極 ごく 正弦 せいげん (polar sine )是 これ 正弦 せいげん 函數 かんすう 的 てき 推廣。
其將正弦 せいげん 函數 かんすう 從 したがえ 原本 げんぽん 只 ただ 能 のう 計算 けいさん 平面 へいめん 角 かく 推廣到 いた 可 か 以計算 けいさん 多 た 胞形的 てき 頂 いただき 角 かく 。
極 ごく 正弦 せいげん 函數 かんすう 通常 つうじょう 記 き 為 ため psin 或 ある polsin [ 1] 。
不同 ふどう 於一般 いっぱん 的 てき 正弦 せいげん ,極 ごく 正弦 せいげん 的 てき 輸入 ゆにゅう 值並 なみ 非 ひ 是 ぜ 角度 かくど ,而是能 のう 代表 だいひょう 特定 とくてい 立體 りったい 角 かく 的 てき 向 むかい 量 りょう 組 くみ 。
左側 ひだりがわ 3D體積 たいせき 的 てき 解釋 かいしゃく :平行 へいこう 六面體 ろくめんたい (對應 たいおう 極 ごく 正弦 せいげん 定義 ていぎ 中 ちゅう 的 てき
Ω おめが
{\displaystyle \Omega }
),右側 みぎがわ :長方 おさかた 體 たい (對應 たいおう 極 ごく 正弦 せいげん 定義 ていぎ 中 ちゅう 的 てき
Π ぱい
{\displaystyle \Pi }
)。在 ざい 更 さら 高 だか 維度上 じょう 的 てき 解釋 かいしゃく 是 ぜ 相似 そうじ 的 てき
令 れい v 1 , ..., v n (n ≥ 1 )為 ため n 維空間 あいだ (ℝn )的 てき 非 ひ 零 れい 歐 おう 幾里 いくさと 德 とく 向 むこう 量 りょう ,該向量 りょう 從 したがえ 平行 へいこう 多 た 胞形的 てき 頂點 ちょうてん 定 てい 向 むかい ,形成 けいせい 平行 へいこう 多 た 胞形的 てき 邊 あたり 。則 のり 頂 いただき 角 かく 的 てき 極 ごく 正弦 せいげん 為 ため :[ 1]
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
=
Ω おめが
Π ぱい
,
{\displaystyle \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\frac {\Omega }{\Pi }},}
其中分子 ぶんし 是 ぜ 行列 ぎょうれつ 式 しき :
Ω おめが
=
det
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
=
|
v
11
v
21
⋯
v
n
1
v
12
v
22
⋯
v
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
v
1
n
v
2
n
⋯
v
n
n
|
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,}
其等價 とうか 於具有向 ゆうこう 量 りょう 邊 べ 的 てき 平行 へいこう 多 た 胞形的 てき 有 ゆう 符號 ふごう 超 ちょう 體積 たいせき [ 2] 。
v
1
=
(
v
11
,
v
12
,
…
,
v
1
n
)
T
v
2
=
(
v
21
,
v
22
,
…
,
v
2
n
)
T
⋮
v
n
=
(
v
n
1
,
v
n
2
,
…
,
v
n
n
)
T
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&=(v_{11},v_{12},\dots ,v_{1n})^{T}\\\mathbf {v} _{2}&=(v_{21},v_{22},\dots ,v_{2n})^{T}\\&\,\,\,\vdots \\\mathbf {v} _{n}&=(v_{n1},v_{n2},\dots ,v_{nn})^{T}\,,\\\end{aligned}}}
而分母 はは 是 ぜ 所有 しょゆう 頂 いただき 角 かく 邊 あたり 長 ちょう 的 てき 積 せき :
Π ぱい
=
∏
i
=
1
n
‖
v
i
‖
{\displaystyle \Pi =\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}
它等於n 維超 ちょう 矩形 くけい 的 てき 超 ちょう 體積 たいせき ,其邊等 とう 於向量 りょう 長 ちょう 度 たび ||v 1 ||, ||v 2 ||, ... ||v n || ,而非向 むこう 量 りょう 本身 ほんみ 。另見埃 ほこり 里 さと 克 かつ 森 もり 的 てき 著作 ちょさく 。[ 3]
平行 へいこう 多 た 胞形有 ゆう 如「壓 あつ 扁 ひらた 的 てき 超 ちょう 矩形 くけい 」,因 いん 此它的 てき 超 ちょう 體積 たいせき 比 ひ 超 ちょう 矩形 くけい 小 しょう ,這意味 あじ 著 ちょ (可 か 參 さん 閱附圖 ず 的 てき 3D範 はん 例 れい ):
|
Ω おめが
|
≤
Π ぱい
⟹
|
Ω おめが
|
Π ぱい
≤
1
⟹
−
1
≤
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
≤
1
,
{\displaystyle |\Omega |\leq \Pi \implies {\frac {|\Omega |}{\Pi }}\leq 1\implies -1\leq \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\leq 1\,,}
對 たい 於一般 いっぱん 的 てき 正弦 せいげん ,只 ただ 有 ゆう 在所 ざいしょ 有向 ゆうこう 量 りょう 相互 そうご 正 せい 交的情況 じょうきょう 下 か 才能 さいのう 達 たち 到 いた 其中任 にん 一 いち 個 こ 極 ごく 值。
在 ざい n = 2的 てき 情況 じょうきょう 下 か ,極 ごく 正弦 せいげん 是 ぜ 兩個 りゃんこ 向 むこう 量 りょう 之 の 間 あいだ 角度 かくど 的 てき 普通 ふつう 正弦 せいげん 。[ 註 1]
如果一 いち 個 こ n 維角有 ゆう 一個以該角之頂點為中心的n 維球體 たい ,則 のり 從 したがえ 該角之 の 頂點 ちょうてん 射出 しゃしゅつ 的 てき n 條 じょう 射 しゃ 線 せん 會 かい 與 あずか 該n 維球體 きゅうたい 交於n 個 こ 點 てん ,這些n 個 こ 點在 てんざい n 維球體 きゅうたい 表面 ひょうめん 的 てき (n −1) 維球面 めん 空間 くうかん 中 ちゅう 形成 けいせい 單純 たんじゅん 形 がた 。此時將 はた 這個球面 きゅうめん 空間 くうかん 中 ちゅう 單純 たんじゅん 形 がた 的 てき 極 ごく 正弦 せいげん 定義 ていぎ 為 ため 該單純 たんじゅん 形 がた 對應 たいおう 之 の 對 たい 角 かく 的 てき 極 ごく 正弦 せいげん 值。對 たい 於n 維球面 めん 的 てき 單純 たんじゅん 形 がた S ,如果頂點 ちょうてん V i 和 わ V j 之 これ 間 あいだ 的 てき 邊 あたり 長 ちょう 為 ため E ij ,則 のり 其在高 だか 斯曲率 りつ K > 0之 これ 空間 くうかん 中 ちゅう 的 てき 極 ごく 正弦 せいげん 值由下 か 式 しき 給 きゅう 出 で :[ 1]
psin
2
(
S
)
=
|
1
cos
E
01
K
cos
E
02
K
⋯
E
0
n
K
cos
E
10
K
1
cos
E
12
K
⋯
E
1
n
K
cos
E
20
K
cos
E
21
K
1
⋯
E
2
n
K
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
cos
E
n
0
K
cos
E
n
1
K
cos
E
n
2
K
⋯
1
|
{\displaystyle \operatorname {psin} ^{2}\left(S\right)={\begin{vmatrix}1&\cos E_{01}{\sqrt {K}}&\cos E_{02}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{0n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{10}{\sqrt {K}}&1&\cos E_{12}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{1n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{20}{\sqrt {K}}&\cos E_{21}{\sqrt {K}}&1&\cdots &E_{2n}{\sqrt {K}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos E_{n0}{\sqrt {K}}&\cos E_{n1}{\sqrt {K}}&\cos E_{n2}{\sqrt {K}}&\cdots &1\end{vmatrix}}}
可 か 以使用 しよう 格 かく 拉 ひしげ 姆行列 ぎょうれつ 式 しき 定義 ていぎ 適用 てきよう 於任何 なに m 維空間 あいだ 的 てき 非負 ひふ 極 ごく 正弦 せいげん 。此時,分子 ぶんし 為 ため :
Ω おめが
=
det
(
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
T
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
)
,
{\displaystyle \Omega ={\sqrt {\det \left({\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\right)}}\,,}
其中,上 うえ 標的 ひょうてき T 代表 だいひょう 矩 のり 陣 じん 的 てき 轉置 てんち 。只 ただ 有 ゆう 當 とう m ≥ n 時 とき ,該值才 ざい 可能 かのう 非 ひ 零 れい 。在 ざい m = n 的 てき 情況 じょうきょう 下 か ,這相當 とう 於前面 めん 給 きゅう 出 で 的 てき 定義 ていぎ 之 の 絕對 ぜったい 值。在 ざい m < n 退化 たいか 的 てき 情況 じょうきょう 中 ちゅう ,行列 ぎょうれつ 式 しき 將 はた 是 これ 奇異 きい n × n 矩 のり 陣 じん ,得 え 到 いた Ω おめが = 0 ,因 いん 為 ため 此時在 ざい m 維空間 あいだ 中 ちゅう 不可能 ふかのう 有 ゆう n 個 こ 線 せん 性 せい 獨立 どくりつ 向 こう 量 りょう 。
由 よし 於行列 ぎょうれつ 式 しき 交換 こうかん 行 ぎょう 的 てき 反對稱 はんたいしょう 性 せい ,因 いん 此只要 よう 兩個 りゃんこ 向 むこう 量 りょう 互換 ごかん ,極 ごく 正弦 せいげん 就會正負 せいふ 變 へん 號 ごう ;不 ふ 過 か ,極 きょく 正弦 せいげん 的 てき 絕對 ぜったい 值並不 ふ 會 かい 因 いん 此改變 かいへん 。
Ω おめが
=
det
[
v
1
v
2
⋯
v
i
⋯
v
j
⋯
v
n
]
=
−
det
[
v
1
v
2
⋯
v
j
⋯
v
i
⋯
v
n
]
=
−
Ω おめが
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\!\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\Omega \end{aligned}}}
向 むかい 量 りょう 與 あずか 純量 じゅんりょう 乘法 じょうほう 的 てき 不變 ふへん 性 せい [ 编辑 ]
如果將 しょう 代入 だいにゅう 極 ごく 正弦 せいげん 的 てき 所 しょ 有向 ゆうこう 量 りょう v 1 , ..., v n 皆 みな 乘 じょう 以一 いち 個 こ 純量 じゅんりょう 的 てき 常數 じょうすう ci ,則 のり 由 よし 於因式 しき 分解 ぶんかい ,極 ごく 正弦 せいげん 的 てき 值不會 かい 改變 かいへん 。
psin
(
c
1
v
1
,
…
,
c
n
v
n
)
=
det
[
c
1
v
1
c
2
v
2
⋯
c
n
v
n
]
∏
i
=
1
n
‖
c
i
v
i
‖
=
∏
i
=
1
n
c
i
∏
i
=
1
n
|
c
i
|
⋅
det
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
∏
i
=
1
n
‖
v
i
‖
=
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}).\end{aligned}}}
如果有 ゆう 奇 き 數 すう 個 こ 常數 じょうすう 為 ため 負 ふ 值,則 のり 極 ごく 正弦 せいげん 的 てき 值會正負 せいふ 變 へん 號 ごう ,但 ただし 絕對 ぜったい 值仍然 しか 會 かい 維持 いじ 不變 ふへん 。
非 ひ 線 せん 性 せい 獨立 どくりつ 的 てき 情況 じょうきょう [ 编辑 ]
如果向 むこう 量 りょう 不 ふ 是 ぜ 線 せん 性 せい 獨立 どくりつ 的 てき ,則 のり 極 ごく 正弦 せいげん 值為零 れい 。而在維數m 嚴格 げんかく 小 しょう 於向量 りょう 數 すう n 的 てき 退化 たいか 情況 じょうきょう 下 か ,則 のり 極 ごく 正弦 せいげん 也為零 れい 。
與 あずか 對應 たいおう 的 てき 餘弦 よげん 之 の 關係 かんけい [ 编辑 ]
兩個 りゃんこ 非 ひ 零 れい 向 こう 量 りょう 之 の 間 あいだ 的 てき 角度 かくど 之 の 餘弦 よげん 值由下 か 式 しき 給 きゅう 出 で :
cos
(
v
1
,
v
2
)
=
v
1
⋅
v
2
‖
v
1
‖
‖
v
2
‖
{\displaystyle \cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}{\|\mathbf {v} _{1}\|\|\mathbf {v} _{2}\|}}\,}
其使用 よう 了 りょう 点 てん 积和 かず 向 こう 量 りょう 長 ちょう 的 てき 乘 じょう 積 せき 。將 はた 此式與 あずか 上面 うわつら 給 きゅう 出 で 的 てき 極 ごく 正弦 せいげん 絕對 ぜったい 值的定義 ていぎ 進行 しんこう 比較 ひかく ,可 か 以得到 いた :
|
psin
(
v
1
,
…
,
v
n
)
|
2
=
det
[
1
cos
(
v
1
,
v
2
)
⋯
cos
(
v
1
,
v
n
)
cos
(
v
2
,
v
1
)
1
⋯
cos
(
v
2
,
v
n
)
⋮
⋮
⋱
⋮
cos
(
v
n
,
v
1
)
cos
(
v
n
,
v
2
)
⋯
1
]
.
{\displaystyle \left|\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\right|^{2}=\det \!\left[{\begin{matrix}1&\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{n})\\\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1})&1&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{1})&\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{2})&\cdots &1\\\end{matrix}}\right].}
特別 とくべつ 是 ぜ 對 たい 於維數 すう n = 2時 とき ,其等價 とうか 於:
sin
2
(
v
1
,
v
2
)
=
1
−
cos
2
(
v
1
,
v
2
)
,
{\displaystyle \sin ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})=1-\cos ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})\,,}
即 そく 勾股定理 ていり 。
歐 おう 拉 ひしげ 在 ざい 18世紀 せいき 時 じ 研究 けんきゅう 了 りょう 極 ごく 正弦 せいげん 。[ 4]
^ 令 れい n = 2 ,此時的 てき 極 ごく 正弦 せいげん 為 ため
psin
(
v
1
,
v
2
)
=
Ω おめが
Π ぱい
{\displaystyle \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\Omega }{\Pi }}}
。令 れい 角 かく
∠
A
O
B
{\displaystyle \angle AOB}
為 ため
θ しーた
{\displaystyle \theta }
,角 かく 的 てき 始 はじめ 邊 あたり 為 ため
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
和 わ 角 かく 的 てき 終 おわり 邊 べ 為 ため
v
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}
,且長度 ど 皆 みな 為 ため 單位 たんい 長 ちょう ,若 わか
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
平行 へいこう 於
x
{\displaystyle x}
軸 じく ,則 のり 向 むこう 量 りょう
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
為 ため
[
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}
、向 むこう 量 りょう
v
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{2}}
為 ため
[
cos
θ しーた
sin
θ しーた
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}}}
。則 のり 有 ゆう
Ω おめが
=
det
[
v
1
v
2
]
=
|
1
cos
θ しーた
0
sin
θ しーた
|
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}1&\cos \theta \\0&\sin \theta \\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,}
並 なみ 且,
Π ぱい
=
∏
i
=
1
2
‖
v
i
‖
=
‖
v
1
‖
‖
˙
v
2
‖
=
cos
2
θ しーた
+
sin
2
θ しーた
1
2
+
0
2
=
1
{\displaystyle \Pi =\prod _{i=1}^{2}\|\mathbf {v} _{i}\|=\|\mathbf {v} _{1}\|{\dot {\|}}\mathbf {v} _{2}\|={\sqrt {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }}{\sqrt {1^{2}+0^{2}}}=1}
,則 のり 極 ごく 正弦 せいげん 為 ため
psin
(
v
1
,
v
2
)
=
Ω おめが
Π ぱい
=
|
1
cos
θ しーた
0
sin
θ しーた
|
1
=
sin
θ しーた
1
=
sin
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\Omega }{\Pi }}={\frac {\begin{vmatrix}1&\cos \theta \\0&\sin \theta \\\end{vmatrix}}{1}}={\frac {\sin \theta }{1}}=\sin \theta }
,因 いん 此得到 いた
psin
{\displaystyle \operatorname {psin} }
在 ざい 二 に 維空間 あいだ 中 ちゅう 與 あずか
sin
{\displaystyle \sin }
無 む 異 こと 。