極ごく正弦せいげん

極ごく正弦せいげん（polar sine）是これ正弦せいげん函數かんすう的てき推廣。 其將正弦せいげん函數かんすう從したがえ原本げんぽん只ただ能のう計算けいさん平面へいめん角かく推廣到いた可か以計算けいさん多た胞形的てき頂いただき角かく。 極ごく正弦せいげん函數かんすう通常つうじょう記き為ためpsin或あるpolsin。 不同ふどう於一般いっぱん的てき正弦せいげん，極ごく正弦せいげん的てき輸入ゆにゅう值並なみ非ひ是ぜ角度かくど，而是能のう代表だいひょう特定とくてい立體りったい角かく的てき向むかい量りょう組くみ。

定義ていぎ

n維空間あいだ的てきn向むかい量りょう

左側ひだりがわ3D體積たいせき的てき解釋かいしゃく：平行へいこう六面體ろくめんたい（對應たいおう極ごく正弦せいげん定義ていぎ中ちゅう的てき$\Omega$），右側みぎがわ：長方おさかた體たい（對應たいおう極ごく正弦せいげん定義ていぎ中ちゅう的てき$\Pi$）。在ざい更さら高だか維度上じょう的てき解釋かいしゃく是ぜ相似そうじ的てき

令れいv₁, ..., v_n（n ≥ 1）為ためn維空間あいだ（ℝⁿ）的てき非ひ零れい歐おう幾里いくさと德とく向むこう量りょう，該向量りょう從したがえ平行へいこう多た胞形的てき頂點ちょうてん定てい向むかい，形成けいせい平行へいこう多た胞形的てき邊あたり。則のり頂いただき角かく的てき極ごく正弦せいげん為ため：

$\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\frac {\Omega }{\Pi }},$

其中分子ぶんし是ぜ行列ぎょうれつ式しき：

${\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}\,,$

其等價とうか於具有向ゆうこう量りょう邊べ的てき平行へいこう多た胞形的てき有ゆう符號ふごう超ちょう體積たいせき。

${\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&=(v_{11},v_{12},\dots ,v_{1n})^{T}\\\mathbf {v} _{2}&=(v_{21},v_{22},\dots ,v_{2n})^{T}\\&\,\,\,\vdots \\\mathbf {v} _{n}&=(v_{n1},v_{n2},\dots ,v_{nn})^{T}\,,\\\end{aligned}}$

而分母はは是ぜ所有しょゆう頂いただき角かく邊あたり長ちょう的てき積せき：

$\Pi =\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|$

它等於n維超ちょう矩形くけい的てき超ちょう體積たいせき，其邊等とう於向量りょう長ちょう度たび||v₁||, ||v₂||, ... ||v_n||，而非向むこう量りょう本身ほんみ。另見埃ほこり里さと克かつ森もり的てき著作ちょさく。

平行へいこう多た胞形有ゆう如「壓あつ扁ひらた的てき超ちょう矩形くけい」，因いん此它的てき超ちょう體積たいせき比ひ超ちょう矩形くけい小しょう，這意味あじ著ちょ（可か參さん閱附圖ず的てき3D範はん例れい）：

$|\Omega |\leq \Pi \implies {\frac {|\Omega |}{\Pi }}\leq 1\implies -1\leq \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\leq 1\,,$

對たい於一般いっぱん的てき正弦せいげん，只ただ有ゆう在所ざいしょ有向ゆうこう量りょう相互そうご正せい交的情況じょうきょう下か才能さいのう達たち到いた其中任にん一いち個こ極ごく值。

在ざいn = 2的てき情況じょうきょう下か，極ごく正弦せいげん是ぜ兩個りゃんこ向むこう量りょう之の間あいだ角度かくど的てき普通ふつう正弦せいげん。

n維角

如果一いち個こn維角有ゆう一個以該角之頂點為中心的n維球體たい，則のり從したがえ該角之の頂點ちょうてん射出しゃしゅつ的てきn條じょう射しゃ線せん會かい與あずか該n維球體きゅうたい交於n個こ點てん，這些n個こ點在てんざいn維球體きゅうたい表面ひょうめん的てき(n−1)維球面めん空間くうかん中ちゅう形成けいせい單純たんじゅん形がた。此時將はた這個球面きゅうめん空間くうかん中ちゅう單純たんじゅん形がた的てき極ごく正弦せいげん定義ていぎ為ため該單純たんじゅん形がた對應たいおう之の對たい角かく的てき極ごく正弦せいげん值。對たい於n維球面めん的てき單純たんじゅん形がたS，如果頂點ちょうてんV_i和わV_j之これ間あいだ的てき邊あたり長ちょう為ためE_ij，則のり其在高だか斯曲率りつK > 0之これ空間くうかん中ちゅう的てき極ごく正弦せいげん值由下か式しき給きゅう出で：

$\operatorname {psin} ^{2}\left(S\right)={\begin{vmatrix}1&\cos E_{01}{\sqrt {K}}&\cos E_{02}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{0n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{10}{\sqrt {K}}&1&\cos E_{12}{\sqrt {K}}&\cdots &E_{1n}{\sqrt {K}}\\\cos E_{20}{\sqrt {K}}&\cos E_{21}{\sqrt {K}}&1&\cdots &E_{2n}{\sqrt {K}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos E_{n0}{\sqrt {K}}&\cos E_{n1}{\sqrt {K}}&\cos E_{n2}{\sqrt {K}}&\cdots &1\end{vmatrix}}$

高こう維空間あいだ

可か以使用しよう格かく拉ひしげ姆行列ぎょうれつ式しき定義ていぎ適用てきよう於任何なにm維空間あいだ的てき非負ひふ極ごく正弦せいげん。此時，分子ぶんし為ため：

$\Omega ={\sqrt {\det \left({\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\right)}}\,,$

其中，上うえ標的ひょうてきT代表だいひょう矩のり陣じん的てき轉置てんち。只ただ有ゆう當とうm ≥ n時とき，該值才ざい可能かのう非ひ零れい。在ざいm = n 的てき情況じょうきょう下か，這相當とう於前面めん給きゅう出で的てき定義ていぎ之の絕對ぜったい值。在ざいm < n退化たいか的てき情況じょうきょう中ちゅう，行列ぎょうれつ式しき將はた是これ奇異きいn × n矩のり陣じん，得え到いたΩおめが = 0，因いん為ため此時在ざいm維空間あいだ中ちゅう不可能ふかのう有ゆうn個こ線せん性せい獨立どくりつ向こう量りょう。

性質せいしつ

向むかい量りょう互換ごかん

由よし於行列ぎょうれつ式しき交換こうかん行ぎょう的てき反對稱はんたいしょう性せい，因いん此只要よう兩個りゃんこ向むこう量りょう互換ごかん，極ごく正弦せいげん就會正負せいふ變へん號ごう；不ふ過か，極きょく正弦せいげん的てき絕對ぜったい值並不ふ會かい因いん此改變かいへん。

${\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\!\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\Omega \end{aligned}}$

向むかい量りょう與あずか純量じゅんりょう乘法じょうほう的てき不變ふへん性せい

如果將しょう代入だいにゅう極ごく正弦せいげん的てき所しょ有向ゆうこう量りょうv₁, ..., v_n皆みな乘じょう以一いち個こ純量じゅんりょう的てき常數じょうすうc_i，則のり由よし於因式しき分解ぶんかい，極ごく正弦せいげん的てき值不會かい改變かいへん。

${\begin{aligned}\operatorname {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}).\end{aligned}}$

如果有ゆう奇き數すう個こ常數じょうすう為ため負ふ值，則のり極ごく正弦せいげん的てき值會正負せいふ變へん號ごう，但ただし絕對ぜったい值仍然しか會かい維持いじ不變ふへん。

非ひ線せん性せい獨立どくりつ的てき情況じょうきょう

如果向むこう量りょう不ふ是ぜ線せん性せい獨立どくりつ的てき，則のり極ごく正弦せいげん值為零れい。而在維數m嚴格げんかく小しょう於向量りょう數すうn的てき退化たいか情況じょうきょう下か，則のり極ごく正弦せいげん也為零れい。

與あずか對應たいおう的てき餘弦よげん之の關係かんけい

兩個りゃんこ非ひ零れい向こう量りょう之の間あいだ的てき角度かくど之の餘弦よげん值由下か式しき給きゅう出で：

$\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})={\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}{\|\mathbf {v} _{1}\|\|\mathbf {v} _{2}\|}}\,$

其使用よう了りょう点てん积和かず向こう量りょう長ちょう的てき乘じょう積せき。將はた此式與あずか上面うわつら給きゅう出で的てき極ごく正弦せいげん絕對ぜったい值的定義ていぎ進行しんこう比較ひかく，可か以得到いた：

$\left|\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\right|^{2}=\det \!\left[{\begin{matrix}1&\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{n})\\\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1})&1&\cdots &\cos(\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{1})&\cos(\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{2})&\cdots &1\\\end{matrix}}\right].$

特別とくべつ是ぜ對たい於維數すうn = 2時とき，其等價とうか於：

$\sin ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})=1-\cos ^{2}(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})\,,$

即そく勾股定理ていり。

歷史れきし

歐おう拉ひしげ在ざい18世紀せいき時じ研究けんきゅう了りょう極ごく正弦せいげん。

參まいり見み

• 三角さんかく函數かんすう
• 三角さんかく恆等こうとう式しき
• 立體りったい角かく

外部がいぶ連結れんけつ

• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. 極ごく正弦せいげん. MathWorld.