε いぷしろん Α あるふぁ Δ でるた Β べーた Γ がんま Ένα τραπέζιο π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん μ みゅー η いーた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん σ しぐま ε いぷしろん τ たう ο おみくろん μ みゅー ε いぷしろん
Ορθογώνιο τραπέζιο μ みゅー ε いぷしろん
A
^
=
Δ でるた
^
=
90
o
{\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{o}}
Ένα τραπέζιο π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん ορθές λέγεται ορθογώνιο.
Ένα παραλληλόγραμμο
A
B
Γ がんま Δ でるた
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }
Ένα τραπέζιο π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん τ たう ο おみくろん υ うぷしろん κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο α あるふぁ ν にゅー σ しぐま τ たう ο おみくろん ν にゅー κ かっぱ α あるふぁ ι いおた ο おみくろん ι いおた τ たう ο おみくろん υ うぷしろん Δ でるた ε いぷしろん ν にゅー τ たう α あるふぁ
Σ しぐま τ たう η いーた ν にゅー υπολογιστική γεωμετρία , η いーた [4] [5] μ みゅー ε いぷしろん
n
{\displaystyle n}
π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん σ しぐま ε いぷしろん τ たう ω おめが ν にゅー σ しぐま τ たう ο おみくろん ν にゅー
x
x
′
{\displaystyle xx'}
τ たう α あるふぁ γράφο π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん π ぱい χ かい ν にゅー α あるふぁ σ しぐま τ たう ο おみくろん ν にゅー
Τραπεζοειδής αποσύνθεση
γ がんま ι いおた α あるふぁ δύο αντικείμενα
A
1
{\displaystyle \mathrm {A} _{1}}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
A
2
{\displaystyle \mathrm {A} _{2}}
μέσα
σ しぐま ε いぷしろん ένα πολύγωνο.
Ο おみくろん π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん τ たう η いーた ν にゅー
↑ 1,0 1,1 1,2 Νικολάου, Νικολαος Δ でるた Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. ↑ 2,0 2,1 2,2 Ταβανλής, Χ かい Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι いおた ↑ Αλεξίου, Κ かっぱ Τ たう Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α あるふぁ . Αθήνα. ↑ Seidel, Raimund (1 Ιουλίου 1991). «A simple and fast incremental randomized algorithm for computing trapezoidal decompositions and for triangulating polygons». Computational Geometry 1 (1): 51–64. doi :https://doi.org/10.1016/0925-7721(91)90012-4 ↑ Choset, Howie. «Robotic motion planning: Cell decompositions» (PDF) . CMU. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2023 . 
