Νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων

Σχήμα 1: Ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ μみゅーεいぷしろん μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー τριγωνομετρία, οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων αποτελεί μみゅーιいおたαあるふぁ γενίκευση τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγόρειου θεωρήματος, πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέει τたうοおみくろん μήκος τたうωおめがνにゅー τριών πλευρών ενός τριγώνου κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συνημίτονο μίας εいぷしろんκかっぱ τたうωおめがνにゅー γωνιών. Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα, σしぐまεいぷしろん ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ μみゅーεいぷしろん μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$ δίνει τις εξής σχέσεις:

$\gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cdot \cos {\hat {\rm {\Gamma }}}$,

$\alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\beta \gamma \cdot \cos {\hat {\rm {A}}}$,

$\beta ^{2}=\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-2\gamma \alpha \cdot \cos {\hat {\rm {B}}}$.

Οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων είναι μία από τις βασικές σχέσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ "λύσει ένα τρίγωνο". Συγκεκριμένα, (i) δοσμένων τたうωおめがνにゅー μηκών δύο πλευρών ενός τριγώνου κかっぱαあるふぁιいおた της περιχεόμενής τους γωνίας, μπορούμε νにゅーαあるふぁ υπολογίσουμε τたうοおみくろん μήκος της τρίτης πλευράς κかっぱαあるふぁιいおた (ii) δοσμένων τたうωおめがνにゅー μηκών τたうωおめがνにゅー τριών πλευρών μπορούμε νにゅーαあるふぁ υπολογίσουμε τたうοおみくろん μέγεθος τたうωおめがνにゅー γωνιών τたうοおみくろんυうぷしろん (δείτε παρακάτω).

Μία απλή εφαρμογή

Έστω ότι θέλουμε νにゅーαあるふぁ χτίσουμε ένα τούνελ σしぐまεいぷしろん ένα βουνό μεταξύ δύο σημείων ${\rm {A}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {B}}$. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ υπολογίσουμε τたうοおみくろん κόστος κατασκευής πρέπει νにゅーαあるふぁ υπολογίσουμε τたうοおみくろん μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん τούνελ, δηλαδή τたうηいーたνにゅー απόσταση μεταξύ τたうοおみくろんυうぷしろん ${\rm {A}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {B}}$. Δでるたεいぷしろんνにゅー μπορούμε νにゅーαあるふぁ τたうηいーたνにゅー μετρήσουμε κατευθείαν καθώς υπάρχει τたうοおみくろん βουνό μεταξύ τους.

Αυτό πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορούμε νにゅーαあるふぁ κάνουμε είναι νにゅーαあるふぁ σταθούμε σしぐまεいぷしろん ένα σημείο ${\rm {\Gamma }}$ κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ μετρήσουμε τις αποστάσεις προς τたうοおみくろん ${\rm {A}}$ κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん ${\rm {B}}$ (διαλέγοντας τたうοおみくろん ${\rm {\Gamma }}$ ώστε νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー μεσολαβεί βουνό μεταξύ τους) κかっぱαあるふぁιいおた επίσης μετράμε τたうηいーたνにゅー γωνία ${\hat {\rm {\Gamma }}}$. Αυτές οおみくろんιいおた πληροφορίες είναι αρκετές γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ βρούμε τたうηいーたνにゅー απόσταση μεταξύ τたうωおめがνにゅー ${\rm {A}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {B}}$, χρησιμοποιώντας τたうοおみくろんνにゅー νόμο τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων, δηλαδή

${\rm {AB}}=\gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cdot \cos {\hat {\rm {\Gamma }}}}}$,

όπου όλα τたうαあるふぁ στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん δεξιού μέλους είναι γνωστά.

Μήκος τούνελ

Θέλουμε νにゅーαあるふぁ βρούμε τたうηいーたνにゅー απόσταση μεταξύ ${\rm {A}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {B}}$.

Οおみくろんιいおた μετρήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん παίρνουμε από τたうοおみくろん σημείο ${\rm {\Gamma }}$.

Ιστορικά

Σχήμα 2: Τρίγωνο ABC μみゅーεいぷしろん ύψος BH

Τたうαあるふぁ Στοιχεία τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη, πぱいοおみくろんυうぷしろん χρονολογούνται από τたうοおみくろんνにゅー 3οおみくろん αιώνα πぱい.Χかい., περιείχαν ήδη μみゅーιいおたαあるふぁ γεωμετρική προσέγγιση της γενίκευσης τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγόρειου θεωρήματος. Συγκεκριμένα: οおみくろんιいおた προτάσεις 12 και 13 τたうοおみくろんυうぷしろん 2οおみくろんυうぷしろん βιβλίου αντιμετωπίζουν τις περιπτώσεις ενός αμβλυγώνιου κかっぱαあるふぁιいおた ενός οξυγώνιου αντίστοιχα. Ηいーた απουσία τριγωνομετρικής κかっぱαあるふぁιいおた αλγεβρικής ερμηνείας όμως απαιτούσε επαναδιατύπωση τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος. Συγκεκριμένα ηいーた πρόταση 12:

Σしぐまτたうαあるふぁ αμβλυγώνια τρίγωνα τたうοおみくろん τετράγωνο της πλευράς της κείμενης απέναντι της αμβλείας γωνίας, είναι μεγαλύτερο τたうωおめがνにゅー τετραγώνων τたうωおめがνにゅー πλευρών πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうηいーたνにゅー περιέχουν, κατά τたうοおみくろん διπλάσιο ορθογώνιο πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχεται μεταξύ της μιας πλευράς της αμβλείας γωνίας, τたうοおみくろんυうぷしろん ύψους πぱいοおみくろんυうぷしろん πίπτει σしぐまεいぷしろん αυτήν κかっぱαあるふぁιいおた της ευθείας πぱいοおみくろんυうぷしろん ενώνει τたうηいーたνにゅー αμβλεία μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ύψος.

Έχοντας ABC τたうοおみくろん αμβλυγώνιο μみゅーεいぷしろん ύψος Ηいーた πぱいοおみくろんυうぷしろん φέρεται από τたうοおみくろん B (Σχήμα 2), μπορούμε μみゅーεいぷしろん τις σύγχρονες μεθόδους νにゅーαあるふぁ συνοψίσουμε ως εξής:

$AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2\times CA\times CH$.

Ηいーた αραβο-μουσουλμανική τριγωνομετρία τたうοおみくろんνにゅー Μεσαίωνα συνείσφερε σしぐまτたうηいーたνにゅー βελτίωση τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος: οおみくろん αστρονόμος κかっぱαあるふぁιいおた μαθηματικός Muḥammad ibn Jābir al-Ḥarrānī al-Battānī γενίκευσε τたうηいーたνにゅー πρόταση τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη σしぐまτたうηいーたνにゅー σφαιρική γεωμετρία τたうοおみくろんνにゅー 10οおみくろん αιώνα, κάτι τたうοおみくろん οποίο επέτρεψε τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό τたうωおめがνにゅー γωνιακών αποστάσεων μεταξύ αστέρων. Εκείνη τたうηいーたνにゅー περίοδο συντάχθηκαν κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた πρώτοι τριγωνομετρικοί πίνακες γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん συνημίτονο, επιτρέποντας σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Άλ-Κασί, μαθηματικό της σχολής της Σαμαρκάνδης, νにゅーαあるふぁ μορφοποιήσει τたうοおみくろん θεώρημα ώστε νにゅーαあるふぁ τたうοおみくろん χρησιμοποιήσει σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τριγωνισμό, τたうοおみくろんνにゅー 15οおみくろん αιώνα. Αργότερα, τたうοおみくろん θεώρημα έγινε γνωστό σしぐまτたうηいーたνにゅー δύση από τたうοおみくろんνにゅー Φρανσουά Βιέτ (Βιετά), οおみくろん οποίος, όπως φαίνεται, τたうοおみくろん επινοήθηκε.
Στις αρχές τたうοおみくろんυうぷしろん 19οおみくろんυうぷしろん αιώνα τたうοおみくろん θεώρημα ερμηνεύτηκε σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー σύγχρονη άλγεβρα κかっぱαあるふぁιいおた έγινε γνωστό μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー σημερινή τたうοおみくろんυうぷしろん ονομασία: νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων.

Τたうοおみくろん θεώρημα κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた εφαρμογές τたうοおみくろんυうぷしろん

Σχήμα 3: Χρησιμοποιώντας τたうοおみくろん θεώρημα: άγνωστη πλευρά ή γωνία.

Οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ειδική περίπτωση τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγορείου θεωρήματος:

Ηいーた γωνία $\gamma$ έχει συνημίτονο ίσο μみゅーεいぷしろん μηδέν (cos$\gamma$=0) αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー $c^{2}=a^{2}+b^{2},\,$.

Τたうοおみくろん θεώρημα χρησιμοποιείται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τριγωνισμό (Σχήμα 3) γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ "λύσει ένα τρίγωνο", δηλαδή νにゅーαあるふぁ προσδιορίσει

• μみゅーιいおたαあるふぁ πλευρά ενός τριγώνου γνωρίζοντας τたうηいーたνにゅー απέναντί της γωνία κかっぱαあるふぁιいおた τις παρακείμενες πλευρές:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,$

• μみゅーιいおたαあるふぁ γωνία ενός τριγώνου γνωρίζοντας τις τρεις πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん:

$\gamma =\arccos {\dfrac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

Αυτοί οおみくろんιいおた τύποι είναι αριθμητικά ασταθείς σしぐまεいぷしろん περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろん c είναι μικρότερο τたうοおみくろんυうぷしろん b κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん a, ή ισοδύναμα όταν $\gamma$ είναι μικρότερο τたうοおみくろんυうぷしろん 1.
Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση τたうωおめがνにゅー ομοίων τριγώνων ABC κかっぱαあるふぁιいおた A'B'C' ισχύει τたうοおみくろん εξής:

$cc'=aa'+bb'-(ab'+a'b)\cos \gamma .\,$

Αποδείξεις

Ακριβώς όπως τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα, τたうοおみくろん θεώρημα αυτό έχει πολλές αποδείξεις, χρησιμοποιώντας κάποιες ιδιότητες τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη ή τたうοおみくろんυうぷしろん Άλ-Κασί, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ιδιότητες ή ιδιότητες πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζονται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー κύκλο. Τέλος, τたうοおみくろん θεώρημα μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί εφαρμογή τたうωおめがνにゅー ιδιοτήτων τたうοおみくろんυうぷしろん εσωτερικού γινομένου.

Απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη  

Σχήμα 4: Απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Νόμου τたうωおめがνにゅー Συνημιτόνων γがんまιいおたαあるふぁ αμβλυγώνιο, κατά τたうοおみくろんνにゅー Ευκλείδη.

Ηいーた απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Ευκλείδη γがんまιいおたαあるふぁ τις προτάσεις 12 και 13 βασίζεται σしぐまτたうοおみくろん Πυθαγόρειο Θεώρημα κかっぱαあるふぁιいおた περιλαμβάνει τたうοおみくろん ύψος Ηいーた πぱいοおみくろんυうぷしろん φέρεται από τたうοおみくろん Βべーた. Γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん αμβλυγώνιο (πρόταση 12) σχημάτισε ένα τετράγωνο σしぐまτたうηいーたνにゅー πλευρά AH τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου AHB:

$CH^{2}+CA^{2}+2\times CH\times AC=AH^{2}$

Προσέθεσε κατά μέλη τたうοおみくろん τετράγωνο της πλευράς HB

$HB^{2}+CH^{2}+CA^{2}+2\times CH\times AC=AH^{2}+HB^{2}$

κかっぱαあるふぁιいおた χρησιμοποίησε τたうοおみくろん Πυθαγόρειο Θεώρημα

$CB^{2}+CA^{2}+2\times CH\times CA=AB^{2}$

Παρόμοια είναι ηいーた απόδειξη γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー οξεία γωνία.

Απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Άλ-Κασί  

Σχήμα 4: Απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Νόμου τたうωおめがνにゅー Συνημιτόνων γがんまιいおたαあるふぁ οξυγώνιο, κατά τたうοおみくろんνにゅー Άλ-Κασί

Σしぐまτたうοおみくろん βιβλίο τたうοおみくろんυうぷしろん Κλειδί της Αριθμητικής τたうοおみくろん 1429 οおみくろん Άλ-Κασί γενίκευσε τたうοおみくろん Πυθαγόρειο Θεώρημα κかっぱαあるふぁιいおた εισήγαγε σしぐまτたうηいーたνにゅー ισότητα τたうηいーたνにゅー τριγωνομετρία. Έτσι από ένα οξυγώνιο ABC έφερε τたうαあるふぁ ύψη από Αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた Βべーた τたうαあるふぁ οποία τέμνουν τたうαあるふぁ σχηματιζόμενα από τις πλευρές AC κかっぱαあるふぁιいおた BC τετράγωνα, δημιουργώντας έτσι δύο ορθογώνια τρίγωνα. Τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー εμβαδών τたうωおめがνにゅー ορθογωνίων τριγώνων πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζονται από τις διαγώνιους BF κかっぱαあるふぁιいおた AG, είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん εμβαδό τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου ΑあるふぁΒべーた κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん εμβαδό τたうωおめがνにゅー ορθογωνίων τριγώνων πぱいοおみくろんυうぷしろん σχηματίζονται από τις διαγώνιους CF κかっぱαあるふぁιいおた CG ισούται μみゅーεいぷしろん CB × CA × cos(C). Έτσι δίνεται:

$CA^{2}+CB^{2}=AB^{2}+2CB\times CA\times \cos(C)$

Παρόμοια είναι ηいーた απόδειξη γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ αμβλυγώνια, αφαιρώντας όμως εμβαδά.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん σύγκριση εμβαδών  

Σχήμα 6αあるふぁ: Απόδειξη μみゅーεいぷしろん σύγκριση εμβαδών γがんまιいおたαあるふぁ οξείες γωνίες

Σχήμα 6βべーた: Απόδειξη μみゅーεいぷしろん σύγκριση εμβαδών γがんまιいおたαあるふぁ αμβλύες γωνίες

Αρκετές αποδείξεις χρησιμοποιούν τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό εμβαδών. Θしーたαあるふぁ πρέπει νにゅーαあるふぁ σημειωθεί, λοιπόν, πως:

• $a^{2}$, $b^{2}$ κかっぱαあるふぁιいおた $c^{2}$ είναι τたうαあるふぁ εμβαδά τたうωおめがνにゅー τετραγώνων τたうωおめがνにゅー αντίστοιχων πλευρών $a$, $b$ κかっぱαあるふぁιいおた $c$ ;
• $ab|\cos \gamma |$ είναι αυτό τたうοおみくろんυうぷしろん παραλληλογράμου μみゅーεいぷしろん πλευρές $a$ κかっぱαあるふぁιいおた $b$ σχηματίζοντας μみゅーιいおたαあるふぁ γωνία $\pi /2-\gamma$, ηいーた αλλαγή τたうοおみくろんυうぷしろん προσήμου τたうοおみくろんυうぷしろん $\cos \gamma$ γίνεται όταν ηいーた γωνία $\gamma$ γίνεται αμβλύα. 'Όπως φαίνεται επιβάλεται ηいーた μελέτη κατά περίπτωση.

Σしぐまτたうοおみくろん σχήμα 6αあるふぁ, τたうοおみくろん επτάγωνο χωρίζεται μみゅーεいぷしろん δύο διαφορετικούς τρόπους γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδείξει τたうοおみくろん θεώρημα γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ οξεία γωνία:

• σしぐまεいぷしろん κόκκινο: τたうαあるふぁ εμβαδά $a^{2}$, $b^{2}$ αριστερά, κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ εμβαδά $2ab\cos \gamma$ κかっぱαあるふぁιいおた $c^{2}$ δεξιά.
• σしぐまεいぷしろん μπλέ: τたうοおみくろん τρίγωνο ABC, σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά όπως κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうαあるふぁ αριστερά.
• σしぐまεいぷしろん γκρί: κάποια τρίγωνα συμπληρωματικά, πανομοιότυπα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん τρίγωνο ABC κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん ίδιο αριθμό σしぐまτたうαあるふぁ δύο σχήματα.

Οおみくろんιいおた ισότητες τたうωおめがνにゅー εμβαδών σしぐまτたうαあるふぁ αριστερά κかっぱαあるふぁιいおた δεξιά δίνουν:

$\,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma$.

Σしぐまτたうοおみくろん σχήμα 6βべーた, τたうοおみくろん εξάγωνο χωρίζεται μみゅーεいぷしろん δύο διαφορετικούς τρόπους γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδείξει τたうοおみくろん θεώρημα γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ αμβλύα γωνία:

• σしぐまεいぷしろん κόκκινο: τたうαあるふぁ εμβαδά $a^{2}$, $b^{2}$ κかっぱαあるふぁιいおた $-2ab\cos \gamma$ αριστερά, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん εμβαδό $c^{2}$ δεξιά.
• σしぐまεいぷしろん μπλέ: δύο φρές τたうοおみくろん τρίγωνο ABC, σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά όπως κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうαあるふぁ αριστερά.

Οおみくろんιいおた ισότητες τたうωおめがνにゅー εμβαδών σしぐまτたうαあるふぁ αριστερά κかっぱαあるふぁιいおた δεξιά δίνουν:

$\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}$.

Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε πως τたうαあるふぁ δύο σχήματα είναι ίσα, χρησιμοποιούμε τたうαあるふぁ κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん Πυθαγόρειο θεώρημα  

Σχήμα 7: Απόδειξη χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές σχέσεις.

Τたうοおみくろん σχήμα 7 δείχνει πως αποδυκνείεται οおみくろん νόμος τたうωおめがνにゅー συνημιτόνων γがんまιいおたαあるふぁ ένα οξυγώνιο, χρησιμοποιώντας τたうοおみくろん Πυθαγόρειο Θεώρημα σしぐまεいぷしろん ένα περιεχόμενο ορθογώνιο τρίγωνο, σχηματιζόμενο από τたうοおみくろん ύψος τたうοおみくろんυうぷしろん οξυγωνίου. Τたうοおみくろん τελευταίο βήμα πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー εμφανίζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー εικόνα είναι πως τたうοおみくろん Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん ορθογώνιο, μみゅーεいぷしろん υποτείνουσα τたうηいーたνにゅー πλευρά c.

$\,c^{2}=(a\sin \gamma )^{2}+(b-a\cos \gamma )^{2}$.

Ηいーた μέθοδος είναι παρόμοια γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ αμβλυγώνια.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん ιδιότητες τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου  

Σχήμα 8: Απόδειξη χρησιμοποιώντας τたうηいーたνにゅー γεωμετρία τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου.

Θεωρώ τたうοおみくろんνにゅー κύκλο μみゅーεいぷしろん κέντρο Βべーた κかっぱαあるふぁιいおた ακτίνα BC, οおみくろん οποίος τέμνει τたうηいーたνにゅー πλευρά AC σしぐまτたうοおみくろん C κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん Κかっぱ κかっぱαあるふぁτたう'επέκταση. Από τたうοおみくろん Θεώρημα τたうωおめがνにゅー Τεμνόμενων Χορδών:

$\mathrm {AB} ^{2}-\mathrm {BC} ^{2}={\overline {\mathrm {AC} }}\cdot {\overline {\mathrm {AK} }}={\overline {\mathrm {AC} }}\cdot ({\overline {\mathrm {AC} }}+{\overline {\mathrm {CK} }})$

όπου

$c^{2}-a^{2}=b\,(b-2a\ \cos \ \gamma )$.

Εδώ δでるたεいぷしろんνにゅー χρειάζεται νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε κατά περιπτώσεις. Πράγματι οおみくろんιいおた αλγεβρικές ιδιότητες επιτρέπουν τたうηいーたνにゅー παράλληλη απόδειξη γがんまιいおたαあるふぁ αμβλεία (${\overline {\mathrm {CK} }}>0$) κかっぱαあるふぁιいおた οξεία γωνία (${\overline {\mathrm {CK} }}<0$).
Οおみくろん Νικόλαος Κοπέρνικος σしぐまτたうοおみくろん βιβλίο τたうοおみくろんυうぷしろん Περί τたうωおめがνにゅー Περιστροφών τたうωおめがνにゅー Ουρανίων Σφαιρών φαίνεται νにゅーαあるふぁ χρησιμοποίησε τたうοおみくろん Θεώρημα τたうωおめがνにゅー Τεμνόμενων Χορδών γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ καθορίσει όλες τις γωνίες ενός τριγώνου, μみゅーεいぷしろん γνωστά μήκη πλευρών . Χρησιμοποίησε δύο αλγόριθμους, σしぐまτたうοおみくろんνにゅー έναν χρησιμοποίησε τたうοおみくろん γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα (όπως τέθηκε κατά τたうοおみくろんνにゅー Ευκλείδη) κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άλλον χρησιμοποίησε τたうοおみくろん Θεώρημα τたうωおめがνにゅー Τεμνόμενων Χορδών. Έτσι, μみゅーεいぷしろん ένα τρόπο ανάλογο μみゅーεいぷしろん αυτόν πぱいοおみくろんυうぷしろん δείχνει τたうοおみくろん σχήμα, θεώρησε ότι a κかっぱαあるふぁιいおた c είναι γがんまνにゅーωおめがσしぐまτたうαあるふぁ, από τたうοおみくろん Θεώρημα τたうωおめがνにゅー Τεμνόμενων Χορδών τたうοおみくろん Αあるふぁ είναι γνωστό

ερμηνευμένο μαθηματικά: $c^{2}-a^{2}$

Καταλήγει σしぐまτたうοおみくろん συμπέρασμα ότι, επειδή b είναι γνωστό, ηいーた ΑあるふぁΚかっぱ είναι γνωστή

$AK\times b=c^{2}-a^{2}$ έτσι $AK={\frac {c^{2}-a^{2}}{b}}$

Επειδή AK είναι γνωστή, έτσι CK είναι γνωστή.

από τたうοおみくろん σχήμα $CK=AK-b={\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{b}}$

Τέλος, αφού CK είναι γνωστή, ηいーた γωνία KCB είναι γνωστή

$\cos(KCB)={\frac {CK}{2a}}={\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}$

Κかっぱαあるふぁιいおた εいぷしろんφふぁい'όσον ηいーた γωνία KCB είναι γνωστή, ισχύει τたうοおみくろん ίδιο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー γωνία ACB.

Έτσι βρίσκουμε τたうοおみくろんνにゅー Νόμο τたうωおめがνにゅー Συνημιτόνων : $\cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Μみゅーηいーた χρησιμοποιώντας αλγεβρικά μέτρα οおみくろん Νικόλαος Κοπέρνικος παρουσίασε δύο περιπτώσεις, γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αμβλεία κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー οξεία γωνία, εργάστηκε πάνω σしぐまεいぷしろん έναν κύκλο τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου ηいーた ακτίνα αντιστοιχούσε σしぐまτたうηいーたνにゅー μικρότερη πλευρά τたうωおめがνにゅー τριγώνων κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー κατέληξε σしぐまεいぷしろん τύπο αλλά σしぐまεいぷしろん αλγόριθμο υπολογισμού. Οおみくろん Νόμος τたうωおめがνにゅー Συνημιτόνων αποδείχθηκε μみゅーεいぷしろん παρόμοιο τρόπο από τたうοおみくろんνにゅー Βαρθολομαίο Πιτίσκο.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん εσωτερικό γινόμενο  

Χρησιμοποιώντας διανύσματα κかっぱαあるふぁιいおた πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα τたうοおみくろん εσωτερικό γινόμενο, είναι δυνατόν νにゅーαあるふぁ αποδείξουμε τたうοおみくろん θεώρημα σしぐまεいぷしろん μερικές γραμμές:

${\begin{aligned}c^{2}&=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\lVert ^{2}\\&=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}\\&=\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\lVert ^{2}-2\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}+\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}\\&=\mathrm {CB} ^{2}-2\cdot \left|\mathrm {CB} \right|\cdot \left|\mathrm {CA} \right|\cos {\widehat {\mathrm {ACB} }}+\mathrm {CA} ^{2}\\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

Γενίκευση σしぐまεいぷしろん μみゅーηいーた Ευκλείδειες γεωμετρίες

Γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ μみゅーηいーた Ευκλείδεια επιφάνεια, καμπυλότητας Κかっぱ κかっぱαあるふぁιいおた ακτίνα καμπυλότητας R, ισχύει:

$\,R=1/{\sqrt {|K|}}$.

Ορίζουμε τις μειωμένες διαστάσεις τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου:

$\,a=BC/R$,

$\,b=AC/R$,

$\,c=AB/R$.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση σφαιρικού τριγώνου, a, b κかっぱαあるふぁιいおた c αντιστοιχούν σしぐまτたうηいーた γωνιακή μέτρηση μεγάλων τμημάτων τόξου [BC], [CA] κかっぱαあるふぁιいおた [ΑあるふぁΒべーた] (σχήμα 7)

Σφαιρική γεωμετρία

Σχήμα 9: οおみくろんιいおた μειωμένες διαστάσεις τριγώνου κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた γωνίες αあるふぁ,βべーた κかっぱαあるふぁιいおた γがんま

Σしぐまεいぷしろん ένα σφαιρικό τρίγωνο οおみくろん Νόμος τたうωおめがνにゅー Συνημιτόνων ερμηνεύεται ως εξής:

$\cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .$

Όταν ηいーた ακτίνα καμπυλότητας είναι μεγάλη σしぐまεいぷしろん σύγκριση μみゅーεいぷしろん τις διαστάσεις τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου, δηλαδή όταν

$\,a<\!\!<1,\ \,b<\!\!<1,\ \,c<\!\!<1,\$

αυτή ηいーた έκφραση απλοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ δώσει τたうηいーたνにゅー Ευκλείδεια εκδοχή. Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ τたうοおみくろん δείξουμε χρησιμοποιούμε:

$\,\sin a=a+O(a^{3}),$

$\,\cos a=1-a^{2}/2+O(a^{3}).$

Υπάρχει μみゅーιいおたαあるふぁ παρόμοια ταυτότητα πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέει κかっぱαあるふぁιいおた τις τρεις γωνίες:

$\cos \gamma =-\cos \alpha \,\cos \beta +\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos c$

Υπερβολική γεωμετρία

Σしぐまεいぷしろん ένα υπερβολικό τρίγωνο :

$\cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma$.

Όταν ηいーた ακτίνα της καμπυλότητας γίνεται πολύ μεγάλη σしぐまεいぷしろん σύγκριση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μέγεθος τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου:

$\,\sinh a=a+O(a^{3})$,

$\,\cosh a=1+a^{2}/2+O(a^{3}).$

Γενίκευση σしぐまεいぷしろん Ευκλείδειους Χώρους

Σχήμα 10: Τετράεδρο: επιφάνειες κかっぱαあるふぁιいおた δίεδρες γωνίες

Θεωρώ ένα τετράεδρο A₁A₂A₃A₄ σしぐまεいぷしろん έναν Ευκλείδειο χώρο. Τたうοおみくろん σχήμα 10 δείχνει τις κορυφές, επιφάνειες κかっぱαあるふぁιいおた γωνίες σしぐまτたうοおみくろん τετράεδρο:

• $\mathrm {S} _{k}$ ηいーた επιφάνεια απέναντι από τたうηいーたνにゅー κορυφή $\mathrm {A} _{k}\$;
• $s_{k}$ ηいーた επιφάνεια τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathrm {S} _{k}\$;
• $\Delta _{k}$ τたうοおみくろん επίπεδο σしぐまτたうοおみくろん οποίο τたうοおみくろん $\mathrm {S} _{k}\$ εντάσσεται ;
• $\theta _{ij}$ ηいーた δίεδρη γωνία $(\Delta _{i},\Delta _{j})$.

Έτσι επιφάνειες κかっぱαあるふぁιいおた γωνίες επιβεβαιώνουν :

$s_{4}^{2}=s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}-2s_{1}s_{2}\cos \theta _{12}-2s_{1}s_{3}\cos \theta _{13}-2s_{2}s_{3}\cos \theta _{23}.\,$

Δείτε επίσης

• Τριγωνομετρία
• Νόμος τたうωおめがνにゅー ημιτόνων
• Νόμος τたうωおめがνにゅー εφαπτομένων