反はん餘弦よげん

反はん餘弦よげん
性質せいしつ
奇偶きぐう性せい	非ひ奇き非ひ偶函数すう
定義ていぎ域いき	[-1, 1]
到達とうたつ域いき	$[0,\pi ]$ （[0,180°]）
周期しゅうき	N/A
特定とくてい值
當とうx=0	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
當とうx=+∞	N/A
當とうx=-∞	N/A
最大さいだい值	$\pi$ （180°）
最小さいしょう值	$0$
其他性質せいしつ
渐近线	N/A
根ね	1
拐點	$\left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ $\left(0,90^{\circ }\right)$
不動點ふどうてん	y軸じく為ため弧こ度ど時とき： 0.7390851332152... （42.3464588340929...°） y軸じく為ため角度かくど時とき： 0.999847741531088...° （0.0174506351083467...）
k是ぜ一いち個こ整數せいすう。

反はん餘弦よげん（arccosine, $\arccos$, $\cos ^{-1}$）是ぜ一いち種しゅ反はん三角さんかく函數かんすう，也是高等こうとう數學すうがく中ちゅう的てき一いち種しゅ基本きほん特殊とくしゅ函數かんすう。在ざい三角みすみ學まなぶ中なか，反はん餘弦よげん被ひ定義ていぎ為ため一いち個こ角度かくど，也就是ぜ餘弦よげん值的反はん函數かんすう，然しか而餘弦よげん函數かんすう是ぜ雙そう射い且不可逆かぎゃく的てき而不是ぜ一いち個こ對たい射しゃ函數かんすう（即そく多た個こ值可能かのう只ただ得え到いた一いち個こ值，例れい如1和わ所有しょゆう同どう界さかい角かく），故こ無法むほう有ゆう反はん函數かんすう，但ただし我わが們可以限きり制せい其定義ていぎ域いき，因いん此，反はん餘弦よげん是ぜ單たん射い和わ滿まん射しゃ也是可逆かぎゃく的てき，另外，我わが們也需要じゅよう限げん制せい值域，且限制せい值域時じ，不能ふのう和わ反はん正弦せいげん定義ていぎ相しょう同どう的てき區間くかん，因いん為ため這樣會かい變成へんせい一對多いちたいた，而不構成こうせい函數かんすう，所以ゆえん我わが們將反はん餘弦よげん函數かんすう的てき值域定義ていぎ在ざい$\left[0,\pi \right]$（[0,180°]）。另外，在原ありわら始はじめ的てき定義ていぎ中ちゅう，若わか輸入ゆにゅう值不在ざい區間くかん$[-1,1]$，是ぜ沒ぼつ有意義ゆういぎ的てき，但ただし是ぜ三角函數擴充到複數之後，若わか輸入ゆにゅう值不在ざい區間くかん$[-1,1]$，將はた傳つて回かい複數ふくすう。

命名めいめい

反はん餘弦よげん的てき數學すうがく符號ふごう是ぜ$\arccos$，最さい常つね被ひ計けい為ため$\cos ^{-1}$。在ざい不同ふどう的てき編へん程ほど語ご言げん和かず有ゆう些計算けいさん器き則のり使用しようacos或あるacs。

定義ていぎ

原始げんし的てき定義ていぎ是ぜ將しょう餘弦よげん函數かんすう限きり制せい在ざい$[0,\pi ]$（[0,180°]）的てき反はん函數かんすう
在ざい複ふく變へん分析ぶんせき中なか，反はん餘弦よげん是ぜ這樣定義ていぎ的てき:

$\arccos x=-{\mathrm {i} }\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$

這個動作どうさ使し反はん餘弦よげん被ひ推廣到いた複數ふくすう。

拓つぶせ展てん到いた複數ふくすう的てき反はん餘弦よげん函數かんすう

性質せいしつ

反はん餘弦よげん函數かんすう是ぜ一いち個こ定義ていぎ在ざい區間くかん$\left[-1,1\right]$的てき嚴格げんかく遞減ていげん連續れんぞく函數かんすう。

$\arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]$

（$\arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,180^{\circ }\right]$）

其圖形がた是ぜ對稱たいしょう的てき，即そく對稱たいしょう於點$\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$，或ある表示ひょうじ為ため$\left(0,90^{\circ }\right)$，所以ゆえん滿足まんぞく$\arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)$
反はん餘弦よげん函數かんすう的てき導しるべ數すう是ぜ：
${\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.
反はん餘弦よげん函數かんすう的てき泰たい勒級數すう是ぜ：

${\begin{aligned}\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |x|\leq 1\end{aligned}}$

基もと於上述じょうじゅつ級數きゅうすう在ざい$|x|$接近せっきん1時じ收斂しゅうれん速度そくど十じゅう分ふん緩慢かんまん，在ざい$x=-1$求もとめ得とく的てき泰たい勒級數すう是ぜ：

${\begin{aligned}\arccos x&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\left(1+\left({\frac {1}{4}}\right){\frac {x+1}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{4\cdot 8}}\right){\frac {(x+1)^{2}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}}\right){\frac {(x+1)^{3}}{7}}+\cdots \right)\\&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{3n}(n!)^{2}}}\right){\frac {(x+1)^{n}}{(2n+1)}}\end{aligned}}$

由よし於先前ぜん描述的てき對稱たいしょう關係かんけい$\arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)$，可か由よし上うえ式しき計算けいさん$|x|$接近せっきん1時じ的てき反はん餘弦よげん值。

也可以用反はん餘弦よげん和わ差さ公式こうしき將はた兩個りゃんこ餘弦よげん值合併成一いち個こ餘弦よげん值:

$\arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}$

$\arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}$.

應用おうよう

直角ちょっかく三角形さんかっけい的てき輻や角かく為ため其鄰邊べ和わ斜邊しゃへん之の間あいだ的てき比率ひりつ的てき反はん餘弦よげん值。

參まいり見み

• 餘弦よげん
• 反はん正弦せいげん