餘弦よげん定理ていり

一いち個こ三角形さんかっけい

餘弦よげん定理ていり是これ三角形さんかっけい中ちゅう三邊長度與一個角的余弦よげん值（$\cos$）的てき數學すうがく式しき，余弦よげん定理ていり指ゆび的てき是ぜ：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

同樣どうよう，也可以將其改為ため：

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

其中$c$是これ$\gamma$角かく的てき對邊たいへん，而$a$和わ$b$是これ$\gamma$角かく的てき鄰邊。

勾股定理ていり則のり是ぜ余弦よげん定理ていり的てき特殊とくしゅ情況じょうきょう，當とう$\gamma$為ため$90^{\circ }$時とき，$\cos \gamma =0$，等式とうしき可か被ひ簡化為ため

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

當とう知道ともみち三角形さんかっけい的てき兩邊りょうへん和わ一角いっかく時じ，余弦よげん定理ていり可か被ひ用もちい來らい計算けいさん第だい三さん邊へん的てき長ちょう，或ある是ぜ當知とうち道どう三さん邊へん的てき長ちょう度ど時じ，可用かよう來らい求もとめ出で任にん何なん一いち個こ角かく。

歷史れきし

一個鈍三角形和它的高。

余弦よげん定理ていり的てき歷史れきし可か追おい溯さかのぼ至いたり公こう元もと三さん世紀せいき前まえ歐おう幾里いくさと得とく的てき幾何きか原本げんぽん，在ざい書中しょちゅう將しょう三角形分為鈍角和銳角來解釋，這同時じ對應たいおう現代げんだい數學すうがく中ちゅう余弦よげん值的正負せいふ。根據こんきょ幾何きか原本げんぽん第だい二に卷かん的てき命題めいだい12和わ13，並なみ參考さんこう右みぎ圖ず，以現代だい的てき數學すうがく式しき表示ひょうじ即そく為ため：

${\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}+2({\overline {CA}})({\overline {CH}})\,$

其中${\overline {CH}}={\overline {BC}}\cos(\pi -\gamma )=-{\overline {BC}}\cos \gamma$，將はた其帶入にゅう上うえ式しき得え到いた：

${\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}-2({\overline {CA}})({\overline {BC}})\cos \gamma$

證明しょうめい

三角さんかく函數かんすう

具有ぐゆう垂直すいちょく線せん的てき銳角えいかく三角形さんかっけい

見み右みぎ圖ず，在ざい$c$上うえ做高可か以得到いた（投影とうえい定理ていり）：

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

將はた等式とうしき同乘どうじょう以c得え到いた：

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha$

運用うんよう同樣どうよう的てき方式ほうしき可か以得到いた：

$a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma$

$b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma$

將はた$c^{2}$的てき右みぎ式しき取と代だい：

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha =(a^{2}-ab\cos \gamma )+(b^{2}-ab\cos \gamma )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

勾股定理ていり

勾股定理ていり之の一いち

設しつらえ$\triangle ABC$中なか，${\overline {AB}}=c$，${\overline {BC}}=a$，${\overline {AC}}=b$。過か$B$點てん作さく$AC$的てき垂線すいせん，垂たれ足あし為ため$D$，如果$D$在ざい$AC$內部，則のり$BD$的まと長ちょう度ど為ため$a\sin C$，$DC$的まと長ちょう度ど為ため$a\cos C$，$AD$的まと長ちょう度ど為ため$b-a\cos C$。根據こんきょ勾股定理ていり：

$c^{2}=(a\sin C)^{2}+(b-a\cos C)^{2}\,$

$c^{2}=a^{2}\sin ^{2}C+b^{2}-2ab\cos C+a^{2}\cos ^{2}C\,$

$c^{2}=a^{2}(\sin ^{2}C+\cos ^{2}C)+b^{2}-2ab\cos C\,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,$

如果$D$在ざい$AC$的てき延長線えんちょうせん上じょう，證明しょうめい是ぜ類似るいじ的てき。同どう理り可か以得到いた其他的てき等式とうしき。

勾股定理ていり之の二に

證明しょうめい所用しょよう的てき三角形さんかっけい

設しつらえ$\triangle ABC$中なか，${\overline {AB}}=c$，${\overline {BC}}=a$，${\overline {AC}}=b$。過か$B$點てん作さく${\overline {AC}}$的てき垂線すいせん，垂たれ足あし為ため$D$，設しつらえ${\overline {AD}}=x$，則のり${\overline {CD}}=b-x$，根據こんきょ勾股定理ていり：

$c^{2}-x^{2}={\overline {BD}}^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}$

$c^{2}-x^{2}=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2bx$

$c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bx$

$x={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}}$

$\cos A={\frac {x}{c}}={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

如果$D$在ざい${\overline {AC}}$的てき延長線えんちょうせん上じょう，證明しょうめい是ぜ類似るいじ的てき。同どう理り可か以得到いた其他的てき等式とうしき。

應用おうよう

餘弦よげん定理ていり是ぜ解かい三角形さんかっけい中ちゅう的てき一いち個こ重要じゅうよう定理ていり。

求もとめ邊べ

餘弦よげん定理ていり可か以簡單かんたん地變ちへん形成けいせい：

$a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}}$

$b={\sqrt {c^{2}+a^{2}-2ac\cos B}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}$

因いん此，如果知道ともみち了りょう三角形的兩邊及其夾角，可か由よし餘弦よげん定理ていり得とく出で已やめ知ち角かく的てき對邊たいへん。

求もとめ角かく

余弦よげん定理ていり可か以简单地变形成けいせい：

$\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!$

$\cos B={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!$

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!$

因よし為ため餘弦よげん函數かんすう在ざい$({{\rm {0}},\pi })$上うえ的てき單調たんちょう性せい，可か以得到いた：

$\angle A=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!$

$\angle B=\arccos {\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!$

$\angle C=\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!$

因いん此，如果已やめ知ち三角形さんかっけい的てき三さん邊へん，可か以由餘弦よげん定理ていり得え到いた三角形さんかっけい的てき三さん個こ內角。

參まいり見み

• 三角形さんかっけい
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• 正弦せいげん定理ていり
• 正せい切きり定理ていり
• 角かく平分へいぶん線せん長ちょう公式こうしき
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